博弈论

博弈论与信息经济学练习
1 完全信息静态博弈
【例题】一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在身边的地上(每个人都知道自己有多少钱)，突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱属于自己的，他们为此而发生争执，最后请来一位律师。

律师宣布了这样的规则：每一个人将自己的钱数写在纸条上，然后将纸条交给律师；如果所有人要求的加总不大于钱的总数，每个人得到自己要求的部分(如果有剩余的话，剩余的归律师)；如果所有人要求的加总大于钱的总数，所有的钱都归律师所有。

写出这个博弈中每个参与人的战略空间和支付函数，并给出纳什均衡。

解：设金钱总数为M 。

对赌徒i ，战略空间Si=[0,M]，si ∈Si ，支付函数ui 为
⎪⎩⎪⎨
⎧>≤=∑∑M
s if M s if s u i i i
i i i 0
所有满足∑isi ≤M 的选择都是纳什均衡。

纳什均衡有无穷多个。

【例题】(库诺特博弈)假定有n 个库诺特寡头企业，每个企业具有相同的不变单位成本c ，市场逆需求函数是p = a - Q ，其中p 是市场价格，Q = ∑jqj 是总供给量，a 是大于零的常数。

企业i 的战略是选择产量qi 最大化利润 πi=qi(a-Q-c)，给定其他企业的产量q-i ，求库诺特-纳什均衡。

解：根据问题的假设可知各企业的利润函数为
i i n i j j i i i i cq q q q a cq pq -⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=-=∑≠π
其中i=1,…,n 。

将利润函数对qi 求导并令其为0得：
02=---=∂∂∑≠i n
i
j j i i
q c q a q π
解得各企业对其他企业产量的反应函数为：
2
/⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=∑≠c q a q n i j j i 根据n 个企业之间的对称性，可知*
*2*1n q q q ===
必然成立。

代入上述反应函数可解得：
1*
*2*1+-=
===n c
a q q q n
因此该博弈的纳什均衡是所有n 个企业都生产产量
1+-n c
a
【例题】(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产量竞争)，两个企业生
产的产品是完全替代的，并且单位生产成本相同且不变，企业1的价格为p1，企业2的价格为p2。

如果p1<p2，企业1的市场需求函数是q1=a-p1，企业2的需求函数为0；如果p1>p2，企业1的需求函数为0，企业2的需求函数为q2=a-p2；如果p1=p2=p ，市场需求在两个企业之间平分，即qi=(a-p)/2，什么是纳什均衡价格？ 解：假设单位成本为c 。

企业i 的需求函数为
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧>=-<-=j
i j i i
j i i i p p if p p if p a p p if p a q 02
从上述需求函数可以看出，企业i 绝不会将其价格定的高于企业j 。

由于对称性，可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同，即p1=p2。

如果pi>c ，企业i 的利润πi=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/2>0。

因此，只要企业i 将其价格略微降低一点点ε(ε→0)，则可获得整个市场的需求，利润为(pi-ε-c)(a-pi)>(pi-c)(a-pi)/2。

另一企业也会采取相同的战略，直到其利润为0。

此时均衡的结果为p1=p2=c 。

2 完全信息动态博弈
【例题】参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带伞。

他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。

支付函数如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者(搭便车者)的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1，不带伞者的效用为0；如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不下雨时每人的效用为1；如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。

给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树)和战略式表述：(1)两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策)；(2)两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞；(3)丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策；(4)同(3)，但妻子先决策，丈夫后决策。

解：扩展式表述：假设用N 代表自然，H 代表丈夫，W 代表妻子。

（1）
（2）
（-2,-2） （-2.5,-3） （-1,-1） （-1,0） （-3,-2.5） （-5,-5） （0,-1） （1,1）
（3）
（4
（-2,-2） （-2.5,-3） （-1,-1） （-1,0） （-3,-2.5） （-5,-5） （0,-1） （1,1）
（-2,-2） （-2.5,-3） （-1,-1） （-1,0） （-3,-2.5） （-5,-5） （0,-1） （1,1）
妻子
下雨
带伞不带伞
带伞-2，-2-2.5，-3
丈夫
不带伞-3，-2.5-5，-5
妻子
不下雨
带伞不带伞
带伞-1，-1 -1，0
丈夫
不带伞0，-1 1，1
3.下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。

企业1的利润函数是：
π1=-(p-aq+c)2+q 企业2的利润函数是：
π2=-(q-b)2+p 求解：
(1) 两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡 (2) 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡 (3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡
(4) 是否存在某些参数值(a,b,c)，使得每一个企业都希望自己先决策？
解:
(1) 根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为：
()c
aq p c aq p p
-=⇒
=+--=∂∂021
π
()b
q b q q =⇒=--=∂∂022
π
求解得纳什均衡：b q c
ab p =-=
(2) 企业1先决策
根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数
()=⇒=--=∂∂q b q q 022
π
代入企业1的利润函数，得
()()b c ab p q c aq p ++--=++--=2
21
π 再求企业1的反应函数，得
()c
ab p c ab p p -=⇒=+--=∂∂021
π
(3) 企业2先决策
根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数
()c
aq p c aq p p
-=⇒
=+--=∂∂021
π
代入企业2的利润函数，得
()()c aq b q p b q -+--=+--=2
22
π 再求企业2的反应函数，得
()b a
q a b q q +=
⇒=+--=∂∂2022
π
再代入企业1的反应函数，得
c
ab a c aq p -+=-=22
(4) 因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此
01,2<⇒+>
a b a
b 希望先决策企业当
2,42
≠⇒
->-+a c ab c ab a 希望先决策
企业当
040
020
2
>-+>->+>⇒
c ab a c ab b a
b 利润非负
得两个企业都希望先决策的条件为
ab
c a
b a <-
><2。