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用平衡法求出来的球体积公式

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创 立 的 平 衡 法 即 杠 杆 原 理 在 求 面 积 和 体 积 时 有 重 要 的 应 用 有 这 样 一 个 故 事 $ $ % ! ! " 阿 基 米 德 曾 利 用 平 衡 法 称 出 了 球 体 积 公 式 ! 用 一 根 长 为 球 直 径 倍 的 长 杆 即 长 为 杆 确 定 一 个 支 点 将 杆 的 中 点 支 于 支 点 $ $ " $ %的 *! ! 两 端 点 设 为 的 中 点 为 以 为 心 以 球 半 径 为 半 径 画 圆 并 画 圆 的 外 切 正 方 形 及 # $ $ - .! *. /! / % # 等 腰 三 角 形 使 该 图 形 绕 转 得 到 球 圆 柱 和 圆 锥 *0 1$ 1*. & 0*. & $ % P ! .旋 ! $ $ $ 在 离 支 点 切 一 铅 直 狭 条 宽 度 记 为 旋 转 后 得 到 的 2处 2! 是 厚 为 圆 盘 这 些 薄 片 体 积 的 近 似 值 分 别 是 % 2的 ! 球 部 分 % 2& " %"2' 2, % 圆 柱 部 分 % 2, 圆 锥 部 分 % 2 2! 阿 基 米 德 将 从 球 和 圆 锥 割 出 的 两 个 薄 片 吊 在 端 点 它 们 .$ 重 力 力 臂 为 的 合 力 矩 & ' 3重
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称出来的体积公式——球体积公式

称出来的体积公式——球体积公式

称出来的体积公式——球体积公式两千多年前，发生了这样一个故事。

杠杆原理的发现者——古希腊科学泰斗阿基米德，利用杠杆原理＂称”出了球体积公式。

用一根长为球直径2倍的长杆，即为4r的杆，确定一个支点N。

将杆的中点支于支点。

两端点设为S、T。

NT的中点为O。

以O为心，以球半径r为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。

这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。

在离支点x处切一铅直狭条，宽度记为Δx。

旋转后得到的是厚为Δx的圆盘。

这些薄片体积的近似值分别是：球部分：πx(2r-x) Δx，圆柱部分：πr2Δx，圆锥部分：πx2Δx。

阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端点T，它们的合力矩（重力×重力臂）为2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx=4x·(πr2Δx)这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。

把从N到T所有割出的薄片加在一起，将球和圆锥用绳子吊在S点，其力臂是2r，把圆柱的重心吊在O点，它的力臂是r。

它们的力矩也应满足4倍关系，即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡，于是2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。

已知8πr3，圆锥体积=3圆柱体积=2πr3，代入后立得4πr3。

球体积=32。

由此公式可得球体积是它的外切正圆柱体积的3多么精彩的方法。

竟然用秤称出了球的体积公式。

当然阿基米德在秤得球体积公式以后，仍然用数学方法严密地证明了他的发现。

阿基米德的方法启示我们，数学定理与公式蕴藏在现实世界之中，它们往往与物理、化学、生物学…的规律联系在一起，我们可以通过物理的、化学的、生物的方法去发现它们。

我国古代数学家对球体积公式也有研究。

西汉末年成书的《九章算术》中，已经记载着柱、锥、台、球等各种体积的计算问题。

除了球以外，其他各体积公式都和现在一致。

由于球的体积比较3πR3，它难求，当时未能找到正确公式。

数学史(第2章古希腊数学)

数学史(第2章古希腊数学)

第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。

概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。

三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。

同时也有对前人进行评述和整理工作。

主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。

普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。

其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。

（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。

以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。

（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。

该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。

（4）发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。

加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。

不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

高中数学选修3-1《数学史》：数学之神──阿基米德

高中数学选修3-1《数学史》：数学之神──阿基米德


阿基米德的数学著作集中探讨了 求积问题，主要是曲边图形的面积和 曲面立方体的体积.在20世纪初，幸 运地发现了阿基米德写给数学家挨拉 托塞尼的一封信，后被命名为“阿基 米德方法”.它记载了阿基米德求体 积或面积时采用的“平衡法”思想， 也就是杠杆原理.
“平衡法”中心思 想
要计算一个未知量（图形的体积或 面积），先将它分成许多微小的量（如 面分成线段，体积分成薄片等），再用 另一组微小的单元来进行比较.但通常是 建立一个杠杆，找一个合适的支点，使 前后两组微小的量获得平衡，而后者的 总和比较容易计算.这实际上就是近代积 分的基本思想.而阿基米德可以当之无愧 地被称为“积分学的先驱”.
阿基米德螺线
阿基米德《论螺线》中定义了“阿 基米德螺线”：如果在平面上一条射线 绕它的固定端点均匀旋转，同时有一点 从
端点出发沿直线匀速运动，那么这个动 点就描绘出一个平面螺线.被誉为“阿基
米德螺线”ρ=αθ 并证明螺线第一圆
与初始线（黑线部分）所围成的面积， 等于半径为2πa 的面积的1 .
3
过程和方法
阿基米德流传于世的数学著作有10 余种，从中熟悉他的数学成就，并学习 他高尚的数学精神.
情感态度与价值观
阿基米德是一位伟大的数学家、力 学家、机械师和爱国主义者，他被称为 有史以来贡献最大的三位数学家之首.
教学重难点
难点
理解阿基米德的平衡法思想、“阿 基米德螺线”.
重点
阿基米德的“平衡法”思想是近代 积分的基本思想，他是当之无愧的“积 分学的先驱”.
内容介绍
1.阿基米德
阿基米德（公元前287——前212） 生于叙拉古城（今意大利西西里岛）， 父亲是天文数学家，阿基米德才智超群， 从小就有良好的家庭教育，青年时代到 了“智慧之都”的埃及亚历山大城，跟 随欧几里得的学生学习.
数学选修3-1习题集带答案版

数学选修3-1习题集带答案版

数学选修3-1 习题集第一讲 早期的算术与几何1、数学是研究空间形式和数量关系的科学。

2、数学起源于“四大文明古国”，它们分别是古埃及、古巴比伦、古代印度和古代中国。

3、古埃及最古老的文字是象形文，大约在公元3000前就形成了。

用这种文字表示32145应表示为 ，表示111应表示为 。

4、埃及的纸草书为后世留下大量珍贵的历史资料，其中与数学有关的纸草书有两本，一本为莱因德纸草书，归伦敦大英博物馆所有，大约产生于公元前1650年；另一本称为莫斯科纸草书，收藏在莫斯科国立造型艺术博物馆，这本纸草书产生于公元前1850年。

5、埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后的土地测量，这种说法最早出自古希腊历史学家希罗多德。

6、从公元前3000年到前200年，在今伊拉克和伊朗西部所创造的数学，习惯称为巴比伦数学。

7、楔形文字中的记数法是10进制和60进制的混合物。

60以下用10进的简单累数制，60以上用60进的位值制。

8、中国古代的算筹记数是最早的既是10进制又是位值制的记数方法。

用它表示一个多位数时，像现在的阿拉伯数码记数一样，把各位数码，从左到右横着排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位用横式表示。

9、13世纪，欧洲的著名数学家斐波那契写了一本书，名为《算盘书》，这是第一部向欧洲人介绍印度数码的著作。

第二讲 古希腊数学1、通常，我们将 古希腊 在公元 前600到600年 所发展起来的数学称为“希腊数学”。

2、希腊数学中最早的一个学派叫做 伊奥尼亚学派 ，其伊始人为 泰勒斯 ，他是现在所知的古希腊最早的数学家、哲学家，被尊为 希腊七贤 之首。

他在数学方面最大贡献是 引入命题证明的思想 。

3、命题的证明，就是 指借助一些公理或真实性业已确定的命题来认证某一命题真实性的思想过程 。

它标志 人类对客观事物的认识已经从实践上升为理论 ，这是数学史上一次不寻常的飞跃。

4、伊奥尼亚学派之后， 毕达哥拉斯学派 兴起，其创始人是 毕达哥拉斯 。