高一数学集合的基本运算2

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。

符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。

4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。

符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。

【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。

高一数学集合知识点全总结一、集合的概念集合是具有某种特定性质的事物的总体或类别。

集合中具体的元素称为集合的成员。

集合的表示方法有三种：列举法、描述法和集合的图示法。

1. 列举法：集合A = {a, b, c, d, e}2. 描述法：集合A = {x|x具有某种特定的性质}3. 图示法：通常用Venn图来表示，也可以用数轴、区间等形式表示。

二、集合的基本运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集，记作A∪B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中所有元素的集合，即C={x | x∈A或x∈B}。

2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集，记作A∩B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中共有元素的集合，即C={x | x∈A且x∈B}。

3. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集，记作A-B，是一个集合C，C中的元素是属于A 但不属于B的所有元素的集合，即C={x | x∈A,x∉B}。

4. 补集A的补集，记作Ā，是一个集合C，C中的元素是不属于A的所有元素的集合，即C={x | x∈U,x∉A}，其中U为全集。

5. 交叉并集设A和B是两个集合，A和B的交叉并集，记作A⊕B，是一个集合C，C中的元素是A 和B中所有元素的集合减去A和B的交集，即C={x | x∈A或x∈B,但x∉A∩B}。

6. 笛卡尔积对于两个集合A和B，在数学上，A和B的笛卡尔积，记作AxB，是一个集合C，C中的元素是由A和B中的每个元素按一定次序组成的。

写作C={(a,b)|a∈A,b∈B}以上的集合运算规则和公式需要通过具体的例题来进行练习和理解。

三、集合的关系1. 包含关系若集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

特别地，空集是每个集合的子集。

2. 相等关系若集合A和B有相同的元素，则A等于B，记作A=B。

3. 差集和补集的关系若A⊆B，则A-B=BĀ。

四、集合论的重要定理1. 德摩根定理对于任意两个集合A和B，有以下两个等式成立：A∪B = AĀ∩BĀA∩B = AĀ∪BĀ2. 韦恩图定理对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)3. 分配率对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)以上定理是在集合论中非常重要的定理，需要通过具体的例题来进行理解和应用。

高一数学集合知识点归纳高一数学集合知识点归纳集合是数学中的一个重要概念，是由一些特定元素组成的整体。

在高一数学中，集合是一个基础且重要的部分。

下面将归纳高一数学中集合的知识点，包括集合的表示方法、基本运算、集合的关系、常见集合的性质和集合的应用等。

一、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来，元素之间用逗号隔开，例如：A = {1, 2, 3}。

2. 描述法：通过描述集合元素的特定特征来表示集合，例如：A = {x | x是正整数}，表示A是所有正整数所组成的集合。

二、集合的基本运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素所组成的集合。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A或者B（或同时属于A和B）的元素所组成的集合。

3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集记作A-B，表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。

4. 互斥：如果两个集合A和B的交集为空集，则称A和B互斥。

三、集合的关系1. 包含关系：如果集合A的所有元素同时也属于集合B，则称A包含于B，记作A⊆B。

2. 相等关系：如果两个集合A和B相互包含，即A⊆B 且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。

3. 真包含关系：如果集合A包含于集合B，且A和B不相等，则称A真包含于B，记作A⊂B。

四、常见集合的性质1. 子集性质：任何集合都是它自己的子集，即A⊆A。

空集是任何集合的子集，记作∅⊆A。

2. 并集性质：对于任意集合A和B，有A⊆A∪B和B⊆A∪B。

3. 交集性质：对于任意集合A和B，有A∩B⊆A和A∩B⊆B。

五、集合的应用1. 布尔代数：集合的运算和关系可用于逻辑运算和布尔代数的表示和计算。

2. 概率论：集合的交集、并集和差集等运算经常用于概率论的计算和分析中。

3. 数论：集合的性质和关系用于数论的证明和推导中，例如集合的包含关系和互斥关系。

高一数学必修一集合的基本运算1. 什么是集合？1.1 集合的概念哎，说到集合，你可能会想，它到底是什么呢？其实啊，集合就是把一堆有共同特点的东西，像一个大箱子，装在一起。

比如说，你把所有的苹果放在一个篮子里，这个篮子就是一个集合，里面的苹果就是这个集合的元素。

简简单单，但它可是数学中最基础的概念之一呢！1.2 集合的表示方法集合的表示方法也很简单，我们可以用花括号来表示集合。

比如，集合A={1, 2, 3}，这就表示集合A里有1、2、3这几个元素。

还有一种表示方式叫做描述法，比如“所有小于5的自然数”，这也是一个集合。

是不是很直观呢？2. 集合的基本运算2.1 并集好了，我们来聊聊集合的运算。

首先是“并集”。

假如你有两个集合，一个是A={1, 2, 3}，另一个是B={3, 4, 5}。

把这两个集合合起来，去掉重复的元素，就得到了它们的并集。

也就是说，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

想象一下，像你把两个不同的书架上的书，搬到一个新的书架上，这样你就能看到所有的书了，这就是并集的意思。

2.2 交集接下来是“交集”。

交集就是找出两个集合里都出现的元素。

以刚刚的集合A和B为例，它们的交集是A∩B={3}。

就像你和朋友都喜欢吃巧克力饼干，那这个巧克力饼干就是你们的“交集”，两个人都喜欢。

2.3 补集然后是“补集”。

补集有点意思，它就是原集合的“反面”。

比如，集合A是{1, 2, 3}，在全集U（假设全集是{1, 2, 3, 4, 5}）中，A的补集就是那些不在A中的元素。

也就是说，A的补集是{4, 5}。

就像你从整个果篮里挑出没有苹果的部分，那就是补集。

3. 集合的关系3.1 包含关系集合之间还有“包含关系”。

一个集合A包含在集合B里，意思是A里的所有元素都在B里面。

比如，A={1, 2}，B={1, 2, 3}，那么A就包含在B里，写作A⊆B。

就像你是一个大家庭的成员，你肯定也属于家庭的每个小分组。

高一关于集合的全部知识点1. 集合的定义和表示方式集合是由一些确定的元素构成的整体。

通常用大写字母A、B、C...来表示集合，集合中的元素用小写字母a、b、c...表示，并用大括号{}将元素列在一起表示集合。

2. 集合的基本运算(1) 并集：如果元素x属于集合A或者属于集合B，则称x属于集合A并B，表示为A∪B。

(2) 交集：如果元素x既属于集合A又属于集合B，则称x属于集合A交B，表示为A∩B。

(3) 差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示包含A中元素但不包含B中元素的集合。

(4) 互斥：如果集合A和集合B没有共同的元素，即A∩B=∅，则称集合A和集合B互斥。

3. 集合的性质(1) 互补律：A∪A' = U，U为全集，即任何集合与其补集的并集是全集。

(2) 运算交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

(3) 运算结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

(4) 运算分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

(5) 元素个数：集合中元素的个数称为该集合的基数，用符号n(A)表示。

4. 子集与真子集(1) 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

(2) 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中还存在集合A没有的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。

5. 集合的应用(1) 定理证明：在数学中，集合论是许多定理的基础。

通过集合的交、并、差等运算，可以进行定理的推导和证明。

(2) 数学分析：集合的应用广泛存在于数学分析中，如极限理论、序列和级数的性质等都可以通过集合概念进行描述和分析。

(3) 概率统计：在概率论和统计学中，集合论是重要的工具，用于描述样本空间、事件等概念，进而计算概率和进行统计分析。

总结：高一关于集合的全部知识点包括集合的定义和表示方式、集合的基本运算包括并集、交集、差集和互斥、集合的性质包括互补律、运算交换律、运算结合律、运算分配律和元素个数、子集与真子集的概念以及集合的应用于数学定理证明、数学分析和概率统计等领域。