高中数学必修4北师大版 二倍角的三角函数第2课时 学案

课题：高一数学（必修四）§3.3二倍角的三角函数 （二）班级： 学生姓名:【学习目标】1.学生通过两角和公式推导二倍角公式，并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力。

2.理解二倍角正切公式中角的取值范围。

3.通过二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简。

体会化归这一基本数学思想在求值、化简中所起的作用. 【学习重点】二倍角、半角公式推导及其应用.【学习难点】灵活应用和、差、倍、半角公式进行三角式化简、求值。

【预习展示】提出问题①将倍角公式cos2α=1-2sin 2α中的α用2α代替能否得出2sin α的值？若可以请写出。

②由①你可以推出2cosα，2tanα的值吗 ？请写出。

【才华展示】例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22︒30’cos22︒30’=②．=-π18cos 22③．=π-π8cos 8sin 22④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin②．=α-α2sin 2cos 44③．=α+-α-tan 11tan 11④．=θ-θ+2cos cos 212例1：已知cos θ=-53，且π≤θ≤23π，求2tan θ。

【自我展示】求8tan ,8cos ,8sin πππ的值例2：已知已知sin2α=-178，且2π＜α＜43π，求sinα,cosα,tanα的值【小试身手、轻松过关】1．sin22︒30’cos22︒30’=__________________;2．=-π18cos 22_________________;3．=π-π8cos 8sin 22____________________;4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8__________________.5．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin__________________; 6．=α-α2sin 2cos 44____________________;7．=α+-α-tan 11tan 11___________________;8．=θ-θ+2cos cos 212______________________. 【基础训练、锋芒初显】2.已知180°＜2α＜270°，化简αα2sin 2cos 2-+=（ ） A 、-3cos α B 、3cos α C 、-3cos α D 、3sin α-3cos α 10、已知)3,25(ππα∈，化简αsin 1-+αsin 1+= （ ） A 、-2cos 2α B 、2cos 2α C 、-2sin 2α D 、2sin 2α11、已知sin 2α=53，cos 2α=－54，则角α是 （ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角12、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。

3.3 二倍角三角函数第2课时 半角公式半角公式 预习交流1如何确定公式中正、负号？巧记“半角公式〞无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号〞即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋〞号，而y ＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－〞号．预习交流2怎样用sin α，cos α表示tan α2？预习交流3假设cos 22°＝a ，那么sin 11°＝________，cos 11°＝________.(用a 表示)答案：α预习交流1：提示：根号前“±〞是由角“α2〞所在范围来确定，如果不能确定角“α2〞范围，“±〞应保存．预习交流2：提示：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α此公式特点是用角α正、余弦表示半角α2正切，与半角公式相比，防止了开方与讨论符号麻烦，用起来简单明了，在三角恒等变形中经常使用．1．用半角公式求值sin α＝－817且π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2值．思路分析：半角公式是用单角余弦值求半角三角函数值，因此要先根据条件求出cos α，再代入半角公式求值．|cos θ|＝35，且5π2＜θ＜3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2值．角α某三角函数值，用半角公式可求α2正弦、余弦、正切值，思路是先由利用同角公式求出该角余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据α2范围确定正负号．2．利用公式化简证明 化简：错误!(0＜θ＜π)．思路分析：式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进展化简．sin x tan x ＜0，化简1＋cos 2x 结果是( )． A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x1.三角函数式化简方法与技巧：(1)应用公式：根据式子构造，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．(2)统一函数名称与角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数名称与角种类．(3)特殖值与特殊角三角函数互化：如3＝tan 60°. (4)注意“1”代换，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan 45°＝1. 2．证明三角恒等式常用方法：(1)直接法：直接从等式一边开场转化到等式另一边，一般是按照由繁到简原那么进展，依据是相等关系传递性．(2)综合法：由一个等式(或已有公式等)恒等变形到所要证明等式．(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式证明．3．利用公式解决三角函数综合问题函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b (a >0)．(1)化简函数解析式将其写成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式； (2)求函数递减区间及函数图像对称中心．思路分析：先用二倍角公式化成“2x 〞三角函数，再用辅助角公式化简，最后研究其性质．在题设条件不变根底上，假设x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，f (x )最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 值．运用公式解决三角函数综合问题思路：(1)运用与、差、倍角公式化简．(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，研究其性质． 答案：活动与探究1：解：∵sin α＝－817，π＜α＜3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8172＝－1517.又π2＜α2＜3π4， ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－15172＝－1717，tan α2＝sin α2cosα2＝－4.迁移与应用：解：∵|cos θ|＝35，5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－35.又∵5π4＜θ2＜3π2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sinθ2cosθ2＝2.活动与探究2：解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin θ2·co s θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22×2cos2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ2<π2 ＝sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ.迁移与应用：B 解析：∵sin x ·tan x ＜0，∴cos x ＜0.∴1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝－2cos x .活动与探究3：解：(1)f (x )＝12a sin 2x －3a ·1＋cos 2x 2＋32a ＋b＝12a sin 2x －32a cos 2x ＋b ＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)． (2)令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋1112π.∴f (x )递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．∴函数图像对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2＋π6，b . 迁移与应用：解：∵f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)， 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3.当2x －π3＝π2时，f (x )max ＝a ＋b ，当2x －π3＝－π3时，f (x )min ＝－3a2＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－3a2＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3－2.∴a ＝2，b ＝3－2.1．在tan x2定义域内，以下各式中恒成立一个是( )．A ．tan x2＝1－cos x1＋cos xB ．tan x2＝－1－cos x1＋cos xC ．tan x 2＝1－cos xsin xD ．tan x2＝sin x1－cos x2．假设cos α＝23，且α∈(0,2π)，那么sin α2等于( )．A.66 B ．－66 C.306 D ．－3063．sin α2＝45，cos α2＝－35，那么α所在象限是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 最小正周期是________．5．α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cosα－β2值．答案：1．C2．A 解析：∵α∈(0,2π)，∴α2∈(0，π)．∴sin α2＝1－cos α2＝1－232＝16＝66. 3．C 解析：sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝2cos 2α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－352－1＝－725＜0，∴α在第三象限．4．2π 解析：f (x )＝2×1＋cos x2＋sin x ＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋1. ∴T ＝2π.5．解：由题意得cos α＝－35，cos β＝513.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365. 又π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴0＜α－β2＜π2.。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1． 能利用倍角公式推导半角公式，掌握半角公式的结构特征．2． 灵活应用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明．【重点难点】倍角公式和半角公式及其应用．【使用说明】 复习回顾倍角公式，在倍角公式中用2α代替α根据提示推导半角公式，熟记公式的结构特征并灵活应用．【自主学习】1． 复习回顾： sin 2α＝___________________；cos 2α＝__________________＝___________________＝____________________；tan 2α＝__________________．2． 新知探索：在二倍角公式2cos 212sin αα=-和2cos 22cos 1αα=-中，用2α代替α得： cos α＝___________________和cos α＝____________________． 由此得：sin 2α＝__________________； cos 2α＝___________________． 用上面两个公式两边分别相除，可得：tan 2α＝_________________．又根据正切函数的定义，还可得：sin sin 2cos 222tan 2cos cos 2cos 222ααααααα⋅===⋅___________；sin sin 2sin 222tan 2cos cos 2sin 222ααααααα⋅===⋅____________．以上得到的五个有关半角的三角函数公式，称之为半角公式． 在这些公式中，根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确 定，如果2α所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．2．已知等腰三角形顶角的余弦值等于513，求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值．3． 求证： (1) 12tan tan tan 2A A A -=-； (2) 21sin 2cos ()42παα-=+．【课堂检测】【课后训练】1． 填空： (1) sin8π＝__________，cos 8π＝__________，tan 8π＝__________； (2) 已知4sin ,180270,5αα=-<<则tan 2α＝__________． 2．已知tan 2α=，α是锐角，求tan 2α的值．3．求证：(1) sin (1cos 2)sin 2cos θθθθ+=； (2) 21sin 2cos ()42παα+=-．。

科目：教师：授课时间：第 11 周星期 5精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

§3 二倍角的三角函数Q 情景引入ing jing yin ru如图甲所示，已知弓弦的长度AB ＝2a ，弓箭的长度MN ＝2b (其中MA ＝MB ，MN ⊥AB )．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A ，B 的连线的距离相等(如图乙所示)，设∠AMN ＝α，你能用a ，b 表示∠AMB 的正切值，即tan 2α的值吗？tan 2α与tan α之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍角与半角公式的知识．X 新知导学in zhi dao xue1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)在和角公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，当α＝β时就可得到二倍角的三角函数公式S 2α，C 2α，T 2α.sin 2α＝__2sin αcos α__，cos 2α＝__cos 2α－sin 2α__，tan 2α＝__2tan α1－tan α__.(2)余弦函数的二倍角公式有三种形式，即cos 2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α－1__＝__1－2sin 2α__，由此可得变形公式sin 2α＝__1－cos2α2__，cos 2α＝__1＋cos2α2__，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．2．半角公式 (1)sin α2＝__±1－cos α2__. (2)cos α2＝__±1＋cos α2__. (3)tan α2＝__±1－cos α1＋cos α__＝__sin α1＋cos α__＝__1－cos αsin α__.在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．[知识点拨]1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．二倍角公式的逆用、变形用 (1)逆用形式：2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝12sin 2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α；2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)变形用形式：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 1＋cos 2α＝2cos 2α； 1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2； sin 2α＝1－cos2α2.Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( D )A ．75B ．125C ．1225D ．2425[解析] sin 2α＝2sin αcos α＝2425.2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( C )A ．89B ．79C ．－79D ．－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.3．若tan α＝12，则tan 2α＝( A )A ．43B ．34C ．15D ．－43[解析] tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43.4．cos 2π8－sin 2π8＝__22__.[解析] 由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos (2×π8)＝22.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨二倍角公式的正用典例1 已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．[思路分析] sin α＋cos α＝13→sin2α→cos2α→tan2α[解析] ∵sin α＋cos α＝13∴sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝19，∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－sin2α＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179，∴tan 2α＝sin2αcos2α＝81717.『规律总结』 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．〔跟踪练习1〕已知sin α＝513，α∈(π2，π)，求sin 2α、cos 2α、tan 2α的值． [解析] ∵sin α＝513，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169，tan 2α＝sin2αcos2α＝(－120169)÷119169＝－120119.命题方向2 ⇨二倍角公式的逆用典例2 求下列各三角函数式的值：(1)cos 72°cos 36°； (2)1sin50°＋3cos50°. [思路分析] 对于(1)题，72°＝2×36°，应想办法“凑”成二倍角形式；对于(2)题，须先通分，分子引入辅助角后适合两角和的正弦公式，分母恰好也适合二倍角的正弦公式，约分后即可得值．[解析] (1)原式＝cos 36°·cos 72° ＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14. (2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°·cos50°＝2sin (50°＋30°)12sin100°＝4sin80°sin100°＝4.『规律总结』 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)当公式出现2sin αcos α时，要逆用公式，然后再寻找关系解决． 〔跟踪练习2〕求下列各式的值：(1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2390°；(3)2tan330°1－tan 2330°； (4)1sin10°－3cos10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°. [思路分析] 观察角的特点→寻求角的联系→选择公式→化简求值 [解析] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos (2×390°)＝cos 780° ＝cos (2×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan (2×330°)＝tan 660°＝tan (720°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4. (5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·sin80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.命题方向3 ⇨半角公式的应用典例3 已知sin α2－cos α2＝－55，450°<α<540°，求tan α2的值．[思路分析] 要求tan α2的值，结合条件，可以联立sin 2α2＋cos 2α2＝1，求得sin α2，cosα2，从而获解．但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法．[解析] 由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.而450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.『规律总结』 利用半角公式求tan α2的值时，为避免讨论，一般尽量采用半角正切公式的有理式tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，利用半角公式求sin α2，cos α2的值时，要注意根号前面的符号由角α2所在象限相应的三角函数值的符号来确定．〔跟踪练习3〕已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值．[分析] 本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得． [解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2.由cos θ＝1－2sin 2θ2，有sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55， ∴tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2.X 学科核心素养ue ke he xin su yang二倍角公式的变形应用典例4 (1)化简：21＋sin8＋2＋2cos8；(2)设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α. [思路分析] (1)1＋sin 8＝sin 24＋2sin 4cos 4＋cos 24＝(sin 4＋cos 4)2,2(1＋cos 8)＝4cos24.(2)连续运用公式：1＋cos 2α＝2cos 2α.[解析] (1)原式＝21＋2sin4cos4＋4cos 24＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.因为4∈(π，3π2)，所以sin 4<0，cos 4<0.故原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4＝－2(sin 4＋2cos 4)． (2)因为α∈(3π2，2π)，所以cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α ＝cos 2α2＝|cos α2|＝－cos α2.『规律总结』 二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”．(2)公式变形的主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 〔跟踪练习4〕化简cos 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋sin (θ＋180°)·cos (θ－180°)． [解析] 原式＝1＋cos (2θ＋30°)2＋1－cos (2θ－30°)2＋12sin 2θ＝1＋12[cos (2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋12sin 2θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°)＋12sin2θ＝1＋(－sin 2θsin 30°)＋12sin 2θ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例5 已知θ是第二象限角，化简1＋sin θ＋1－sin θ.[错解] 原式＝1＋2sin θ2cos θ2＋1－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2＋cos θ2)2＋(sin θ2－cos θ2)2＝sin θ2＋cos θ2＋sin θ2－cos θ2＝2sin θ2. [错因分析] 在去根号时，对sin θ2±cos θ2的符号未加以讨论，导致化简错误．[正解] 原式＝1＋2sin θ2cos θ2＋1－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2＋cos θ2)2＋(sin θ2－cos θ2)2＝|sin θ2＋cos θ2|＋|sin θ2－cos θ2|.因为θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<θ2<k π＋π2，k ∈Z ，所以原式＝⎩⎨⎧2sin θ2(2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z )，－2sin θ2(2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z ).『规律总结』 盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述．〔跟踪练习5〕若 (1－cos θ1＋cos θ－1＋cos θ1－cos θ)sin θ2cosθ2(sin θ2－cos θ2)(sin θ2＋cos θ2)＝1，则θ的取值范围是__(2k π，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .__[解析] 化简，原式左边＝((1－cos θ)21－cos 2θ－(1＋cos θ)21－cos 2θ)12sin θ－cos θ＝(1－cos θ|sin θ|－1＋cos θ|sin θ|)sin θ－2cos θ＝－2cos θ|sin θ|·sin θ－2cos θ＝sin θ|sin θ|.由题意知sin θ>0且cos θ≠0，解得θ的取值范围是(2k π，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋π)，k∈Z .K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．cos 2π8－12的值为( D )A ．1B ．12C ．22D ．24[解析] 原式＝1＋cosπ42－12＝12＋24－12＝24.2．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝( D ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f ()x ＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( C )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π[解析] f (x )＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 4．已知tan (π4＋α)＝2，则tan 2α＝__34__.[解析] ∵tan (π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.5．利用倍角公式求下列各式的值． (1)2sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°；(4)cos π12cos 5π12； (5)1sin10°－3cos10°. [解析] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π6＝12. (2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1500°＝cos (60°＋4×360°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cosπ12cos ⎝⎛⎭⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12·⎝⎛⎭⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. (5)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin (30°－10°)sin (2×10°)＝4sin20°sin20°＝4.。

§2二倍角的三角函数在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？ 【提示】 成立．1．sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； 2．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α ＝2cos 2α－1(C 2α)； 3．tan 2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α).二倍角公式cos 2α＝2cos 2α－1中的α换作α2可得什么样的结论？cos α2等于多少？【提示】 cos α＝2cos 2α2－1得cos α2＝±1＋cos α2. 1．sin α2＝±1－cos α2； 2．cos α2＝±1＋cos α2； 3．tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.求下列各式的值．(1)cos 275°－sin 275°；(2)cosπ12cos 512π； (3)12－cos 2π8；(4)－23＋43cos 215°. 【思路探究】 将已知式子变形、处理，然后逆用二倍角公式求解． 【自主解答】 (1)cos 275°－sin 275°＝cos(2×75°)＝cos 150°＝－32. (2)cosπ12cos 512π＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (3)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1) ＝－12cos π4＝－12×22＝－24. (4)－23＋43cos 215°＝23(2cos 215°－1)＝23cos 30°＝23×32 ＝33.利用二倍角公式求值时，需要对所给式子分析其特点，从角的关系出发或从函数名的关系出发，将所给式子变形，然后灵活运用二倍角公式求解．求下列各式的值： (1)2tan 15°1－tan 215°； (2)tanπ12－1tanπ12； (3)cos π7cos 27πcos 47π.【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)tan π12－1tan π12＝tan π12－cosπ12sinπ12＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝sin 2π12－cos 2π12cos π12sin π12＝－cos π612sinπ6＝－32×2×2＝－2 3. (3)cos π7cos 27πcos 47π＝sin π7cos π7cos 27πcos 47πsinπ7＝12sin 27πcos 27πcos 47πsin π7＝14sin 47πcos 47πsinπ7＝18sin 87πsin π7＝18sin (π7＋π)sinπ7＝－18sin π7sinπ7＝－18.化简：(1tan α2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)．【思路探究】 题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即可．【自主解答】 (1tanα2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝(1＋cos α－1＋cos αsin α)(cos αcos α＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.三角函数式化简的原则与技巧：(1)原则形式简单三角函数名称尽量少次数尽量低最好不含分母能求值的尽量求值 (2)技巧：“切化弦”、“升幂或降幂”、“1”的代换．若32π<α<2π，化简 12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， ∴cos α>0，cos α2 <0，∴ 12＋12 12＋12cos 2α ＝ 12＋12 12(1＋cos 2α) ＝ 12＋1212×2cos 2α ＝ 12＋12cos α ＝ 12(1＋cos α) ＝cos 2α2＝－cos α2.已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间． 【思路探究】化简函数式――→和差公式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 形式。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 二倍角的三角函数教案北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 二倍角的三角函数教案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律。

通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想。

这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”。

在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理.三维目标1。

§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式2．半角公式 (1)sin α2＝± 1－cos α2； (2)cos α2＝± 1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( )(2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.()(3)对任意α∈R，总有tan 2α＝2tan α1－tan2α.()(4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.()【解析】(1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错．(2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋kπ2(k∈Z)时，有tan 2α＝2tan α1－tan2α，所以(3)错．(4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tanα2的值．【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2. 【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63.∴tan α＝sin αcos α＝－ 2. ∵α为第四象限角， ∴α2是第二或第四象限的角， ∴tan α2<0.由tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α2＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：66470073】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－173×13＝－179，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717.化简：(1)cos 10°·(1＋3tan 10°) cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】(1)先把切化弦，再用二倍角公式化简．(2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】(1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2. (2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2， ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题]2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α.【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0. 故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？ 【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题]3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：66470074】A ．－13B ．－23 C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306.【答案】－30 64.已知cos 2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ＝________.【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos22θ)＝1118.【答案】11 185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos2θ＋cos θ＝tan θ.【证明】左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

§二倍角的三角函数
．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)
．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) ．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理二倍角公式与半角公式
阅读教材～练习以上部分，完成下列问题．
．二倍角公式
．半角公式
()＝±α))；
()＝±α))；
()＝±α＋α))＝α＋α)＝α α).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()对任意α∈，总有α＝α.( )
()对任意α∈，总有α＝－α.( )
()对任意α∈，总有α＝α－α).( )
() °′ °′＝.( )
【解析】() α＝αα，所以()错．
() α＝α－，所以()错．
()α≠＋(∈)时，有α＝α－α)，所以()错．
() °′ °′＝× °′ °′＝°＝，所以()对．
【答案】()×()×()×()√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
已知α＝，α为第四象限的角，求的值．
【精彩点拨】根据条件求出α，然后求出α，利用半角公式求. 【自主解答】∵α为第四象限的角，α＝，
∴α＝－＝－.
∴α＝α α)＝－.
∵α为第四象限角，
∴是第二或第四象限的角，
∴<.。