2020-2021学年高三数学(理科)四校联考摸底考试及答案解析

最新高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．35．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．27．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．108．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．09．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p110．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=______．14．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于______．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为______．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC 的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩∁U B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1+i）=i2016，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i2016，得==．则|z|=．故选：B．3．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别估算每个数的大小，然后比较．【解答】解：a=30.6＞1，b=log2＜0，c=cos300°=cos60°=0.5＞0，故b＜c＜a；故选B．4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关性系数的性质进行判断，②利用排列组合的公式进行求解即可③根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：①两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故①错误，②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数﹣=35﹣4=31种，故②正确，③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0，正确，故③正确，故正确的是②③，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C6．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可．【解答】解：由x2+y2﹣4y=0得x2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标是C（0，2），半径是2，∵直线l：kx﹣y+1=0过定点P（0，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A．7．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|3×3+1|=10．故选：D．8．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos （2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．0【考点】三角函数的最值．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可．【解答】解：f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），若对任意x都有f（x）≤f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2×+φ）=2，∴φ=，∴g（x）=2cos（2x+），x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=π时，g（x）最小，最小值是﹣2，故g（x）max•g（x）min=﹣2，故选：A．9．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p1【考点】几何概型．【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S1=4﹣=，S2=4﹣×2=3，S3==（）=，∴S3＜S2＜S1，即P3＜P2＜P1，故选：D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD⊂平面SAC，∵SA=1，AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×=5π．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），则直线l1：y=（x﹣c）过双曲线的右焦点F2（c，0），l2：y=2（x+c）过双曲线的左焦点F1（﹣c，0），若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，则直线的斜率满足．l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则直线的斜率2满足＜2，即＜＜2，则离心率e===，∵＜＜2，∴3＜（）2＜8，4＜1+（）2＜9，则2＜＜3，即2＜e＜3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4即g（x）＜g（2），∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）﹣x2也是偶函数，则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），即|x|＞2；则x＞2或x＜﹣2，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（3，﹣4），=（3，t），∴•=9﹣4t，||=5，∵向量在方向上的投影为﹣3，∴==﹣3，解得t=6，故答案为：614．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6．令x=1，即可得出．【解答】解：∵（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6．令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729．故答案为：729．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1，DC1所成角的正弦值．【解答】解：取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=1，AA1=3，∴A（1，0，0），D1（0，0，3），D（0，0，0），C1（0，1，3），=（﹣1，0，3），=（0，1，3），设直线AD1，DC1所成角为θ，cosθ===，∴sinθ==．∴直线AD1，DC1所成角的正弦值为．故答案为：．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD= ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，∴由正弦定理得，则sin∠C===，∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=，则∠B=π﹣∠A﹣∠C==，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B﹣∠BAD=，在△ABD中，由正弦定理得，∴AD====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n﹣1计算可知a n=2a n﹣1﹣1，进而可构造首项、公比均为2的等比数列{a n﹣1}，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：∵S n=2a n+n﹣4，∴当n=1时，a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n+n﹣4）﹣（2a n﹣1+n﹣5），即a n=2a n﹣1﹣1，变形，得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n﹣1=2n，即a n=1+2n；（2）证明：由（1）可知：=＜，当n≥2时，T n＜1++…+=﹣＜，又∵T n≥T1=1，∴1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由==4，==30，==2.7，=﹣=30﹣2.7×4=19.2，y关于x的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X的可能取值0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，A城市中被选中的4S店个数X的分布列：X 0 1 2 3PA城市中被选中的4S店个数X的期望E（X），E（X）=0×+1×+2×+3×=，E（X）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE⊥BB1，证明BC⊥OE，可得结论，AE=；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B1CC1的一个法向量、平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE ⊥BB1因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1CC又AO==1，AA1=得AE==．（Ⅱ）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）由=，得点E的坐标是（，0，），由（Ⅰ）知平面B1CC1的一个法向量为=（，0，）设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得可取=（2，1，﹣1），所以cos＜，＞==．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，从而求出=0，由此能求出k1k2．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），由此能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），E（x4，y4），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，=（x1，y1+1），=（x2，y2+1），=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=0，∴⊥，∴k1k2=﹣1．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），=（），=（﹣，），=（，），=（，），∴S1=||，S2=|×+×|=，∴λ==（4k12++17）≥．当且仅当，即k1=±1时，取等号，∴λ的取值范围[，+∞）．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣2（1+lnx）+1，f′（x）=1﹣=，f（1）=0，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y=﹣x+1；（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）∈（0，1]，f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），h（1）=﹣g（x0）＜0，h′（x）=（2﹣a）﹣，①a≥2﹣时，h（x）在（0，e2]递减，不可能有两个零点，②a＜2﹣时，h（x）在（0，）递减，在（，e2]递增，h（）＞a﹣2﹣（a﹣3）﹣g（x0）≥0，h（x）有2个零点，必有h（e2）≥0⇒a≤2﹣，综上：a≤2﹣．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt △DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．【考点】不等式的证明．【分析】（1）方法一、求得0＜a＜1，化原式=3（a﹣）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x2+y2≥2xy，整理即可得证．【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1﹣a，且a＞0，b＞0，可得0＜a＜1，则a2+2b2=a2+2（1﹣a）2=3a2﹣4a+2=3（a﹣）2+，当a=∈（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a2+2b2）（1+）=[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2=（a+b）2=1，即有a2+2b2≥，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，可得（ax+by）（ay+bx）=abx2+aby2+a2xy+b2xy=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥2abxy+（a2+b2）xy=xy（a2+b2+2ab）=xy（a+b）2=xy，则（ax+by）（ay+bx）≥xy．2016年10月5日。

最新咼考数学模拟试卷（3）符合题目要求的）已知 E 〜N (3 , a 2),若 P (EW 2) =0.2 ,则A . 30°B . 60°C . 120°D .150°7.阅读如图所示的程序框图，若输出的 S 是126 ,则①处应填（)、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共 60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是A .2. A .3. a+i.为纯虚数，则实数 a=（11 2B .C .D .F 列命题中的假命题是（ ? x € R , 2x -1>0B . 已知 f i (x ) =sinx+cosx , ? x € R , tanx=2C . ? x € R , Igx v 1D . * Q? x € N ,(x - 1)>0f n+1 ( x )是 f n ( x ) 的导函数，即f 2 （ X ）=f i ' (X) ,f 3 ( x ) =f 2‘ (X ),…,f n+1 (x ) =f n '( x ), n € N ,则f2015( x )=()A . sin x+cosxB . -sinx - cosxC . sinx - cosxD . -sinx+cosx函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（5. A . 0.2B . 0.3C . 0.7D . 0.86.在厶ABC 中, 内角A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,若 a 2 - b 2=「；bc , sinC=2. _；sinB ,则 A=( )1.复数 4. )A . n W 5B . n <6C . n 》7D . n W 8&△ ABC 中，角 A 、B 、C 所对应的边分别 a 、b 、c ,已知bcosC+ccosB=2b,则一=()zbA . 2B . £C .西D . 19.已知f (x )是偶函数，它在［0, +s)上是减函数，若 f (Igx )> f (1),则实数x 的取值范围 10 .某宾馆安排 A 、B 、C D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住 1人，且A 、B 不能住同一 房间，则不同的安排方法有( )种.A . 24B . 48C . 96D . 11411. 设O 是厶ABC 的外接圆圆心，且： I ■ ： / " |,则/ AOC=()K2H71571A 亏B .三C •豆D.12. 设函数f (x )是定义在(-R, 0)上的可导函数，其导函数为f '( x ),且有3f (x ) +xf'是( ) A .^o, 1)U( 10, +s)B .( 0,亍；)U( 1 , +s)C.(~, 10)D . ( 0, 1)(x)> 0,则不等式(x+2015) 3f (x+2015) +27f (- 3)> 0 的解集( )A. (- 2018,- 2015) 2016) C. (- 2016,- 2015)D.(-s,- 2012)二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上) 13.”展开式中的常数项为x -----------------14. 已知 J ； (3x 2+k ) dx=16，则 k= ___________ .15. 在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若叮中（acosB+bcosA =2csinC , a+b=4,ABC 的面积的最大值为二则此时△ ABC 的形状为兀16. 设函数f (x) =3sin ( - 2x+—)的图象为C ,有下列四个命题:三、解答题(17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)“ 71 V2讥 3兀17. 已知 cos (x^—) , x €(p, ^-).(1 )求sinx 的值；I X(2 )求 sin ( 2x •—)的值.18. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了 频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为 1: 2: 3，其中第2小组的频数为12.(I)求该校报考飞行员的总人数；(H)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人，设 X 表示体重超过60公斤的学生人数，求 X 的分布列和数学期望.①图象 C 关于直线S=- ° 对称:②图象 C 的一个对称中心是③函数 ④图象C 可由y= - 3sin2x 的图象左平移晋得到.其中真命题的序p.曰号疋f (x )在区间-―］上是增函数;匚！-a )( sinB+sinA ) = (b - c ) sinC.(I)求sinB 的值;(□)求厶ABC 的面积.(2 )若 AC=3,求 APAD 的值.(I)求AC 的长;/ ADC=120°,c os ； = \ --p —C 所对的边分别为 a,b ,c ,且满足 cosC-^T^：- ,(b21 .设函数 f (x ) =x --mlnx(1)若函数f (x )在定义域上为增函数，求 (2)在(1)条件下，若函数 h (x ) =x - lnx m 范围；1- ,?为,eX 2 € [1 , e]使得f (x i )> h (血)成立，求m 的范围.选修4-1 :几何证明选讲22 .在△ ABC 中，AB=AC,过点A 的直线与其外接圆交于点 P ,交BC 延长线于点D .(1)求证:PC rit—TV选修4-4 :坐标系与参数方程I 直=2+十23.( 2016太原校级模拟)【坐标系与参数方程】设直线I 的参数方程为「(t 为参数)，[y=2t若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线; (2)若直线I 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|.选修4-5 :不等式选讲. , ___________________ 2 224.( 2016太原校级模拟)设函数 f (x ) =|x+a|+|x - b |,其中a , b 为实数, (1 )若 a 2+b 2- 2a+2b+2=0,解关于 x 的不等式 f (x )> 3;(2)若 a+b=4,证明：f (x )> &参考答案与试题解析符合题目要求的)1. 复数云片为纯虚数，则实数 a=( )、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是的极坐标方程为P8-COSL【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.--2a _仁0, 2+a H 0, 解得a*.故选：D .【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.2. 下列命题中的假命题是( )x — 1* 2A .? x € R , 2 >0 B . ? x € R , tanx=2 C . ? x € R , Igx v 1D .? x € N ,( x — 1)> 0【考点】全称命题；特称命题. 【专题】简易逻辑.【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断命题的真假，全称命题要包含全称量词，特称命题 要包含特称量词，我们逐一分析四个命题易得到答案. 【解答】解：对于 A ，根据指数函数的性质可知，选项 A 为真命题，对于B ，根据正确函数的性质可知，选项 B 为真命题， 对于C ，根据对数函数的性质可知，选项C 为真命题，对于D ，当x=1时，(x — 1) 2=0,故选项D 为假命题， 故选：D【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，命题的真假判断与应用，要判断一个 特称命题为真命题，只要举出一个满足条件的例子即可，这是提高本题解答速度和准确度的重要 方法.3. 已知 f 1 (x ) =sinx+cosx ,仏+1 (x )是 f n (x )的导函数，即 f ? (x ) =f 「(x ), f a (x )=f 2‘(x ),…，f n+1 (x ) =f n '( x ), n € N ,则 f 2015 (X )=( )A .— 2B .C . 2(2-0 (2H)【解答】解：•••复A. sinx+cosxB.—sinx—cosxC. sinx—cosxD.—si nx+cosx 【考点】导数的运算.【专题】导数的综合应用.【分析】求函数的导数，确定函数f n'( X)的周期性即可.f1(x) =sin x+cosx【解答】解：••• f2 ( x) =f i'(x) =cosx —sinx,f3 ( x) =f2‘(x) = —sinx —cosx,f4 ( x) =f3‘(x) = —cosx+sinx,f5 ( x) =f4‘(x) =sinx+cosx,f n+4‘( x) =f n'( x),即f n'( x)是周期为4的周期函数，f20i5 (x) =f2oJ( x) =f2‘(x) =—sinx —cosx,故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键.4 .函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B,丄【n~ JT兀兀__-V *由当x=—时，丁・•当x= n 时，y= nX cos n +sin n = —nV 0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选D.【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题.5.已知E 〜N (3, a2)，若P (EW 2) =0.2，则P 4)=( )A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】概率与统计.【分析】根据随机变量X服从正态分布N( 3, a2),看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3, 根据正态曲线的特点，得到P (EW 4) =1 —P (EW 2),得到结果.【解答】解：•••随机变量X服从正态分布N( 3, a2),=3,得对称轴是x=3.P (EW 2) =0.2,••• P (EW 4) =1 —P (EW 2) =0.8.故选D.【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=卩，并在x=卩时取最大值从x=卩点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.6.在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若a2-b2=二be, sin C=2；sinB,则A=( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【考点】余弦定理的应用.【专题】综合题.【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A.【解答】解：••• sinC=2.「・sinB,「. c=2 ：;b,••• a- b2= -；bc,.・. COSA=—-= 、_= J2bc 2bc 2••• A是三角形的内角••• A=30°故选A.【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题.7•阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126,则①处应填（A. n W 5B. n<6C. n》7D. n W 8【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：第一次循环，s=0+21=2, n=1+仁2,进入下一次循环；2第二次循环，s=2+2=6, n=2+仁3,进入下一次循环；第三次循环，s=6+23=14, n=3+1=4,进入下一次循环；第四次循环，s=14+24=30, n=4+仁5,进入下一次循环；第五次循环，s=30+25=62, n=5+仁6,进入下一次循环；第六次循环，s=62+26=126, n=6+仁7,循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n W 6,故选：B.【点评】本题主要考查了含循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s, n的值是解题的关键，属于基础题.&△ ABC中，角A、B、C 所对应的边分别a、b、c,已知bcosC+ccosB=2b,则一二=( )2bA. 2 B•土C.近D. 1【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解：将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB即sin (B+C) =2sinB,■/ sin (B+C) =sinA,/• si nA=2si nB,利用正弦定理化简得：a=2b, 则-•「=仁故选：D.【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题.9.已知f (x)是偶函数，它在［0，+R)上是减函数，若f (Igx)> f (1)，则实数x的取值范围是( )A.(佥，1)B.( 0,寺)U( 1，+R)C.(寺，10)D. ( 0，1) U( 10, +s)【考点】函数单调性的性质；偶函数.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用偶函数的性质， f (1) =f (- 1)，在［0 , +8)上是减函数，在(-汽0)上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围.【解答】解：T f (x)是偶函数，它在［0 , +8)上是减函数，••• f (x)在(-8, 0) 上单调递增，由 f (lgx )> f (1), f (1) =f (- 1)得：—1v Igx v 1,故答案选C.【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用.10 .某宾馆安排 A 、B 、C D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住 1人，且A 、B 不能住同一 房间，则不同的安排方法有（ ）种.A . 24B . 48C . 96D . 114【考点】排列、组合的实际应用.【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合. 【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3, 1 , 1）和（2, 2, 1）两种，计算出每一种的，再排除 A 、B 住同一房间，问题得以解决. 【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3, 1 , 1 ）和（2, 2, 1）两种，3 3 1 3当为（3, 1 , 1）时，有C 5 A 3 =60种，A 、B 住同一房间有 C 3A 3=18种，故有60 - 18=42种，C©r _lI o <4 Q Q当为（2, 2, 1）时，有A 3 =90种，A 、B 住同一房间有 C3QA=18种，故有90- 18=72种,根据分类计数原理共有 42+72=114种， 故选：D .【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于中档题.11.设O 是厶ABC 的外接圆圆心，且『■:「一 |,则/ AOC=（ ）27T B .【考点】向量在几何中的应用.【专题】计算题；转化思想；向量法；综合法；平面向量及应用.1 10v x v 10 5HD .【分析】可设外接圆的半径为r,而由；■ | ! I-〔便可得到''■. '- 1 .,两边平cos / AOC的值，根据向量夹角的范围便可得出/ A OC的值.方，进行数量积的运算便可求出【解答】解：设圆O的半径为r，则：由得，「「- I ■；•••：;—^2 一2 ———*22 2 2 2 即r +4r +4r cos / AOC=3r;.；ZAOC^故选：B.【点评】考查三角形外接圆的概念，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角.12•设函数f (x)是定义在(-3 0)上的可导函数，其导函数为f'( x),且有3f (x) +xf'(x)> 0,则不等式(x+2015) 3f (x+2015) +27f (- 3)> 0 的解集( )A. (- 2018,- 2015)B.(-3,- 2016)C. (- 2016,- 2015)D.(-3,- 2012)【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算.【专题】导数的综合应用.【分析】根据条件，构造函数g (x) =x3f (x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(-3, 0) 上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可._ 3 2【解答】解：构造函数g (x) =x f (x), g'( x) =x (3f (x) +xf'( x));2■/ 3f (x) +xf'( x)> 0, x > 0;••• g '( X )> 0； • •• g (X )在(-8,0)上单调递增；g (x+2015) = (x+2015) 3f (x+2015), g (- 3) =- 27f (- 3);3•由不等式(x+2015) f (x+2015) +27f (- 3)> 0 得:3(x+2015) f (x+2015)>- 27f (- 3); • g (x+2015)> g (- 3); • x+2015>- 3,且 X+2015V 0; •••- 2018v x v- 2015; •原不等式的解集为(- 2018, - 2015).故选A .【点评】本题主要考查不等式的解法：禾U 用条件构造函数，禾U 用函数单调性和导数之间的关系判 断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可.二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上)【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理.【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于0,求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值.故答案为：70.配方是关键，属于中档题.14. 已知『器(3x 2+k ) dx=16，则 k=13.：< _「展开式中的常数项为 70【解答】解：二项式(x -2+-)4可化为：x 4分子中含x 4的项为CgX 4,故常数项为5=70,【点评】本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,【考点】定积分.【专题】计算题；函数思想；综合法；转化法；导数的概念及应用.【分析】将 f I(3x2+k) dx利用定积分公式写出8+2k的形式即可求得k=8.【解答】解；由『：(3x2+k) dx= (x3+kx) | ；=8+2k,即8+2k=16,/• k=4,故答案为：4.【点评】本题主要考察定积分的计算，属于基础题.15. 在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若"*苗(acosB+bcosA =2csinC, a+b=4, 且厶ABC的面积的最大值为二则此时厶ABC的形状为等腰三角形 . 【考点】正弦定理.【专题】解三角形；不等式的解法及应用.【分析】由.(acosB+bcosA) =2csinC 及正弦定理可得［■--yU (sinAcosB+sinBcosA) =2sin2C,结合sinC > 0，化简可得sinC= J,由a+b=4,利用基本不等式可得ab< 4，(当且仅当a=b=2成立)，由△ ABC的面积的最大值S A AB C=^二匸二■亠w 1 ，：_ =二，即可解得a=b=2,从而得解厶ABC的形状为等腰三角形.【解答】解：•••} .：；( acosB+bcosA) =2csinC,手(sinAcosB+sinBcosA) =2sin2C,•••、厂何nC=2sin2C,且sinC>0,•sin C=「，T a+b=4,可得：4-•:解得：ab< 4，(当且仅当a=b=2成立)•••△ ABC的面积的最大值S A ABC^bsinC w寺X 4X^^3 ,•a=b=2,•则此时△ ABC的形状为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查.16.设函数f (x) =3sin ( - )的图象为C ,有下列四个命题:4【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性；函数 y=Asin (3 x+Q )的图象变换. 【专题】综合题；压轴题.【分析】对于①，先根据诱导公式进行化简，将：心—二一代入到函数f (x )中得到f (- —) 的值为最小值，可判断直线是1■ — 的一条对称轴，从而正确；对于②，将x=—代入到函数f(x )得到f (丄厂)为函数f(x )的一个最大值，进而可知□€5.兀7T 3 7T不是f =3sin ( - 2x +p )的对称中心，②不正确；对于③，根据 f (=) =0, f (*厂)=-3可判断函数f(x )在区间'丄 — 上不是增函数，可知③不正确；对于④根据左加右减的 原则进行平移可知将 y= - 3sin2x 的图象左平移——得到得图象不是函数 f (x ),故④不正确.兀”【解答】解：••• f二3由口( - 2x +—) =- 3sin (2x-p)57T57 将1—代入到函数f (x )中得到f (-— •••直线X 二一罟是f (小二口晋)的一条对称轴，故①正确；7n|7JT7 7T 7T 3 兀将x=飞—代入到函数 f (x )中得到 f (―~) = - 3sin (不—-—)=-3si^^ =3了兀兀-—-3- 不是 「■- ■的对称中心，故②不正确；①图象 C 关于直线x=- ° 对称:②图象C 的一个对称中心是！二-・I ;O③函数 f (x )在区间——丄-I 上是增函数;④图象 C 可由y=- 3sin2x 的图象左平移TV得到.其中真命题的序号是)=-3— =-3sin (-)=-3I 解答】解：(1)因为x €( —,「),TUl ：JU JT所以x - Q €(4， 2)=TU::I « .sinx=sin[ (x -7T —]71 3 71 3 兀口 f3 兀 r 「, • '■ f (右)=3sinO=O , f (— ) =3sin (------ +—) =- 3，故函数 f (x )在区间,-—上不88q Q88是增函数 故③不正确；7T 71 TT将 y=- 3sin2x 的图象左平移一得到 y=- 3sin2 (x+—) =-3sin (2x —-)工 f (x )3OQ J故④不正确， 故答案为：①.【点评】本题主要考查正弦函数的基本性质--对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角 函数的平移的原则是左加右减，上加下减.三、解答题(17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1) 求 sinx 的值; 兀(2 )求 sin ( 2x -—)的值.(2)利用x 的范围和(1)中sinx 的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值，进而根据二倍角公式求得 sin2x 和cos2x 的值, 最后代入正弦的两角和公式求得答案.).【考点】两角和与差的正弦函数; 运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题.【分析】(1)利用x 的范围确定x 的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得 sin (x ---)的值，进而根据 sinx=sin[(p]利用两角和公式求得答案7T 3兀17 .已知 cos (x -),sin (x -组的频数为12.(I)求该校报考飞行员的总人数;【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计.71 71=sin (x ------- ) cos —-+cos (x -4 a=「「「:x =二 10 2 10 2 &71故 cosx=-sin 2x=2s in xcosx=-24~，cos2x=2cos 2x - 1 =-257Y所以 sin (2x+^) =sin2xcoL-+cos2xsi24+7^3 =-■■【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用•考查了学生基 础知识的掌握和基本运算能力.18•为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了 频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为 1: 2: 3，其中第2小(H)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中 (人数很多)任选三人，设 X 表示体重超过60公斤的学生人数,X 的分布列和数学期望.离散型随机变量及其分布列.(2)因为x € ;频率分布直方图;【分析】(I)设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x, 2x, 3x,由频率分布直方图的性质求出第2小组的频数为12,频率为2x=0.25，由此能求出该校报考飞行员的总人数.(H)体重超过60公斤的学生的频率为0.625 , X的可能取值为0, 1 , 2, 3，且X〜B( 3, 0.625), 由此能求出X的分布列和数学期望.【解答】解：(I)设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x, 2x, 3x,则x+2x+3x+ (0.037+0.013 )X5=1,解得x=0.125,•••第2小组的频数为12，频率为2x=0.25,12•••该校报考飞行员的总人数为：-亠二=48 (人).0. 25(H)体重超过60公斤的学生的频率为 1 - 0.125X3=0.625,•X的可能取值为0, 1, 2, 3，且X〜B ( 3, 0.625),C 0 3P ( X=0)=匚3 ( 0.375) =0.052734375 ,P (X=1) = '一：一=0.263671875,P (X=2) =「」「| . -：!■=0.439453125,P (X=3)=匚；J0.244140625,•X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.052734375 0.263671875 0.439453125 0.244140625EX=3>0.625=1.875.【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用.19.在梯形ABCD中, AB// CD, CD=2,/ ADC=120°(I)求AC的长;(H)若AB=4,求梯形ABCD的面积.【考点】余弦定理；正弦定理.【专题】解三角形.if rri【分析】(I)在厶ACD中，由正弦定理得：一二不m近■，解出即可；(□)在厶ACD中，由余弦定理得：AC2=AC2+CD2- 2ADCD COS120°,解得AD,过点D作DE± AB于E,贝U DE为梯形ABCD的高.在直角厶ADE中，可求DE=ADsin60°,即可由梯形面积得解.【解答】解：(1)在厶ACD 中，T cos/CAD= ,••• sin/ CAD=—.14 14口亠TRF I/»n hi CD由正弦疋里得：ginZCAD“ CDsinZADC 2即AC—=-=2 二14(□)在厶ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+C D2-2ADCD COS120°,整理得AD"+2AD- 24=0，解得AD=4.过点D作DE丄AB于E,贝U DE为梯形ABCD的高.•/ AB// CD, / ADC=120°,•••/ BAD=60°.在直角△ ADE 中，DE=ADsin60°=2 :'..--宀…•: .. ：=6.-；.所以呻初(A+C )=品应+如心.•- -- '/■得厂•，解得 '：, 所以△ ABC 的面积 S^a<sinB=-|x3X2V2【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公 式的应用，属于基本知识的考查. 21 .设函数 f (x ) =x -丄-minx (1)若函数f (x )在定义域上为增函数，求 m 范围；【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关 系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20•已知△ ABC 中的三个内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,且满足CO S C=~F a=3 -a )( sinB+sinA ) = (b - c ) sinC.(I)求sinB 的值；(□)求厶ABC 的面积. 【考点】余弦定理；正弦定理. 【专题】解三角形.(b【分析】(I)由正弦定理化简已知等式可得 b 2+c 2- a 2=bc ,由余弦定理得cosA ，结合范围0V A＜兀，可求A 的值，由cosC 」，可求sinC ，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值.(□)在厶ABC 中，由正弦定理可求 c ,由三角形面积公式即可得解. 【解答】解：(I)由正弦定理可得(b - a )( b+a) = (b -c ) c ,即b 2+c 2 - a 2=bc ,由余弦定理得亡口畝二2. 2^ 2 .+ c a 1------------- -.—,2bc 2又0V A Vn ，所以「二—— 因为/，所以沁笛. (□)在厶ABC 中，由正弦定理sinA _sinC ，(2)在(1)条件下，若函数h( x)=x- lnx --，? x i，X2 €[1 , e]使得 f (捲)> h ( x?)成立，求em的范围.【考点】禾U用导数研究函数的单调性；禾U用导数求闭区间上函数的最值.【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用.2 I- 2【分析】(1) f'( x) =1+ = . ，转化为x - mx+1 >0,在x>0时恒成立，根据对钩函数求解即可.(2)根据导数判断单调性得出 f (x)的最大值=f (e) =e --------------- m, h (x)单调递增，h (x)的最e小值为h (1) =1 -丄，e把问题转化为f (x)的最大值》h (x)的最小值，求解即可.【解答】解：函数 f (x) =x- = - mlnxx(1)定义域上为(0, +8),1 IT K2_mzMf'( x) =1^--=--------------------耳—,•••函数f (x)在定义域上为增函数，••• x2- mx+1 > 0,在x> 0 时恒成立.即x计丄> m在x> 0时恒成立，根据对钩函数得出m W 2,故m的范围为：m W 2.(2)函数h (x) =x- inx-£, ? X1, X2€ [1 , e]使得f (xj》h (X2)成,即f (x)的最大值》h (x)的最小值，T f (x)的最大值=f (e) =e- = - m,e, _ 1h'( x) =1 ->0, x€ [1 , e],••• h (x )单调递增，h (x )的最小值为h (1) =1-二，e•可以转化为 e -土-m > 1 ■—e e即 m w e -1,m 的范围为：m w e - 1.【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是 求解导数，判断单调性，属于难题.选修4-1 :几何证明选讲 22.在△ ABC 中，AB=AC,过点A 的直线与其外接圆交于点 P ,交BC 延长线于点 D .【专题】计算题；证明题.【分析】(1)先由角相等/ CPD=Z ABC,/ D=Z D ,证得三角形相似，再结合线段相等即得所证 比例式；(2)由于/ ACD=/ APC ,/ CAP=/ CAP,从而得出两个三角形相似： “△ APC 〜A ACD'结合相似三角形的对应边成比例即得 APAD 的值. 【解答】解：(1)v/ CPD=/ ABC, / D=/ D , .A A • PC PD•DPC 〜A DBA , —.--A D DJJPC PD又••• A B=AC, •••— —(2)T/ ACD=/ APC,/ CAP=/ CAP,APC7 ACD ：(1)求证:PC PD ■ I |;A?_Ag(2 )若 AC=3,求 APAD 的值.• AC"=APAD=9【点评】本小题属于基础题•此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的 判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键.选修4-4 :坐标系与参数方程23.( 2016太原校级模拟)【坐标系与参数方程】设直线 I 的参数方程为“ "(t 为参数)，lv=2t若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 一 8cos9的极坐标方程为P —. •si n 9(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (2) 若直线I 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.2 2 2【分析】(1 )由卩=得P si n B =8 p COS B,故有y =8x ，故曲线C 表示顶点在原点，焦si n y点在x 上的抛物线.t 什 t 2=2,1t 2=— 4,由此求得 |AB|=|t 1— t 2|=J （ t ］十弋2）匚 一4 亡1叫2•••曲线C 表示顶点在原点，焦点在 x 上的抛物线.•••|AB|=|t 1— t 2|=： -…）-4 1 - ■=2 匚【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，一元二次方程根与系 数的关系，属于中档题.选修4-5 :不等式选讲24. ( 2016太原校级模拟)设函数 f (x ) =|x+a 2|+|x - b 2|,其中a , b 为实数,(2) 4一：+± 代入 y 2=8x 求得 的值. 【解答】Sees 8 _21）由 P =—.百 得 p sin B =8cos B,「.p si n 日2 2sin B =8 p COS B,y 2=8x , rx=2+t代入 y 2=8x 得 t 2- 2t - 4=0,「. b+t 2=2, 址2= - 4,2 2(1 )若a+b - 2a+2b+2=0,解关于x 的不等式 f (x)> 3;(2)若a+b=4，证明：f (x)> &【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】(1)由条件求得a=1, b= - 1,再利用绝对值的意义求得f(x) =|x+1|+|x- 1|>3的解集(2)由条件利用基本不等式求得a2+b2> 8，再利用绝对值三角不等式证得结论.【解答】解：(1)v a2+b2- 2a+2b+2= (a- 1) 2+ (b+1) 2=0,二a=1, b=- 1.2 2•••函数f (x) =|x+a |+|x- b |=|x+1|+|x - 1|>3.由于|x+1|+|x - 1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，而0.5和-0.5对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于3,故 f (x) =|x+1|+|x - 1| > 3 的解集为{x|x w—0.5，或x> 1.5}.2 2 2 2 2 2(2)证明：T a+b=4,「. a +b +2ab=16< 2 (a +b ),• a +b > 8.2 2 2 2 9 2 2 2• f (x) =|x+a |+|x - b |=|x+a |+|x- b | > | (x+a )-( x- b ) |=|a +b |> 8,当且仅当a=b时，取等号，即f (x)> 8.【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题.。

最新高三校际联合检测理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分。

考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则 A.()24-，B.[)24-，C.()02，D.(]02，3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间[]1400，的人做问卷A ，编号落入区间[]401750，的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A.12B.13C.14D.154.函数()21x f x e-=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是5.下列说法不正确的是A.若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C.“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D.当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减 6.执行如图所示的程序框图，输出的T= A.29 B.44 C.52 D.62 7.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A.12x π=-B.12x π=C.3x π=D.23x π=8.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是 A.3k <- B.1k > C.31k -<<D.11k -<<9.函数()295y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是 A.34B.2C.3D.510.在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.fx x f x=--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c= A.1或12B.122或C.1或3D.1或2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线330x y -+=平行，则双曲线的离心率为_____. 12.已知()51ax +的展开式中2x 的系数与454x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数相等，则a =_____.13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______. 14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2yx=-+与圆()2220x y r r +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r，则______. 15.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭.（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值.17. （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点. （I ）证明：DF AE ⊥；（II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，请说明点D 的位置.18. （本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球. （I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N*=+∈且.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈，等差数列{}nc 的任一项ncA B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式.20. （本小题满分13分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率32e =. （I ）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；（II ）经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ，切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥；（III ）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B ''''，（,A B ''为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A M B ''''，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x x =-+. （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫≤-+-⎪⎝⎭恒成立，求整数a 的最小值； （III ）若正实数12,x x 满足()()()2212121220f x f x x x x x++++=，证明12512x x -+≥.高三校际联合检测理科数学参考答案一．选择题 CBACC,ADCDD （1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限.（2）【答案】B.解:(0,4),[2,2],[2,4)M N MN ==-∴=-.（3）【答案】 A ，解:若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，……，所以编号落入区间[1,400]的有20人，编号落入区间[401,750]的有18人，所以做问卷C 的有12人． （4）【答案】 C ，解:函数()f x 为偶函数，排除A,B ；210x e ->，排除D,选C. （5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确； B ．命题“x R ∃∈，210x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”，正确；C ．“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确． 故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2， 不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8， 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17， 不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ． （7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ，故选D.（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，由z=kx-y 得y=kx-z ，要使目标函数z=kx-y 仅在点A （0，2）处 取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z 的 下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1.（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D.（10）【答案】 D ，解:先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c；再令48x ＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．二、填空题（11） 2.e =（12）22±.（13）223.（14）10.（15）②③.（11）答案 2.e =解:由题意知3b a =，所以离心率 2.ce a== （12）答案22±.解：由二项式定理知: 5(1)ax +的展开式中2x 的系数为 325C a ，45()4x +的展开式中3x 的系数为1454C ，于是有321545C 4a C =，解得 212a =，所以可得22a =±，故答案为22±.（13）答案223,解:由图知此几何体为边长为2的 正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为1122222122323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.（14）答案10.解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23c o s 2c o s 15A O B A O D ∠=∠-=-，得21c o s 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为222OD ==，所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，10r =.EFC 1A 1C BAB 1Dzxy（15）答案②③.解:①错：(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=7(,)317A B ϕ∴=<；②对：如1y =； ③对；22222|22|2(,)2()()1()A B A B ABA B x x A B x x x x x x ϕ-==≤-+-++；④错；1212121222212||||(,)()()1()x x x x x x x x e e e e A B x x e e e e ϕ--==-+-+-，121212221()1111,(,)||()x x x x x x e e A B e e e e ϕ+-==+>--因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤. （16）解：（Ⅰ）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，又0πA <<Q ，53sin 14A ∴=. 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<，π3B ∴=.………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B =，sin 7sin a Bb A⋅∴==， 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-， 解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分（17）（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB ,AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥,1AE AA A ⋂=,AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC ,AB AC ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B , 设(),,D x y z ，111AD AB λ=,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭,10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,ED FB 1BA 1AC 1C∴11022DF AE =-=,DF AE ∴⊥. ………6分 （Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ， 则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- .由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m =, ………9分 平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为1414. ()14cos ,14m nm n m n ∴==, 即：()()()2221141491241λλλ-=+++-, 12λ∴=或74λ=.又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去. ∴ 点D 为11A B 中点. ………12分（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P .………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ， 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ，………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72541185)2(=⨯==X P ，………10分所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .………………… ……12分 （19）解 （Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，113a S ==满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.………………… ……5分 （Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈， ∴AB B =.又∵n c ∈AB ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈． 又∵10110115c <<，∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩， 解得27m =，所以10114c =， 设等差数列的公差为d ， 则1011146121019c cd --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-. ………………… ……12分（20）解：（Ⅰ）由已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F 可得抛物线C 的方程为24x y =.设椭圆E 的方程为2222+1(0)x y a b a b=>>，半焦距为c .由已知可得：222132b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为：2214x y +=. ………………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，Ｘ 0 1 2Ｐ2413 187 725故可设直线l 的方程为1,y kx =+112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,消去y 并整理得2440,x kx --=∴124x x =- . ∵抛物线C 的方程为214y x =，求导得12y x '=，∴过抛物线C 上A B 、两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-,即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线12,l l 的交点M 的坐标为1212(,)24x x x x +，即M 12(,1)2x x+-， 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴AB MF ⊥.………………………9分（Ⅲ）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)M '-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：0001()2y y x x x -=-，其中点00(,)x y 为切点. 令0,1x y ==-得，2000111(0)42x x x --=-， 解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1(21)A B ''-），，，即直线A B ''过点F . 综上所述，椭圆E 上存在一点(01)M '-，，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''（A '、B '为切点），能使直线A B ''过点F .此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-. 抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰.………………………13分（21）解：（Ⅰ）2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ， 由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． …………………………………………4分（Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，若要功夫深，铁杵磨成针！ 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()f x ≤2(1)12ax ax -+-不能恒成立．……………………6分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x -+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数． 故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分（Ⅲ）由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=， 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥，所以21212()()1x x x x +++≥，又120x x +>， 因此12512x x -+≥成立． …………………………………………………………14分。

合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。

故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。

最新高三（下）联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z=1+i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．若定义域为R的函数f（x）不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）=f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）=f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）3．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或 D．或4．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）∥，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．5．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C．D．6．如图所示，执行程序框图输出的结果是（）A．+++…+B．+++…+C．+++…+D．+++…+7．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）8．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+=（）A．B．C．D．9．要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）10．在双曲线=1（a＞0，b＞0）中，c2=a2+b2，直线x=﹣与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，且左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围（）A．（0，）B．（1，）C．（，1）D．（，+∞）11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)12．已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞）D．[0，+∞）二．填空题（本大题4小题每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上）13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．14．设非负实数x，y满足：，（2，1）是目标函数z=ax+3y（a＞0）取最大值的最优解，则a的取值范围是．15．函数f（x）=（）|x﹣1|+2cosπx（﹣4≤x≤6）的所有零点之和为．16．已知数列，记数列{a n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，恒成立，则实数k的取值范围．三．解答题（共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．20．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．四.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD 交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线，曲线C2：（1）写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z=1+i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：则﹣z2==﹣2i=1﹣3i其共轭复数是1+3i．故选：B．2．若定义域为R的函数f（x）不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）=f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）=f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．【分析】利用奇函数的定义，结合命题的否定，即可得到结论．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），∵定义域为R的函数f（x）不是奇函数，∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）故选D．3．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或 D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D4．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）∥，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行求出k的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：∵=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），∴﹣=（k﹣3，﹣3），∵（﹣）∥，∴3（k﹣3）=1×（﹣3），∴k=2，∴=3×2+1×（﹣2）=4，∴||=，||=2，∴cos＜，＞===，故选：A．5．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．6．如图所示，执行程序框图输出的结果是（）A．+++…+B．+++…+C．+++…+D．+++…+【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=2，k=1满足条件k≤10，执行循环体，S=，n=4，k=2满足条件k≤10，执行循环体，S=，n=6，k=3…满足条件k≤10，执行循环体，S=+…+，n=20，k=10满足条件k≤10，执行循环体，S=+…+，n=22，k=11不满足条件k≤10，退出循环，输出S=+…+．故选：D．7．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由函数g（x）是奇函数，求出函数g（x）的解析式，再利用f（x）与g（x）的关系得到f（x）的单调性，利用函数单调性解不等式f（2﹣x2）＞f（x），求出实数x的取值范围．【解答】解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[﹣ln（1+x）]=ln（1+x）．∵函数f（x）=，∴当x≤0时，f（x）=x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）=lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．8．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】确定a n=3n﹣3，利用裂项法求和，即可得出结论．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故a n=3n﹣3．∴===﹣，∴+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．9．要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求导，再根据诱导公式和三角函数图象之间的关系进行求解即可．【解答】解：的导函数f′（x）=3cos（3x+）=sin（3x+），即可向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），故选：D10．在双曲线=1（a＞0，b＞0）中，c2=a2+b2，直线x=﹣与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，且左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围（）A．（0，）B．（1，）C．（，1）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程及准线方程，求得交点A，B的坐标，再利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出不等式，即可求出离心率的范围．【解答】解：设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=±x，左准线方程为x=﹣∵双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，∴A（﹣，），B（﹣，﹣）∵左焦点为在以AB为直径的圆内，∴﹣+c＜，∴b＜a∴c2＜2a2∴1＜e＜故选：B．11．从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)【考点】二项式系数的性质．【分析】x9是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于9 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x9．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．结合二项式定理及其排列组合的运算性质即可得出．【解答】解：x9是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11中的指数和等于9 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个x9．各个这样的乘积，分别对应从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示9克的方法．故“从重量1，2，3，…10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个．使其总重量恰为9克的方法总数”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）（1+x11）”的展开式中x9的系数”，故选：A．12．已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3] C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．【解答】解：∵g（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）x+，∴g′（x）=g′（1）e x﹣1﹣g（0）+x，∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g′（1）e﹣1，解得：g′（1）=e，∴g（x）=e x﹣x+x2，∴g′（x）=e x﹣1+x，g″（x）=e x+1＞0，∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，故选：C．二．填空题（本大题4小题每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上）13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68 ．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得，为：（10，40），又在回归方程上且b=﹣2∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．14．设非负实数x，y满足：，（2，1）是目标函数z=ax+3y（a＞0）取最大值的最优解，则a的取值范围是[6，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用（2，1）是目标函数z=ax+3y取最大值的最优解，得到直线z=ax+3y（a＞0）斜率的变化，从而求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+3y得y=﹣ax+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=﹣ax+z，则直线的截距最大时，z也最大，当a＞0时，直线y=﹣ax+z，在A处的截距最大，此时满足条件．即a≥6，故答案为：[6，+∞）．15．函数f（x）=（）|x﹣1|+2cosπx（﹣4≤x≤6）的所有零点之和为10 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）=0，得（）|x﹣1|=﹣2cosπx，设y=（）|x﹣1|和y=﹣2cosπx，作出两个函数的图象，利用函数的对称性进行求解即可．【解答】解：由f（x）=0，得（）|x﹣1|=﹣2cosπx，设y=（）|x﹣1|和y=﹣2cosπx，作出两个函数的图象，则y=（）|x﹣1|y=关于x=1对称，分别作出函数y=（）|x﹣1|和y=﹣2cosπx图象如图：由图象可知两个函数共有10个交点，它们中有5组关于x=1对称，不妨设关于x对称的两个零点的横坐标分别为x1，x2，则，即x1+x2=2，∴所有10个零点之和为5（x1+x2）=5×2=10，故答案为：10．16．已知数列，记数列{a n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，恒成立，则实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】化简可得T n==，从而可化得k≥=，从而判断数列{}的单调性即可求数列的最大值，从而解得．【解答】解：∵，∴T n==，∴T n+=，∵，∴k≥=，∵﹣=，∴数列{}前3项单调递增，从第3项起单调递减，∴当n=3时，数列{}有最大值，故．故答案为：．三．解答题（共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P（A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，∴X的分布列为：X 0 3 4P∴EX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．【解答】解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，C（﹣1，，0）∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=20．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．四.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD 交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，∴ED=BD=8…∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF==…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线，曲线C2：（1）写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由曲线C1的普通方程能写出曲线C1的参数方程，由曲线C2的参数方程能写出曲线C2的普通方程．（2）C1与C2联立，利用根的判别式得到椭圆C1与直线C2无公共点，再求出椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离，由此利用三角函数知识能求出点P到C2上点的距离的最大值，并能求此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵曲线，∴曲线C1的参数方程：…∵曲线C2：∴，y=2+6﹣x，∴曲线C2的普通方程：x+y﹣8=0．…（2）由，得：4x2﹣48x+189=0，△=482﹣4×4×189=﹣720＜0，∴椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离：…∴当时，d的最大值为，…此时点P的坐标为．…[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2016年10月20日。

慕华·优策2020—2021学年高三年级第一次联考数学（理科）参考答案及解析一、选择题1.【答案】C【解析】由题意可得：{0,1,2}A =,{1,2}A B ∴=.故选：C.【命题意图】本题考查集合的基本运算,集合的运算是高考常考的简单题型,把握集合A ,B 的精准化简是解此类问题关键。

2.【答案】D【解析】由题设易得:352{|44,}22k k k Z ππααπαπ∈+<<+∈.故选D . 【命题意图】本题考查三角函数的基本运算，由角的取值范围确定三角函数值的符号,着重理解三角函数的定义。

本题给出的是角α的取值集合,由此求出2α的取值集合,从而就能确定2α三角函数值的符号。

3.【答案】A【解析】将题目转化为a n -2既是3的倍数,也是4的倍数,也即是12的倍数.即a n -2=12(n-1), a n =12n-10.当n =169时, a 169=12×169-10=2028＜2029.当n =170时, a 170=12×170-10=2040＞2029.故n =1,2,…,169,数列共有169项,此数列中间项为第85项, a 85=12×85-10=1010,故选A .【命题意图】本题考查数学文化与数学建模,数学文化试题是传承经典、开拓创新型试题。

解答此类问题时,要认真阅读题目，审清题意才能正确作答。

本题的关键是寻找出同时能被3和4整除的数的规律,即是12的倍数。

4.【答案】A 8162[1()]17905262(264−++⨯=.故选A. 【命题意图】本题考查数学应用问题，数学实际应用题是新教材、新课标、新高考中推出的一类新题型,结合实际分析问题、解决问题。

解答本题的关键在于找到构成数列{}n a 是成等比数列的，因此，可以直接运用等比数列前n 项和公式求和。

5.【答案】B【解析】由于圆上的点(-4,2)在第二象限，若圆心不在第二象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第二象限，设圆心的坐标为(),(0)a a a −>，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a ++−=.由题意可得()()22242a a a −++−=，可得212200a a −+=，解得2a =或10a =，所以圆心的坐标为()2,2−或()10,10−，圆心到直线3120x y ++=的距离均为621241010d −++== 所以，圆心到直线3120x y ++=410. 故选：B.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系是解析几何的基本内容，求圆的方程时，确定圆心及圆的半径是解决问题核心。

最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2}B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种5．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．77．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+128．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．99．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30° B．135°C．45°或135° D．45°10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．14．展开式中不含x4项的系数的和为．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= ．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2}B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．【解答】解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={}⊆A，=1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}．故选D．【点评】本题考查集合的包含关系及应用．注意空集的讨论，是易错点．2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．5．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x ﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．9【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由于⊥⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．【点评】本题考查了⊥⇔=0、基本不等式的性质，属于基础题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30° B．135°C．45°或135° D．45°【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可．【解答】解：由1+=．得1+=．即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，即A=，∵a=2，c=2，∴a＞c，即A＞C，由正弦定理得，即，∴sinC=，即C=45°，故选：D【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=x2+=2，∴x2=2，把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=﹣2，∴直线AB过点M（3，0）与（2，﹣2）方程为2x﹣y﹣6=0，代入抛物线方程，解得，x1=，∴|AE|=+=5，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值，再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα，且sinα与cosα异号，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值，进而求出sinαcosα的值，最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，即=﹣2＜0，∴sinα=﹣2cosα，两边平方得：sin2α=4cos2α，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，sin2α=，∴sin2αcos2α=，即sinαcosα=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．14．展开式中不含x4项的系数的和为0 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式的所有项的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为4求出展开式中x4的系数，利用系数和减去x4的系数求出展开式中不含x4项的系数的和．【解答】解：令x=1求出展开式的所有的项的系数和为1展开式的通项为令得r=8所以展开式中x4的系数为1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故答案为：0【点评】本题考查解决展开式的系数和问题常用的方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= π．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计；推理和证明．【分析】根据抽样方法的定义，可判断①；根据相关系数与相关性的关系，可判断②；根据相关系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故②正确；在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位，故③正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④错误；故正确的命题是：②③，故答案为：②③【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得：T n•T n﹣1=2T n﹣2T n（n≥2），变形即可证明﹣1（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】解：（Ⅰ）∵T n=2﹣2a n∴T1=2﹣2T1∴∴由题意可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），所以∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，∴，∴==【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（Ⅱ）由频率公布直方图知100×0.15=15，100×0.05=5，由此能求出抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数．（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，所以，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．…（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．；；．所以X的分布列为X 0 1 2PX的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC （II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，∴令得…∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为．…设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，，所以θ=60°，即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，利用当时，函数f（x）有极大值，建立方程，即可求得实数b、c的值；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a ﹣7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b∵当时，函数f（x）有极大值，∴f′（）=﹣++b=0，f（）=﹣++c=，∴b=0，c=0；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a ﹣7成立由（Ⅰ）知，①﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣3x（x﹣），函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减∵f（﹣1）=2，f（）=，∴﹣1≤x＜1时，f（x）max=2，；②2≥x≥1时，f′（x）=，1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）max=f（2）=aln2，∴或，∴＜a≤或0＜a≤；2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）max=f（1）=aln1=0，∴2≥3a﹣7，∴a≤3，∴a≤0综上，实数a的取值范围是a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】选作题．【分析】（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O 的半径．【解答】（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3【点评】本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l 的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…【点评】本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．。

机密★启用前普通高中调研统一测试高三数学(理工类)★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 回答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 回答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a < 1 C ．a ≥2 D ．a > 22. 若向量a = (2，－1，0)，b = (3，－4，7)，且(t a + b )⊥a ，则实数t 的值是 A ．0 B ．1 C ．－2 D ．23. 已知等比数列{a n }的公比为3，且a 1 + a 3 = 10，则a 2a 3a 4的值为 A ．27 B ．81 C ．243 D ．7294. 已知函数y = f (x ) + x 是偶函数，且f (2) = 1，f (－2) = A ．1 B ．5 C ．－1 D ．－55. 由曲线3y x =与直线4y x =所围成的平面图形的面积为 A ．4 B ．8 C ．12 D ．166.f (x )是定义在R 上的以2为周期的奇函数，f (3) = 0，则函数y = f (x )在区间(－2，5)内的零点个数为 A ．6B ．5C ．4D ．37. 实数x 、y 满足条件104312020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，则211x y z x -+=+的最大值为A ．45B ．54C ．916D ．128. 向量a 、b 、c 满足a + b + c = 0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，||||||||||||M a =++a b c b c ，则M = A ．3 B ．32 C ．22+D ．321+9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =，则下列结论中错误的是A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．异面值线AE 、BF 所成的角为定值10. 将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向左平移(0)2πϕϕ<<个单位得到()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的x 1、x 2，12min ||4x x π-=，则ϕ的值是A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 11. 若定义在R 上的函数f (x )满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的是A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k >-- D ．1()11kf k k >-- 12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，| OF 1 |为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C ．2D ．2第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学模拟试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}xB x =>，则AB =A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．)21,0(D ．(0,1) 2．复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．i C ．12 D ．12i 3．设||1a =，||2b =，且a ，b 夹角3π，则|2|a b += A ．2B ．4C ．12D ．34．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为 A ．15B ．25 C ．35 D ．455．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．726．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是正视图 侧视图xA ．2B ．92C ．32D ．37．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填 A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤ D ．12?i ≥8．设a ，b 是两条不同的直线，α，βa b ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．11[,]33-10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，则以下结论正确的是 A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3 C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为 A ．221()42x y +-=B ．221()42x y -+= C ．221()22x y +-=D ．221()22x y -+=12．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()xf x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021届高三百师联盟3月摸底联考数学试卷2021．3一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合M ＝{x y ，N ＝{}22log (1)x y x =-，则集合M N ＝ A ．{}02x x ≤≤ B ．{}0112x x x ≤<<≤或 C ．{}12x x <≤ D ．{}02x x << 2．复数z 满足：122iz +=-，z ＝ A ．21i 515- B ．21i 155- C ．21i 515+ D ．21i 155+3．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，右图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是A ．人口数逐次增加，第二次增幅最大B ．第六次普查人数最多，第四次增幅最小C ．第六次普查人数最多，第三次增幅最大D ．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小 4．已知圆C ：x 2＋y 2﹣4x ﹣2y ＋3＝0，过原点的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，则当△ABC 的面积最大时，直线l 的方程为 A ．0y =或43y x =B ．2y x =或32y x =C ．0x =或13y x =D ．34y x = 5．将3名男生1名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是 A ．112 B ．13 C ．12 D ．166．函数()ln(1)sin 2f x x x =+⋅的部分图象大致是7．雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的第一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）．若按照上述规律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是A ．1433 B ．2049 C ．2569 D ．6438．如图，直角三角形△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，M 点是线段AC 一动点，若以M 的圆与线段AC 交于P ，Q 两点， 则BP BQ ⋅的最小值为A ．1215B ．1925C ．913 D ．1915二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．对任意实数a ，b ，c ，有以下命题中，正确的是A ．若22ac bc <，则a b <B ．若a b >，则1a b> C ．若2211a b >，则a b < D ．若10a b >>>，则log ()0a a b -> 10．设M ，N 是函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)的图象与直线y ＝2的交点，若M ，N 两点距离的最小值为6，P(12-，2)是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是A ．该函数图象的一个对称中心是(7，0)B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，k ∈ZC ．()f x 在[72-，13-]上单调递增D ．()2cos(36f x x ππ=+11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1D 1，DD 1的中点，则以下四个结论正确的是 A ．B 1C ∥MNB ．B 1C ⊥平面MNC 1 C ．A 到直线MND ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π12．已知函数()ln mf x x m x=-+在区间(1，e)内有唯一零点，则m 的可能取值为 A ．2e e 1-+B ．1e 1+C ．e 1e 1-+D ．21e+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若3sin 25α=，则tan α＝ ． 14．若26()ax x+的展开式中3x 的系数为160，则a ＝ ．15．函数()f x 是定义在R 上的函数，且(1)0f =，()f x '为()f x 的导函数，且()f x '＞0，则不等式(2)()0x f x ->的解集是 ．16．过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝ ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①11a =，121n n n a a a +=+；②12335(21)n a a a n a n ++++-= ；③212111n n a a a +++= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答：（1）求{}n a 的通项公式；（2）求(21)(1)n n a n n ⎧-⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且5cosBcosC ＋2＝5sinBsinC ＋cos2A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S ，c sinBsinC 的值． 19．（本小题满分12分）如图，在直角△ABC 中，直角边AC ＝2，∠A ＝60°，M 为AB 的中点，Q 为BC 的中点，将三角形△AMC 沿着MC 折起，使A 1M ⊥MB ，(A 1为A 翻折后所在的点)，连接MQ ．（1）求证：MQ ⊥AB ；（2）求直线MB 与面A 1MC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全好评的次数X 的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：P(20K k ≥)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，P 为直线y ＝2上的动点，当点P 位于点(1，2)时，△ABP 的面积S △ABP ＝1，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点F1．（1）求椭圆C 的方程；（2）连接PA ，PB ，直线PA ，PB 分别交椭圆于M 、N （异于点A ，B ）两点，证明：直线MN 过定点． 22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x a x x =++，x ∈[0，π]．（1）证明：当a ＝﹣1时，函数()f x 有唯一的极大值点；（2）当﹣2＜a ＜0时，证明：()f x π<．参考答案1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．AC 10．ABD 11．ACD 12．BC13．13或3 14．2 15．(-∞，1) (2，+∞) 16．31617．18．19．20．21．22．。