Jordan不等式的拓广及应用Ⅱ

第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式2+22+2≥B +B 2(s s s ∈s 当且仅当B =B 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(2)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(3)++≥B +B 2(s s s ≥0,当且仅当B =B 时，等号成立.)3.扩展：12+22+32+⋯+212+22+32+⋯+2≥11+22+33+⋯+2二、权方和不等式:若,,,0a b x y >则222()a b a b x y x y ++≥+当且仅当a b x y=时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++∈∈ ,若0m >或1m <-,则()()111112121212m m m m n n mm m m nn x x x x xx yyyy y y ++++++++++≥+++ ;若10m -<<,则()()111112121212m m m m n n m m m m n n x x x x x x y y y y y y ++++++++++≤+++ ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ==== 时取等注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数,且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键,特别的,高考题中以1m =最为常见,此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：()(()222111111121222x y x y x y x y ++=+=+≥+，即(()2111232x y x y +≤⇒+≥++，当且仅当122x y =时取等号，即1x =，12y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yx y x ，则y x 56+的最小值为______________解：()(()(22211311211343224246565x y x y x y x y x y x y x y x y +++=+=+≥++++++++即1343265x y+≥+，则13652x y +≥+()1324x y x y =++时取等号例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=+≥=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪++⎪⎩解得：17217x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，例4：若1>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 211+-的最小值为______________解：(22211213111a b a ba b ++=+≥=+--+-，当且仅当121a b=-时取等号例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++≥==++≥--+-当且仅当1122ab b a a b ⎧=⎪--⎨⎪+-=⎩时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++≥=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++≥=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+≥=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+≥=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+==++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>∈>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当1sin cos x x+取得最小值时，x 的值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，则()()()333322221112222222131(31)48sin cos sin cos sincos x xx x x x++=+==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+y x ，则yy x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x xy y x x y y x yx y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=≥=++++++++当且仅当944989y x xy=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++≥==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----+++++=+≤==+当且仅当13a b +=+时取等号例15：求223223)(x x x x x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x x x x x----++-=-+++-≤=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a ，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b c a b c ----+++++++++++≤=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=AB ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4≤1时，即2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x y z++=）A ．10B ．4C ．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++≥+，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++≥+，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，≤故选：D例3：已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++≤k >考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ≥++≥，22214449x y z ∴++≥，当且仅当243672,,,23649494923612x y z x y z x y z ⎧==⎪===⎨⎪++=⎩即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++++++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()2116111133≥+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ≤≤≤≤，则22220a b c d ≤≤≤≤．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -≥-≥-≥->，1111S a S b S c S d≤≤≤----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ⋅⋅⋅⋅=+++≥+++⋅+++----1111S a S b S c S d ⎛⎫⋅+++ ⎪----⎝⎭()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d ⎛⎫⎡⎤=+++⋅-+-+-+-⋅+++ ⎪⎣⎦----⎝⎭()222221448a b c d ≥+++⋅()()()()2222222216a b b c c d d a ⎡⎤=+++++++⎣⎦1(2222)6ab bc cd da ≥+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（）A ．1B ．4C．2+D．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=+⋅+-=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当121x x x x-=-，即1x -时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x yyx +的最小值为（）A ．4B．C ．6D．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y ⎛⎫=+=++=++≥+= ⎝⎭++⎪，当且仅当2x yy x =，即22x =，1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭31333222222xy xy =++≥+=+=当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭12431422532455a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（）A ．49B C ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+=++++⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦()22224111155219119x y x y ⎡⎡⎤++⎢⎢⎥=++≥+=⎢++⎢⎥⎣⎦⎣.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选:D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭1212512b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y ∈，且2530x xy x y +-+=，+（）AB C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==+，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +=.由0x >，20x -≥可得02x <≤，由柯西不等式得2222124⎡⎤⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1=即12x =时，取等号.+故选：C.【点睛】关键点点睛：+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a ba b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当22a bb a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n ∴->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-∴+=+=++≥---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x ≤+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，可转化为2224211x y a y x ≤+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，≥，=8≥=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a ≤，则a -≤所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n ∈+∞,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ∞∈+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11044⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+=⋅+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭1419552222c a b a b c ⎛+⎛⎫=⋅++≥⋅+= +⎝⎭⎝，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为.【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -≠，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()1111112224111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=+-+=++≥+ ⎪---⎝⎭，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是．【答案】3+3．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)323211(1)y x y x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+≥++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =+所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a ba b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭933612b a a b =+++≥+，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为.【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +≥+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a ab +≥-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121aa b ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(],4∞-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y ⎛⎫+++=++=++ ⎪++++⎝⎭()()()41322324991929x y x y ++=++≥+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min412x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4∞-.故答案为：(],4-∞【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为.【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为.【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )332lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +≤，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+⋅≤+，可得23(23)34x y +≤，所以232x y +≤，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++≥，即24(23)x y +≥，所以232x y +≤，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为.【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z ⎛⎫++++++=⎡⎤ ⎣⎦⎝⎭()()433218423y z x y x y y z ++⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦1824⎡≥+=+⎢⎢⎣当且仅当()()()()22 4332,324323y z x yx y y z x y y z++=+=+ ++，)()223x y y z+=+，62331x yy z⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩时等号成立.故答案为：2+23．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf xx x=+，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x=的最小值为．【答案】【分析】令πsin cos)4t x x x=+=+，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos)()sin cos sin cosx xf xx x x x+=+=，令πsin cos)4t x x x=+=+，由π2x<<，得ππ3π444x<+<，所以πsin()124x<+≤，则1t<由sin cost x x=+，得22(sin cos)12sin cost x x x x=+=+，所以21sin cos2tx x-=，则原函数可化为22244()1112t tg tt t tt===---，又函数1,y t yt==-在上单调递增，所以1y tt=-在上单调递增，故当t=时，1y tt=-取得最大值2，此时()g t取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a ba ba b+++=+++，则a b+的最小值为.【分析】根据分离常量法可得112212121a ba b+=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b+-++≥，即2()2a b+≥，即可求解.【详解】0,0a b>>，111111(21)(21)112222221212121212121a ba ba ba b a b a b+++++++=+=+=++++++++，所以211221221212121211a ba b a b a b⎛⎫+⎪⎝⎭+-=+≥=+++++++，当且仅当222121a b =++即a b =时等号成立，所以(1)(1)1a b a b +-++≥，得2()2a b +≥，所以a b +≥a b +≤，即a b +。

天水师范学院题目基本不等式的应用及其推广学院：数学与统计学院班级：13级数应（1）班学号：***********姓名：***论文提要在数学分析中，不等式不仅仅是一个重要并且有效的工具，也是数学分析中重要的研究对象。

在许多证明和分析的过程中充分的体现了不等式的灵活性和巧妙性，例如在解决三角函数相关问题、求函数最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比较复杂的问题迎刃而解。

也正因为不等式的这种多变性，使得不等式在证明过程中不只有一种形式，只有正确的掌握了不等式的运用方法才能使解题更简单。

本文通过几个例子来具体说明不等式在证明过程中的运用。

常用不等式的应用摘要：数学分析中的不等式是一个比较常用的解题方法，同时运用不等式也是种简便的解题方法，但运用不等式却是一种技巧，想要熟练的掌握不等式的应用就要多思考、多总结，本文列举了数分中常用的不等式，并通过几个例子对不等式的运用进行了说明。

关键词：数学分析 不等式 证明一、数学分析中常用不等式举例：数学分析中的不等式有较高的利用率，本文列举了八个数学分析中较常用的不等式，并对它们运用进行说明。

1、三角函数不等式：x sin <x <xtan （0<x<2π） x cos >1-22x (x 0≠)1xx +＜ln(1)x +＜x （x ＞0） 常应用在解决三角函数的证明和分析中2、积分不等式：设函数()f x ，()g x 在[],a b 上可积，则有()()()()()222bb baaaf x dxg x dxf x dxg x dx ⋅≤⎰⎰⎰3、积分基本性质中得不等式：若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数且()()x g x f ≤[]b a x ,∈，()baf x dx ≤⎰()bag x dx⎰常应用于判别积分的单调性和大小等方面。

4、詹森不等式：若f 为[]b a ,上的凸函数，则对任意[]b a x i ,∈，i λ>0(),1,,2,11==∑=ni in i λ有()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11λλ。

一道不等式例题的推广及应用高中数学必修第二册（上）第12页例3：2233,,ab b a b a b a b a +>+≠则有都是正数，且若 （1）文[1]对（1）式进行指数推广，笔者认为可以进一步推广为: 引理 则有且同号都是正数，若,,,R l k b a ∈ k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 当且仅当b a =时取到等号。

证明：因为 0))((≥--=--+++l l kk k l l k l k l k b a b a b a b a b a 所以 k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 证毕。

下面我们考虑对其项数推广。

注意到引理的结构，两边同时加上lk lk ba +++，则可得k l l k l k l kb a b a b a +≥+++)(2+l k l k b a +++即，))(()(2l l k k l k l k b a b a b a ++≥+++，所以有：定理 :,,1,则有且同号、且若R l k N i n i R a i ∈∈≤<∈+)(1111∑∑∑===+≥n i l i n i k i ni lk i a a n a 时取等号当且仅当n a a a === 21证明：因为∑∑=+=+=nj l k j n i lk i a a 11所以∑∑∑∑∑∑=+=+====+++++=+=+nj l k j n i lk i n j n i n j n i lk j lk i lk j lk i a n a n na a a a 111111)()(∑=+=ni l k i a n 12 （2）由引理及∑∑∑∑======nj l j ni l i n i n j k j k i a a a a 1111,所以∑∑∑∑∑∑∑=======+++=+≥+ni l i kj n j n i ki lj nj n i kj li lj ki n j n i lk j lk i a a a a a a a a a a 1111111)()()(∑∑∑∑∑∑=======+=ni l i n i ki n i li n j kj n i ki n j lj a a a a a a 1111112 （3）时等号取到即当且仅当n j i a a a a a ==== 21结合（2）（3）可得定理成立。

不等式的介绍与拓展不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

一、 几个重要的不等式1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0k a =时，令()0r M a =），111()()nkk Aa M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++ ，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,n a a a === ；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,n a a a === 。

2．赫尔德（Holder ）不等式 设()0,0,1,2,,,1,2,,j ij aa i n j m >>== ，且11mj j a ==∑，则1111111()()()()m m nnna a a a m m iii i i i i a a a a ===≤∑∑∑ ，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑ 。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n = 为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==> ，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑ ，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑ 。