江苏省镇江中学高二数学上学期期中试卷(含解析)

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每题5分，共60分）1、若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ）②22b a > ③44bc ac >A ．1B ．2C ．3D ．42、已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（ ） A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30693、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，2b =，，则角A 的大小为（ ）A ．60B ．30C ．150D ．30或1504、设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．14C ．7D ．145 ）A.)1,0()1,( --∞B.),1()0,1(+∞-C.),1()1,(+∞--∞D.)1,1(-6、已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ）A ．20B ．17C ．19D ．217、设变量x,y 满足约束条件2020280-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩x x y x y ，则目标函数z=3x+y 的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.148、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，则sin B 为（）A9、如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．米B ．米C ．米D ． 100米10、数列{}n a 满足11=a ，对任意的*n ∈N 都有n a a a n n ++=+11，则） A11、在ABC ∆中，已知C B A ,,成等差数列，且A ．2B 3 D 12、对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．（－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞） D ．[0，＋∞） 二、填空题（每题5分，共20分） 13、在数列{}n a 中，1112,1n n n a a a a +-==+，则2015a =14、若直线()0,01>>=+b a bya x 过点（2，1），则3a+b 的最小值为 ． 15、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S = .16、已知ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，则下列命题中正确的有_________．（填上你认为所有正确的命题序号）①若C B A c b a cos :cos :cos ::=，则ABC ∆是正三角形； ②若C B A c b a sin :sin :sin ::=，则ABC ∆是正三角形； ③若CcB b A a tan tan tan ==，则ABC ∆是正三角形； ④若C ab c b a sin 32222=++，则ABC ∆是正三角形. 三、解答题17、（10分）解关于错误！未找到引用源。

2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（）A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（）A. -32B. -16C. 16D. 323. 若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B. C. D.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010B. 2024C. 1012D. 20208. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点122x y -=30o4590135{}n a 54a =78a =11a =()1,1P 22:420C x y x y a ++-+=a 4,5-（）(),5∞-(),4∞--6,5-（）1:20+-=l x y ()2,090 2l 2l 220x y -+=20x y ++=20x y --=220x y --=()1,1P 22:420E x y y +-+=10x y -+=0x y +=10x y ++=0x y -=()()22126x y -++=P AB ()1,1P --AB P AB 210x y --=210x y -+=230x y ++=230x y ++=123100++++L 1100101+=299101+=⋯5051101+=501015050⨯=n {}n a 120241a a =()11f x x=+()()()122024f a f a f a +++= xOy ()()2221:10C x y r r +-=>P P x Q在圆上，则的取值范围是（）A. B. C.D. （3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确有（）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A. 直线方程为B. 公共弦C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13. 函数______________.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的的的()222:24C x y -+=r 2⎤-+⎦[]3,7)2+()1,2A -()1,4B ()4,1C AB BC>AB 45 AB BC⊥B AC 221:2210C x y x y +--+=222:4440C x y x y +--+=A B AB 2230x y +-=AB 1C 2C AB 0x y +={}n a 1122n n n a a ++-=14a =332a =1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n 12n +2log n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()22log 12n nn +++14n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 11124n T ≤<n S {}n a n 23n S n ={}n a n a =()f x =1:230l x y --=2:230l x y ++=M x C 1l 2l ,A B AMCB15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.的{}n a 13a ={}n b 426a a -=24b ={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T ()22:19C x y -+=()3,4P -P C T PT P 12-A B AB Q C PQ 1:30l x y -+=2:210l x y -+=C C 410x y -+=C 1l 2l ()22:4420C x y x λλ++-+-=λC :320l x y -+=A B AB O λ{}n a ()*122N n n a a a n a n +++=-∈ 123a a a ++{}4log 2n a -()()()*212N n n b n a n =--∈*N n ∈n b t +≤22t t2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.14.【答案】或四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16. 【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，【63n-81595d 424a a -=26d =3d =()3133n a n n =+-⋅=24b =2224222n n n n b b --⋅⋅===1212n n n T a a a b b b =+++++++ ()()212123322122332n n n n n n ++=-++=+--PT ==:250AB x y +-=C AB PQ P C ()1,0C 33TC =PC ==故【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17. 【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，，解得，直线方程为，PT ==()1432y x -=-+:250AB x y +-=C AB d d AB ==PQ P C max 33PQ PC =+=+C ()401x y t t -+=≠C 30210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩25x y =⎧⎨=⎩(2,5)C ∴410x y -+=()401x y t t -+=≠2450t -⨯+=18t =4180x y -+=2x =5(2)y k x -=-250kx y k --+=∴22120k =∴2120580x y -+=综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18. 【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，20x -=2120580x y -+=1l ()0,3M M 2l ()00,N x y 0000312321022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⋅-+=⎪⎩0085115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩811,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭(2,5)C CN 115558225y x --=--790x y --=790x y --=22:(4)420C x y x λλ++-+-=2(4)4(42)0λλ--->20λ>0λ≠λ()(),00,-∞+∞ 22044(2)x x x y λ-++-+=2244020x y x x ⎧+-+=⎨-=⎩20x y =⎧⎨=⎩C ()2,0M AB O OA OB ⊥0OA OB ⋅=设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19. 【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列{b n }的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，，，，【小问2详解】证明：由题可知：①，②，②-①得，即：，()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=()()12123+23+20x x x x +=()1212106+40x x x x ++=()223204420x y x y x λλ-+=⎧⎨++-+-=⎩y ()2108820x x λλ+++-=22=(+8)40(82)=962560λλλλ∆--+->12810x x λ++=-128210x x λ-=82+8106401010λλ-⋅-⋅+=3613λ=0∆>λ361312311...22n n n a a a a a n a +++++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-{}4log 2n a -12-1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=1n n b b +-()2max2n t b t ≤-t 123...2n n a a a a n a ++++=- 112a a ∴=-11a ∴=1224a a a ∴+=-232a ∴=12336a a a a ++=- 374a ∴=23137171.244a a a ++=++=∴123...2n n a a a a n a ++++=-12311...22n n n a a a a a n a ++∴+++++=+-122n n a a +-=()11222n n a a +-=-所以，，，又∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得，，，则，由可得；由可得，∴，故{b n }有最大值，∴对任意，有，如果对任意，都有成立，则，∴，解得或，∴实数的取值范围是414411log 2log 2log 222n n n a a a +⎡⎤-=-=-+-⎢⎥⎣⎦4141log 2log 22n n a a +---=-41log 20a -={}4log 2n a -12-11212122n n a a a +-=-=--，1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1212n n n b --=()11212212121322222n n n n n nn n n n nb b +-+--+---=-==10n n b b +->2n <10n n b b +-<2n ≥12345......n b b b b b b >>>><>>232b =*N n ∈32n b ≤*N n ∈22n t b t +≤()2max2n t b t ≤-2322t t ≤-1t ≤-3t ≥t (,1][3,).-∞-⋃+∞。

2023-2024学年江苏省镇江一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．点P （5，﹣5）到直线4x ﹣3y ＝0的距离为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．72．圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣6y ﹣26＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +2y +4＝0的位置关系是（ ） A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．“2＜m ＜6”是“方程x 2m−2+y 26−m=1为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1=a n2a n +1，则a 5＝（ ） A ．17B ．18C ．19D ．1106．若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →•FP →的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．87．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →=2FD →，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√33B ．√3C ．13D ．38．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．109．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列{a n }，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则a n +1n+1的最小值为（ ）A ．12B ．34C ．1D ．32二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）命题人：高一数学学科中心组第二小组 审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（ ）A．B ．C ．D ．2．等差数列中，若，，则等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．已知直线：，：且，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．5或D ．55．已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）A ．B ．7C ．D ．26．若实数，，，成等比数列，则下列三个数列：（1），，，；（2），，；（3），，，必成等比数列的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．c ．D ．8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ）A ．B ．c ．D ．10x +-=π32π3π65π6{}n a 234a a +=345a a +=910a a +1C ()2211x y -+=2C ()22416x y -+=1C 2C 1l ()410x a y +-+=2l 550ax y ++=12l l ∥a 1-1-l 210x y --=C ()22610x y x ay a +-++=∈R ()4,P a -C A PA =a b c d 2a 2b 2c 2d ab bc cd a b -b c -c d -()2,3A -A l x l '()()22321x y -+-=l 43,,034⎛⎤⎡⎫-∞-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭340,43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭43,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦{}n a 12a =122n n na a a +=+()()1121nn n n b n a a +=-+{}n b n n S 100S =400101-400101408101408101-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则点在圆外B ．圆与轴相切C ．若圆截轴所得弦长为D ．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）A ．数列的通项公式B ．C ．数列的通项公式为D ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ）A ．圆的方程是B ．过点向圆引切线，两条切线的夹角为C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为D ．过直线上的一点向圆引切线，，切点为，，则四边形的面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．xOy C ()222420x y x ay a a +--+=∈R 0a ≠O C C x C x 1a =O C 2a {}n a n n S 12a =214S a ={}nb 1nn n n a b S S +=⋅{}n b n n T {}n a 123n n a -=⨯31n n S =-{}n b ()()1233131nn nn b +⨯=--1186n T ≤<A B ()1λλ≠()4,2A -()2,2B P 2PA PB=P C C ()()224216x y -+-=A C π3A l C l 3460x y +=Q C QM QN M N QMCN12．已知点，，，则的外接圆的标准方程为_________．13．已知数列满足，，则数列的通项公式为_________．14．已知实数，，，满足，，，则的取值范围是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．本小题13分在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上．（1）若是边上的高，求直线的方程；（2）若是边上的中线，求直线的方程．16．本小题15分等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；（2）求数列的前16项的和．17．本小题15分已知，直线：与圆：交于，两点．（1）求证直线过定点；（2）若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程；（3）求面积的最大值．18．本小题17分数列的前项和记为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由．19．本小题17分在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相()2,0A ()0,0O ()0,4B -AOB △{}n a 11a =()11123n n na n a n +-+=++++ {}n a 1x 2x 1y 2y 221116x y +=222216x y +=12120x x y y +=1212x x y y +++xoy ABC △AB 20x y +=AC 30x y -+=()2,0M BC AM BC BC AM BC BC {}n a n n S 315S =-1a 3a 4a -{}n a n S n {}n a 16T m ∈R l ()1360x m y m +-+-=C 228230x y x y +-+-=A B l P l C 12l ABC △{}n a n n S 213n n a S =+{}n a 3log nn na b a ={}n b n n T {}n b k 1b 22b k kb k xoy C y 4340x y ++=C切．（1）求圆的方程；（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点．①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围；②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上．江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）答案命题人：高一数学学科中心组第二小组审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．【答案】AD 10．【答案】ABD11．【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】13．【答案】14．【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）由得，所以得斜率为，因为，所以得斜率为，的方程为，即（2）点在直线上，设，点关于的对称点为在直线上所以，解得，所以的方程，即方程为16．【解】（1）由得解得，，所以，C ()0,1D D k l C P Q ()1,0M PQ k A B C y A B AP BQ ()()22125x y -++=()12n n n a +=⎡⎤⎣⎦2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2A -AM 202123-=---BC AM ⊥BC 32BC ()322y x =-3260x y --=B 20x y +=(),2B x x -B M ()4,2C x x -30x y -+=()4230x x --+=73x =714,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭BC BM 14280x y +-=()123314152a a a a a a ++=-⎧⎨=+-⎩()()11113315223a d a d a a d +=-⎧⎨+=-+⎩17a =-2d =29n a n =-由于得，解得，因为，所以，当取得最小值时，（2）17．【解】（1）由：，得，，解得所以直线过定点．（2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．直线与圆交于，两点，则．圆：，圆心到．，整理得．解得，所以，直线的方程为．（3）当时，圆心到的距离所以的取值范围为，线段面积为当时，所以，求面积的最大值为．18．【解】（1）因为，所以所以当时，，所以，当时，所以，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩290270n n -≤⎧⎨-≥⎩7922n ≤≤*n ∈N 4n=n S 4n =()()167531132316144160T =+++++++=+= l ()1360x m y m +-+-=()()630x y m y --++=6030x y y --=⎧⎨+=⎩33x y =⎧⎨=-⎩l ()3,3P -l C 12l C A B 120ACB ∠=︒ C ()()224120x y -++=∴()4,1C -l 2690m m -+=3m =l 230x y ++=l CP ⊥C l d d ⎡⎣AB ==ABC △12S AB d d =⋅===[]20,5d ∈25d =max S ==ABC △213n n a S =+3322n n S a =-1n =111332a S S ==-13a =2n ≥113322n n S a --=-111333333222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）（3）结合（2），，令，即，即，设，则，当时，，数列为递减数列，，故对所有正整数，所以，不存在正整数，使得，，成等差数列．19．【解】（1）设圆心为，，则圆的方程为，，，圆的方程为；（2）设的方程为，，代入，并整理得则，，且因为点在以为直径的圆内，所以即由于，，所以13nn a a -={}n a 3n n a =123343n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭3n n nb =1222k b kb b +=⨯218339k k +=2539k k =()23k k f k =()()()2221112211333k k k k k k k f k f k +++-+++-=-=2k ≥()()10f k f k +-<23k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()15139f =<()45299f =<k ()59f k <k 1b 22b k kb ()0,a 0a >()224x y a +-=2d ∴3410a +=02a a >∴= ∴C ()2224x y +-=l 1y kx =+()11,P x y ()22,Q x y ()2224x y +-=()221230k x kx +--=12221k x x k +=+12231x x k ⋅=-+()()2224310k k ∆=-+⨯+>M PQ 0MP MQ ⋅<()()1212110x x y y --+⋅<111y kx =+221y kx =+()()()212121120k x x k x x ++-++<所以，解得所以的取值范围是．由圆方程知，其与轴的两个交点为，方程为，方程为消去得：所以，即有与的交点在定直线上．()2213201k k k --++<+11k <<+k (1+y ()0,4A ()0,0B AP 11440y y x x -=+-BQ 220y y x x -=-x ()12221122121211232343411331k k x x y kx x x y k k k y x y kx x x x k -⎛⎫-- ⎪---++⎝⎭====-+++2y =-AP BQ 2y =-。

江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知数列2，，是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项C. 第22项D. 第19项【答案】A 【解析】，解出即可得.，解得20n =，20项. 故选：A.2. 已知等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A. 2−B. 73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ×=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法的不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3. 设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A.1011B.1110C.34 D.43【答案】A 【解析】【分析】由题意可得18d a =，根据135331474433a a a a a a a a a a ++==++求解即可. 【详解】因为公差0d ≠的等差数列{aa nn }中，259,,a a a 成等比数列，所以2529a a a =⋅，即()()()211148a d a d a d +=+⋅+，解得18d a =，所以135331147441328210338311a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++. 故选：A.4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nS n n =+，1)n b n n ∗=∈≥N ,，则数列{}n b 的前n 项和为n T =（ ）A. −B. 1−C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用,n n a S 的关系求出n a ，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列{}n a 的前n 项和22nS n n =+， 当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n −=−=+−−+−=+，而113a S ==满足上式， 因此21na n =+，n b =−，所以n T =++++ .故选：D5. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则SS nn =nnaa 1+nn (nn−1)2dd ,SS nn nn=aa 1+nn−12dd =dd 2nn +aa 1−dd 2,SS nn+1nn+1−SS nn nn=dd2，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =nnSS nn+1−(nn+1)SS nn nn (nn+1)=nnaa nn+1−SSnn nn (nn+1)为常数，设为t ， 即nnaa nn+1−SS nn nn (nn+1)=tt ，则SS nn =nnaa nn+1−tt ⋅nn (nn +1)，有SS nn−1=(nn −1)aa nn −tt ⋅nn (nn −1),nn ≥2，两式相减得：aa nn =nnaa nn+1−(nn −1)aa nn −2ttnn ，即aa nn+1−aa nn =2tt ，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2nn n S na d −=+， 则SS nnnn=aa 1+(nn−1)2dd =dd 2nn +aa 1−dd2，因此{}nS n为等差数列，即甲是乙充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =DD ,SSnn nn =SS 1+(nn −1)DD ，即SS nn =nnSS 1+nn (nn −1)DD ，SS nn−1=(nn −1)SS 1+(nn −1)(nn −2)DD ，当2n ≥时，上两式相减得：SS nn −SS nn−1=SS 1+2(nn −1)DD ，当1n =时，上式成立， 于是aa nn =aa 1+2(nn −1)DD ，又aa nn+1−aa nn =aa 1+2nnDD −[aa 1+2(nn −1)DD ]=2DD 为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.的故选：C6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，则8S =（ ） A. 48 B. 50C. 52D. 54【答案】C 【解析】【分析】根据125n n a a n ++=+得到127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=，相加得到答案.【详解】因为125n n a a n ++=+，所以127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=， 所以8711151952S =+++= 故选：C7. 已知函数()()633,7,7x a x x f x a x − −−≤= > ，若数列{}n a 满足*()(N )n a f n n =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (2,3)D. [2,3)【答案】C 【解析】【分析】()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出23a <<.【详解】由题意可知，()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，由于()33y a x =−−和6x y a −=均为单调函数，故()86301733a a a a − −>> −−<，解得23a <<. 故选：C8. 在正项等比数列{}n a 中，4561,32a a a =+=．则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为（ ）A. 12B. 11C. 9D. 10【答案】D 【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和12n a a a +++ 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 公比为q ，则0q >，由题意可得()31411213a q a q q =+=， 解之可得1116a =，2q ，故其通项公式为1512216n n n a −−=×=． 记()1241122116122n n n nT a a a −−+++===− ， ()943542235122222n n n n n n a S a a −−−−−−−+−××× ．由题意可得n n T S >，即()9242122n n n−−>，化简得()942212n n n−+−>，由*N n ∈且1n >，因此只须()942n n n >−+，即21180n n −+<，n <<， 由于n 为正整数，因此n的整数部分，也就是10． 故选：D.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若{}n a 是等差数列，且22n S n n k =++，则0k =B. 若{}n a 是等比数列，且213n n S k +=+，则3k =−C. 若2321n S n n =−+，则{}n a 是等差数列 D. 若{}n a 是公比大于1的等比数列，则22n n S S >【答案】AB 【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用3221a a a a −≠−判断选项C ；通过举例2n n a =−，判断选项D.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，则()2111222n n n d d d S na n a n −=+=+−， 且22n S n n k =++，故 0k =，故A 正确；对于B ，若{}n a 是等比数列，则当1q ≠时，()1111111n n n a q a aS q q q q−==−+−−−，且21339n n n S k k +=+=×+，则3k =−；当1q =时，2113n n S na k +=≠+，舍去，故B 正确；对于C ，若2321n S n n =−+，则112a S ==，221927a S S −=−==， 33222715a S S −−===，故3221a a a a −≠−，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，若2nn a =−，则()21246,2224S S =−−=−=×−=−,此时212S S <，不满足22n n S S >，故D 错误. 故选：AB10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*111,2n n a a S n +==∈N ，则有（ ）A. 13n n S −=B. {}n a 为等比数列C. 28nn a =⋅D. {}n S 为等比数列【答案】AD 【解析】【分析】BC 选项，根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 得到21,123,2n n n a n −= = ×≥ ，从而得到BC 错误；A 选项，结合等比数列求和公式得到A 正确；D 选项，计算出13n nS S +=，得到D 正确. 【详解】BC 选项，12n n a S +=①，当1n =时，211222a S a ===， 当2n ≥时，12n n a S −=②，①-②得11222n n n n n a a S S a +−−−，故13n n a a +=，故{}n a 从第二项开始，为公比为3的等比数列，B 错误； 故21,123,2n n n a n −= =×≥，C 错误； A 选项，121223126231313n n n n S −−−−×=++++×=+=− ，A 正确；D 选项，11333nn n nS S +−==，故{}n S 为等比数列，D 正确. 故选：AD11. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：11a >，202420251,a a >20242025101a a −<−，下列结论正确的是（ ）A. 20242025S S <B. 202420261a a <C. 2024T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值 【答案】ABC 【解析】【分析】根据条件202420251a a >判断0q >，分1q ≥和01q <<两情况讨论20242025101a a −<−得成立与否得出01q <<，即可判断A ；对于B ，利用A 的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C ，D ，由前面推得的202420251,01a a ><<即可判断.【详解】对于A ，由20242025101a a −<−可得，20242025(1)(1)0a a −−<（*），由20242024202251,a a q a >=可得0q >.当1q ≥时，因11a >，则202420251,1a a >>，即（*）不成立；当01q <<时，202420251,01a a ><<，（*）成立，故20242025S S <，即A 正确；对于B ，因2202420262025110a a a −=−<，故B 正确； 对于C,D ，由上分析202420251,01a a ><<，且01q <<，则2024T 是数列{}n T 中的最大值，故C 正确，D 错误. 故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 是公比为12的等比数列，若14797100a a a a ++++=，则36999a a a a ++++= ______. 【答案】25 【解析】【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为3699942971714a a a a a a a a q ++++++=++=所以3699925a a a a ++++=故答案为：2513. 数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】2n n ⋅ 【解析】【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将1112122n nn n aa +++=+，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.【详解】由题意知1122n n n a a ++=+将等式两边同时除以12n +， 可得11122n n n na a ++=+，因为12a =，所以可知112a =， 则数列2n n a是以12a 为首项，1为公差的等差数列， 所以()112nna n n =+−=，所以2n n a n =⋅. 故答案为：2n n ⋅14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为24dm 20dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm ××两种规格的图形，它们的面积之和21480dm S =，对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，它们的面积之和22360dm S =，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm ．【答案】 ①. 6 ②. 515(3)14402n n −+− 【解析】分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】第一空：由对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，所以对折三次的结果有：3dm 20dm ×，6dm 10dm ×，512dm 5dm,24dm dm 2××共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：3dm 20dm 2×，3dm 10dm ×，6dm 5dm ×，5512dm dm,24dm dm 24××，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：3dm 20dm 4×，3dm 10dm 2×，3dm 5dm ×，56dm dm 2×，5512dm dm,24dm dm 48××，共6种不同规格；第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为2240dm , 第n 次对折后的图形面积为12402n n S −=，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数为1n +种， 则01211240224032404240(1)2222k n nk S n S −==××=××+++++∑ ， 1232124022403404240(1)22222n S n ×=×××+++++ ， 两式作差得：12312122402402402402400(1)242282n nS n −=×+++++−+ 11112(1)240224240(1)240(1)240(3)70720280240122212n n nn n n n n −−−+×−−×+××+−=−+−=， 因此515(3)14402n n S −=−+. 【故答案为：①6；②515(3)14402n n −+−.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法； （4）对于11{}n n a a +结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()d d ≠0，则111111()n n n n a a d a a ++=−，利用裂项相消法求和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知{aa nn }}是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{aa nn }的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ．【答案】（1）212n na −=（2）21223n n S +−=【解析】【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前n 项和公式，即可求解.小问1详解】因为数列{aa nn }是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{aa nn }的公比为q ()0q >，22312a a qq ==，212a a q q ==， 所以22416q q =+，解得2q =−（舍去）或4，所以数列{aa nn }是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a −−=×=．【小问2详解】 因为212n n a −=，求和可得：()2121422143n n n S +−−==−． 【16. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）152na n =− （2）2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ 【解析】分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果； （2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ， 由题意可得211011*********a a d S a d =+= ×=+=，即1111298a d a d += += ，解得1132a d = =− ， 所以()1321152n a n n =−−=−，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +−==−， 令1520n a n =−>，解得152n <，且*n ∈N ， 当7n ≤时，则0n a >，可得2121214nn n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==−； 当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n −−−×−−−−+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ .17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a =是公差为13的等差数列． 【（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ． 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+−=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,进而得：111n n a n a n −+=−，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n +++=− + ，进而证得. 【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a是公差为13的等差数列， ∴()121133n n S n n a +=+−=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S −−+=， ∴()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,整理得：()()111n n n a n a −−=+, 即111n n a n a n −+=−, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=×××…×× ()1341112212n n n n n n ++=×××…××=−−，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； 【小问2详解】 ()12112,11n a n n n n ==− ++ ∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n =−+−+−=−< ++18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n nn S a a =+−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,2n n n n a a b T =为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +−≤对任意的*n ∈N 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1n a n =+（2）5,8 +∞【解析】【分析】（1）运用公式，已知n S 求n a 即可；（2）求出n b ，后运用错位相减求出n T ，后结合函数单调性可解．【小问1详解】222n n n S a a =+−①，且0n a >， 当1n =时，代入①得12a =；当2n ≥时，211122n n n S a a −−−=+−.②①-②得22112n n n n n a a a a a −−=−+−，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+=−=−+， 因为0n a >，所以()112n n a a n −−=≥，所以数列{aa nn }为等差数列，公差为1，所以1n a n =+.【小问2详解】112n n n b ++=，()2341111123412222n n T n +=×+×+×+++ ，③ ()345121111112341222222n n n T n n ++=×+×+×++×++ ，④ ③-④得()2341211111121222222n n n T n ++=×++++−+ ， 所以13322n n n T ++=−，所以()332n n k n T S +−≤，且()32n n n S +=，化简得()232n n n k ++≥， 令()212334,22n n n n n n n n n c c c ++++−−=−=，所以1234c c c c <>>> ， 所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥. 所以k 的取值范围为5,8∞ +. 19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，（ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅱ）若,,n n na n cb n = 为奇数为偶数数列{}nc 的前n 项和为n T ，求20T ． （2）若{}n b 为等差数列，且191919S T −=，求d ． 【答案】（1）（ⅰ）3n a n =；（ⅱ）20340T = （2）1110d =【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及,n n S T 的定义即可求解； （2）由等差数列前n 项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】 （ⅰ）由21333a a a =+，得132d a d =+，解得1a d =， 则()321336S a a d d ==+=，又31232612923T b b b dd d d=++=++=， 有339621S T d d +=+=，即22730d d −+=，解得3d =或12d =（舍去），所以()113n a a n d n =+−⋅=.（ⅱ）3n a n =，则22133n n n n n n n b a n +++===， 则()()201234192013192420T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++ ()357213135193403++++=+++++= . 【小问2详解】 若{bb nn }为等差数列，则有2132b b b =+，即21312212a a a =+， 得2323111616d a a a a a −== ，即2211320a a d d −+=，解得1a d =或12a d =， 由1d >，则0n a >，又191919S T −=，，由等差数列性质知，1010191919a b −=， 即10101a b −=，得10101101a a −=， 即100211100a a −−=，解得1011a =或1010a =−（舍去），当12a d =时，10111119a a d d=+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解； 当1a d =时，10110119a a d d=+==，解得1110d =. 11110a d ==时，1110n a n =，()10111n n b +=，符合题意， 所以等差数列{aa nn }的公差1110d =.。

2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B= ．2．函数y=的定义域是 ．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ．4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）= ．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是 ．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为 ．7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．8．计算： = ．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列 ．（用“＜”连接）10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）= ．11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为 ．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）．13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为 ．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1．若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B=　{x|﹣2≤x＜﹣1}　．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤3}∩{x|x＜﹣1或x＞4}={x|﹣2≤x＜﹣1}．故答案为：{x|﹣2≤x＜﹣1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．函数y=的定义域是　[1，+∞）　．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由log2（4x﹣3）≥0，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由log2（4x﹣3）≥0，∴4x﹣3≥1，解得x≥1．∴函数y=的定义域是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是　（1，2）　．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查指数函数的单调性，对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），其单调性受a的范围的影响．　4．已知函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）=　2　．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：函数f（1﹣2x）=4x2+2x，则f（3）=f（1﹣2×（﹣1））=4﹣2=2故答案为：2．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．已知函数y=log a（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标是 ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】由log a1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出点P的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴x+3=1，即x=﹣2时，y=﹣，∴点P的坐标是P．故答案为：【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．6．若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为　a≤2　．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，解得答案．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，即a≤2，故答案为：a≤2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．　7．已知函f（x）=，则f（f（））= ．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．8．计算： =　11　．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：原式=3++=3+4+22=11．故答案为：11．【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则，属于基础题．9．已知a=0.4﹣0.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列　c＜b＜a　．（用“＜”连接）【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=x0.5在（0，+∞）单调递增判断，和中间变量0，判断．【解答】解：∵y=x0.5在（0，+∞）单调递增，∴0＜0.4﹣0.5＜0.50.5，∴0＜a＜b，∵c=log0.22＜0c＜b＜a故答案为：c＜b＜a【点评】本题考查了幂函数的单调性，对数的性质，属于容易题．10．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）=　3　．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题11．若函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则a的范围为　（1，2）　．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的底数大于0可得内函数t=4﹣ax为减函数，结合复合函数的单调性可得a＞1，求出内函数在[1，2]上的最小值，再由最小值大于0求得a的范围，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0，∴函数t=4﹣ax为减函数，要使函数f（x）=log a（4﹣ax）在区间[1，2]上单调递减，则外函数y=log a t为定义域内的增函数，∴a＞1，又内函数t=4﹣ax为减函数，∴内函数t=4﹣ax在[1，2]上的最小值为4﹣2a．由4﹣2a＞0，得a＜2．∴a的范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．12．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有　（4）　（填相应的序号）．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；新定义．【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法13．设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，则n+m= ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可知﹣log2m=log2n，从而可得mn=1；从而解得．【解答】解：∵y=log2x在其定义域上单调递增，又∵f（x）=|log2x|，且m＜n，f（m）=f（n），∴﹣log2m=log2n，∴mn=1；∵f（x）在区间[m，n2]上的最大值为4，∴2log2n=4，故n=4，m=，n+m=；故答案为：．【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用．14．函数f M（x）的定义域为R，且定义如下：（其中M是非空实数集）．若非空实数集A，B满足A∩B=∅，则函数g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）的值域为　{0}　．【考点】函数的值域．【专题】新定义．【分析】对g（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到g（x）的值域．【解答】解：当x∈A时，x∉B，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=1，f B（x）=﹣1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）f B（x）=1+1×（﹣1）=0；当x∈B时，x∉A，但x∈（A∪B），∴f（A∪B）（x）=1，f A（x）=﹣1，f B（x）=1，∴g（x）=f A∪B（x）+f A（x）•f B（x）=1+（﹣1）×1=0；综上，g（x）的值域是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了函数的值域、分段函数，解题的关键是对于新定义的函数f M（x）的正确理解，是新定义题目．二.解答题（共6小题，共90分）15．画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．【考点】函数的图象；函数单调性的性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，从而写出单调区间；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象，从而写出单调区间．【解答】解：（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，如下图；，f（x）=log2（x+1）的单调递增区间（﹣1，+∞）；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象如下，故函数的单调递增区间（﹣1，0）和（1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了图象的变换．16．已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，集合C={y|y=，x∈A}．（1）求集合C；（2）若C⊈（A∩B），求a的值．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，求出A的集合，由集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}，求出B的集合，然后再由指数函数的性质求出集合C．（2）由集合A，集合B求出A∩B，再由C⊈（A∩B），即可得到a的值．【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合A，得A=（﹣1，+∞），集合B={x|ax﹣1＜0，a∈N*}={x|}，（1）集合C={y|y=，x∈A}，在（﹣1，+∞）上单调递减，则，则 C=；（2）由于a∈N*，B=，则，由C⊈（A∩B），得⇒a≤2．即a=1或2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．17．函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（1﹣x），…当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0．综上，．…（少了x=0的情况得5分）（2）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0⇒f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣5），由于f（x）为奇函数，则f（t2﹣2t）＜f（5﹣t2），…由于f（x）在R上单调递增，则t2﹣2t＜5﹣2t2⇒3t2﹣2t﹣5＜0…⇒．…【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．18．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5﹣8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；（A）f（x）=ax2+bx（B）f（x）=log a x+b（C）f（x）=a x+b（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5﹣8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）考虑到A，B，C，D四个函数中只有A符合题意，因为B，C，D三个函数是单调函数．（2）用待定系数法求出A的解析式可得．（3）根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可．【解答】解：（1）由于（B）、（C）、（D）三个函数，在[0.5，8]上均为单调函数，…而（A）为二次函数，不单调，故（A）更适合…（2）由题意a=﹣，b=4…则，x∈[0.5，8]…（3）设受事件影响后，各地区M饮料销售量为g（x），则当x∈[0.5，3]时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[0.5，3]上递增，所以y max=当x∈[5，8]时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，在x∈[5，8]上递减，所以y max=当x∈（3，5）时，y=[﹣（x﹣4）2+8]，4∈（3，5），所以y max=比较大小得：当x=4时，y max=答：当人均GDP在4千美元的地区，人均A饮料的销量最多为．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值．　19．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围；（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，则===又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的．（2）由f（2x）＞0得，变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2而，当即x=﹣1时，所以．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）令作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当或时，f（x）有1个零点．当或m=0或时，f（x）有2个零点；当或时，f（x）有3个零点．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．20．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）求得g（x）的对称轴为x=1，可得g（x）在[1，b]上单调递增，即有b的方程，解方程可得b；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，可得a，b的关系式，解方程即可判断是否存在；（3）讨论①当a＜b＜0时，②当0＜a＜b时，③当a＜0＜b时，运用单调性，结合二次方程解方程可得a，b，进而得到所求区间．【解答】解：（1）g（x）=的对称轴为x=1，则g（x）在[1，b]上单调递增，可得⇒b=3或b=1，由于b＞1，则b=3；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，则即有⇒（a+2）b=（b+2）a⇒a=b与a＜b矛盾．故不存在这样的a，b；（3）①当a＜b＜0时，p（x）在[a，b]上单调递增，则即为则a，b0为方程的两个根．由于ab=﹣13＜0（舍）；②当0＜a＜b时，p（x）在[a，b]上单调递减，则即为，两式相减（舍）；③当a＜0＜b时，，若（舍），若p（x）min=p（a）=﹣a2+=2a，解得a=﹣﹣2或﹣2（舍去），又，则，综上所述，或．即有2倍保值区间[a，b]为[1，3]或[﹣﹣2，]．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

江苏省镇江第一中学高二上学期数学期中试卷姓名：_________班级：________ 得分：________一 填空题（每题5分） 1．命题“2(0,2),22x xx ∃∈++≤0”的否定是 ．2．中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程为2x -3y =0的双曲线方程是 ．3．设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为4. 已知不等式250axx b -+>的解集为{|32}x x -<<，则不等式250bx x a -+>的解集5.已知点(,)P x y 在经过两点(3,0),(1,1)A B 的直线上，那么24x y +的最小值是__ ；6．给出下列命题：①“x ＞2”是“x ≥2”的必要不充分条件；②“若3x ≠，则2230x x --≠”的逆否命题是假命题；③“9＜k ＜15”是“方程221159x y k k +=--表示椭圆”的充要条件．其中真命题的个数是 个. 7．已知以椭圆C 的两个焦点及短轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则椭圆C 的离心率为 ． 8、 设a ，b ，c ∈R +，若( a + b + c ) (1a +1b c+) ≥ k 恒成立，则k 的最大值是____________9．设命题p ：|4x －3|≤１；命题：q ：x 2－（2a+1）x+a （a+1）≤0．若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．10．已知双曲线221169x y -=的左右焦点为12,F F ，点P 在该双曲线上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 的距离为 ． 11.f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是___________12．设,A F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是 13、若关于x 的不等式m x x≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是．14. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=01012x ,x ,x )x (f ,则满足不等式)x (f )x (f 212>-的x 的范围是___ _ 15.（本题满分14分）已知三点12(5,2),(6,0),(6,0)P F F -. (Ⅰ)求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； (Ⅱ)设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为''12',,P F F 求以''12,F F 为焦点且过点'P 的双曲线的标准方程.16．（本题满分14分）若函数2()2f x x ax b =++在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，求21b a --的取值范围。

江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·洛阳期末) 已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±2x2. （2分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（）A . ∃x∈A，2x∈BB . ∃x∉A，2x∉BC . ∃x∈A，2x∉BD . ∀x∉A，2x∉B3. （2分）已知椭圆的左焦点为，则（）A .B .C .D .4. （2分）若命题p：a>0，q：方程表示双曲线，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）A .B . 2C . 2D . 46. （2分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A .B .C . 或D . 或7. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知双曲线与抛物线的交点为点A,B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017·上海) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}，则Ω中元素个数为（）A . 2个B . 4个C . 8个D . 无穷个9. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 已知正三棱锥P﹣ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣ABC的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分）在区间内任取两个数a,b，则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知分别是双曲线的左右焦点，以坐标原点0为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当的面积等于时，双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·湘东期末) 已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则的最小值等于________．14. （1分） (2018高二上·长安期末) 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ ．15. （1分） (2017高二上·长泰期末) 双曲线的渐近线方程为________．16. （1分） (2017高三上·北京开学考) 抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·唐山期中) 已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．18. （10分） (2016高一上·绍兴期中) 已知函数f（x）=9x﹣3x+1+c（其中c是常数）．（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立，求实数c的取值范围．19. （10分） (2016高二上·如东期中) 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x= 的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．20. （10分）(2017·太原模拟) 已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N 和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21. （10分）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线垂直于x轴，且过点M（2，2），A，B是抛物线C上两点，满足MA⊥MB，（1）求抛物线C方程；（2）证明直线AB过定点．22. （10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．抛物线y =14x 2的准线方程是（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．x =−116D ．x =1163．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ） A ．58 B ．60C ．61D ．624．以双曲线x 24−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 24+y 29=1 B ．x 213+y 24=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 211=15．直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l ′的方程是（ ） A ．2x ﹣y ﹣5＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．2x +y +5＝06．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216−x 2m=1的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为4√3米，则当水面宽度为4√6米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．（8√2−4）米C ．(2√6−4)米D ．(4√7−4)米7．过点M （2，1）的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x +y ﹣1＝08．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AB 1与BF 交于D ，且∠BDB 1＝90°，则椭圆的离心率为（ ）A ．√3−12B ．√5−12C ．√√5−12D ．√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0，和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，下列说法正确的是（ ） A ．当a =25时，l 1⊥l 2B ．当a ＝﹣2时，l 1∥l 2C ．直线l 1过定点（﹣3，0），直线l 2定点（﹣1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为513√1310．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长为√6B ．圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2C ．若点P （x ，y ）是圆C 上的动点，则x 2+y 2的最大值为2+√2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22，则m ＝﹣1或﹣3 11．已知双曲线y 29−x 216=1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为y =±34xC ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为1442512．已知P 是左、右焦点分别为F 1，F 2的椭圆x 24+y 22=1上的动点，M （0，2），下列说法正确的有（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|PF 1|﹣|PF 2|的最大值为2√2C ．存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°D ．|MP |的最大值为2+√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知方程x 23+k+y 22−k =1表示椭圆，则k 的取值范围为 ．14．一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆标准方程为 ． 15．已知双曲线C ：x 216−y 24=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 过坐标原点O 且与双曲线C 交于点M ，N ．若|MN |＝|F 1F 2|，则四边形MF 1NF 2的面积为 ．16．设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（α＞b ＞0）的左、右焦点．若在直线x =a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过点A （﹣3，2），且原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线E ：x 23−y 26=1的一个焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 20．（12分）如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△AF 1B 的面积为40√3，求a ，b 的值．21．（12分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ﹣4y +4＝0与圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）若过点（0，﹣3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA →⋅OB →=3，O 为坐标原点，求三角形AOB 的面积．22．（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的斜率为√3−2√3=−√3，故它的倾斜角为120°， 故选：C ．2．抛物线y =14x 2的准线方程是（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．x =−116D ．x =116解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以：2p ＝4，即p ＝2， 所以：p2=1，所以准线方程y ＝﹣1． 故选：A ．3．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ） A ．58B ．60C ．61D ．62解：根据题意，12个数据从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， 因为75%×12＝9，所以该地区的月降水量的75%分位数为12（58+64）＝61，故选：C ． 4．以双曲线x 24−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 24+y 29=1 B ．x 213+y 24=1C ．x 213+y 29=1 D ．x 213+y 211=1解：双曲线x 24−y 29=1的焦点坐标为F 1(−√13，0)，F 2(√13，0)，顶点坐标为A 1（﹣2，0），A 2（2，0），由题意得：椭圆的焦点为A 1（﹣2，0），A 2（2，0）， 顶点坐标为F 1(−√13，0)，F 2(√13，0)， 所以椭圆的方程是x 213+y 29=1，故选：C ．5．直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l ′的方程是（ ） A ．2x ﹣y ﹣5＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．2x +y +5＝0解：∵直线l ：y ＝2x +3∴A （0，3），B （﹣1，1）在此直线上∵A （0，3）关于点P （2，3）的对称点为C （4，3） B （﹣1，1）关于点P （2，3）的对称点为D （5，5） ∴C ，D 所在直线的斜率为k =5−35−2=2∴直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l '的方程为y ﹣3＝2（x ﹣4）即2x ﹣y ﹣5＝0 故选：A ．6．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216−x 2m=1的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为4√3米，则当水面宽度为4√6米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．（8√2−4）米C ．(2√6−4)米D ．(4√7−4)米解：由题意得M （0，﹣4），A(−2√3，−8)，即6416−12m=1，解得m ＝4，∴y 216−x 24=1，当水面宽度为4√6米时，即x =−2√6时，y =−4√7， 拱顶M 到水面的距离为(4√7−4)， 故选：D ．7．过点M （2，1）的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x +y ﹣1＝0解：圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4的圆心为C （1，0），当∠ACB 最小时，CM 和AB 垂直， ∵CM 的斜率等于1−02−1=1，∴AB 直线的斜率等于﹣1，则直线l 的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣3＝0， 故选：B ．8．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AB 1与BF 交于D ，且∠BDB 1＝90°，则椭圆的离心率为（ ）A ．√3−12B ．√5−12C ．√√5−12D ．√32解：设左顶点A （﹣a ，0），左焦点F （﹣c ，0），上顶点B 1（0，b ），下顶点B （0，﹣b ） 则直线AB 1的斜率为ba ，直线BF 的斜率为−bc因为∠BDB 1＝90°，直线AB 1与直线BF 交于D ，所以AB 1⊥BF 所以ba⋅(−bc)=−1所以b 2＝ac又因为a 2＝b 2+c 2，所以a 2＝ac +c 2， 所以e 2+e ﹣1＝0 所以e =−1±√52因为0＜e ＜1，所以e =√5−12故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0，和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，下列说法正确的是（ ） A ．当a =25时，l 1⊥l 2B ．当a ＝﹣2时，l 1∥l 2C ．直线l 1过定点（﹣3，0），直线l 2定点（﹣1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为513√13解：对于A ，当a =25时，那么直线l 1：25x +2y +65=0，和直线l 2：3x −35y +335=0， 此时两直线的斜率分别为k 1=−15和k 2＝5，所以k 1•k 2＝﹣1，所以l 1⊥l 2，故A 选项正确；对于B ，当a ＝﹣2时，那么直线l 1为x ﹣y +3＝0，直线l 2为x ﹣y +3＝0，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线l 1：ax +2y +3a ＝0，整理可得：a （x +3）+2y ＝0，故直线l 1过定点（﹣3，0）， 直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，整理可得：a （y ﹣1）+3x ﹣y +7＝0，故直线l 2过定点（﹣2，1），故C 选项错误；对于D ，当l 1，l 2平行时，两直线的斜率相等，即−2a =−a−13，解得：a ＝3或a ＝﹣2， 当a ＝﹣2时，两直线重合，舍去；当a ＝3时，直线l 1为3x +2y +9＝0，l 2为3x +2y +4＝0， 此时两直线的距离d =√3+2=5√1313，故D 选项正确． 故选：AD ．10．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长为√6B ．圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2C ．若点P （x ，y ）是圆C 上的动点，则x 2+y 2的最大值为2+√2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22，则m ＝﹣1或﹣3 解：圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，即（x ﹣2）2+y 2＝2， 对于A ，设x ﹣y ﹣1＝0到圆心（2，0）距离为d 1=|2−1|√2=√22， ∵圆C 半径为√2．∴直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长l =2√2−12=√6，故A 正确，对于B ，点C 关于x ﹣y ＝0对称点为（0，2），又关于直线对称的圆半径不变， 则圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2，故B 正确， 对于C ，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝2，可得2−√2≤x ≤2+√2， 又x 2+y 2＝4x ﹣2，得x 2+y 2∈[6−4√2，6+4√2]，故C 错误， 对于D ，圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22等价于直线x +y +m ＝0到圆心（2，0）距离d 2=√2−√22=√22， 则√2=√22，得m ＝﹣1或﹣3．故D 正确． 故选：ABD ． 11．已知双曲线y 29−x 216=1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为y =±34xC ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为14425解：双曲线y 29−x 216=1的a ＝3，b ＝4，c ＝5，e =c a =53，故A 错误；双曲线y 29−x 216=1的渐近线方程为y ＝±34x ，故B 正确；设|PF 1|＝s ，|PF 2|＝t ，由双曲线的定义可得|s ﹣t |＝6， 若PF 1⊥PF 2，可得s 2+t 2＝4c 2＝100，即有，st ＝32， 可得△PF 1F 2的面积为12st ＝16，故C 错误；设P （m ，n ），可得16n 2﹣9m 2＝144，点P 到两渐近线的距离乘积为|3m−4n|5•|3m+4n|5=|9m 2−16n 2|25=14425，故D 正确．故选：BD ．12．已知P 是左、右焦点分别为F 1，F 2的椭圆x 24+y 22=1上的动点，M （0，2），下列说法正确的有（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|PF 1|﹣|PF 2|的最大值为2√2C ．存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°D ．|MP |的最大值为2+√2解：由题设可得：a ＝2，b =√2=c ，由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，故选项A 正确；由椭圆的性质可知：|PF 1|﹣|PF 2|≤|F 1F 2|＝2c ＝2√2（当P 为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B 正确； 又由椭圆的性质可知：当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F 1PF 2最大，此时tan ∠F 1PF 22=c b=1＜√3， ∴∠F 1PF 22＜60°，即∠F 1PF 2＜120°，故选项C 错误；设P （2cos θ，√2sin θ），则|MP |=√(2cosθ−0)2+(√2sinθ−2)2=√−2sin 2θ−4√2sinθ+8=√−2(sinθ+√2)2+12，当sin θ＝﹣1时，|MP |max ＝2+√2，故选项D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知方程x 23+k +y 22−k =1表示椭圆，则k 的取值范围为 (−3，−12)∪(−12，2) ． 解：∵方程x 23+k+y 22−k=1表示椭圆，则 {3+k ＞02−k ＞03+k ≠2−k ⇒{ k ＞−3k ＜2k ≠−12解得 k ∈(−3，−12)∪(−12，2) 故答案为：(−3，−12)∪(−12，2)． 14．一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆标准方程为 （x −32）2+y 2=254 ．解：一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2）， 设圆的圆心（a ，0），则√(a −0)2+(0−2)2=4−a ，解得a =32， 圆的半径为52，所求圆的方程为：（x −32）2+y 2=254． 故答案为：（x −32）2+y 2=254．15．已知双曲线C ：x 216−y 24=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 过坐标原点O 且与双曲线C 交于点M ，N ．若|MN |＝|F 1F 2|，则四边形MF 1NF 2的面积为 8 ．解：由题意如图：双曲线C ：x 216−y 24=1，可知a ＝4，b ＝2，c ＝2√5， 因为|MN |＝|F 1F 2|，所以四边形MF 1NF 2是矩形，设|MF 1|＝m ，m ＞0，则|MF 2|＝m +2a ＝m +8，所以m 2+（m +8）2＝（4√5）2，解得m ＝2√6−4，四边形MF 1NF 2的面积为：（2√6−4）（2√6+4）＝24﹣16＝8．故答案为：8．16．设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（α＞b ＞0）的左、右焦点．若在直线x =a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 [√33，1) ．解：设直线x =a 2c 交x 轴于点M ，由已知可得：|F 1F 2|＝|F 2P |有解，又|PF 2|≥|F 2M |，则2c ≥a 2c −c ，则3c 2≥a 2，即c 2a 2≥13，即e =c a ∈[√33，1)， 故答案为：[√33，1)．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过点A （﹣3，2），且原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．解：（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，即交点坐标为（3，2）， 当直线在两坐标轴上的截距为0时，则直线方程为y =23x ，即2x ﹣3y ＝0，当直线在两坐标轴的截距不为0时，则可设直线方程为x a +y a =1，将点（3，2）代入可得，3a +2a =1，解得a ＝5，故直线方程为x +y ﹣5＝0，综上所述，所求直线l 的方程为2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 经过点A （﹣3，2），则直线l 方程为x ＝﹣3，当直线l 斜率存在时，可设该直线方程为y ﹣2＝k （x +3），即kx ﹣y +3k +2＝0，∵原点到直线l 的距离等于3， ∴√k 2+1=3，解得k =512，即直线l 方程为5x ﹣12y +39＝0， 综上所述，所求直线l 的方程为x ＝﹣3或5x ﹣12y +39＝0．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.03+0.03+x +0.01+0.005）×10＝1，解得x ＝0.02．平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5．（2）由频率分布直方图得到成绩位于[120，130）和[130，140）上的人数比为0.20.1=2， 抽取的6人中成绩位于[120，130）上的有4人，编号为1，2，3，4，位于[130，140）上的有2人，编号为a ，b ，从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a ，1b ，23，24，2a ，2b ，34，3a ，3b ，4a ，4b ，ab ，共15个，其中[130，140）这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a ，1b ，2a ，2b ，3a ，3b ，4a ，4b ，ab ，共9个，∴[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率为P =915=35． 19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线E ：x 23−y 26=1的一个焦点重合．（1）求抛物线C 的方程； （2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解：（1）∵双曲线E ：x 23−y 26=1的焦点坐标为（±3，0），又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F(p 2，0)，∴p 2=3，即p ＝6． ∴抛物线C 的方程为y 2＝12x ．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义，知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =x 1+x 2+6=8，∴x 1+x 2＝2，于是线段AB 的中点M 的横坐标是1，又准线方程是x ＝﹣3，∴点M 到准线的距离等于1+3＝4．20．（12分）如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△AF 1B 的面积为40√3，求a ，b 的值．解：（Ⅰ）∠F 1AF 2＝60°⇔a ＝2c ⇔e =c a =12． （Ⅱ）设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝2a ﹣m ，在三角形BF 1F 2中，|BF 1|2＝|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔（2a ﹣m ）2＝m 2+a 2+am ．⇔m =35a ．△AF 1B 面积S =12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3 ⇔a ＝10，∴c ＝5，b ＝5√3．21．（12分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ﹣4y +4＝0与圆C 相切．（1）求圆C 的方程；（2）若过点（0，﹣3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA →⋅OB →=3，O 为坐标原点，求三角形AOB 的面积．解：（1）设圆心坐标为（a ，0），（a ＞0），所以√32+42=2，解得a ＝2或−143（舍去）， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝kx ﹣3，联立{y =kx −3(x −2)2+y 2=4， 消y 得（k 2+1）x 2﹣（4+6k ）x +9＝0，又Δ＝（4+6k ）2﹣36（k 2+1）＝48k ﹣20＞0，解得k ＞512，所以x 1x 2=9k 2+1，x 1+x 2=4+6k k 2+1，y 1y 2=(kx 1−3)(kx 2−3)=k 2x 1x 2−3k(x 1+x 2)+9=9−12k k 2+1， 因为OA →⋅OB →=3，OA →=(x 1，y 1)，OB →=(x 2，y 2)，所以x 1x 2+y 1y 2=9k 2+1+9−12kk 2+1=3，解得k ＝1或﹣5（舍去），所以直线l ：y ＝x ﹣3，又圆心C 到直线l 的距离d =|2−3|√1+1=√22， 则|AB|=2√22−(√22)2=√14，又点O 到直线l 的距离ℎ=1+1=3√22， 所以S △AOB =12⋅|AB|⋅ℎ=12×√14×3√22=3√72．22．（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点．（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．解：（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 则{a =2b4a 2+1b 2=1，解得{a 2=8b 2=2 ∴椭圆方程x 28+y 22=1（2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m又K OM =12∴l 的方程为：y =12x +m由{y =12x +m x 28+y 22=1，∴x 2+2mx +2m 2﹣4＝0 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴Δ＝（2m ）2﹣4（2m 2﹣4）＞0， ∴m 的取值范围是{m |﹣2＜m ＜2且m ≠0}（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2＝0即可 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2 由x 2+2mx +2m 2﹣4＝0可得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣4而k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m−1)(x 2−2)+(12x 2+m−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2) =2m 2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2) =2m 2−4−2m 2+4m−4m+4(x 1−2)(x 2−2)=0 ∴k 1+k 2＝0故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为．4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= ．5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ．6．下列说法正确的序号有．（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为．9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是．10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．11．等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n（S4m+1）]=9，则+的最小值是．12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是．14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．（1）求证：CM∥平面SAE；（2）求证：SE⊥平面SAB；（3）求三棱锥S﹣AED的体积．17．（文科）已知数列{a n}的前n项的和为S n，点P（n，S n）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n的最大值；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{nb n}的前n项的和T n；（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项的和为R n，求使不等式R n＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为：π．【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用．4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= 2．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由题意可得向量的模长，由夹角公式可得．【解答】解：向量与的夹角是120°，且满足，∴||==，又∵，∴||cos120°=﹣，解得||=2故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题．5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴≠，解得 a=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．6．下列说法正确的序号有（2）．（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在（1）中，如果两个平面有共线的三个公共点，则这两个平面相交；在（2）中，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直；在（3）和（4）举出反例，能得到（3）和（4）都不正确．【解答】解：（1）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合，故（1）错误．（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直，故（2）正确．（3）过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论，故（3）错误；．（4）过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个与直线n平行的平面内时，不满足结论，故（4）错误．故答案为：（2）．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0，函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，所以，所以﹣2m≤﹣1所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．故答案为．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可．【解答】解：设出圆锥的底面半径为r，高为h，母线为L，由题意可知：h2=Lr，并且×2πr×L=2π，∴h2=2，∴h=，故答案为：【点评】本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题．9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是[﹣4，4] ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】已知方程利用同角三角函数间基本关系化简表示出a，根据方程有解，利用二次函数的性质即可确定出a的范围．【解答】解：方程cos2x+4sinx﹣a=0，变形得：1﹣sin2x+4sinx﹣a=0，即a=﹣sin2x+4sinx+1=﹣（sinx﹣2）2+5，∵﹣1≤sinx≤1，∴﹣4≤﹣（sinx﹣2）2+5≤4，则a的取值范围为[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．【点评】此题考查了的同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．11．等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，若log3[a n（S4m+1）]=9，则+的最小值是 2.5 ．【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】根据等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，可得a n=2•3n﹣1；S n=3n﹣1，由log3[a n•（S4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，∴a n=2•3n﹣1；S n=3n﹣1，∵log3[a n•（S4m+1）]=9，∴（n﹣1）+4m=9，∴n+4m=10，∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5，当且仅当m=n=2时取等号，∴+的最小值是2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴⊥，∴•=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，∴m的取值范围是[4，6]故答案为：[4，6]．【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据已知即可求得f（x）在[，1]上的解析式为f（x）=﹣lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．【解答】解：设x∈，则∈[1，3]；∴根据条件；g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；设切点为（x0，lnx0），∴，又，∴；∴此时lnx0=1，x0=e；∴此时a=；y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；∴直线y=ax经过右端点时，a=；∴实数a的取值范围是．故答案为：[）．【点评】考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为[7，9] ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，从而得到1≤b≤2，由此能求出2a+2b+1的取值范围．【解答】解：∵实数a≥0，b≥1且，∴（2a）2+（2b）2=2×2a+4×2b﹣1，∴（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，∴4﹣2b≥0，解得1≤b≤2，∴4≤2b+1≤8，∵（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，∴b=1时，2a=3，2a+2b+1=7，b=2时，2a=1，2a+2b+1=9，∴7≤2a+2b+1≤9，∴2a+2b+1的取值范围为[7，9]．故答案为：[7，9]．【点评】本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．（1）求△AOB的面积；（2）求sinα的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）根据题意设出，，利用向量法则根据﹣表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（α﹣β）的值，由α与β的范围求出α﹣β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β），由三角形面积公式即可得解．（2）可先求cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，又∵|OA|=1，|OB|=1，∴S△AOB=|OA|•|OB|sin∠AOB==．（2）∵sinβ=﹣，∴cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．（1）求证：CM∥平面SAE；（2）求证：SE⊥平面SAB；（3）求三棱锥S﹣AED的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出MN∥AB且MN=AB，而正方形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=CD=1．△ESA中算出SE2+SA2=5=AE2，从而得到ES⊥SA，同理△ESB 中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出SE⊥平面SAB．（3）根据正方形的性质可得S△AED=S△ABE，从而得到V S﹣AED=V S﹣AEB=V E﹣SAB，由（2）得SE是三棱锥E﹣SAB的高，从而算出V E﹣SAB=，由此即可得到V S﹣AED=V E﹣SAB=．【解答】解：（1）取SA的中点N，连接MN，EN∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=AB，又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=AB，∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，∴CM∥EN，又EN⊂平面SAE，CM⊄平面SAE，∴CM∥平面SAE．（2）∵侧面SCD为直角三角形，∠CSD=90°，E为CD的中点，∴SE=CD=1，又∵SA=AB=2，AE=，∴SE2+SA2=5=AE2，可得ES⊥SA，同理可证ES⊥SB，∵SA∩SB=S，SA、SB⊂平面SAB，∴SE⊥平面SAB．（3）根据题意，得V S﹣AED=V S﹣AEB=V E﹣SAB，∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱锥E﹣SAB的高∴V E﹣SAB=S△SAB×SE==因此，三棱锥S﹣AED的体积为V S﹣AED=V E﹣SAB=×=．【点评】本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（文科）已知数列{a n}的前n项的和为S n，点P（n，S n）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n的最大值；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{nb n}的前n项的和T n；（Ⅲ）设c n=，数列{c n}的前n项的和为R n，求使不等式R n＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由于点P（n，S n）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．可得S n．利用当n≥2时，a n=S n ﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1，即可得出a n．再利用二次函数的单调性即可得出S n的最值；（2）利用“错位相减法”即可得出；（3）利用“裂项求和”得出R n，求出其最小值即可．【解答】解：（1）∵点P（n，S n）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．∴，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣2n+8当n=1时，a1=S1=6满足上式，∴a n=﹣2n+8．又=，且n∈N*∴当n=3或4时，S n取得最大值12．（2）由题意知∴数列{nb n}的前n项的和为∴，相减得，∴．（3）由（1）得=∴=易知R n在n∈N*上单调递增，∴R n的最小值为不等式对一切n∈N*都成立，则，即k＜19．所以最大正整数k的值为18．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”得出a n、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．由已知点P（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形APQB面积，利用导数可得结论．（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t， t2），t＞0．则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使用权所挖土的土方量最少．【解答】解：（1）建立如图的坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，∴抛物线的方程为x2=2y，设A（t， t2），则此时梯形APQB面积为S（t）=（2t+4）（2﹣t2），∴S′（t）=﹣，t=，t∈（0，），S′（t）＞0，t∈（，2），S′（t）＜0∴t=，S max（t）=，∴新水渠底宽为m时，所填土的土方量最少；（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图，设切点M（t， t2），t＞0．则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），令y=0，y=2，得A（t，0），B（，2），∴此时梯形OABC的面积为S（t）=（t+）•2=t+≥2，当且仅当t=时，等号成立，此时|OA|=，∴设计改挖后的水渠的底宽为m时，土方量最少．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数知识、基本不等式的合理运用．19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】压轴题；探究型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，把转化为含椭圆离心率与PH的式子，求出PH的范围可得答案；（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），可知点（m，n）满足，化圆的方程为一般式，由得x2+y2﹣6x﹣1=0，代入圆的方程可得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足后可得答案．【解答】解：（1）由题意可得，解得a=3，c=1，∴b2=a2﹣c2=8．则椭圆方程为；（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，∴，∵e=，PH∈[]=[6，12]，∴ []，则∈[]；（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），其中点（m，n）满足，则x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，，要使即NF2=2NT2，即x2+y2﹣6x﹣1=0，代入x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，只要使，得，经检验m=3，n=0满足，故存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足，圆M的方程为（x﹣3）2+y2=10．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，对于（3）的求解是该题的难点所在，与恒成立问题进行了交汇，试题设置难度较大．20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得导数，求出切线的斜率，解方程可得a：（2）化简g（x），求得导数，讨论当a≥时，当0＜a≤时，当＜a＜时，由单调区间，即可得到最小值；（3）运用斜率公式，化简整理，即有m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，运用导数判断单调性，结合恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2的导数为f′（x）=+2a（x﹣1），f（x）在x=e处的切线斜率为1，即有+2a（e﹣1）=1，解得a=；（2）g（x）=f（x）﹣x+1=lnx+a（x﹣1）2﹣x+1，g′（x）=+2a（x﹣1）﹣1=，当a≥时，在[1，2]上g′（x）＞0，g（x）递增，即有x=1处取得最小值，且为0；当0＜a≤时，在[1，2]上g′（x）＜0，g（x）递减，即有x=2处取得最小值，且为ln2+a﹣1；当＜a＜时，g（x）在[1，）递减，在（，2）递增，即有x=处取得最小值，且为﹣ln（2a）+a（﹣1）2﹣+1；（3）h（x）=f（x）﹣ax2=lnx﹣a（2x﹣1），x1+x2+k＞0恒成立，即为x1+x2+＞0恒成立，即有＞0，即为m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，即有m′（x）=+2x﹣2a≥0恒成立，即为2a≤2x+的最小值，由2x+≥2=2（当且仅当x=，等号成立），则2a≤2，解得a≤．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性的定义和构造函数的方法，属于中档题．- 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