2-基本运算

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)． 两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________． 解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)． 解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。

高考真题（2019•天津卷（文））设集合， ， ，则 A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【解析】因为，所以.故选D 。

【答案】D（2019•全国III 卷（文））已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．【解析】，∴，则，故选A ．【答案】A（2019•全国II 卷（文））已知集合，，则A ∩B =A ．（–1，+∞）B ．（–∞，2）C ．（–1，2） {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<()A C B ={1,2}A C =(){1,2,3,4}A C B ={}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤A B ⋂={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,221,x ≤∴11x -≤≤{}11B x x =-≤≤{}1,0,1A B ⋂=-={|1}A x x >-{|2}B x x =<D ．【解析】由题知，，故选C ． 【答案】C（2019•全国I 卷（文））已知集合，则A ．B ．C ．D ．【解析】由已知得，所以，故选C ．【答案】C（2019•北京卷（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【解析】∵，∴，故选C ． 【答案】C∅(1,2)AB =-{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，C U B A {}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,7{}1,6,7U C A =U B C A ⋂={6,7}{|12},{|1}A x x B x =-<<=>(1,)A B ⋃=+∞高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

数学中常用的符号
数学中常用的符号有很多，以下列举一些常见的：
1. 数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2. 基本运算符号：
- 加法：+
- 减法：-
- 乘法：*
- 除法：/
- 等于：=
- 不等于：≠
- 大于：>
- 小于：<
- 大于等于：≥
- 小于等于：≤
3. 数学函数符号：
- 圆周率：π
- 开根号：√
- 绝对值：| |
- 平方：²
- 立方：³
- 对数：log
4. 集合符号：
- 元素属于：∈
- 元素不属于：∉
- 空集：∅
- 子集：⊆
- 真子集：⊂
5. 集合运算符号：
- 并集：∪
- 交集：∩
- 补集：'
- 差集：\
- 符号集合：ℝ（实数集），ℕ（自然数集），ℤ（整数集），ℚ（有理数集），S（复数集）
6. 三角函数符号：
- 正弦：sin
- 余弦：cos
- 正切：tan
7. 极限符号：
- 极限：lim
8. 微积分符号：
- 导数：d/dx
- 积分：∫
- 偏导数：∂/∂x
9. 概率统计符号：
- 同等于：≈
- 和：Σ
- 均值：μ
- 方差：σ²
10. 集合论符号：
- 内含于：⊂
- 并集：⋃
- 交集：⋂
- 全集：U
- 子集：⊆
以上只是一些常见的符号，实际中还有很多其他符号，如矩阵符号、微分方程符号等。

数学中的符号非常丰富，灵活运用可以简洁地表示数学概念和运算关系。