欧拉线的证明3.0版

欧拉线定理解析几何证明欧拉线定理是几何学中最基本的定理，它以18世纪意大利数学家拉尔森欧拉（Leonhard Euler）命名。

欧拉线定理指出，任意一个多边形内角和为360度，即：在一个n边形中，它的内角和（S）为n-2个相邻夹角的和，即S=180°（n-2）。

欧拉线定理的解析几何证明：首先，证明1边形的内角和等于180°：考虑一个1边形，它只有一个单独的一条边。

根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一条边，因此n-2=0。

所以，它的内角和（S）为0，即S=180°（0）=180°。

接下来，证明2边形的内角和等于180°：考虑一个2边形，它只有两条边相交而形成的一个夹角。

根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一个夹角，因此n-2=1。

所以，它的内角和（S）为一个夹角，即S=180°（1）=180°。

再次，证明3边形的内角和等于180°：考虑一个3边形，它有三条边相交而形成的两个夹角。

根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它有两个夹角，因此n-2=2。

所以，它的内角和（S）为两个夹角，即S=180°（2）=180°。

以上，我们已经证明了1，2，3边形的内角和为180°。

接下来，我们将演示任意n边形的内角和也等于180°。

假设，我们有一个有n条边组成的多边形ABC...n，它有n个夹角。

要证明它的内角和等于180°，我们可以采取以下步骤：（1）把多边形ABC...n拆分为n-2个小三角形，如多边形ABC...n，它可以被拆分为三角形ABC、三角形BCD...等。

（2）把每个小三角形的三个夹角加起来，由于每个三角形的三个夹角和为180°，因此，n-2个三角形的总夹角和为180°×（n-2）=180°（n-2）。

西姆松(Simson)定理西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）定理定义：（1）称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

证明证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠FDP+∠PDE=180°④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。

因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线。

初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明作者：池剑善来源：《数学教学通讯·初中版》2018年第04期[摘要] 笔者查阅资料，发现没有人研究从初中数学的角度证明以大数学家“欧拉”命名的欧拉线和欧拉圆. 本文所给的证明方法以初中数学课本知识为基础，并进行稍微拓展，该方法对初中生竞赛培优教学有一定的参考价值.[关键词] 初中数学；欧拉线；欧拉圆在竞赛辅导中，历史上的经典名题、定理的证明是我们绕不开的路. 比如，学习平面几何时，选择欧拉线和欧拉圆的证明教学是培养学生推理能力和演绎思维的一个不错选择. 首先，我们来熟悉一下欧拉线和欧拉圆.欧拉线：莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理——三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.欧拉圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆. 通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆.欧拉线是过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线.一般的定理教学，教师引导学生一起“探究”，然后牵着学生的思维一起把别人走过的路再走一遍. 而本文是笔者的另外一种实践. 笔者研究了这两个经典定理历史上的证明方法，发现很多都超过了初中生的知识储备，于是筛选了一些适合的方法，重新整理思路，把两个有关联的定理关联起来，然后分不同的阶段，为学生铺好台阶，走到终点.引理及其证明引理？摇三角形的外心到一边的距离等于垂心到该边相对的顶点距离的一半.如图1，在△ABC中，O，H为其外心和垂心，D为BC的中点，连接OD，AH. 求证：OD=AH.证明？摇如图1，连接OB，OC，连接CH并延长交AB于点R，延长AH交BC于点P，因为点O为△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因为D为BC的中点，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因为CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC. 所以=①. 因为AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所以A，R，P，C四点共圆. 所以∠RAH=∠BCR. 所以△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以OD=AH.上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.欧拉线定理及其证明如图2，在△ABC中，O，G，H分别为其外心、重心、垂心，D为BC的中点，求证：O，G，H三点共线，且OG=GH.证明？摇设AD交OH于点G′，因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因为OD=AH，所以OG′=G′H，DG′=AG′. 因为G为△ABC的重心，所以DG=AG. 所以G与G′重合. 所以O，G，H三点共线，且OG=GH.上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明成立.九点圆（欧拉圆）及其证明1. 证三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）共圆如图3，在△ABC中，H为其垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J，P，Q，R分别是三条高在BC，AC，AB上的垂足. 求证：P，Q，R 均在⊙J上.证明？摇连接MN，LN，LM，QM，QN. 因为L，N分别为BH，CH的中点，所以LN∥BC且LN=BC. 同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因为H为△ABC的垂心，所以H为△MLN的垂心. 所以P，Q，R分别为H关于LN，MN，ML对称的点. 所以∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°. 所以Q在△MLN的外接圆上.同理，P，R也在△MLN的外接圆上，所以P，Q，R在⊙J上.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.2. 证三边中点和三个欧拉点共圆如图4，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分别为P，Q，R，H为△ABC的垂心，设AH，BH，CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆记为⊙J. 求证：D，E，F均在⊙J上.证明？摇连接MN，DN，则DN∥BQ，MN∥AC. 因为BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因为AP⊥BC，所以D，P，N，M四点共圆. 所以点D在⊙J上. 同理，E，F也在⊙J上.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.欧拉圆心和欧拉线之间的位置及其证明1. 证明欧拉圆圆心在欧拉线上如图5，O，H，J分别是△ABC的外心、垂心和欧拉圆圆心. 求证：O，J，H三点共线，且OJ=HJ.证明？摇连接AH并延长交BC于点P，分别取AH和BC的中点M，D，连接DM，OH 交于点J′. 因为OD⊥BC，MH⊥BC，所以OD∥MH. 所以∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因为OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以OJ′= HJ′，DJ′=MJ′. 因为∠APB=90°，所以DM为⊙J的直径. 所以J为DM的中点. 所以点J与点J′重合. 所以O，J，H 三点共线，且OJ=HJ.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.2. 证明三角形的欧拉圆半径等于外接圆半径的一半如图6，已知⊙J和⊙O分别是△ABC的欧拉圆和外接圆，求证：⊙J的半径为⊙O半径的.证明？摇设H为△ABC的垂心，连接AH，分别取AH和BC的中点M，D，连接OA，OD，DM，则OA为⊙O的半径，DM为⊙J的直径. 因为OD∥AM且OD=AM，所以四边形AODM是平行四边形. 所以OA=DM. 所以⊙J的半径为⊙O半径的.上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.利用欧拉圆心和欧拉线可证一些四点共圆的问题如图7，H为△ABC的垂心，L为BC边的中点，P为AH的中点，过点L作PL的垂线交AB于点G，交AC的延长线于点K，求证：G，B，K，C四点共圆.证明？摇如图8，设△ABC的外心为O，连接OH，取OH的中点E，则E为欧拉圆圆心. 连接AO，则AO∥PE，从而AO⊥GK. 设N为AB的中点，连接ON，则ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因为∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB. 所以B，K，C，G四点共圆.几何名题内容丰富，是数学竞赛教学的一大宝贵资源，只要我们多挖掘，多思考，换种角度从学生的最近发展区出发进行启发教学，再配合可以利用所学定理解决问题的实例让学生操练，应该能起到事半功倍之效.。

欧拉线定理解析几何证明
欧拉线定理是几何中最重要的定理之一，即任意一条封闭曲线都有相应的欧拉数。

它可以为许多几何问题提供非常有用的性质，例如，把一个多边形折痕切成很少的折痕或者把一个多边形的部分拓展到某一部分，以及求某些多边形内部点的邻域等。

欧拉线定理表明，所有封闭曲线都有正确支撑的意义，即边数减去点数等于2，其中边数指的是封闭曲线的总边数，而点数指的是封闭曲线中包含的所有点的
数量。

下面我们就以具体的实例来证明欧拉线定理，要证明的集合A是一个多边形，它有n条边和n个顶点。

按照欧拉线定理，我们需要证明：n边多边形的总边数减
去总点数等于2 。

这里的“总边数”是指该多边形中所有边的数量，包括重合的边；“总点数”是指该多边形中总共包含的各种不同点的数量。

因此，我们可以先计算多边形集合A的总边数，即总共n条边，又因为每条边都在两个顶点上，所以总点
数恰好为2n 。

根据计算所得的结果可知，2n 减去 n 等于 n，因此该多边形的总边
数减去总点数等于2 。

从上文可见，通过计算的实验证明了欧拉定理。

通过它，我们可以很容易地分析多边形的边数和点数的关系，从而解决许多几何的问题。

欧拉定理有着深远的影响，不仅可以用来解决几何问题，还可以实现许多复杂的几何任务。

欧拉线问题欧拉线是高中数学常见的信息题类的考点，其原理很简单：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线叫做三角形的欧拉线，只需要掌握图形特点即可轻松求解等腰三角形中的欧拉线(中垂线)1.数学巨星欧拉(LeonhardEuler，1707~1783)在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知△ABC的顶点B(-1,0)，C(0,2)，且AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0【答案】D【分析】根据题意得出△ABC的欧拉线方程为线段BC的垂直平分线，再根据点B和点C的坐标求出线段BC 的垂直平分线即可．【详解】由B(-1,0)，C(0,2)，得线段BC中点的坐标为-1 2 ,1，所以线段BC的斜率k BC=2，所以线段BC垂直平分线的方程为：y-1=-12x+12，即2x+4y-3=0，又因为AB=AC，所以△ABC的外心、中心、垂心都在线段△ABC的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，故选：D．2.瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC，点B-1,3，点C4,-2，圆M:(x+3)2+y2= 4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.△ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得∠MPN=π6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点【答案】ABD【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以AD⊥BC，因为k BC=3+2-1-4=-1，所以k AD=1，且x D=-1+42=32，y D=3-22=12，所以D32,12，由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-12=x-32即y=x-1，A正确；由圆的切线性质可得∠MPD≥∠MPN，设P(a,a-1)，则PM2=(a+3)2+(a-1)2=2a2+4a+10，在△MPD中由正弦定理得PMsin∠PDM=PDsin∠MPD，所以sin∠MPD=PD×sin∠PDMPM=22a2+4a+10，由二次函数的性质得当a=-42×2=-1时2a2+4a+10取最小值8，所以sin∠MPD=22a2+4a+10≤22，即∠MPD的最大值为π4，所以∠MPN≤π4，所以圆M上存在点N，使得∠MPN=π6，B正确；由圆的切线的定义可知PD⊥MD，PE⊥ME，PD=PE，所以S PDME=S△PMD+S△PME=12×PD×MD+12×PE×ME=2PD，又因为PD=PM2-4，且PM min=-3-112+(-1)2=22，所以PD min=4即四边形PDME面积的最小值为4，C错误；设P(a,a-1)，因为PD⊥MD，PE⊥ME，所以P,D,M,E四点共圆，其中PM为直径，设PM中点Ha-32,a-12，则PH=a-a-322+a-1-a-122=a2+2a+52，所以圆H为x-a-3 22+y-a-122=a2+2a+52即x2+y2-(a-3)x-(a-1)y-3a=0，所以DE为圆M和圆H的相交弦，两圆方程相减得DE方程为(a+3)x+(a-1)y+5+3a=0，即a(x+y+3)+3x-y+5=0，由x+y+3=03x-y+5=0解得DE过定点(-2,-1)，D正确；故选：ABD3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边△ABC中，AB=AC，点B坐标为-1,1，点C坐标为3,-3，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2r>0相切，则△ABC的“欧拉线”方程为，圆M的半径r=．【答案】y=x-22【分析】分析可知△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，求出线段BC 的中垂线方程，可得出△ABC 的“欧拉线”方程，利用圆心到“欧拉线”的距离等于圆的半径可求得r 的值，即可得解.【详解】线段BC 的中点为M 1,-1 ，在非等边△ABC 中，AB =AC ，所以，△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，k BC =1+3-1-3=-1，所以，△ABC 的“欧拉线”方程为y +1=x -1，即y =x -2，由已知，圆M 与直线y =x -2相切，故r =212+12= 2.故答案为：y =x -2；2.普通三角形中的欧拉线4.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，则△ABC 的欧拉线方程为()A.4x -3y -6=0B.3x +4y +3=0C.4x +3y -6=0D.3x +4y -3=0【答案】C【分析】先求出△ABC 的重心坐标，由k AB ⋅k AC =-1得出△ABC 为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案．【详解】因为△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，所以△ABC 的重心为G 1,23 ，因为k AB =2，k AC =-12，所以k AB ⋅k AC =-1，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 的外心为BC 的中点D 32,0 ，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD ，所以△ABC 的欧拉线方程为y -023-0=x -321-32，即4x +3y -6=0，故选：C ．5.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知A 0,2 ，B 4,2 ，C a ,-1 ，且△ABC 为圆x 2+y 2+Ex +Fy =0内接三角形，则△ABC 的欧拉线方程为.【答案】y =1/y -1=0【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出E 、F ，从而得到圆心坐标即△ABC 的外心坐标，再确定△ABC的重心坐标，即可得解.【详解】依题意22+2F=042+22+4E+2F=0，解得E=-4F=-2，所以圆x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5，故圆心坐标为2,1，即△ABC的外心坐标为2,1，又△ABC的重心坐标为a+43,1 ，又点2,1、a+4 3,1均在直线y=1上，所以△ABC的欧拉线方程为y=1.故答案为：y=16.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=BC，顶点A-1,0、B1,2，且其“欧拉线”与圆M：x+52+y2=r2r>0相切．(1)求△ABC的“欧拉线”方程；(2)若圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，求a的范围．【答案】(1)x+y-1=0(2)a∈-7,7【分析】(1)由等腰三角形三线合一知△ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，根据与直线AB垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程；(2)由直线与圆相切得到圆M的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围.【详解】(1)因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A-1,0、B1,2可得：AB的中点D1-12,0+22，即D0,1 ，由k AB=2-01--1=1，得k l=-1，故l的方程为y-1=-x即x+y-1=0；(2)因为l与圆M：x+52+y2=r2相切，故圆心M-5,0，r=|6|1+1=32，圆x2+y-a2=2的圆心坐标为0,a，半径r1=2，则要想圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，则两圆外切、相交或内切，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，即32-2≤-52+a2≤32+2，故22≤25+a2≤42，解得a∈-7,7．。

三角形三条高线交于一点的六种证明方法一、欧拉线证明法：欧拉线证明方法是最常见的证明三角形三条高线交于一点的方法之一。

欧拉线又称欧拉三线，由数学家欧拉提出，并以他的名字命名。

该方法通过对三角形的边、高线和重心进行关联，最终证明三条高线交于一点。

欧拉线证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三条边的中点，分别记为D、E、F。

连接B和C的垂直平分线，交于点O。

则利用垂心定理可得，AO垂直于BC。

同理，连接A和C的垂直平分线与AB的中垂线交于点O'，连接A和B的垂直平分线与AC的中垂线交于点O"，可得BO'垂直于AC，CO"垂直于AB。

因此，三条高线通过点O、O'、O"，即证明了三条高线交于一点。

二、重心证明法：重心证明法是另一种常用的证明方法。

重心是指三角形三条中线交于一点的点，也是三角形内切圆的圆心。

通过证明三角形的三条高线交于重心，可间接证明三条高线交于一点。

重心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三个顶点与相对边的中点，分别记为D、E、F。

以点D为圆心，AC的中点D为半径画圆，与AB和BC相交于点G；以点E为圆心，AB的中点E为半径画圆，与AC和BC相交于点H；以点F为圆心，BC的中点F为半径画圆，与AB和AC相交于点I。

根据圆的性质可知，AG、BH和CI与三条高线垂直且交于一点，即证明了三条高线交于一点。

三、垂心证明法：垂心证明法是通过垂心的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。

垂心是指三角形三条高线交于一点的点，也是三角形外接圆的圆心。

垂心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接任意两个顶点的垂线。

设垂足分别为D、E、F。

连接BD、CE和AF，得到三条高线。

根据垂心定义可知，BD、CE和AF都经过垂心点H。

因此，三条高线交于一点H，即证明了三条高线交于一点。

四、费马点证明法：费马点证明法是通过费马点的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。

三角形的四心三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。

等边三角形的四心重合。

一、三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、三角形的外心三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

三角形的三条垂直平分线必交于一点三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO∵EO垂直平分AC，∴AO=CO∴BO=CO即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。