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福建省考研数学复习资料离散数学重点知识点总结离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散结构和离散现象。
在数学的应用中，离散数学有着广泛的应用，特别是在计算机科学、信息技术等领域。
对于参加福建省考研的考生来说，离散数学是必考的一门科目。
本文将对福建省考研数学复习资料离散数学的重点知识点进行总结。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究的是命题以及命题之间的逻辑关系。
在考研数学中，命题逻辑是必不可少的一部分。
对于命题逻辑，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 命题的基本概念：命题是陈述语句，可以判断真假。
常见的命题有简单命题和复合命题。
2. 命题连接词的定义和运算法则：常见的命题连接词有合取、析取、条件和双条件。
考生需了解它们的定义和运算法则，灵活运用。
3. 命题公式的建立：通过命题连接词，可以建立复合命题的命题公式。
考生需要掌握建立命题公式的方法和技巧。
4. 命题公式的语义等价和语义蕴含：语义等价是指两个命题具有相同的真值表；语义蕴含是指一个命题的真值表总是包含在另一个命题的真值表中。
考生需熟练掌握语义等价和语义蕴含的概念。
5. 命题逻辑的推理：命题逻辑中有很多常用的推理规则，如假言推理、析取推理和合取推理等。
考生需要熟悉这些推理规则，掌握应用的技巧。
二、集合论集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合及其运算。
在离散数学中，集合论是必考的一部分。
对于集合论，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 集合的基本概念：集合是由一些确定的对象组成的整体，常用大写字母表示。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
考生需要了解集合的基本概念和符号表示。
2. 集合间的关系：包含关系、相等关系、互斥关系等是集合论中常用的关系。
考生需要熟悉这些关系的定义和性质。
3. 集合的运算：常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
考生需了解集合运算的定义和运算法则。
4. 集合的基本定理：对于集合的基本定理，考生需要了解和掌握。
《离散数学》期末复习大纲一、数理逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与解释、求前束范式。
[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。
7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。
二、集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根律等）及应用本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
一、实验目的1. 理解闭包运算的概念及其在离散数学中的应用。
2. 掌握关系闭包运算（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的求解方法。
3. 利用编程语言实现关系闭包运算，并分析实验结果。
二、实验内容1. 自反闭包运算：给定一个关系R，求出R的自反闭包R^。
2. 对称闭包运算：给定一个关系R，求出R的对称闭包R^s。
3. 传递闭包运算：给定一个关系R，求出R的传递闭包R^t。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm四、实验步骤1. 定义关系R：以矩阵形式表示关系R，其中R[i][j]表示元素i和元素j之间的关系，1表示存在关系，0表示不存在关系。
2. 求自反闭包R^：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^。
b. 遍历R^，对于每个元素R^[i][j]，若R[i][j]=1或i=j，则R^[i][j]=1。
3. 求对称闭包R^s：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^s。
b. 遍历R，对于每个元素R[i][j]，若R[i][j]=1，则R^[i][j]=1且R^[j][i]=1。
c. 遍历R^s，对于每个元素R^[i][j]，若R^[i][j]=1，则R^[j][i]=1。
4. 求传递闭包R^t：a. 初始化一个与R同样大小的矩阵R^t。
b. 遍历R，对于每个元素R[i][j]，若R[i][j]=1，则R^[i][j]=1。
c. 循环执行以下步骤，直到R^t不再变化：i. 遍历R^t，对于每个元素R^[i][j]，若R^[i][k]=1且R^[k][j]=1，则R^[i][j]=1。
五、实验结果与分析1. 自反闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求自反闭包R^，结果如下：1 1 11 1 11 1 12. 对称闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求对称闭包R^s，结果如下：1 1 11 1 11 1 13. 传递闭包运算：给定关系R如下：0 1 01 0 10 1 0求传递闭包R^t，结果如下：1 1 11 1 11 1 1通过实验，我们可以发现：1. 自反闭包运算使得关系R中的所有元素都与自身存在关系。
数据库求闭包的方法数据库中的求闭包是指通过一系列的操作，从给定的关系中获取其函数依赖的闭包。
在数据库中，闭包的概念十分重要，它可以帮助我们理解数据之间的相关性，设计数据库结构，并优化查询性能。
本文将介绍数据库求闭包的方法，涵盖了闭包的概念、算法实现和实际应用。
### 一、闭包的概念#### 1.1 什么是闭包在关系数据库中，闭包指的是一个属性集合，这个属性集合包含了某个关系中的全部依赖于给定属性集合的其他属性。
换句话说，闭包描述了在给定的关系中，通过一系列的推理和推导，可以推出的所有属性集合。
#### 1.2 函数依赖函数依赖是闭包的基础概念。
在关系数据库中，如果关系R中的两个属性集合X和Y存在函数依赖X->Y（读作：“X决定Y”），则对于关系R的任意一个实例r，如果两个实例在X属性上相等，则它们在Y属性上也相等。
这种关系在数据领域中十分常见，通过函数依赖，我们可以推导出很多重要的信息。
#### 1.3 闭包的作用闭包可以帮助我们理解数据之间的依赖关系，设计数据库的范式结构，进行数据库的优化和性能提升。
通过求闭包，我们可以发现属性之间的关系，进而更好地设计数据库模式，避免数据冗余和不一致性，提高数据的存储效率和查询性能。
### 二、求闭包的方法#### 2.1 属性闭包算法属性闭包算法是一种常用的求闭包的方法，它基于属性之间的函数依赖关系进行推导，可以分为直接推导和间接推导两种方式。
- 直接推导：对于给定的属性集合X，直接推导出所有依赖于X的属性，方法是查找所有的形如X->Y的函数依赖，并将Y添加到闭包中。
- 间接推导：通过多次直接推导或者多次应用函数依赖的传递规则，逐步推导出所有的闭包。
#### 2.2 位向量法位向量法是另一种求闭包的经典方法，它通过使用位向量来表示属性集合的依赖关系，进行逐步推导。
该方法相对于属性闭包算法来说，更加高效，并且适用于大规模的数据集。
### 三、实际应用#### 3.1 数据库设计在数据库设计中，我们可以通过求闭包来发现和理解数据之间的关系，进而设计符合范式的数据库结构。
杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院：网络空间安全学院加试科目：离散数学
一、命题逻辑
1、命题及逻辑连接词的概念，自然语言的命题符号化。
2、真值表、命题公式与赋值、命题公式的类型。
3、命题的等价演算。
4、范式。
5、命题公式的推理演算。
二、谓词逻辑
1、个体词、谓词、量词及自然语言命题符号化。
2、谓词公式的解释。
3、谓词公式的等价演算。
4、谓词公式的推理规则及演绎推理。
三、集合和关系
1、集合的概念及集合之间的关系。
2、集合的运算。
3、集合的基本等价式。
4、序偶的概念及笛卡儿积。
5、关系的定义及运算。
6、关系的性质。
7、关系的闭包。
8、等价关系与划分。
9、函数的概念与类型。
10、复合函数和逆函数及相关结论。
四、代数结构
1、代数系统的概念。
2、半群、有幺半群、群的概念及性质。
3、循环群、交换群、子群、正规子群等重要概念以及这些代数结构的特性。
4、陪集及拉格朗日定理的应用。
五、图论
1、图、子图、顶点的度等图论基本概念。
2、路、回路的概念，图的连通性及割集的概念。
3、最短通路。
4、树与生成树。
5、欧拉图和哈密尔顿图。
6、有向图的概述。
7、根树与最优二叉树。
参考书目：《应用离散数学》，方景龙、周丽编著，人民邮电出版社，2014.09。
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
关系传递闭包的计算关系是数据库中最基本的数据结构之一，它用于描述数据之间的联系。
在关系中，元组之间存在着某种联系，这种联系可以用关系运算来表达。
关系运算包括选择、投影、连接和除法等。
在关系运算中，传递闭包是一个非常重要的概念。
本文将介绍传递闭包的定义、性质和计算方法。
一、传递闭包的定义传递闭包是指在一个关系中，如果存在两个元组之间的联系，那么这个联系一定是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
这种联系就是传递闭包。
传递闭包可以用一个关系来表示，它包含了原始关系中所有的联系以及由这些联系导出的所有联系。
例如，假设有一个关系R(A,B,C)，其中元组(A1,B1,C1)和元组(A2,B2,C2)之间存在联系，元组(A2,B2,C2)和元组(A3,B3,C3)之间也存在联系，那么元组(A1,B1,C1)和元组(A3,B3,C3)之间就存在传递闭包。
传递闭包可以表示为一个关系T(A,B,C)，其中包含了元组(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)之间的所有联系。
二、传递闭包的性质传递闭包具有以下性质：1. 传递闭包是原始关系的超集。
也就是说，传递闭包中包含了原始关系中所有的联系。
2. 传递闭包是自反的。
也就是说，每个元组都与自身存在联系。
3. 传递闭包是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
4. 传递闭包是对称的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，那么元组B和元组A也存在联系。
5. 传递闭包是最小的传递关系。
也就是说，如果一个关系R是传递的，那么它的传递闭包一定包含R。
三、传递闭包的计算方法传递闭包的计算方法有两种：Floyd算法和Warshall算法。
1. Floyd算法Floyd算法是一种基于动态规划的算法，它通过计算路径长度来求解传递闭包。
