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关系的闭包

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关系的闭包运算

关系的闭包运算

关系的闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。

比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。

一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。

设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。

R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。

性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。

而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。

性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。

性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；（c）ts(R)⊇ st(R）。

第3章-8关系的闭包

第3章-8关系的闭包
3.8关系的闭包运算
3.8.1 关系的闭包的概念
关系的闭包运算是关系上的一元运算，是包含
该关系且具有某种性质的最小关系。
定义3.8.1：设
传递 对称
传递 对称
传递 对称
自反闭包是包含R的最小自反关系。
s t
定理3.8.1：设是上的二元关系，那么
（1） R是自反的，当且仅当
（2） R是对称的，当且仅当
(
D. 可传递的
B )
（2) 设ρ 是整数集I上的关系，定义为当且仅当 时， ，则ρ 是 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 ( D. 可传递的 A、B )
2. 下图给出了{1,2,3}上三个关系的关系图，试对每一 个图所表示的关系的性质作出判别，并将选中的性质的 代号填入相应的括号内。
若 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 可传递 E. 反自反
R
（3） R是传递的，当且仅当
r R R
3.8.2 闭包运算 1. 自反闭包 2. 对称闭包 3. 传递闭包 一定存在着
使得
练习
1. 从下列各题给出的备选答案中选出正确的答案，并将其 代号填入题后面的括号内。
(1)设A={0,1,2,3}，A上的关系
,则ρ是
A. 自反的
B. 对称的
C. 反对称的
则 是（
则 是（ 则 是（
3
2
1
A﹑B A E
）
） ）
3. 设
，A上的关系
对下列求出的闭包判断正确与否，分别将“Y”或“N”
填入后面的括号。
（ （ （
N
）
Y ） N
）
小结: 本节介绍了关系的闭包的概念及其求 法。重点掌握关系的传递闭包的求法。

关系的闭包运算 离散数学

关系的闭包运算 离散数学

(1)传递闭包的性质
R是传递的，当且仅当 t(R) =R
(2) 构造传递闭包的方法
设R是集合X上的二元关系,则t(R)=
证R∪明R：2∪(1R)3∪∪i∞=1…Ri t(R) 用数学归纳法 1) i=1时，根据传递闭包的定义R t(R)
=
∞
∪
Ri
i=1
2)假设i≥1时，Ri t(R),从而对i+1时， 设<x,y>∈Ri+1 ,∵Ri+1=Ri 。R，则存在某个元 素c，使得<x,c>∈Ri，<c,y>∈R，由归纳假设 有<x,c>∈t(R),<c,y>∈t(R),
S2={<a,c>,<b,d>} S3={<a,d>} S4=, ∴ t(S)=S ∪ S2 ∪ S3
={<a,b>, <a,c>，<a,d>，<b,c>,<b,d>,<c,d>}
闭包的性质
设R1和R2是集合A上的关系且R1 ⊇ R2，则 a）r(R1) ⊇ r(R2) b）s(R1) ⊇ s(R2) b）t(R1) ⊇ t(R2) 定理* 设R是集合X上的二元关系,则
t(R）= R∪R2∪R3∪…∪Rk
分析：只要能够证明出t(R) R∪R2∪R3∪…∪Rk
证明：对x,y∈X，设<x,y>∈t(R)，则必存在最小正整 数k，使得<x,y>∈Rk，现证明k≤n。
若k＞n，则存在结点序列x＝a0,a1,a2 ,… ,ak－1,ak＝y， 使得xRa1 , a1Ra2 ,… ,ak－1Ry。 因为k＞n，则a0,a1,… ,ak中必有相同者， 不妨设ai ＝ aj ,0 ≤i＜j≤k， 于是xRa1 , a1Ra2 ,… ,ai－1Rai ,ajRaj＋1 ,… ,ak－1Ry成立。 即<x,y>∈Rs ,这里s＝k－(j－i)＜k,这与k是最小的假设 相矛盾，于是k≤n，又<x,y>是任意的，故定理成立。

关系的闭包运算

关系的闭包运算

3.8 关系的闭包运算关系作为集合, 在其上已经定义了并、交、差、补、复合及逆运算。

现在再来考虑一种新的关系运算－关系的闭包运算，它是由已知关系，通过增加最少的序偶生成满足某种指定性质的关系的运算。

例如, 设{,,}A a b c =，A 上的二元关系{,,,,,,,}R a a a b b c c c =，则A 上含R 且最小的自反关系是：(){,}r R R b b = ；A 上含R 且最小的对称关系是：(){,,,}s R R b a c b= ； A 上含R 且最小的传递关系是：(){,}t R R a c = 。

定义3.8.1 设R 是X 上的二元关系，如果有另一个X 上的关系'R 满足： （1）'R 是自反的（对称的，传递的）； （2）'R R ⊇；（3）对于任何X 上的自反的（对称的，传递的）关系R ''，若R R ''⊇，就有'R R ''⊇。

则称关系'R 为R 的自反（对称，传递） 闭包(Reflexive (Symmetric ，Transitive) Closure)，记作()()()(),r R s R t R 。

显然，自反（对称，传递）闭包是包含R 的最小自反（对称，传递）关系。

定理3.8.1 设R 是X 上的二元关系，那么 （1）R 是自反的，当且仅当()r R R = （2）R 是对称的，当且仅当()s R R = （3）R 是传递的，当且仅当()t R R = 证明 （1）若R 是自反的，R R ⊇，对任何包含R 的自反关系R ''，有R R ''⊇，故()r R R =；若()r R R =，根据闭包定义，R 必是自反的。

（2）、（3）的证明完全类似。

下面讨论由给定关系R ，求取'R 的方法。

定理3.8.2 设R 是集合X 上的二元关系，则 （1）()X r R R I = ； （2）()1s R R R -=（3）()1i i t R R ∞== ，()t R 通常也记作R +。

关系的闭包教学课件

关系的闭包教学课件

03
关系闭包的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
自反闭包
总结词
自反闭包是关系的一种扩展，它使得每个元素都与自己有关系。
详细描述
自反闭包是通过将所有自反关系（即关系中元素与自身相关）扩展到整个关系 而得到的。如果关系中存在元素A与自身相关，则自反闭包中一定包含该关系。
要点二
详细描述
在推荐系统中，闭包关系可以帮助理解用户的行为和兴趣 ，从而为用户提供更加准确的推荐。例如，通过分析用户 行为路径和物品间的闭包关系，可以发现用户可能感兴趣 的潜在物品或服务，从而为用户提供更加丰富的推荐内容 。同时，利用闭包关系还可以提高推荐系统的多样性，避 免用户陷入信息过载和推荐疲劳的问题。
函数依赖
一种特殊的数据依赖，表示一个属性决定另一个属性 的值。
范式转换
将关系模式从低范式向高范式转换，以消除数据冗余 和异常。
关系闭包与数据库设计
关系闭包
通过计算关系模式的闭包，可以确定关系模式满足的范式级别，从 而指导数据库设计。
闭包计算
通过计算属性集合的闭包，可以确定属性之间的函数依赖关系。
数据库设计优化
提高代码复用
闭包可以用于实现高阶函数、回调函数、观察者 模式等高级编程技术，提高代码复用性和可维护 性。
实现封装和隐藏
通过闭包，可以将数据封装在内部，对外只暴露 必要的接口，实现数据的隐藏和封装，提高代码 的安全性和模块化。
02
什么是关系的闭包？
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
闭包在数据库系统、知识表示、推理等领域有着广泛的应用。例如，在关系数据库中，闭包 可以用于查询优化和数据更新；在自然语言处理中，闭包可以用于语义分析和文本处理；在 人工智能和机器学习中，闭包可以用于知识表示和推理。

9.4关系的闭包

9.4关系的闭包

9.4关系的闭包9.4 关系的闭包闭包的定义:>关系R对于性质P的闭包，是加⼊最⼩数量的序偶，使得R恰好符合性质P所得到的集合 >R的闭包R1具有如下3个特点: >①. R1包含 R >②. R1具有性质P >③. 如果R2具有性质P且R2包含R，那么R2包含R1就R的有向图⽽⾔:1. 找其⾃反闭包(reflexive closure)添加循环/闭环2. 找其对称闭包(symmetric closure)沿相反⽅向添加弧线(箭头)3. 找其传递闭包(transitive closure)如果a到b连通，那么就添加从a到b的弧线(箭头)⾃反闭包(reflexive closure)定理:R是定义在A上的关系，那么R的⾃反闭包r(R) = R∪△如何获得？①. 在R的有向图的所有顶点上添加闭环②. 令R的邻接矩阵的对⾓线上全为1对称闭包(symmetric closure)定理①:R是定义在A上的关系，那么R的对称闭包s(R) = R∪R-1NOTE: R-1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}NOTE: R-1的邻接矩阵是R的邻接矩阵的转置，即: M R T = M R-1定理②:R是对称的，当且仅当 R = R-1NOTE:在对称关系的有向图中，⽤⽆向的边来代替弧线(箭头)路径(Paths)假设R为定义在A上的关系，则R从a到b，长度为n的路径可表⽰为以a为起始点，b为终点的⼀个有限序列π:a, x1, x2, ..., x n-1, b;其中,满⾜:a R x1, x1 R x2, ..., x n-1 R b例:⼀些重要定义:环(cycle):⼀条起始点和终点为相同顶点的路径称为:环(cycle)R n:x R n y表⽰，在R中存在⼀条或多条从x到y的路径连通关系(connectivity relation) R*R*包含的序偶对(a, b)，其中在R中⾄少存在⼀条从a到b的路径例:⼀些重要定理:1. 如果R是定义在A上的关系，那么有:其中，⊙表⽰矩阵布尔乘法证明:2. 当n>=2时，有:证明:科学归纳法(略)连通关系(The connectivity relation)准备路径的合成令:π1: a, x1, x2, … , x n-1, bπ2: b, y1, y2, … , y m-1, c则π1与π2合成后的路径为:π2 o π1:a, x1, x2, … , x n-1, b, y1, y2, … , y m-, cNOTE THE ORDER(注意顺序)传递闭包(Transitive closure)①. 关系R的传递闭包是包含R的最⼩的传递关系。

关系的闭包实例

关系的闭包实例在计算机科学中，关系是指集合之间的一种特殊联系。

一个关系可以用有序对的集合来表示，其中每个有序对由两个元素组成，分别来自两个不同的集合。

在关系理论中，闭包是指对于一个关系R，通过一系列操作得到的包含R中所有满足特定条件的元素对的集合。

关系的闭包在实际应用中有着广泛的用途。

本文将通过几个具体的实例来展示关系的闭包的应用。

1. 传递闭包（Transitive Closure）传递闭包是关系闭包中最重要的一种。

在一个关系R中，如果存在元素a和b，且存在元素c使得(a, c)和(c, b)都属于R，那么就称R 是传递的。

传递闭包就是在一个关系R的基础上，添加任何使得R 成为传递的元素对，直到无法再添加为止。

传递闭包在图论中有着重要的应用，可以用来求解最短路径、网络流等问题。

2. 自反闭包（Reflexive Closure）自反闭包是指在一个关系R的基础上，添加所有未包含在R中的形如(a, a)的元素对。

自反关系在实际应用中很常见，比如在数据库中，可以用自反闭包来表示一个实体与自身之间的关系。

3. 对称闭包（Symmetric Closure）对称闭包是指在一个关系R的基础上，添加所有未包含在R中的形如(b, a)的元素对，使得(a, b)和(b, a)都属于R。

对称闭包在社交网络中有着重要的应用，可以用来判断两个用户之间是否存在朋友关系。

4. 传递自反闭包（Transitive Reflextive Closure）传递自反闭包是指在一个关系R的基础上，同时添加传递闭包和自反闭包。

这种闭包在关系数据库中经常使用，可以用来表示一个实体与自身以及与其他实体之间的传递关系。

以上这些闭包只是关系闭包中的几个常见示例，实际应用中还有许多其他种类的闭包。

关系的闭包可以通过算法来计算，比如使用Warshall算法计算传递闭包，使用Floyd算法计算最短路径等。

总结起来，关系的闭包是在一个关系的基础上，通过添加满足特定条件的元素对来得到的扩展集合。

离散-8-2-关系闭包

i 1
n
证明： t (R ) R
i 1

i
R t (R )
i i 1
n
下面证明：t (R ) R i
i 1
n
x, y t (R ) R i , 有正整数k, 使得<x,y>Rk

有x a 0 , a1 ,, a k 1 , a k y, 使 a i , a i1 R(a i A)(0 i k 1)
主要内容：

关系的闭包

求关系闭包的方法 关系闭包的性质 定义 等价类

等价关系

1
§4.3 关系的运算
5. 关系的闭包(1)

«定理7 证明a) 证明c
定义:设A为集合, RAA,若R’AA，并且满足：
R’是最小扩充
(1) R’是自反的（对称的、传递的）； (2) RR’；
R’是R的扩充
(3) 对任何自反(对称,传递)的关系R’’AA ；若RR’’，必有R’R’’， 则称R’是R的自反（对称、传递）闭包，记作r(R)(s(R),t(R))。 例1:A={a,b,c,d}, R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,d>},
r(R)={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,d>,<b,b>,<c,c>,<d,d>},
8
§4.4 等价关系与集合的划分
1. 等价关系（1）

等价类»
等价关系：设A是集合，RAA，若R是自反的、对称的和传递的， 则称R为A上的等价关系。 若aRb，则称a与b等价。

关系闭包

s(R)＝R∪Rc
证明令R′＝R∪R ，因为R R∪R ，即R′ R，又设<x，g>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R ，即<y，x><∈R 或<y，x>∈R，故<y，x>∈R∪R ，所以R′是对称的。
设R″是对称的且R″ R，对任意<x，y>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R 。当<x，y>∈R则<x，y>∈R″，当<x，y>∈R 时，<y，x>∈R，<y，x>∈R″，因为R″对称，所以<x，y>∈R″，因此R′ R″，故
i＝6，i＝7时，由于第六、七列各元素均为零，A的赋值不变。
传递闭包 在语法分析中有很多应用，现以下例说明。
例题4设有一字母表V＝{A，B，C，D，e，d，f}并给定下面六条规则。
A→Af，B→Dde，C→e
A→B，B→De，D→Bf
R为定义在V上的二元关系且xiRxj，即是从xi出发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为xj。说明每一个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。
定理3-8.2设R是集合X上的二元关系，则
r(R)＝R∪Ix
证明令R′＝R∪Ix，对任意x∈X，因为有<x，x>∈Ix，故<x，x>∈R′，，于是R′在X上是自反的。
又R R∪Ix即R R′。若有自反关系R″，且R″ R，显然有R″ Ix，于是
R″ Ix∪R＝R′，故
r(R)＝R∪Ix
定理3-8.3设R是集合X上的二元关系，则
例题2设A＝{a，b，c，d}，给定A上的关系R为R＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>}，求t(R)。

关系的闭包


0 1 0 0
1 0 0 0
M


1
0
0 0
1 0
0

,
1
E


0
0
1 0
0 1
0

,
0

0
0
0
0


0
0
0
1

0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Mr


1
0
0 0
1 0
0



0
1 0
1 0
0 1
0



M 5 M 4M M 2M M 3,
可见R的幂只有三种，即R，R 2，R 3。
5.4.2 闭包
Mt M M 2 M 3 …
后面的M4 M5 …用不 用加？
不用加了，因为后面的矩阵和前面的重复， 而矩阵的逻辑加A A=A， 故此题中M1 M2 M3 …＝M1 M2 M3
5.4.2 闭包
1 1 1 1
Mt

M

M
2

M
3


1
1
1
1

0 0 0 1

0
0
0
0

注意：对有穷集A来说，R的不同的幂只有有限 种，因此右边一定是有限个项的并。
（对于n元集A，则R的不同幂至多有n个）
5.4.2 闭包
设R是集合A上的关系，A的元素个数为n，
R的传递闭包 t(R) R R2 R3
eg.设A {a,b, c, d}, R { a,b , b, a , b, c , c, d }，
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5
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
ห้องสมุดไป่ตู้
t(R)
6
4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法

集合表示 矩阵表示 图表示


闭包的性质
1
闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对 称或传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以 下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系 R 有 RR.
4
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边： (1)考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环， 最终得到Gr . (2)考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G中加一条 xj 到 xi 的反方向边， 最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的 每一条路径，如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边， 就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图Gt .
一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
2
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = R∪R0 (2) s(R) = R∪R1 (3) t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： • 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多 不超过 Rn. • 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则 s(R)=R; 若R是传递的，则 t(R)=R.
3
闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E
Ms = M + MT
Mt = M + M2 + M3 + …
E 是和 M 同阶的单位矩阵, MT 是 M 的转置矩阵.
注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.