八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.1等腰三角形的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020秋•长春期末)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为()A．30°B．25°C．15°D．10°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，再根据角的和差关系即可求解．【解析】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝(180°﹣60°)÷2＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．故选：C．2．(2020秋•建华区期末)下列四个说法：①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等媵三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．其中正确的个数为()A．1个B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形性质即可判断①，画出图形证△BDC ≌△CEB ，即可判断②，根据直角三角形性质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断③，根据三角形的三边关系定理即可判断④．【解析】如图1，∵在△ABD 中，∠BDA ＝90°，则AC ＝AB ≥BD ，∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；如图2，∵AB ＝AC ，AD ＝DC ，AE ＝EB ，∴DC ＝BE ，∠DCB ＝∠EBC ．在△BDC 和△CEB 中，{BC =BC ∠BCD =∠CBE CD =BE，∴△BDC ≌△CEB (SAS )．∴BD ＝CE ，故②正确；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，∴只能三边是10，10，5，∴它的周长是25，故④错误．故选：A ．3．(2020秋•喀什地区期末)下列说法错误的是( )A ．等腰三角形的两个底角相等B ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C ．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D ．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解析】A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．4．(2020秋•香坊区期末)等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为() A．10B．13C．17D．13或17【分析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，②当等腰三角形的三边长是3，7，7，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合，求出三角形的周长即可．【解析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；综合上述：三角形的周长是17，故选：C．5．(2020秋•武都区期末)已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是() A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A ＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C=12×(180°﹣∠A)＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．6．(2020秋•肇州县期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为()A．20°B．22.5°C．25°D．30°【分析】可设∠C＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质可得∠EDB＝25°+12x，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A＝12.5°+14x，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，解得x＝30°．故选：D．7．(2020秋•崆峒区期末)如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于()A．54°B．60°C．72°D．76°【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，由角的和差关系可求∠BCO，再根据等腰三角形的性质可求∠B．【解析】∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．8．(2020秋•松桃县月考)若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为() A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．【解析】①当这个角为顶角时，底角＝(180°﹣40°)÷2＝70°；②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故选：C ．9．(2020秋•西湖区校级期中)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE ＝CA ，则∠DAE 的大小为( )A ．αB ．34αC ．23αD ．12α 【分析】由AB ＝BD ，AC ＝CE ，可得∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，则{x +z =αx =z +2y ，解得y +z ＝35°，由此即可解决问题．【解析】∵AB ＝BD ，AC ＝CE ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，则{x +z =αx =z +2y ，解得y +z =12α，∴∠DAE ＝∠DAC +∠CAE =12α；故选：D ．10．(2020秋•江州区期中)已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为( )A ．5cmB ．10cmC ．11cmD ．5cm 或11cm 【分析】根据分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差，再分两种情况求出腰长，然后根据三角形的三边关系判断即可．【解析】设腰长为xcm ，根据题意得x ﹣8＝3或8﹣x ＝3，解得x ＝11或x ＝5，当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．综上所述，腰长为5cm或11cm．故选：D．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2020秋•沙河口区期末)等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是12cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故答案为：12cm．12．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C 的大小为35度．【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB 是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝40°，∴∠B＝∠ADC=12(180°﹣40°)＝70°，∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA＝∠DAC+∠C，又∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12×70°＝35°，故答案为：35．13．(2020秋•讷河市期末)已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于50˚或80˚．【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【解析】∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．14．(2020秋•宽城区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC的大小为72度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ABC和∠ACB的度数，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠ABD的度数，然后根据∠BDC＝∠A+∠ABD，即可得到∠BDC的度数．【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故答案为：72．15．(2020秋•香坊区期末)如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠P AC的度数为90°．【分析】根据等边三角形的性质，得∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．【解析】∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，∴∠P AC＝∠P AQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，故答案为：90．16．(2020秋•绿园区期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是80°．【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．【解析】∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．17．(2020秋•二道区期末)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为90度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】∵k＝2，∴设顶角＝2α，则底角＝α，∴α+α+2α＝180°，∴α＝45°，∴该等腰三角形的顶角为90°，故答案为：90．18．(2020秋•定西期末)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点A 1、B 1，使OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在A 1B 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θn ＝ (2n −1)⋅180°+α2n ．(用含α的式子表示)【分析】设∠A 1B 1O ＝x ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，即可求得θ1=180°+α2，同理求得θ2=180°+θ12，即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案． 【解析】设∠A 1B 1O ＝x ，则α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，∴θ1=180°+α2， 设∠A 2B 2B 1＝y ，则θ2+y ＝180°①，θ1+2y ＝180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，∴θ2=180°+θ12=(22−1)⋅180°+α22， …θn =(2n−1)⋅180°+α2n ． 故答案为：(2n −1)⋅180°+α2n ．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝40°．求：(1)∠ADC的大小；(2)∠BAD的大小．【分析】由已知AB＝AC，D是BC边上的中点，可得AD为三角形的高，在直角三角形中，可求解各个角的大小．【解析】(1)∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；(2)∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．20．(2020秋•莫旗期末)如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．【分析】由BD＝CD得∠BCD＝∠CBD，由AB＝BC＝AD得∠ABD＝∠ADB＝2∠DBC，∠A＝∠C，从而可推出∠ABC＝3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而不难求得∠ABC的度数．【解析】∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，设∠BCD＝∠CBD＝x°，∵AB＝BC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，∴∠ABC＝3∠C＝3x°，∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36，∴∠C＝36°∴∠ABC＝3∠C＝108°．21．(2020秋•船营区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC 的度数．【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠ADC，则可求得∠EDC．【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE=12(180°﹣∠DAE)=12×(180°﹣28°)＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．22．(2020秋•乐亭县期末)若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+(b﹣4)2＝0(1)试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．(3)若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为(2x﹣20)°试求此三角形各内角度数．【分析】(1)利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；(2)分腰长为3或4两种情况进行计算；(3)分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【解析】(1)∵|a﹣3|+(b﹣4)2＝0，∴a＝3 b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；(2)当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；(3)当底角为x°、顶角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、(2x﹣20)°时，则等腰三角形性质可得x＝2x﹣20，解得x＝20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．23．(2020秋•萧山区月考)在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD＝4，点E是AB的中点，连接DE．(1)求∠B的度数；(2)求三角形BDE的面积．【分析】(1)根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；(2)根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，根据中线的性质求得答案即可．．【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C=12(180°﹣∠BAC)＝45°；(2)∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∵点E是AB的中点，∴S△AED＝S△BED=12S△ABD=12×12AD•BD=12×12×4×4＝4．24．(2020秋•朝阳区校级期中)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD ＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为22.5°；(2)如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．【解析】(1)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，∴∠BAD＝45°，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∴∠2＝22.5°；故答案为：22.5°．(2)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．。

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。

或150。

或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。

等腰三角形【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

E例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

C4、中考题型：1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC 2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

AE F BDC5、题形展示：例1. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

【试题答案】（实战模拟） 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为AB C ∆是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

八年级数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，则△ADF为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，在△DEB和△CDF中，120EBD DFCEDB DCFDE CD，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD .(2).EB=AD成立；理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE ≌△CFD （AAS ）， ∴EB=DF ，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．3．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。

等腰三角形知识点等腰三角形⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

⑵性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

③等腰三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等腰三角形的定义；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ）。

等边三角形（也叫正三角形）（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

⑵性质：①等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形。

⑶判定方法：①等边三角形的定义；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

典型例题等腰三角形例1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线变式练习：性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）A．等腰三角形底角的平分线B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中线D．等腰三角形顶角的平分线变式练习.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形例2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm变式练习.等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°变式练习．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°变式练习．如图所示，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°ECA F G例3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上中线BD 将这个三角形的周长分为16和8的两部分，求这个等腰三角形的腰长与底边长．变式练习：如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长是变式练习：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高；求：△ABC 的面积．变式练习：如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．例4：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为 BC 的中点.（1）写出点D 到DABC 三个顶点 A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断△DMN 的形状，并证明你的结论NMDBA C变式练习：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．培优例5：（1）等腰三角形的内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为________(2)已知等腰三角形ABC 的三边长a,b,c 均为整数，且满足a+bc+b+ac=24,则这样的三角形共有__________个.例6.如图，若AB=AC ，BG=BH ，AK=KG ，则BAC ∠的度数是_______例7.如图，在△ABC 中，AC=BC ，90ACB ∠= ，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =，求证：BD 是∠ABC 的角平分线例8．如图1，三角形ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC=BC ，三角形EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP 。

等腰三角形和等边三角形知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。

（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。

⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。

7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高” 练习题1 2.7、3、5、22、如图，在等边△ABC 中，D 、E AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= 度。

3、如图，点D 为等边三角形ABC 内的一点，BD=AD ，BE=AB ， ∠DBE=∠DBC ，则∠BED 的度数是 度。

等边三角形培优专项练习题双基训练1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。

3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。

纵向应用1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE 交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。

3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。

4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。

5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。

6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。

7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

求证：ΔMNP是等边三角形。

8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。

9. 如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。

北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题集5．如图 5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。

（） ① AE ＝AD ；② AB ＝ AC ；③ OB ＝ OC ；④∠ B ＝∠ C 。

16．如图 6，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，延长 BA 到点 D ，使 AD ＝ AB ，点 E 、F 分别为边 BC 、AC 的2 中点。

（ 1）求证： DF ＝BE ；（2）过点 A 作AG ∥BC ，交 DF 于点 G ，求证： AG ＝DG 。

7．如图 7，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD ， AB> AD ，下列结论正确的是（1．如图 1， 已知在等边△ABC 中， BD ＝CE ，AD 与 BE 相交于 P ， 2．如图 3．如点 E 在 AB 上， OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠ BED 等于 度。

2， 3， 4所示的 2×2方格中，连接 AB 、AC ，则∠ 1＋∠2＝度。

图1B图2则∠ APE 的度数对全等三角AC ＝ AD ，BC ＝ BD ，图中有 图4B图图6B. AB － AD ＝CB －CDD. AB － AD 与 CB － CD 的大小关系不确定图910．如图 10，已知 BD 、CE 分别是△ ABC 的边 AC 和 AB 上的高，点 P 在 BD 的延长线上， BP ＝AC ，点 Q 在 CE 上， CQ ＝ AB 。

求证： （1）AP ＝AQ ； （2）AP ⊥AQ 。

11．如图 11，在△ ABC 中，∠ C ＝60°， AC>BC ，又△ ABC ′、△BCA ′、△CABA. C.AB －AD>CB －CD AB －AD<CB －图7In Fig. 8, Let △ ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of relation between AD and CE is ( ) A. AD>CE B. AD<CE C. AD=CE (英汉小词典： equilateral 等边的； 量) 9．如图 9，在△ ABC 中， AC ＝BC ＝ 5， 则线段 AO 的长是 8．segments BE and CD, and ∠ BFC=120° , then the magnitude D. indefiniteintersectio ∠ ACB ＝ 80°，O 为△ ABC 中一点，∠ OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，D图CB'A'都是△ABC形外的等边三角形，而点 D在 AC上，且 BC＝DC。