高中数学 2.4《矩阵乘法的性质》教案 人教版选修4-2

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第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质1。

设A=0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦由Ａ、B、Ｃ研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律;③消去律。

结论:2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。

3。

单位矩阵的性质【应用】1．设A＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求Ａ８2. 【练习：P４1】二、逆变换与逆矩阵1。

逆变换:设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I,(I是恒等变换)则称变换ρ可逆,其中σ是ρ的逆变换。

2。

逆矩阵:设Ａ是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA＝ＡB=E2，则称矩阵Ａ可逆,其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A-，读作A的逆。

【应用】1。

试寻找R３０o的逆变换.【应用】1.A＝3142⎛⎫⎪⎝⎭,问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。

２. A=2142⎛⎫ ⎪⎝⎭,问A 是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A -．由以上两题,总结一般矩阵Ａ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质1。

二阶矩阵可逆的唯一性．2.设二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【练习:Ｐ50】【第三讲．作业】1。

第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法一、数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.平面向量的加法：设11x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦ 性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则①数乘结合律：()A A λαλα→→=；②分配律：()A A A αβαβ→→→→+=+【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形。

①伸缩变换：1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦②旋转变换：12122⎤-⎥⎢⎢⎢⎣⎦ ③切变变换：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦④特别地：直线x=a 关于x 轴的投影变换？性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 .（证明见课本P 19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。

① 恒等变换：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦②旋转变换：cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦③切变变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦④反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⑤投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【练习：P 27】【应用】 试研究函数1y x =在旋转变换2222-⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦先在旋转变换30o R：12122⎤-⎥⎢⎢⎢⎣⎦作用，再经过切变变换ρ：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用的向量''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵A ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 与B 的乘积 AB ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 【应用】1.计算⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10＝ 2.A ＝cos sin αα⎡⎢⎣ -sin cos αα⎤⎥⎦，B ＝cos sin ββ⎡⎢⎣ -sin cos ββ⎤⎥⎦，求AB3.求13α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过切变变换σ：A=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，及切变变换ρ：B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦两次变换后的像β→。

矩阵乘法的简单性质教学目标1.理解矩阵乘法不满足交换律2.理解矩阵乘法满足结合律及其推导过程3.了解矩阵乘法不满足消去律一．回顾复习，引入新课1.矩阵乘法法则及几何意义2.实数的乘法运算律问：矩阵的乘法是否具有与实数的乘法类似的运算性质？二．建构数学，新授内容例1.（1）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2413， B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5001，计算AB ，BA ； （2）已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转︒90. （1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；思考：梯形不变，若将梯形ABCD 先绕原点逆时针旋转︒90，再将所得图形作关于x 轴的反射变换，结果有什么关系？例2.已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,变换1T 对应的矩阵P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，变换2T 对应的矩阵Q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.思考：你还能举出二阶矩阵P ，Q ，使得PQ =QP 的例子吗？例3.（1）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3002，C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1301，计算(AB )C ，A (BC )，并判断(AB )C 与A (BC )是否相等.（2）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111d c b a ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222d c b a ，C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3333d c b a ， 求证：(AB )C =A (BC ).例4.已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001，计算BA ， BC ；思考：判断下面的说法：“因为A ≠0，且AB =AC ，所以有B =C ”是否正确？三．小结矩阵乘法的简单性质。

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-2《矩阵的概念》教案教学目标1．了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题． 2．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示． 教学重点、难点 矩阵的概念 教学过程： 一、问题情境情境1：已知向量，O(0,0),P(1,3)．因此把)3,1(=OP ，如果把的坐标排成一列，可简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡31．情境2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080． 情境3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m ． 二、建构数学 （一）矩阵的概念1． 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵．用大写黑体拉丁字母A,B,……或者(a ij )来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素a ij 所在的行与列． 2． 矩阵的行 同一横排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行． 3． 矩阵的列 同一竖排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列．4． 矩阵的元素 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素（二）矩阵的分类（按照行与列来分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡31记为2×1矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080记为2×2矩阵（二阶矩阵），⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 记为2×3矩阵．（三）几个特殊矩阵1． 零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵． 2． 行矩阵：把像[]131211a a a 这样只有一行的矩阵称为行矩阵．3． 列矩阵：把像⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211a a 这样只有一列的矩阵称为列矩阵． 注：一般用希腊字母α，β，γ，来表示行、列矩阵．（四）矩阵的相等对于两个矩阵A ，B 只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记为A ＝B ． 三、数学应用：例1 用矩阵表示下图中的ΔABC ，其中A(－1,0),B(0,2),C(2,0)． 解：因为ΔABC 由点A ，B ，C 唯一确定， 点A ，B ，C 可以分别由列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02,20,01来表示，所以ΔABC 可表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020201M 变题1：如果像例1中那样用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡02204310表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？等腰梯形（数形结合）变题2：已知1223a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b 的值．例2 某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中1,2,1,2.i j ==（见书本第4页）．例3 已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-243x ，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21z y ，若A ＝B ，试求x ,y ,z ．分析：抓住相等的条件即可4,3,1===z y x例4 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素,1,2;1,2ij a i j i j ===，求矩阵A ． 四、课堂精练1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵1102,,,2235⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所表示的以坐标原点为起点的向量．2．由矩阵1 3 3 11 2 3 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面中的图形的面积为 ．3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A =B ，求a ，b ，c ，d ．． 4．设矩阵A 为二阶矩阵，其元素满足ij ji a a =-，12211,2,1,2,1i j a a ==-=，试求矩阵A ．五、回顾小结1． 矩阵的相关概念及表示方法． 2． 矩阵相等的条件． 六、课后作业1．已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23⨯矩阵表示该路口的时间设置为1 0 -130 3 20⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．设矩阵A 为33⨯矩阵，且规定其元素,,ij ij i ja i j i j =⎧=⎨+≠⎩，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 384．已知1 4 1 4x+3 y2y+7 yx y-+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则x y+= -2。