下载文档原格式
§3.2 二倍角的三角函数 课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sin α＝________________，sin2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________，1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos20°cos40°cos80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 8．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A＝tan 4A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4， 求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：tan70°·cos10°·(3tan20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos2α2 1＋cos2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2. 2.18解析 原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析 设α为该等腰三角形的一底角， 则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α ＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 8.π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos2A ＋2cos 22A －13＋4cos2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos2A 1＋cos2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A ＝tan 4A .12．解 sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x＝sin2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin(－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32，此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0， 此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。
3．2 二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？基础巩固 1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f(sin x)＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎫32等于________．答案：－124．sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________.答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是________．答案：π26．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋127．sin 2π12－cos 2π12等于________．答案：－328.tan 22.5°1－tan 222.5°＝________.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝() A.22 B.33C. 2D. 3解析：由已知得：cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案：11611．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________.解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1， ∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)·2＝2×2×…×223个＝223.答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2. ∴π<2α－β<5π2，又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213， ∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos ＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665， ∴sin 2α＝1－cos 2α2＝9130，∴sin α＝3130130.13．(2014·4月韶关模拟)已知函数f(x)＝23cos x·sin x ＋2cos 2x.[](1)求f ⎝⎛⎭⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f(x)的值域．解析：(1)f(x)＝23cos xsin x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴f ⎝⎛⎭⎫43π＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＝π6时，f(x)max ＝3；当x ＝π2时，f(x)min ＝0.故f(x)的值域是．。
1 若54cos -=α，α是第三象限的角，则2tan12tan 1αα-+=（ ）A. 21-B. 21C. 2D. 2- 2. 函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数3 若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4 函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为（ ） A. π2 B.23π C. π D. 2π 5已知函数)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f （1）求)(x f 的定义域；（2）若角α在第一象限，且53cos =α，求)(αf （3）若223)4tan(+=+πα，则αα2sin 2cos 1-= 6．函数y =2-sin 2x 是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数7．函数y =3sin x +2cos x 的最小值是 A ．0 B ．-3 C ．-5 D ．-13 8．已知函数f (x )＝a (2cos 22x ＋sin x )+b .(1)当a =1时,求f (x )的单调递增区间(2)当x ∈[0,π]时，f (x )的值域是[3，4]，求a 、b 的值.9．已知tanα =43-，则tan 2α的值为 _______10．函数f (x ) = | sin x +cos x | 的最小正周期是 A 、4π B 、2π C 、π D 、2π1122sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+A 、tan αB 、tan2αC 、1D 、1212．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于 A ．12B ．2C ．14D ．413．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z )C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z )14．已知sin120=a ,则sin660= .15．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是A ．[2,2-]B ．[1,2-]C ．[0,2]D ．[1,2]16．已知函数f (x )=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f (x )的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f (x )是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.17．已知sin 2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于 （ ）A ．183B ．2213C ．223 D ．6119．已知sin α=55,则cos4α的值是π A ．254 B ．257-C ．2512 D ．2518-20、求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.21．讨论函数f (x )=|sin x +cos x |-|sin x -cos x |的性质，并在函数性质的基础上作出函数的草图.22. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= f (x +2),x ∈[3,5]时,f (x )=2-|x -4|,则 A ．f (sin π6)<f (cos π6） B ．f (sin1)>f (cos1） C ．f (cos 2π3)<f (sin 2π3） D ．f (cos2)>f (sin2）23．函数y =tan(21x -3π)在一个周期内的图象是（ ）24、若θ∈（54π，32π）,化简：1sin 21sin 2θθ++-的结果为A 2sin θ （Ｂ）2cos θ （Ｃ）- 2sin θ （Ｄ）-2cos θ25函数y =x +sin|x |,x ∈[-π, π]的大致图象是y y y y π π π-π o π x -π o π x -π o π x π x26．若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( ) A ．[2,2]- B ． 31(1,)2-- C ．31[1,]2-- D ．31(1,]2-- 27．使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在[0，]4π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．3πB ．32π C ．34π D ．35π28．求ϕ使函数3cos(3)sin(3)y x x ϕϕ=---是奇函数。
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
3.2 二倍角的三角函数一、填空题1．2sin 222.5°－1＝________. 2.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 4．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 5．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 6．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是________． 7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是________． 8．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 二、解答题9．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 11．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 三、探究与拓展12．化简：(1)cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x2n .答案 1．－22 2.2 3.－79 4．2 5．3 6.459 7．－155 8．3 9．解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 10．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°1＋3tan 10°－co s 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 12．解 (1)原式＝125sin π11·25sin π11·cos π11cos 2π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋16π11＝125sin π11·24sin 2π11cos 2π11cos 4π11·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π11⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 16π11 ＝125sin π11·23sin 4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11 ＝125sin π11sin 32π11 ＝125sin π11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π11 ＝sin π1125sin π11＝132. (2)原式＝12n sin x 2n ·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x 2n ＝12n sin x 2n ·2n －1· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x2n ·cos x2n ·cos x 2cos x 4…·cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n ·2n －1sin x 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1 ＝sin x 2n sin x 2n .。
3.2 二倍角的三角函数（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分） 1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 . 2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋错误!未找到引用源。
)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 22x ＋sin x 的最小正周期是________．6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分) 7．（15分）求cos π7cos 2π7cos 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分) 已知f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＋a，a ∈R.(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.一、填空题1. 43-解析：由f （tan x ）=tan 2x= 22tan 1tan x x-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin2αcos 2α，tan 2α＝sin2cos 2αα， ∴sin α与tan2α同号． 3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13,原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f(x)＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75. 二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos7777π2sin7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos77π8sin7=8πsin 7π8sin 7=πsin7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2k π≤2x＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ， ∴212cos 1sin 13αα=--=-，∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-，cos 2α = 211912sin 169α-=，tan 2α = 119120-.。
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业二十六二倍角的三角函数(一)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin15°sin105°=( )A. B.- C. D.-【解析】选A.sin15°sin105°=³2sin15°sin(90°+15°)=³2sin15°cos15°=sin30°=.2.(2016²全国卷Ⅲ)若tanθ=-，则cos2θ=( )A.-B.-C.D.【解题指南】选择合适的运算公式，尽量避免讨论.【解析】选D.因为cos2θ=cos2θ-sin2θ==，又tanθ=-，所以代入上式可得cos2θ=.3.已知sin2α=，则cos2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin2α=，所以cos2====.4.(2016²阜阳高一检测)已知cos=，且sinθ<0，则tanθ的值为( )A.-B.±C.-D.【解析】选C.已知cos=，且sinθ<0，所以cosθ=2cos2-1=2×-1=，故sinθ=-=-，所以tanθ==-.5.(2016²景德镇高一检测)若tanθ+=4，则sin2θ=( )A. B. C. D.【解析】选D.因为tanθ+=4，所以+=4.所以=4，即=4.所以sin2θ=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知<α<π，3sin2α=2cosα，则cos(α-π)=________. 【解析】因为<α<π，3sin2α=2cosα，所以sinα=，cosα=-.所以cos(α-π)=-cosα=-=.答案：7.cos=，那么sin2x=________.【解析】因为cos=，所以sin2x=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-.答案：-8.已知AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=4DB，设∠COD=θ，则cos2θ=________.【解题指南】利用圆的性质求出cosθ，再用二倍角公式求cos2θ. 【解析】如图，因为AD=4DB，所以OC+OD=4(OC-OD)，即3OC=5OD，所以cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=2×-1=-.答案：-三、解答题(每小题10分，共20分)。
2019-2020年高中数学 3.2二倍角的三角函数练习（含解析）苏教版必修4我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？1．在S (α＋β)中，令________，可得到sin 2α＝________，它简记为S 2α. 答案：α＝β 2sin αcos α2．在C (α＋β)中，令________，可得到cos 2α＝________，它简记为C 2α. 答案：α＝β cos 2α－sin 2α3．在T (α＋β)中，令________，可得到tan 2α＝________，它简记为T 2α. 答案：α＝β 2tan α1－tan 2α4．在C 2α中考虑sin 2α＋cos 2α＝1可将C 2α变形为cos 2α＝ ________＝________．它简记为C ′2α. 答案：2cos 2α－1 1－2sin 2α5.2－sin 22＋cos 4的值是( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.3cos 2 D ．－3cos 2 答案：D6．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( ) A ．－43 B.45 C ．－23 D ．4答案：A7．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π4答案：C8．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝45，则cos 2α＝________．答案：－7259．sin2π8－cos 2π8的值是________． 答案：－2210．tan A ＋1tan A ＝m ，则sin 2A ＝________．解析：tan A ＋1tan A ＝sin A cos A ＋cos Asin A＝sin 2A ＋cos 2A sin A cos A ＝2sin 2A ＝m ，∴sin 2A ＝2m . 答案：2m11．y ＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值为________．答案：212．化简1＋sin 10°＋1－sin 10°＝________． 解析：1＋sin 10°＋1－sin 10° ＝cos 25°＋2sin 5°cos 5°＋sin 25°＋ cos 25°－2sin 5°cos 5°＋sin 25°＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°. 答案：2cos 5°二倍角的正弦、余弦、正切公式1．公式S 2α，C 2α中的角α没有限制．但公式T 2α需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z)时才成立．当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，但tan 2α是存在的，故可改用诱导公式．例如：当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，tan 2α＝tan 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0.2．一般情况下：sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α. 若sin 2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k ∈Z)．若cos 2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＝1＋32舍去.若tan 2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α， ∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z)．3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等．二倍角公式的逆用、变形应用1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用． 2．注意右边化为左边的应用，如sin 3αcos 3α＝12sin 6α，4sin α4cos α4＝2sinα2，2tan 40°1－tan 240°＝tan 80°，cos 22α－sin 22α＝cos 4α等．3．把cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2称为降幂公式，把1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos 2α称为升幂公式，这几个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习过程中，要注意应用．4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．基础巩固 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫32等于_______．24．sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________． 答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是________． 答案：π26．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 7．sin2π12－cos 2π12等于________． 答案：－328．(xx·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝________．解析：利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a ·b ＝0，所以sin 2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝( )23C. 2D. 3解析：由已知得：cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12.∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________． 解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.答案：11611．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________． 解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1， 即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)·2＝2×2×…×223个＝223. 答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2.∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.∴sin 2α＝1－cos 2α2＝9130.∴sin α＝3130130.13．(xx·4月韶关模拟)已知函数f (x )＝23cos x ·sin x ＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫4π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域． 解析：(1)f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴当x ＝π6时，f (x )max ＝3；当x ＝π2时，f (x )min ＝0.故f (x )的值域是[0，3]．。
第三章 三角恒等变换3.2 二倍角的三角函数一、选择题:1. 设a =tan15°+tan30°+tan15°tan30°,b =2cos 210°－sin70°,则a ,b 的大小关系是A.a =bB.a >bC.a <bD.a ≠b2. 已知sin 532cos ,542-==αα,则角α 所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. cos 4 8sin 84ππ-等于A.0B.22 C.1 D.－22 4. 2sin 1-等于 A.2sin1 B.2cos1 C.cos1－sin1 D.sin1－cos15. 化简θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++的结果应是 A.tan2θ B.cot2θ C.tan θD.cot θ 6. 化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2x B.tan2x C.－tan x Ｄ.cot x 二、填空题: 7. 已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ . 8. cos 85πcos 8π＝ . 9. 已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10. 已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝95，则sin2θ等于___________. 二、解答题:11. 已知sin A =53,sin B =21，A 、B 均为锐角，求sin （2A +2B ）的值.12. 化简：2sin 2θsin 2ϕ+2cos 2θcos 2ϕ－cos2θcos2ϕ.13. 求证cos3α＝4cos 3α－3cos α14. 已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ－2cos 2θ的值.15. 已知：sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin 2β,求证：2cos2α=cos2β.拓展创新——练能力16. 如图所示，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另两点B 、C 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A 、D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？17. 已知sin(α+4π)sin(4π－α)=61,α∈(2π,π),求sin4α的值.18. 如下图所示，扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，PQ R S 是扇形的内接矩形.问P 在怎样位置时，矩形PQ R S 的面积最大？并求出这个最大值.参考答案:1. A 解析:a =tan （15°+30°）（1－tan15°tan30°）+tan15°tan30°=1,b =1+cos20°－sin （90°－20°）=1+cos20°－cos20°=12. C 解析:∵sin α=2sin 2cos 2αα=2×54×（－53）=－2524＜0 cos α=cos 22sin 22αα-=（－53）2－（54）2=－257＜0 ∴α是第三象限角3. B 解析: 原式=（cos 2224cos )8sin 8)(cos 8sin 8222==-+πππππ. 4. D 解析:2)1cos 1(sin 2sin 1-=-=|sin1－cos1|∵1>4π且1<2π, ∴sin1>cos1 ,∴原式=sin1－cos1.5. B 解析: 原式=θθθθθθ2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++=θθθθθθθ2cot )2cos 2(sin 2sin )2sin 2(cos 2cos =++. 6. C 解析:原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α7. －332解析:∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π （sin 2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34 ∴sin 2α＋cos 2α＝－332. 8. －42 解析:cos 85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π ＝－sin 8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42. 9. －1010解析:由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π 又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54,∴cos 2θ＝－1010. 10. 322 解析: 由已知得1－2sin 2θcos 2θ＝95即1－21sin 22θ＝95， ∴sin 22θ＝98 ∵π＋2k π＜θ＜23π＋2k π，k ∈Z , ∴2π＋4k π＜2θ＜3π＋4k π，k ∈Z ∴sin2θ＝322 11. 解析: ∵A 、B 均为锐角，由sin B =21得B =30°, 由sin A =53得cos A =54.∴sin2A =2sin A cos A =2524, cos2A =cos 2A －sin 2A =257, ∴sin （2A +2B ）=sin （2A +60°）=sin2A cos60°+cos2A sin60°=2524×21+257×23=503724+. 12. 解析:原式=2sin 2θsin 2ϕ+2(1－sin 2θ)cos 2ϕ－cos2θcos2ϕ=2sin 2θsin 2ϕ+2cos 2ϕ－2sin 2θcos 2ϕ－cos2θcos2ϕ=2cos 2ϕ－2sin 2θ(cos 2ϕ－sin 2ϕ)－cos2θcos2ϕ=2cos 2ϕ－cos2ϕ·2sin 2θ－cos2θcos2ϕ=2cos 2ϕ－cos2ϕ (2sin 2θ+cos2θ)=2cos 2ϕ－cos2ϕ (1－cos2θ+cos2θ)=2cos 2ϕ－cos2ϕ=1+cos2ϕ－cos2ϕ=113. 证明：左边＝cos （2α＋α）＝cos2αcos α－sin2αsin α＝（2cos 2α－1）cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2（1－cos 2α）cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边.14. 解析:∵tan(4π+θ)=3 ,∴3tan 1tan 1=-+θθ ,∴tan θ=21 , ∵sin2θ－2cos 2θ=θθθθθ222cos sin cos 2cos sin 2+-541)21(22121tan 2tan 222-=+-⨯=+-=θθ 15. 证明：由sin θ+cos θ=2sin α得1+2sin θcos θ=4sin 2α∵sin θcos θ=sin 2β∴1+2sin 2β=4sin 2α∴1+1－cos2β=2(1－cos2α)∴2cos2α=cos2β16. 解析:如图所示，令∠AOB =θ,则AB =a sin θ,OA =a cos θ,则矩形ABCD 的面积为S =a sin θ·2·a cos θ=a 2·2sin θcos θ=a 2·sin2θ≤a 2.其中“≤”中等号成立的充要条件是sin2θ=1,即2θ=90°，于是θ=45°时，S 为最大.不难得到，这时A 、D 两点与O 的距离都是22a . 17. 解析:∵sin(α+4π)sin(4π－α)=61,∴sin(α+4π)cos(4π+α)=61 ∴2sin(α+4π)cos(4π+α)=31 ,∴sin2(α+4π)=31 ∴sin(2α+2π)=31,∴cos2α=31>0 又α∈(2π,π) ∴2α∈(23π,2π),∴sin2α=－322 ∴sin4α=2cos2αsin2α=2×31×(－322)=－924 18. 解析:连结OP ，设∠AOP =x ,则PS =sin x ，RS =cos x －sin x ·cot60° 所以S =（cos x －sin x ·cot60°)·sin x =21sin2x －33sin 2x =21sin2x －33·22cos x -=33sin(2x +φ)－63 (其中tan φ=33) 因为x ∈(0°,60°),所以当2x +φ=90°时，S max =636333=-.。
【金榜教程】2014年高中数学 北师大版必修4(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知sin θ=35，且322p p <q<，则cos 2q =( ) (A)31010 (B)1010(C)1010± (D)31010±2.(2011·武定高一检测)若cos2α=45-,且α∈［2p,π］,则sin α=( )(A)31010 (B)1010(C)35 (D)1053.已知25sin 2α+sin α-24=0,α在第二象限内，那么cos 2a的值等于( )(A)35± (B) 35(C)35- (D)以上都不对4.(2011·福建高考)若α∈(0, 2p )，且sin 2α+cos2α=14，则tan α的值等于( )(A)2(B)3(C)2 (D)3二、填空题(每小题4分，共8分)5.函数f(x)=2cos 2 x2+sinx 的最小正周期是_______．6.下面有五个命题：①函数y=sin 2x-cos 2x 的最小正周期是π;②终边在y 轴上的角的集合是{α|α= k 2p,k ∈Z};③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；④把函数y=3sin(2x+ 3p)的图象向右平移6p个单位得到y=3sin2x 的图象；⑤函数y=sin(x- 2p)在［0,π］上是减函数.其中真命题的序号是_______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.(2011·赤峰高一检测)已知函数f(x)=sin2x-2sin 2x(1)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的集合；(2)求不等式f(x)≥0的解集.8.已知π＜α＜32p ，化简1sin 1sin 1cos 1cos 1cos 1cos +a -a ++a --a +a +-a 【挑战能力】(10分)如图,矩形ABCD 的长AD=23，宽AB=1，A ，D 两点分别在x,y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限.求OB 2的最大值.答案解析1.【解析】选B.由已知条件可得cos θ45=-, 2p <θ<π,∴422p q p <<根据半角公式得 411cos 105cos 22210-q +q ===. 2.【解析】选A.由cos2α=1-2sin 2α=45-得;sin 2α=910,又α∈［2p ,π］ ∴sin α>0,∴sin α=31010. 3.【解析】选A.∵(25sin α-24)(sin α+1)=0，且α在第二象限内∴sin α=2425,cos α=725-,且2a 在第一或第三象限，∴272cos 1252a -=-， ∴3cos 25a =?，故选A. 4.独具【解题提示】将cos2α=1-2sin 2α代入sin 2α+cos2α=14,求得sin α的值，然后再求cos α和tan α的值.【解析】选D.∵sin 2α+cos2α=14, ∴sin 2α+(1-2sin 2α)= 14， 又∵α∈(0, 2p ),∴31sin 2a =a =,∴tan α35.【解析】∵f(x)=2cos 2x 2+sinx=1+cosx+sinx 2sin(x+ 4p )+1.∴f(x)的最小正周期为2π.答案：2π6.【解析】①y=sin 2x-cos 2x=-cos2x,故最小正周期为π，①正确；②k=0时，α=0，则角α终边在x 轴上，故②错；③由y=sinx 在(0,0)处切线为y=x,结合y=sinx 和y=x 的图象可知y=sinx 与y=x 的图象只有一个交点，故③错；④y=3sin(2x+ 3p )的图象向右平移6p 个单位得到y=3sin ［2(x )63p p -+］=3sin2x,故④正确；⑤y=sin(x-2p )=-cosx 在［0，π］上为增函数，故⑤错. 综上，①④为真命题. 答案：①④7.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-(1-cos2x)=2sin(2x+4p )-1, 当2x 2k 42p p +=p +,即x=k π+ 8p (k ∈Z)时，f(x)取得最大值2-1.因此函数f(x)取最大值时x 的集合为{x|x=k π+8p ,k ∈Z}. (2)∵f(x)≥0,∴2sin(2x+4p )-1≥0, ∴2sin(2x )4p +?, ∴32k 2x 2k 444p p p +p ??p ,k ∈Z, ∴k π≤x ≤4p +k π,k ∈Z, ∴x ∈［k π, 4p +k π］(k ∈Z). 8.【解析】∵π＜α＜32p ，∴3224p a p ＜＜， 利用半角公式得1cos 2cos|2cos 22a a +a =-， 1cos 2sin |2sin 22a a -a =. 原式=1sin 1sin 2(cos sin )2(sin cos )2222+a -a +a a a a -+- cossin sin cos 22222cos222a a a a +-a ==--.独具【误区警示】去根号时往往忽略判断角2a 的范围而出错. 【挑战能力】 独具【解题提示】设∠OAD=θ,求出B 点的坐标,建立OB 2关于θ的函数，求最值.【解析】过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ(0<θ< 2p ),则∠BAH= 2p -θ, OA=23cos θ, BH=sin(2p -θ)=cos θ, AH=cos(2p -θ)=sin θ, ∴B(23cos θ+sin θ,cos θ),OB 2=(23cos θ+sin θ)2+cos 2θ =7+6cos2θ+23θ=7+43θ+3p ). 由0<θ< 2p 知42333p p p <q+<, 所以，当θ= 12p 时，OB 2取得最大值73+独具【方法技巧】揭密三角函数最值的解法三角函数最值问题遍及三角乃至立体几何及解析几何中，本题就是三角函数与解析几何的交汇命题.其求解策略是联想OB 2的计算公式，可知如果确定了点B 的坐标，便可相应建立OB2的函数表达式，又∠OAD 随线段AD 的变化而变化，故引入∠OAD 为参变量,结合点的坐标求解，并充分利用三角函数的和、差、倍、半公式把OB 2的表达式化成Asin(ωx+j )+k 的形式，最终借助函数的有界性(或单调性)求最值.。
【金榜教程】2014年高中数学 3、3、1二倍角的三角函数检测试题北师大版必修4（30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分)1、(2011·包头高一检测）下列各式中,值为32的是（ )（A)2sin15°cos15°（B)cos215°-sin215°（C)2sin215°-1 (D）sin215°+cos215°2、（2011·长春高一检测）已知3sin(x)45,则sin2x的值为（ )（A)1925（B）1625（C）1425（D)7253、已知2x2sin12f(x)2tanxx xsin cos22,则f（12）的值为（ )（A）43（B）833（C)4 （D）84、若1sin()63，则cos(23)=（）（A）13（B)79（C)79(D）13二、填空题（每小题4分，共8分)5、（2011·江苏高考)已知tan（x4）=2,则tanxtan2x的值为______、6、已知α∈（2，π）,sinα=5则tan2α=______、三、解答题(每小题8分,共16分)7、化简sin2αsin2β+cos2αcos2β—12cos2αcos2β、8、(2011·哈尔滨高一检测)已知2cos(x)410,x∈（324,)(1)求sinx值;（2)求sin(2x3）的值、【挑战能力】（10分）已知sin α=12+cos α,且α∈（0,2),求cos2sin()4的值、答案解析1、【解析】选B 考查二倍角的正弦和余弦公式，特别注意选项C 化简后是 -cos30°=32、 2、【解析】选D 、 2187sin2x cos(2x)12sin (x)1242525、 3、【解析】选D 、∵222sinx2cosx2sin x 2cos x 4f(x)cosxsinxsinxcosxsin2x， ∴4f ()812sin 6、4、【解析】选C 、 ∵1sin()63， ∴cos(2) cos[2()]36=1—2sin 2(6）=1—2×(13)2=79、 5、【解析】由题tan （x4）=2，可得tanx=13, 2tanx 1tan x4tan2x29、 答案:496、【解析】由α∈（2,π）,sin α=55知cos α=255, tan α=12、 ∴22tan4tan21tan 3、 答案： 437、独具【解题提示】根据所要化简的式子特点,可以考虑从以下三种途径解决：从角入手，把复角化为单角；从名入手，异名化同名；从形入手,采用配方法、 【解析】方法一:原式=sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β—12（2cos 2α—1）（2cos 2β-1）=sin2αsin2β+cos2αcos2β-12(4cos2αcos2β—2cos2α—2cos2β+1）=sin2αsin2β—cos2αcos2β+cos2α+cos2β—1 2=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β—1 2=sin2β+cos2β-12=1—12=12、方法二:原式=sin2αsin2β+(1—sin2α）cos2β-12cos2αcos2β=cos2β-sin2α（cos2β—sin2β)-12cos2αcos2β=cos2β-sin2αcos2β-12cos2αcos2β=cos2β-cos2β（sin2α+12cos2α）221cos21cos2[sin(12sin)] 221cos211cos2222、方法三:原式=1cos21cos21cos21cos21cos2cos2 22222=14（1+cos2αcos2β-cos2α-cos2β)+14(1+cos2αcos2β+cos2α+cos2β)-12cos2αcos2β111442、独具【方法技巧】在三角函数的化简、求值和证明时,可从变角、变名、变幂入手,即化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次，配方变形等手段使问题得以解决，这也是解决三角函数问题的基本思路、8、【解析】(1）∵3x24＜＜,∴x442＜＜,∴72 sin(x)410,∴722224 sinx sin[(x)]441021025、（2)方法一：∵sinx=45，x∈（324,），∴cosx=35,∴sin2x=2425，cos2x=725，∴241732473 sin(2x)()()325225250、方法二：由22 cos(x)cosx sinx4210，得cosx+sinx=15,两边平方得sin2x=2425，又x∈(324,)，∴2x∈（π,32）,∴27cos2x1sin2x25,∴24173 sin(2x)()()325225 247350、独具【误区警示】解题过程中，由于忽视角的范围导致求三角函数值时出错、【挑战能力】【解析】由sinα=12+cosα得cosα-sinα=12①将①式两边平方得cos2α—2cosαsinα+sin2α=14，∴2cosαsinα=34、∴(sin α+cosα）2=1+2sinαcosα=74、又α∈（0，2）∴sinα+cosα=72、22cos2cos sinsin()sin cos cos sin444714222 2(sin cos)、。
