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关系的闭包等价关系-南京大学计算机科学与技术系

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逻辑与证明(3)-南京大学计算机科学与技术系

逻辑与证明(3)-南京大学计算机科学与技术系


再一例

用谓词逻辑，将下列推理形式化，并对正 确的推理给出推理过程，要指明所假设命 题或谓词的含义

老钱不该来！
再一例



如果税收下降，收入一定上升。现在我的 收入上升了，所以，一定是税收下降了！ 定义命题P：税收下降；命题Q：收入上升 前提：

P Q；Q

结论：

P
?
推理过程的不正确， 不能保证任何结果的正确性

推理过程:

推理过程正确性保障
推理过程正确性的保障需要 数学(具体而言是数理逻辑)的支持！ 数理逻辑基础包括： 命题逻辑和谓词逻辑
蕴涵重言式与导出的推理规则
附加律 化简律
假言推理
取拒式 析取三段论
假言三段论
等价三段论 构造性二难
破坏性二难
1. A ( A B) 2. ( A B) A 3. (( A B) A) B 4. (( A B) B) A 5. (( A B) B) A 6. (( A B) ( B C )) ( A C ) 7. (( A B) ( B C )) ( A C ) 8. (( A B) (C D) ( A C )) ( B D) (( A B) (A B)) B 9. (( A B) (C D) (B D)) (A C )
推理过程

从前提A1, A2, …, Ak为真出发，推出结论B为真的推 理过程是一个表达式序列，该序列最后一个表达 式应是要证明的结论，而其它任一表达式满足如 下的条件,：


它可以是任意一个重言式； 它可以是{A1, A2, …, Ak}中的任何一个表达式； 可以是序列中前面的任一表达式通过应用“替换规则 ”得到的表达式； 可以是对序列中前面任意一个或若干个表达式应用推 理规则得到的新表达式

10%20偏序与偏序格ppt

10%20偏序与偏序格ppt

• 根据箭头的方向自下而上重排 列所有顶点，而后将所有的有 向边替换为无向边
哈斯图
( ) ( )
哈斯图
11
哈斯图（续）
哈斯图
12
哈斯图（续）
哈斯图
13
哈斯图（续）
哈斯图
14
哈斯图（续）
( )
(
哈斯图
)(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
15
偏序集中的特殊元素及其性质
Least, greatest, maximal, minimal element

⑴ 通过偏序集与偏序关系定义
⑵ 通过普通集合与特殊运算定义

本讲我们仅从偏序的角度去定义格，并研
究其中的若干基本运算
偏序关系与格 24
偏序关系与格（续）

格作为偏序集的定义：
：
(
)
偏序关系与格
25
偏序关系与格（续）
( )
(
)
(
)
(
)
偏序关系与格
26
偏序关系与格（续）
( ( ) )
偏序关系与格
：
(
)
偏序集中的特殊元素及其性质
16
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
： ( )
偏序集中的特殊元素及其性质
17从哈斯ຫໍສະໝຸດ 看特殊元素偏序集中的特殊元素及其性质
18
从哈斯图看特殊元素（续）
h f d Upper bounds g e Upper bounds f GLB d c a h g
e B2
b Lower bounds
Discrete Mathematics

闭包和等价关系

闭包和等价关系

例：分析前述例子是否具有传递性 传递性： 传递性：若R是传递的，则RoR ⊆ R 是传递的，
R具性质 自反性
定义
∀x∊A，有〈x，x〉∊R
关系矩阵的特 点
关系图的特点
主对角线元素全是 图中每个顶点都是 环 1 主对角线元素全是 图中每个顶点都没 有环 0 如果， 如果，两个顶点之 间有边， 间有边，一定是 一对方向相反的 边 如果， 如果，两个顶点之 间有边， 间有边，一定是 一条有向边 如果顶点x到y有边， 如果顶点x 有边， y到z有边，则从x 有边，则从x 到y有边
传递性
内容回顾: 内容回顾:关系的性质 A上的关系R={〈1,1〉 上的关系R={ 例:A={1,2,3}, A上的关系R={〈1,1〉, 1,2〉 2,2〉 2,3〉 〈1,2〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉}
1
反对称性
2
3
有时候我们希望R具有一些有用的性质,例如, 自反性(对称性或传递性) 为此,需要在R中添加一些有序对而构成新的 关系,使得新关系具所需要的性质 希望添加的有序对尽可能的少 —即不希望新关系变得太”大” 满足这些要求的新关系就是R的闭包
t （R ） ＝ R ∪ R2 ∪ R3 {<a,a>，<a,b>， <a,c>，<a,d>， <b,a>， ＝{<a,a>，<a,b>， <a,c>，<a,d>， <b,a>， <b,b>， <b,c>， <b,b>， <b,c>，<b,d>, <c,d>}
②、关系矩阵法
自反闭包的关系矩阵： 自反闭包的关系矩阵： Mr(R)=MR+E 对称闭包的关系矩阵： 对称闭包的关系矩阵： Ms(R)=MR+MR’ 传递闭包的关系矩阵： 传递闭包的关系矩阵： Mt(R)=MR+MR2+MR3…….. +MRn-1 .. 利用关系矩阵求R的幂，最后将各个幂的 利用关系矩阵求R的幂， 矩阵逻辑加

关系的闭包运算

关系的闭包运算

关系的闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。

比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。

一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。

设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。

R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。

性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。

而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。

性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。

性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；（c）ts(R)⊇ st(R）。

信息与计算科学专业课程简介

信息与计算科学专业课程简介

信息与计算科学专业课程简介课程代码：3112001131.课程名称：解析几何 Analytic Geometry总学时： 64 周学时： 4学分： 3 开课学期：一修读对象：必修预修课程：无内容简介：《解析几何》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。

它是用代数的方法来研究几何图形性质的一门学科。

《解析几何》包括向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论与二次曲面的一般理论等。

选用教材：吕林根，许子道，《解析几何》(第四版)，高等教育出版社，2006年。

参考书目：周建伟，《解析几何》，高等教育出版社，2005年。

课程代码：311200214、311200314、311200616、3112007152.课程名称：数学分析Ⅰ-Ⅳ Mathematical AnalysisⅠ-Ⅳ总学时：334 周学时：4，4，6，5学分： 18 开课学期：一，二，三，四修读对象：必修预修课程：无内容简介：《数学分析》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业第一基础课。

它提供了利用函数性质分析和解决实际问题的方法, 培养学生严谨的抽象思维能力，为学习其他学科奠定基础。

主要内容有：实数、函数、极限论，函数的连续性。

一元函数微分学，微分学基本定理。

一元微分学应用，实数完备性基本定理，闭区间上连续函数性质的证明，不定积分，定积分及应用，非正常积分。

数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学。

隐函数定理及其应用，重积分，含参量非正常积分，曲线积分与曲面积分。

选用教材：华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版）（上、下册），高等教育出版社，2001年。

参考书目：① 陈纪修，《数学分析》(第二版)，高等教育出版社2004年。

② 刘玉琏，傅沛仁，《数学分析讲义》（第三版），高等教育出版社，1992年。

课程代码：311200416、3112005153.课程名称：高等代数Ⅰ-Ⅱ Advanced AlgebraⅠ-Ⅱ总学时：198 周学时：6，5学分： 11 开课学期：二，三修读对象：必修预修课程：无内容简介：《高等代数》是学科基础课程。

关系闭包

关系闭包
s(R)＝R∪Rc
证明令R′＝R∪R ，因为R R∪R ，即R′ R，又设<x，g>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R ，即<y，x><∈R 或<y，x>∈R，故<y，x>∈R∪R ，所以R′是对称的。
设R″是对称的且R″ R，对任意<x，y>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R 。当<x，y>∈R则<x，y>∈R″，当<x，y>∈R 时，<y，x>∈R，<y，x>∈R″，因为R″对称，所以<x，y>∈R″，因此R′ R″，故
i＝6，i＝7时，由于第六、七列各元素均为零，A的赋值不变。
传递闭包 在语法分析中有很多应用，现以下例说明。
例题4设有一字母表V＝{A，B，C，D，e，d，f}并给定下面六条规则。
A→Af，B→Dde，C→e
A→B，B→De，D→Bf
R为定义在V上的二元关系且xiRxj，即是从xi出发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为xj。说明每一个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。
定理3-8.2设R是集合X上的二元关系，则
r(R)＝R∪Ix
证明令R′＝R∪Ix，对任意x∈X，因为有<x，x>∈Ix，故<x，x>∈R′，，于是R′在X上是自反的。
又R R∪Ix即R R′。若有自反关系R″，且R″ R，显然有R″ Ix，于是
R″ Ix∪R＝R′，故
r(R)＝R∪Ix
定理3-8.3设R是集合X上的二元关系，则
例题2设A＝{a，b，c，d}，给定A上的关系R为R＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>}，求t(R)。

空间集合的闭包、内部、导集、边界的运算关系

空间集合的闭包、内部、导集、边界的运算关系在数学中，空间集合是指三维空间内的某些点的集合。

空间集合可以包含有限个点或是无限个点。

在集合论中，有一些重要的运算关系，如闭包、内部、导集和边界，用来描述和计算集合的性质和特征。

下面将详细介绍这些运算关系。

1.闭包（Closure）：闭包是指一个集合中所有极限点的集合。

对于一维空间中的集合，闭包就是该集合本身加上所有的极限点。

在三维空间中，闭包可以通过将集合中所有点向外延伸一段距离而得到。

闭包运算可以用符号“Cl”来表示。

例如，对于一个包含点(0,0,0)和(1,0,0)的集合A，其闭包可以表示为Cl(A)={所有(0,0,0)和(1,0,0)所组成的直线段以及其延长线上的所有点}。

2.内部（Interior）：内部是指一个集合中所有点的邻域包含在该集合中的点的集合。

对于一维空间中的集合，内部就是该集合本身。

在三维空间中，内部是指该集合中的所有点可以通过连接它们的直线段来得到。

内部运算可以用符号“Int”来表示。

例如，对于一个包含球心在原点半径为1的球体A，其内部可以表示为Int(A)={球面内部的所有点}。

3.导集（Derived set）：导集是指一个集合中所有极限点的集合。

对于一维空间中的集合，导集就是该集合的闭包减去其内部。

在三维空间中，导集可以通过将集合中的点向外延伸一段距离，并去掉该集合的内部所得到。

导集运算可以用符号“D”来表示。

例如，对于一个包含球心在原点半径为1的球体A，其导集可以表示为D(A)={球面上的所有点}。

4.边界（Boundary）：边界是指一个集合中既不属于内部也不属于外部的所有点的集合。

对于一维空间中的集合，边界就是该集合中的极限点。

在三维空间中，边界可以通过将集合的内部和外部之间的分界面上的所有点来得到。

边界运算可以用符号“Bd”来表示。

例如，对于一个包含球心在原点半径为1的球体A，其边界可以表示为Bd(A)={球面上的所有点}。

7.1二元关系的基本概念和表示方法

2
说明
定义7.5 对任意集合A，定义 全域关系 EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A 恒等关系 IA={<x,x>|x∈A} 空关系
举例
设 A={1,2}，那么
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}



小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中 AR。 整除关系：DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除y}，其中 BZ* Z*是非零整数集 包含关系：R＝{<x,y>|x,y∈A∧xy}，其中 A是集合族。
定义7.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。
举例
A={0,1}，B={1,2,3}，那么 R1={<0,2>}，R2=A×B，R3= ，R4={<0,1>} 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的 二元关系。 集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。 2 如果|A|=n，那么|A×A|=n2， A×A的子集就有 2 n 个。 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 n 个不 同的二元关系。 32 例如|A|=3，则A上有 2 个不同的二元关系。
例 设A={1,2},求P(A)×A。 P(A)×A
＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2}
＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}

6-2 关系的闭包与等价关系


A={Boston, Chicago, Denver, Detroit, New York, San Diego} R={ (Boston, Chicago), (Boston, Detroit), (Chicago, Detroit), (Detroit, Denver), (New York, San Diego) }
回到本节开头的那个问题
1. 从x到y有没有电话线连接？
R的有向图中有没有从x到y的路径。 看(x, y)是否属于R的传递闭包。
2. R对应的连通关系R* 3. 连通关系R*就是R的传递闭包。 4. 传递闭包R*的计算 基本关系：R*=k=1n Rk
基本公式：MR*= MR MR[2] MR[3]… MR[n] 沃舍尔算法：更有效，自看。
6.6 次序，偏序关系
不讲。但是也是很基本的，有时候会用到。自学。 概念：集合A上的关系是R，如果它是自反的、反 对称的和传递的，则R称为偏序(关系).
例：整数之“整除关系”、数值的“小于等于”、 集合之包含关系。
区别： 偏序：不是每两个元之间都存在该关系（不可比） 全序：每两个元之间都存在该关系（都是可比的）.
其它等价关系的例子
一所大学中，对来自同一所高中的两个同学a, b， 定义a, b具有关系R，则R为一等价关系。 矩阵中的等价关系：秩相等，等价，相似等。
整数集合上的模m同余关系R，是一个等价关系。给定 mZ+。 如m=3.
将整数集合变成一个有限的小一些的集合A。 考虑其模m同余关系，可以画出其有向图，明显看出A被划 分为m个部分，每一部分的元素是模m同余的，不同部分的 元素不模m同余（每一部分就是一个等价类，下页）。 如m=3：
传递闭包的计算（重点）

关系传递闭包的计算

关系传递闭包的计算关系是数据库中最基本的数据结构之一，它用于描述数据之间的联系。

在关系中，元组之间存在着某种联系，这种联系可以用关系运算来表达。

关系运算包括选择、投影、连接和除法等。

在关系运算中，传递闭包是一个非常重要的概念。

本文将介绍传递闭包的定义、性质和计算方法。

一、传递闭包的定义传递闭包是指在一个关系中，如果存在两个元组之间的联系，那么这个联系一定是传递的。

也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。

这种联系就是传递闭包。

传递闭包可以用一个关系来表示，它包含了原始关系中所有的联系以及由这些联系导出的所有联系。

例如，假设有一个关系R(A,B,C)，其中元组(A1,B1,C1)和元组(A2,B2,C2)之间存在联系，元组(A2,B2,C2)和元组(A3,B3,C3)之间也存在联系，那么元组(A1,B1,C1)和元组(A3,B3,C3)之间就存在传递闭包。

传递闭包可以表示为一个关系T(A,B,C)，其中包含了元组(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)之间的所有联系。

二、传递闭包的性质传递闭包具有以下性质：1. 传递闭包是原始关系的超集。

也就是说，传递闭包中包含了原始关系中所有的联系。

2. 传递闭包是自反的。

也就是说，每个元组都与自身存在联系。

3. 传递闭包是传递的。

也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。

4. 传递闭包是对称的。

也就是说，如果元组A和元组B存在联系，那么元组B和元组A也存在联系。

5. 传递闭包是最小的传递关系。

也就是说，如果一个关系R是传递的，那么它的传递闭包一定包含R。

三、传递闭包的计算方法传递闭包的计算方法有两种：Floyd算法和Warshall算法。

1. Floyd算法Floyd算法是一种基于动态规划的算法，它通过计算路径长度来求解传递闭包。

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k R k 1


传递闭包
t ( R) R *
1. 若 ( x, y ) R*, ( y, z ) R*, 则有s1 , s2 ,..., s j 以及 t1 , t2 ,..., tk , 满足： ( x, s1 ),, ( s j , y ), ( y, t1 ),, (tk , z ) R, 因此, ( x, z ) R * . 2. R R*
3. 设 R' 是集合A上的传递关系, 且包含R。若( x, y ) R* , 则有 t1 , t2 ,..., tk , 满足： ( x, t1 ),, (tk , y ) R, 于是 ( x, t1 ), (t1 , t2 ),, (tk , y ) R' 根据R' 的传递性， ( x, y ) R'.
关系的闭包：一般概念

设R是集合A上的关系，P是给定的某种性质（如： 自反、对称、传递），满足下列所有条件的关系R1 称为R的关于P的闭包:

RR1 R1 满足性质P

如果存在集合A上的关系R’，R’ 满足性质P 并包含R，则 R1R’

自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R)
利用公式证明闭包相等

证明：r(s(R)) = s(r(R))

r(s(R)) = r(RR-1) = (RR-1)IA = (RIA)(R-1IA-1) = (RIA)(RIA)-1 = s(RIA) = s(r(R))
(注意：IA=IA-1, 并用等幂率)
注意：r(s(R))一般省略为rs(R)
闭包的定义 闭包的计算公式 传递闭包的Warshall算法 等价关系 等价类 划分
“闭包”
一个对象
橘黄色圈满足： １．是圆的（性质） ２．包含所给对象 ３．如果有个绿色圆也能 包含该对象，就一定 也能包含这个橘黄圈
青色框满足： １．是正方形的（性质） ２．包含所给对象 ３．如果有个红色正方形 也能包含该对象，就 一定也能包含这个青 色框
注意：传递关系的对称闭包不一定是传递的。比如：{(1,3)}
关于P的闭包是否存在性？

令R是A上的关系


若存在，则必是唯一的。
存在性：

令：
R' {X | R X X具有性质P}
A×A（自反、对称、传递）保证了R’存在 易证：R’具有性质P

闭包计算可行性尚待讨论

自反闭包和对称闭包显然存在 传递闭包理论上存在
关系的闭包、等价关系
离散数学－集合论 南京大学计算机科学与技术系
回顾

关系：笛卡尔积的子集

函数的定义

关系的运算



子集的像
单射与满射
集合运算；复合运算；逆

0-1矩阵运算

关系的性质

反函数
函数的复合 函数加法与乘法
自反，反自反，对称，反对 称，传递

图特征；矩阵特征
提要

自反闭包的计算公式

r(R) = RIA, IA是集合A上的恒等关系 (证明所给表达式满足自反闭包定义中的三条性质) 1. 对任意 xA, (x,x)IA, 因此, (x,x)RIA 2. RRIA 3. 设 R’ 集合A 上的自反关系，且RR’, 则对 任意 (x,y)RIA, 有(x,y)R, 或者 (x,y)IA。 对两种情况，均有 (x,y)R’, 因此, RIAR’
自反闭包的定义

设 R的是集合A上的关系，其自反闭包r(R)也是A 上的关系，且满足：

r(R)满足自反性； R r(R); 对A上的任意关系R’, 若R’也满足自反性，且也包含R，则 r(R)R’

例子

令A={1,2,3}, R={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}。则r(R)={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2), (2,2), (3,3)}。


情况1: (x,y) R, 则 (x,y) R’

情况2: (x,y) R-1, 则 (y,x) R, 于是 (y,x) R’。根据R’的对称 性：(x,y) R’
因此, s(R) R’
连通关系

R是集合A上的关系 定义集合A上的“R连通”关系R*如下：

对任意a,bA, a R*b 当且仅当：存在t1,t2…tk A(k是正整 数)，满足(a,t1) R; (t1,t2)R;…; (tk,b)R。(可以表述为： 从a到b之间存在长度至少为1的通路) 显然：对任意a,bA, a R*b 当且仅当存在某个正整数k, 使得aRkb。 于是：R* = R1R2R3…Ri… =
对称闭包的计算公式

s(R) )是对称的。对任意 x,yA, 如果 (x,y)s(R), 则(x,y)R 或 者(x,y) R-1, 即(y,x) R-1, 或者 (y,x) R, (y,x)s(R) R s(R) 设R’是集合A上的对称关系, 并且RR’, 则对任意(x,y)s(R), 有(x,y) R, 或者(x,y) R-1.
用定义证明有关闭包的性质
证明： st ( R ) ts( R )
注意： 左边是t ( R)的对称闭包， 根据定义，我们只需证 明： （ 1 ）ts( R)满足对称性; (2)t ( R) ts( R)
证明(2), 考虑到左边是R的传递闭包， 我们只需要证明： (i) R ts( R) (显然)， (ii) ts( R)满足传递性(显然)。 证明(1) : 对任意( x, y) ts( R), t1 , t 2 ,...,t k , 满足 ( x, t1 ) s ( R), (t1 , t 2 ) s ( R),...,(t k , y ) s ( R), 而s( R)满足 对称性， ( y, t k ) s ( R),...,(t 2 , t1 ) s ( R), (t1 , x) s ( R), 于是： ( y, x) ts( R), ts( R)满足对称性。