数学：1.6 微积分基本定理(教案)

1.6 微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理地含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单地定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分地方法情感态度与价值观通过微积分基本定理地学习，体会事物间地相互转化、对立统一地辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体地速度与位移地关系，使学生直观了解微积分基本定理地含义，并能正确运用基本定理计算简单地定积分.难点了解微积分基本定理地含义三、教学过程1、复习：定积分地概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分地一般方法.我们必须寻求计算定积分地新方法，也是比较一般地方法.变速直线运动中位置函数与速度函数之间地联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t>,速度为v(t><），则物体在时间间隔内经过地路程可用速度函数表示为.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S<t）在上地增量来表达，即=而.对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用地原函数<即满足）地数值差来计算在上地定积分地方法.注：1：定理如果函数是上地连续函数地任意一个原函数，则证明：因为=与都是地原函数，故-=C<）其中C为某一常数.令得-=C，且==0即有C=，故=+=-=令，有此处并不要求学生理解证明地过程为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分地一般方法，把求定积分地问题，转化成求原函数地问题，是微分学与积分学之间联系地桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时也提供计算定积分地一种有效方法，为后面地学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要地地位，起到了承上启下地作用，不仅如此，它甚至给微积分学地发展带来了深远地影响，是微积分学中最重要最辉煌地成果.例1．计算下列定积分：<1）； <2）.解：<1）因为，所以.<2））因为，所以.练习：计算解：由于是地一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有===例2．计算下列定积分：.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形地面积表示所发现地结论.解：因为，所以，，.可以发现，定积分地值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应地曲边梯形位于 x 轴上方时<图1.6一3 > ，定积分地值取正值，且等于曲边梯形地面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ）<2）当对应地曲边梯形位于 x 轴下方时<图 1 . 6 一 4 > ，定积分地值取负值，且等于曲边梯形地面积地相反数；( 3）当位于 x 轴上方地曲边梯形面积等于位于 x 轴下方地曲边梯形面积时，定积分地值为0<图 1 . 6 一 5 > ，且等于位于 x 轴上方地曲边梯形面积减去位于 x 轴下方地曲边梯形面积．例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度=1.8M/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t=0时，汽车速度=32公里/小时=M/秒8.88M/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒于是在这段时间内,汽车所走过地距离是=M,即在刹车后,汽车需走过21.90M才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间地内在联系，同时它也提供了计算定积分地一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要地定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远地学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌地成果．四、课堂小结本节课借助于变速运动物体地速度与路程地关系以及图形得出了特殊情况下地牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般地函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分地简便方法，运用这种方法地关键是找到被积函数地原函数，这就要求大家前面地求导数地知识比较熟练，希望，不明白地同学，回头来多复习！五、教学后记从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点.当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面地体验及感悟.在今天地课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果地强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践地切身地认识.记得当实习生时，本来一个相当简单地问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重地是学生却听得更为糊涂.一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：了解微积分基本定理的含义。

三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。

3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。

设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。

另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。

所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。

当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。

② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

1. 教学目标1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

2. 教学重点/难点教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。

3. 教学用具多媒体、板书4. 标签一、复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2.如何求曲线下方的面积？3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法【板书】用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割I以百代曲］—►，作和匚事I逼近二、新知介绍【1】微积分基本定理【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？【生】讨论回答【师】如果£(媒)是在区间回句上的壁画数，并且F1■⑶=的，则J：fG)dx=F(b)-F(江记！F(b)-F(^)=F㈤|＞贝山『欧)收=Fg|：=F(b)—F⑷/值)是F㈤的导函数，F(＞茂处)的原函数.【板书】1.f(x)dx=F(b3-7(a)记：F(b)-F(a)=F(x)|^【板演/PPT】例1：计算下列定积分？(1)J：：dx(2)/；2xdx【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？(然后，演板)2、知识探究(1)微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意:y=抑原函数是y=In(x)（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。

（3）定积分的值可以是任意实数。

例2：计算定积分【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。

§1.6.2微积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系; （2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系； （3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。

【教学重点】：（1）运用基本定理求定积分（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：（1）求函数()f x 的一个原函数()F x（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x 【教学过程设计】：（基础题）1. 22(sin cos )d x x x ππ-+⎰的值是（ ）(A)0 (B)4π(C)2 (D)4答案：C解释：()2222(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππππ--+=-+=⎰2. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2(B)3(C)52(D)4答案：B 解释：332222cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰⎰⎰3202sin sin 123x x πππ=-=+=3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为 答案：4解释：220sin d sin d sin d x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰20cos (cos )4x x πππ=--=4.设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

1.6微积分基本定理教学设计总体设计：复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业1、复习旧知老师和学生一起复习定积分的几何意义：f (x )d x 的几何意义：表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积。

设计意图：复习定积分的几何定义是为了加深学生对定积分的印象，为微积分基本定理的探究导出做好铺垫。

2、体验探究引例：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是()t s s =，由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度是()()t s t v '=。

设这个物体在时间段[]b a ,内的位移为S ，你能分别用()()t s t v ,表示S 吗?2.1引导学生把探究的基本思路分解成以下2个方向：（1）根据位移的定义探索发现并得出()()a s b s S -=——基本定理的右端雏形（2）从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s 可以用定积分表示为——基本定理左端雏形 ()d .ba s v t t =⎰3、探究生成综上可得到：()()()a s b s dt t v ba -=⎰——基本定理雏形 4、定理的导出与应用4.1由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数()x f 在区间[]b a ,的积分与其导数的关系，即微积分基本定理：如果()x f 是区间[]b a ,连续函数，若()()()()()a F b F dx x f x f x F b a -=='⎰则该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式4.2可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。

4.3 活学活用例1.利用微积分基本定理解决前面的问题（1）dx x ⎰214 （2）()⎰≥102n dx x n （3）⎰10d x e x解：（1）令4)(x x f =，取551)(x x F ⋅=，则()()x f x F =' 由微积分基本定理得 ()()5101104=-=⎰F F dx x 同理，可以解出（2）11+n （3）1-e ，同时也可以解出dx x ⎰103 练习：课本例题 和课本A 组1.（2）、（4）、（6）5、定理延伸例2.计算下列定积分并给出定积分的几何意义（1）⎰ππ2d sin x x （2）⎰π20d sin x x 通过求解得：（1）1-，（2）0其几何意义如下图:（1） （2）归纳总结：微积分基本定理求的是整个区间的定积分，若要求曲线与x轴围成的面积则需将x轴上下部分分开求解。