解直角三角形培优提高练习题中考题

2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题（附答案）1．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳篷，且AB＝1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度CD．2．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）3．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．（1）求ME的长；（2）转动AP，当∠P AC＝53°时，①求点C的上升高度；②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）4．大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B'处，请人不断测量他的影子B'C'．当他的影子B'C'和身高A'B'相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A 与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上．聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．5．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？6．如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC；（2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD；（3）在BC上取一点P，使tan∠BAP＝．7．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）8．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）9．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量∠BAC＝100°，车位锁的底盒BC＝60cm．（1）求AB的长；（结果精确到0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan，40°≈0.84）10．图1是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成．现将其简化抽象成图2，量得正方形ABCD的边长为40cm，矩形EFGH的边FG＝AB，EF＝16cm．（1）连接BF，CG，直接写出BF与CG的关系：；（2）若点D到点G所在的水平线的垂线段为DM，点E为BC的中点，∠HGM＝50°，求点A到直线GM的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）11．图1是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转．图2是其截面简化示意图，已知连杆OA＝50cm，载物直角面A﹣B﹣C中∠ABC＝90°，其中点O固定，点B在水平杆OM上左右滑动，AB＝BC＝30cm．当载物面BC与水平杆OM重合时为初始位置，载物面BC与水平杆OM垂直时完成翻转．（1）直接写出点B与点O的之间距离d的取值范围是；（2）当点B由初始位置向右滑动10cm时，求载物面BC与水平杆OM的夹角∠CBM的（结果精确到0.1°，参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.18．）度数．12．如图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA＝OB＝OC＝20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM＝60m．（1）在图2中，若∠BOM＝20°，则∠COM的度数为，点B到地面的距离可表示为；（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数）13．如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E'，D'，假设E'、D'、C 三点共线，求此时点E上升的竖直高度．（结果保留整数）（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）14．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．（1）直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；（2）若∠ABC＝∠BCD＝∠CDE，电脑显示屏宽EF＝26cm，且∠DEF＝105°，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）16．道闸杆，在生活中很常见．又称为八角杆，经过铝合金挤压成型．后经喷涂，贴红色反光膜而成．主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站．停车场、小区等．用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆．也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆CD平行于地面且距离地面的高度BC为1米．（1）一辆长是4.20米．宽是180米高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB 的中心线进入停车场．则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．17．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．18．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．20．小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层，层高3米，南、北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你，你将建议父母选择第几（该市区所在纬度约是32.5°N，冬至日的正午太阳高度角为90°层以上？说明你的理由．﹣32.5°﹣23.5°＝34°，sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y＝﹣60（n﹣15）2+16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．参考答案1．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．2．解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．3．解：（1）由图1可知，P A＝AB＝10（cm），图3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的长为20cm；（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．∴．∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根据题意如图：当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：DF＝（cm），∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝（cm），∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴，∴，∴DT≈7.7cm，由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴点D与点I之间的距离为19.4cm．4．解：∵金字塔正方形底座的边长为230米，∴0B＝＝115（米），∴OA＝0B+AB＝115+22.2＝137.2（米），根据题意可得Rt△AOP是等腰直角三角形，∴OA＝PO＝137.2米．答：该金字塔的高度为137.2米．5．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．6．解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，点E即为所求．（3）如图，点P即为所求．7．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，在Rt△BCT中，BT＝BC•sin50°≈61.6（cm），∵EG＝170×0.6＝102cm，∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），∵四边形DHTG是矩形，∴DH＝GT＝10.4（cm），在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）答：AD的长约为12.0cm．8．解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点A作AH⊥OF，垂足为点H．在Rt△OAD中，∵sin∠AOD＝，∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得OD＝16（cm）．由OB＝7，得BD＝9（cm）．在Rt△ABD中，．答：窗钩AB的长度约等于15cm．9．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC＝60cm，∴BH＝HC＝BC＝30（cm），在Rt△ABH中，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，∴AB＝≈≈38.9（cm）；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin40°≈38.9×0.64＝24.896（cm），∴24.896＜26，∴当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位．10．解：（1）如图1中，结论：BF＝CG，BF∥CG．理由：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵AB＝FG，∴FG＝BC，FG∥BC，∴四边形BCGF是平行四边形，∴BF＝CG，BF∥CG．故答案为：BF＝CG，BF∥CG．（2）如图2中，过点A作AW⊥GM于W，过点D作DQ⊥AW于Q，过点C作CT⊥DM于T，过点H作HJ⊥GM于J，交CT于K．∵BE＝EC＝20cm，BC＝EH＝40cm，∴CH＝20（cm），在Rt△HGJ中，HJ＝GH•sin50°≈12.26（cm），在Rt△CKH中，KH＝CH•cos50°≈12.86（cm），在Rt△CDT中，DT＝CD•sin50°≈30.64（cm），在Rt△AQD中，AQ＝AD•cos50°≈25.72（cm），∵四边形DQWM，四边形MTKJ都是矩形，∴QW＝DM，TM＝JK＝HJ+KH，∴QW＝DM＝DT+KH+HJ＝12.26+12.86+30.64＝55.76（cm），∴AW＝AQ+QW＝55.76+25.72≈81.5（cm）．11．解：（1）初始位置时，∠ABO＝90°，故OB＝，完成翻转时，OB＝OA+AB＝80，∴40≤d≤80，故答案为40≤d≤80；（2）由（1）知，初始位置时OB＝40cm，所以向右滑动10cm时，OB＝50cm，如图，作AH⊥OM，垂足为H，设HB＝xcm，∵OA2﹣OH2＝AB2﹣HB2＝AH2，∴502﹣（50﹣x）2＝302﹣x2，解得：x＝9，∴，∴∠ABH≈72.5°，∴∠CBM＝90°﹣72.5°＝17.5°．12．解：（1）∵∠BOC＝120°，∠BOM＝20°，∴∠COM＝∠BOC﹣∠COM＝120°﹣20°＝100°，过点B作OM的垂线，交OM于点E，在Rt△OBE中，OB＝20m，∴OE＝OB•cos∠BOE＝20cos20°，∴EM＝OM﹣OE＝60﹣20cos20°，故答案为：100°，60﹣20cos20°；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，∠AOM＝130°，∠BOM＝110°，∠COM＝10°，∴此时点A最高，过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，则∠AOD＝180°﹣∠AOM＝50°，在Rt△AOD中，，即OD＝20×cos50°≈12.86（m），∴DM＝12.86+60≈72.9（m），∴风车最高点到地面的距离约为72.9m．13．解：（1）如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin41°＝60×0.66≈40（cm），∴点D到AC的距离为40cm．（2）如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD•cos41°＝60×0.75≈45（cm），∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴时点E上升的竖直高度＝（120﹣90）•sin44°≈21（cm）．14．解：（1）如图2﹣1中，结论：∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°．理由：过点C作CT∥DE，∵AB∥DE，∴CT∥AB∥DE，∴∠CDE+∠DCT＝180°，∠ABC+∠BCT＝180°，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝∠ABC+∠BCT+∠DCT+∠CDE＝360°．（2）如图2﹣2中，连接BD，过点C作CJ⊥BD于J，过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FT⊥HE交HE的延长线于T．∵CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∵∠CDE＝∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∵EH⊥AB，∴∠BHE＝90°，∴四边形BDEH是矩形，∴EH＝BD＝2DJ＝2•CD•cos30°＝28≈48.44（cm），在Rt△EFT中，∠FET＝105°﹣90°＝15°，∴TE＝EF•cos15°＝26×0.97≈25.43（cm），∴TH＝TE+EH＝48.44+25.43≈73.9（cm）．∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为73.9cm．15．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x（米），∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，即EG＝，∴x﹣7.7＝，解得：x＝，∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．16．解：（1）如图，点E为AB的中点，则BE＝AB＝1.5米，在BE上取点F，使EF＝0.9米，则BF＝BE﹣EF＝1.5﹣0.9＝0.6（米），过点F作FP⊥AB，交DC为点H，在FP上截取FG＝1.80米，则四边形HFBC是矩形，故有HF＝BC＝1米，∴HG＝FG﹣HF＝1.8﹣1＝0.8（米），在Rt△GHC中，HC＝0.6米，HG＝0.8米，∴tan∠CGH＝，∴∠CGH＝37°，即∠GCH＝90°﹣37°＝53°，∴道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过．（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为2x辆，根据题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的根，当x＝6时，2x＝12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为12辆．17．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．18．解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．19．解：（1）作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm，在Rt△AHE中，∵tan∠EAC＝，∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；（2）设AC＝xm，∵四边形EHCD是矩形，∴DE＝CH＝6m，∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，解得：x＝39，∴舰岛AC的高度为：39m．20．解：（1）过点B作BE⊥MF于点E，由题意得，∠ABE＝34°，BE＝60米，∴tan34°＝，即ME＝60×0.7＝42（米），∴BD＝EF＝17×3﹣42＝9（米），9÷3＝3（层），答：至少选择3层以上．（2）由题意得，﹣60（n﹣15）2+16375≤13000，解得n≤7.5，∵当n＝15时，y最大，∵n＞3，∴n可取4，5，6，7，∴可以购买4层到7层的楼房．。

中考数学优化训练(解直角三角形的应用）测试题(含答案)(时间：30分钟 分值：40分 得分： )评分标准：选择每题3分，填空每题4分．1．如图1，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为35°，高CD 为3 m ，则斜梁AC 的长为( )图1A ．3cos 35° m B ．3tan 35° m C ．3sin 35° mD ．3sin 35°m 2．如图2，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，AB ＝2 km.若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为 km.(结果保留根号)图23．某校数学兴趣小组要测量贵阳某电视塔的高度．如图3，他们在点A 处测得电视塔最高点C 的仰角为45°，再往电视塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为56°，AB ＝62 m ，根据这个兴趣小组测得的数据，计算电视塔的高度CD 约为 m ．(参考数据：sin 56°≈0.83，tan 56°≈1.49，结果保留整数)图34．(8分)如图4，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AD ＝3 m ，坝高AE ＝DF ＝6 m ，坡角α＝45°，β＝30°，求BC 的长．图45．(10分)如图5，小明想测量一幢高楼AB的高度，小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，距C处60 m的E处有一幢楼房，小明从该楼房中距地面20 m的D处测得高楼楼顶A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求高楼AB的高度．图56．(11分)如图6，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路(BC)10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s，已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)图6中考数学优化训练(解直角三角形的应用）测试题参考答案1．D 2.(1＋3) 3.1894．由题意得四边形AEFD是矩形．∴AE＝DF＝6，AD＝EF＝3.∵α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝DFtan β＝3DF＝6 3. ∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋63＝9＋6 3.答：BC的长为(9＋63)m.5．如图1，过点D作DF⊥AB于点F，易得四边形BFDE为矩形，图1∴DF＝EB，DE＝BF.设AB的长度为x m，则AF为(x－20)m.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴BC ＝AB tan ∠ACB ＝3x3m.在Rt △ADF 中，∠ADF ＝30°，∴DF ＝AFtan ∠ADF＝3(x －20)m.∵CE ＝60 m ，∴DF －BC ＝CE ，即 3(x －20)－3x3＝60. 解得x ＝303＋30.答：高楼AB 的高度为(303＋30)m.6．(1)如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m. 在Rt △ACD 中，∠C ＝45°，∴AD ＝CD ＝10 m.图2在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，tan B ＝ADBD ，∴tan 30°＝ADBD .∴BD ＝3AD ＝10 3 m. ∴BC ＝CD ＋BD ＝(10＋103) m. 答：B ，C 之间的距离为(10＋103) m. (2)这辆汽车超速．理由：∵BC ＝10＋103≈27(m)，∴汽车的速度约为 270.9＝30(m/s)＝108(km/h)．∵108＞80，∴这辆汽车超速．。

ABE F QP 初三数学 解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米.2． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为 米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）． （参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。

【解析】作 AD⊥BC，垂足为点 D，
在 Rt△ABD 中，∠B＝45°，
∴BD＝AD＝AB·sin 45°＝
6
2 ×2
＝
3.
在 Rt△ACD 中，AD＝ 3 ，AC＝ 15 ，
∴CD＝ AC2－AD2 ＝2 3 ， ∴BC＝BD＋CD＝3 3 ，
∴S△ABC＝12 BC·AD＝21 ×3 3 × 3 ＝92 .
十八 解直角三角形
已知两边解直角三角形
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2 ，BC＝ 10 ，则 AB 边上的中线长是( D )
A． 10 B．2 2 C． 2 D． 3
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 为 AC 边上的中线，已知 BC＝4，BD＝2 7 ，
则∠A＝___3_0_°__．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝5， b＝7，解这个直角三角形．(角度精确到 1″) 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝7， ∴c＝ a2＋b2 ＝ 25＋49 ＝ 74 ， tan A＝75 ，tan B＝75 ， 则∠A≈35°32′16″，∠B≈54°27′44″. 答：c＝ 74 ，∠A≈35°32′16″，∠B≈54°27′44″.
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，边 AB 的垂直平分线分别交边 BC，AB 于 25
点 D，E，如果 BC＝8，tan A＝43 ，那么 BD＝____4___．
6．在△ABC 中，若∠B＝45°，AB＝10 2 ，AC＝5 5 ，
则△ABC 的面积是__7_5_或__2_5__．
4．在△ABC 中，AB＝AC＝4，BC＝4 3 ，求∠BAC. 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，