第四章1(42) 可靠性试验设计与分析

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可靠性设计与分析报告

可靠性设计与分析报告1. 引言可靠性是一个系统是否可以在适定的时间内、在适定的条件下，按照既定的功能要求，以期望的性能运行的能力。

在设计与开发软件、硬件以及其他复杂系统时，可靠性设计是至关重要的一环。

可靠性分析则是评估系统的可靠性，识别潜在的故障点并提出相应的改进方案。

本报告将重点讨论可靠性设计与分析的一些重要概念和方法，并对一个实际的系统进行分析，提出可能的优化建议。

2. 可靠性设计的原则在进行可靠性设计时，需要考虑以下几个原则：2.1. 冗余设计冗余设计是通过增加系统中的备用部件来提高系统的可靠性。

常见的冗余设计包括备份服务器、硬盘阵列、双机热备等。

冗余设计可以在一个组件发生故障时，自动切换到备用组件，从而避免系统的停机损失。

2.2. 容错设计容错设计是通过在系统中加入错误处理机制，在出现错误时可以尽量保证系统的正常工作。

容错设计可以包括错误检测、错误恢复、错误传递等。

例如，在软件开发中，可以使用异常处理来处理可能出现的错误情况，从而避免程序崩溃。

2.3. 系统监测系统监测是通过对系统运行时的状态进行实时监测，及时发现并处理可能的故障。

监测可以包括对硬件设备的状态监测、对软件运行的监测等。

通过系统监测，可以及时采取相应的措施，防止故障进一步扩大。

3. 可靠性分析方法可靠性分析是评估系统可靠性的一项重要工作。

以下将简要介绍一些常用的可靠性分析方法：3.1. 故障模式与影响分析（FMEA）故障模式与影响分析是一种通过分析系统的故障模式和故障后果，评估系统可靠性的方法。

通过对系统中各个组件的故障模式及其对系统的影响进行分析，可以确定系统的关键故障点，并提出相应的改进措施。

3.2. 可靠性指标分析可靠性指标分析是通过对系统的各项指标进行分析，评估系统的可靠性水平。

常见的可靠性指标包括平均无故障时间（MTTF）、平均修复时间（MTTR）、故障率等。

通过对这些指标进行分析，可以判断系统是否满足要求，以及提出相应的改进措施。

可靠性试验方案

可靠性试验方案1. 引言可靠性试验是用于评估产品或系统在实际使用环境下的可靠性性能的一种手段。

通过可靠性试验，可以检测产品或系统在长时间运行中的故障率、寿命、可用性等指标，并为改进产品或系统的可靠性提供参考依据。

本文档旨在提供一个可靠性试验方案的模板，以供参考。

2. 试验目的本次可靠性试验的目的是评估产品或系统在预定条件下的可靠性性能，包括但不限于以下方面：•测试产品或系统在工作负荷下的故障率；•测试产品或系统在长时间使用过程中是否存在逐渐增加的故障率；•测试产品或系统在突发负荷下的故障应对能力；•测试产品或系统的寿命。

3. 试验计划3.1 试验样本选择一批代表性样本，以确保试验结果能够有效推广到整体产品或系统。

3.2 试验环境确定试验所需的环境条件并加以控制，包括但不限于以下方面：•温度：设定试验环境温度，确保符合产品或系统的使用环境要求；•湿度：设定试验环境湿度，确保符合产品或系统的使用环境要求；•压力：设定试验环境压力，确保符合产品或系统的使用环境要求。

3.3 试验方法根据试验目的和产品或系统的特点，选择合适的试验方法，并确保试验过程可重复。

3.4 试验时间确定试验的时间安排，包括但不限于以下方面：•持续时间：确定试验的总持续时间；•间隔时间：确定每次试验之间的间隔时间，以确保试验结果能够有效分析。

4. 数据收集与分析4.1 数据收集在试验过程中，记录并存储与试验目的相关的数据，包括但不限于以下方面：•故障事件：记录产品或系统在试验过程中出现的故障事件及其相关信息；•寿命数据：记录产品或系统在试验过程中的寿命数据；•其他关键指标：根据试验目的，记录与指标相关的数据。

4.2 数据分析对收集到的数据进行分析，以评估产品或系统的可靠性性能，包括但不限于以下方面：•故障率分析：计算故障率并绘制故障率曲线，用于评估产品或系统在不同时间阶段的可靠性表现；•寿命分析：对寿命数据进行统计和分析，确定产品或系统的寿命分布特征；•可用性分析：根据试验过程中的数据，计算产品或系统的可用性指标；•其他分析：根据试验目的，进行其他合适的数据分析。

可靠性分析实验实训报告

一、实验背景随着科技的快速发展，产品可靠性已经成为衡量产品品质的重要指标之一。

为了提高我国产品的竞争力，培养具有可靠性分析能力的人才，本实验实训旨在通过对某型号电子产品的可靠性进行分析，使学生掌握可靠性分析的基本方法，提高学生的实践操作能力。

二、实验目的1. 理解可靠性分析的基本概念和原理；2. 掌握可靠性分析的方法和步骤；3. 培养学生运用可靠性分析工具进行实际问题的解决能力；4. 提高学生的团队合作和沟通能力。

三、实验内容1. 产品介绍本次实验实训选取的电子产品为某型号手机，该手机广泛应用于日常通信、娱乐、办公等领域。

手机由多个模块组成，包括主板、摄像头、电池、屏幕等。

2. 可靠性分析步骤（1）确定可靠性指标根据产品特点，本次实验实训选取以下可靠性指标：- 平均无故障时间（MTBF）：衡量产品在规定时间内正常工作的能力；- 平均故障间隔时间（MTTF）：衡量产品在发生故障后恢复正常工作的能力；- 故障率（FR）：衡量产品在规定时间内发生故障的概率。

（2）数据收集通过查阅产品技术资料、维修记录、市场反馈等信息，收集以下数据：- 产品生产批次、数量；- 产品故障发生时间、故障原因、故障类型；- 产品维修情况、维修周期。

（3）可靠性分析- 数据处理：对收集到的数据进行整理、筛选、统计，建立故障数据库；- 可靠性模型建立：根据故障数据库，采用适当的可靠性模型（如指数分布、威布尔分布等）进行建模；- 可靠性计算：根据模型计算产品的MTBF、MTTF、FR等指标；- 可靠性分析结果评价：对计算结果进行分析，评估产品的可靠性水平。

3. 实验实训过程（1）小组讨论将学生分成若干小组，讨论实验实训方案，明确各小组成员的分工。

（2）数据收集各小组成员根据分工，查阅相关资料，收集产品数据。

（3）数据处理与分析对收集到的数据进行整理、筛选、统计，建立故障数据库，采用适当的可靠性模型进行建模，计算产品的可靠性指标。

（4）实验实训报告撰写各小组成员共同撰写实验实训报告，总结实验实训过程、分析结果及结论。

可靠性试验报告

可靠性试验报告一、背景介绍可靠性试验是产品研发和生产过程中非常重要的一环，旨在评估产品在正常使用条件下的可靠性能。

本报告将对xxx产品的可靠性试验进行详细描述和分析。

二、试验目标本次可靠性试验的目标是验证xxx产品在设计寿命内的可靠性，并评估其在不同环境条件下的性能表现。

具体试验内容包括：1. 长时间运行试验：通过模拟产品在正常使用过程中的长时间运行情况，测量产品在连续工作状态下的可靠性。

2. 环境适应性试验：在不同温度、湿度和震动等环境条件下，观察产品的性能和可靠性变化情况。

3. 耐久性试验：通过多次反复操作和负荷测试，检验产品在长时间使用中的稳定性和可靠性。

三、试验方法与步骤1. 长时间运行试验：a) 将xxx产品放置在恒定的工作状态下，持续运行至少1000小时。

b) 每隔一段时间，记录产品的运行状态和工作参数，并进行必要的维护和保养。

c) 通过监测产品的故障率和运行稳定性，评估其可靠性表现。

2. 环境适应性试验：a) 在指定的温度、湿度和震动条件下，将产品暴露一段时间。

b) 在暴露后，对产品进行详细检查，记录任何性能变化或故障情况。

c) 基于试验结果，评估产品在不同环境条件下的适应性和可靠性。

3. 耐久性试验：a) 设定一系列的负荷和操作条件，模拟产品长时间使用的情况。

b) 进行多次循环操作，记录产品的性能变化和故障情况。

c) 根据试验结果，评估产品在长时间使用中的稳定性和可靠性。

四、试验结果与分析经过长时间运行试验，xxx产品在1000小时的连续工作下表现出良好的可靠性，未发生任何故障。

故障率为零，表明产品在正常使用条件下具有优异的性能。

在环境适应性试验中，产品在不同温度、湿度和震动条件下表现出较好的适应性。

在极端条件下，产品的性能仍保持稳定，并未出现明显的性能下降或故障。

耐久性试验结果显示，经过多次循环操作，xxx产品的性能基本稳定。

虽然在长时间使用过程中产生了一些微小的性能变化，但并未对产品的整体可靠性产生明显影响。

可靠性试验简介PPT课件

9 5/22/08
AOS 可靠性试验
Item
Test Name （试验名）
Condition （条件）
1
HTS
High Temperature Storage （高温储存试验）
温度=150度, 无偏压 500hrs, 1000hrs
2
HTGB
High Temperature Gate Bias （高温Gate偏压试验）
▪ 目的：评估器件在电和温度作用下的持久能力 ▪ Reference: JESD22-A108
150℃/ 80%Vdsmax
13 5/22/08
ESD test
♦ Electrostatic Discharge (ESD，静电放电) is a
single-event, rapid transfer of electrostatic charge between two objects, usually resulting when two objects at different potentials come into direct contact with each other. ♦ ESD是通过直接接触或电场感应等潜在引起的不同静电在物(人)体间的非常快速的电荷转移的一个强电流现象 ♦ 它会破坏或损害半导体器件而导致其电性能退化及损害.
16 5/22/08
CDM ESD
♦ CDM：Charged Device Mode （器件放电模式）.
♦ 器件放电模式ESD测试：带静电元器件上的静电向低电压物体释放的现象 ▪ Reference: JESD22-C101
17 5/22/08
Precon
♦ 预处理试验：评估器件在包装，运输，贴片过程中的

可靠性设计与试验

6
表12-1 半导体分立器件通用质量系数
种类晶体管二极管 π
Q
质量等级双极型场效应闸流单结普通电流调整微波
应力筛选
2.5 失效率 2.0
1.5
1.0
100○应力条件 125○应力
0.5
225○应力 100 240小时
例如某厂半导体3DG32加300毫瓦功率进行摸底试验，得到试验时间与失效率的数据如表
t 单位小时
% ／小时
0.1 120
1 26.8
10 0.46
30 0.16
表中看出经 300 毫瓦功率 10 小时可靠性筛选以后，其失效率可以下降 250 倍。
5t d TS 1464 小时
12.3.电子产品的可靠性预计
• 产品的可靠性预计是在产品定型过程中，从元器件的可靠性参数，经过试验结果与理论的分析计算，对产品可能达到的可靠性水平进行一种预测过程。 • 产品可靠性预计的目的是为了落实产品定量化的可靠性指标，为使产品达到规定的可靠性要求，并为今后改进产品的可靠性提供理论的基础。
2 10 0 1 例12-1：设， 0 ，／小时，从100个元件中，其中次品有10个，求达到系统 S 0.005 ／小时和0.0012／小时的
筛选时间。
1 1 1 1 t d 1 10 1 2 3 100(1 0.5 0.33 0.25 0.2 0.164 0.143 0.125 0.111 0.1) 100( 2.928) 292.8小时
可靠性设计内容
• 最大限度地提高固有可靠性，其中包括：原件的选择与管理，降额设计，参数设计与漂移设计，环境防护，贮备设计，设计的简化与分析，这些措施都有利于提高系统的固有可靠性。 • 设计中考虑降低生产与使用过程中可靠性的退化问题，进行退化分析，维修设计措施，包括早期故障的判断，故障分析等。 • 制定元件的筛选或老练方案，可靠性试验。元件选择及管理有以下几个内容： • 确定完成所需功能元件类型及预期的工作环境。 • 确定元件的临界值，（额定值）,如果超过这个值有可能失效而 • 出现危险情况等， • 确定元件的质量等级。 • 可靠性分配与优化设计，重要度分析也是设计中的重要任务。 • 费用设计，费用的估计和分配技术。 • 可靠性分配与优化 • 可靠性审查与评估 • 储备设计方法

可靠性试验分析与设计3

第四章（43）可靠性试验分析与设计三、图估计法参数统计推断方法大致可分两类，数值分析法和图分析法。

图分析法是使用各种座标纸进行分析，这种方法使用方便，直观易懂，容易掌握。

它可以起到数值分析起不到的作用。

将多种观测的试验数据按照某种理论分布画在在相应的概率纸上，设法拟合一条直线，只要读取这条直线的斜率和截距，就能掌握有关规定分布特征的参数方面的信息。

各种分布函数在直角坐标系中是曲线，经坐标变换后，在新坐标下是直线，利用新坐标的变换尺度制成的专用纸，称为概率纸。

这种直接在概率纸上求得参数估计值的方法，称为图估法。

1. 分布类型的检验图估法的优点是可用肉眼判断直线的拟合程度，但在使用初期，有时对与直线拟合的程度似乎信心不足。

此外即使有一些使用图估的经验，在画的点与直线有比较大的偏移时，也需要有一定的根据来评价拟合程度的好坏。

这种情况下，统计检验法是有用的，如果选择一个合适的置信系数，则可以作出客观的符合常识的判断。

下面介绍几种常用的检验方法。

（1）.拟合优度检验当不知道产品的寿命分布类型时，首先按子样的试验数据作出分布检验，然后再作参数估计。

分布检验的过程：试验数据――统计推断――产品的寿命分布。

推断依据，要进行拟合优度检验。

拟合优度检验指的是，观察值分布与先验的或拟合观察值的理论分布之间的符合程度的度量。

从总体中抽取一个子样，所得经验分布与总体或多或少存在差异，差异可能来自：a). 假设分布不正确，不是总体分布，偏差较大；b) .假设分布与总体符合，但子样的随机性引起了偏差，但这个偏差比a）要小得多。

对上述情况需要确定一个偏差的界限。

若子样偏差小于此界限，就认为二者符合。

若子样本算出的偏差大于界限值，即不能认为经验分布与总体偏差符合。

基于这个思想，设样本偏差为d，另外假设偏差为D(是随机变量)，可以研究这个D的分布，再由D分布计算选择一个界限为da，则判别式：() P D da a?a为置信水平，可取0.05,0.1a=等。

《可靠性试验》PPT课件

2021/2/15
Reliability Text
26
可靠性增长试验的效益
2021/2/15
Reliability Text
27
可靠性增长试验的效益
2021/2/15
Reliability Text
28
可靠性增长的数学模型
定义：是一个数学式，描述了产品在可靠性增长试验过程中产品
可靠性的增长规律或总趋势目的： 1、使可靠性增长做到有计划（试验时间和增长速度） 2、能动态评估当前的可靠性水平 3、能预测将来的可靠性水平种类，近十种：图分析法——杜安（Duane）模型：简单易于理解统计分析法——AMSAA模型：坚实的统计学基础
2021/2/15
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34
加速寿命试验（ALT）
1、用加大应力，而又不改变故障机理的办法，使产品的故障发生得到加速，称之为ALT；
2、根据ALT结果可以外推正常使用条件下的产品寿命； 3、尤其对于长寿命、高可靠产品，只能ALT
2021/2/15
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2021/2/15
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5
可靠性试验的分类
现场（外场）可靠性试验
在使用现场实际使用状态下进行的可靠性试验
优点： ①可获得产品的使用可靠性； ②真实的使用条件(包括环境条件、工作条件、使用维护条件）； ③费用小； ④子样大；缺点： ①数据收集和分析较困难，信息丢失多、数据准确性和完整性差； ②不能严格控制试验条件，随机性大； ③试验（故障）再现的可能性低； ④组织管理工作复杂。
35
五、可靠性试验的实施
可靠性试验的实施要素 1、试验条件 2、故障和故障判据 3、剖面（寿命、任务、环境、试验） 4、可靠性试验大纲（计划） 5、可靠性试验标准 6、……

可靠性试验分析及设计

ji 第四章(44) 可靠性试验与设计四、最小二乘法用图估法在概率纸上描出[],()i i t F t 点后,凭目视作分布检验判别所作的回归直线往往因人而异，因此最好再通过数值计算求出精确的分布检验结论和求出数学拟合的回归直线。

通常用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线。

相关系数由下式求得：()()nii XX Y Y γ--=∑其中X,Y 是回归直线的横坐标和纵坐标，它随分布的不同而不同。

下表是不同分布的坐标转换只有相关系数γ 大于临界值0γ时，才能判定所假设的分布成立。

0γ临界系数可查相应的临界相关系数表，如给定显著水平0.05α=，n=10,可查表得00.576γ=。

若计算的0γγ，则假设的分布成立。

如果回归的线性方程为 Y mX B =- 则由最小二乘法得到系数为111112211ˆˆ1ˆ1()nni i i i nnn i i i ii i i n ni i i i Y mX BNX Y X Y N m X X N =======-+=-=-∑∑∑∑∑∑∑ 代入上表中的不同的分布，就可以得到相应分布的参数估计值。

五、最好线性无偏估计与简单线性无偏估计 1、无偏估计不同子样有不同的参数估计值ˆq，希望ˆq 在真值q 附近徘徊。

若ˆ()E q q =，则ˆq 为q 的无偏估计。

如平均寿命的估计为ˆit nq=å，是否为无偏估计？Q 1[]ˆ()[]ni ii i t E t E E nnnq qq =====å邋\ ˆq为q 的无偏估计 2、最好无偏估计定义若ˆk q 的方差比其它无偏估计量的方差都小，即ˆ()min ()k k D D q q =，则ˆkq 为最好无偏估计。

3、线性估计定义若估计量ˆq是子样的一个线性函数，即1ˆni i i a q ==C å，则称ˆq为线性估计。

4、最好线性无偏估计当子样数25n £时，通过变换具有()F msC -形式的寿命分布函数，其,m s 的最好线性无偏估计为：1ˆ(,,)rj i D n r j X m==åˆ(,,)j C n r j X s=å其中(,,),(,,)D n r j C n r j 分别为,m s 的无偏估计，有了,,n r j 后，可有专门表格查无偏系数(,,),(,,)D n r j C n r j 。

装备通用质量特性技术与管理精选文档

（七）环境适应性的概念与内涵
环境适应性是指装备在其寿命期可能遇到的各种环境作用下能实现其所有预定功能、性能和不被破坏的能力。
环境适应性反映了装备在变化的环境条件下仍能正常工作的能力，是可靠性的一种特殊情况。
环境条件是指装备寿命期内规定使用的环境，包括自热环境、诱发环境。
（七）环境适应性的概念与内涵
二、装备通用质量特性概念与内涵
（三）维修性的概念与内涵
➢ 战场损伤修复是指在战场环境中将损伤的装备迅速恢复到能执行全部或部分任务的工作状态或自救的一系列活动。
（三）维修性的概念与内涵
维修性工程—为了确定和达到产品的维修性要求所进行的一系列技术和管理活动称为维修性工程。维修性工程包括维修性论证、管理、设计与分析、试验与评价、评估与改进等工程活动。维修性工程以全系统、全寿命的观点为指导，在产品工程研制阶段，通过设计与分析、实验与评价确保新研制和改型的装备达到顾客规定的和隐含的可靠性要求；在产品使用阶段通过维修性数据收集、分析、评价及设计改进，实现产品维修性的增长。
第1部分引言（二）问题的提出
3.武器装备新技术含量不断提高，系统高度综合，软件比重大，大型试验不断增多，新装备不断批量交付部队，质量管理的难度越来越大，重大质量问题和事故屡有发生，质量问题日益凸显。装备质量也备受关注。 …………
第1部分引言（三）解决途径
第1部分引言（三）解决途径
➢环境工程主要工作内容包括环境工程管理、环境分析、环境适应性设计和环境试验与评价等。
（八）通用质量特性的相互关系 1、可靠性、维修性、保障性的相互关系 ➢都是与时间相关的装备质量特性； ➢都对战备完好性产生影响，它们之间又相互关联； ➢各自的工程领域都有相通的理论和技术基础； ➢参数大都具有随机特性； ➢目标是一致的。

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ˆ0 。 ˆ ，t 利用选代法解上式可得参数估计值 m
三参数的威布尔分布的密度函数和可靠度函数为
− ( t −γ ) m m (t − γ ) m t0 (t − γ ) m −1 e ) ， R (t ) = exp(− t0 t0
f (t , m, t0 , γ ) =
其中 γ 为位置参数。当 γ 为负值时，表示系统中的某些部件开始工作时就已坏了，即这些部件在储藏期间已失效。γ 为正时，表示有一段不失效的时间，例如滚珠轴承，在这段时间内其原来的微裂纹向表面传播，但尚未引起疲劳失效。用似然估计法，我们可以得到类似两参数威布尔分布的三个超越方程，同样利用选代法
取对数：
2 n ln t i2 ∑ (ln t i − μ ) n n − ln L( μ , σ 2 ) = − ln 2π − ln σ 2 − 2 2 2 2σ 2
m n n m −1 L(t , m, t 0 ) = [ ] ∏ t i e t 0 i =1
∑ tim
i =1
n
t0
取对数： ln L(m, t 0 ) = n(ln m − ln t 0 ) + (m − 1) 解似然方程，得如下超越方程组：
∑ ln t
i =1
n
i
−
∑t
i =1
n
m i
t0
1 ⎧ ∂ ln L(m, t 0 ) n = + ∑ ln t i − ∑ t im ln t i = 0 ⎪ ∂m m t0 ⎪ ⎨ ⎪ ∂ ln L(m, t 0 ) = − n + 1 tm = 0 2 ∑ i ⎪ ∂ t t t 0 0 i ⎩
第四章(42) 可靠性试验设计与分析
§4.3 可靠性测定试验的参数估计可靠性测定试验是为确定可靠性特性而进行的试验,如测定寿命分布及参数,安全余量, 环境适应性及耐久性等. 在寿命分布已知情况下，就可以求出产品的可靠度、故障概率及各种可靠性特征量，但要确定产品的寿命分布则需要大量试验。产品寿命分布参数不仅随产品的类型的不同而不同，甚至随着产品的批次的不同而有所变动。由于在实际中允许的试验次数是有限的，也就是只取部分产品（样本）的试验参数来估计产品的可靠性。将样本试验得到的有限个数据经数理统计推断，得出产品的寿命特征参数的估计值。用样本观测值估计总体参数值的过程称为参数估计。 §4.3.1 分布参数的点估计点估计是用样本观测值对未知参数给出接近真值的一个估计数值。用于估计总体参数的统计量是样本的函数，称为点估计量，用样本观测值对点估计量计算的结果叫估计值。当产品的寿命分布类型已知，而分布参数未知时，可根据子样寿命数据 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n 对寿命分布中的参数进行估计的方法称为分布参数的点估计。不同的点估计方法给出的点估计值不同，不同样本的观察值得到的点估计也不同。点估计是一个随机变量，它本身也有数学期望值和标准差。估计方法有很多，如矩法，极大似然法，图估法，最小二乘法，最好线性无偏估计等方法。一、矩法以子样的均值、方差作为总体期望值、方差的估计。如抽取 n 个样本进行寿命试验，其寿命分布为 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，子样的均值 t 作为总体分布的数学期望 E (T ) = θ 的估计，子样的方差 S 作为总体方差 D (T ) = σ 的估计，因
4.14 威布尔分布的密度函数
4.15 威布尔分布的函数
二参数的威布尔分布的密度函数和可靠度函数为：
f (t , m, t0 ) =
它有两个待估计参数：
m m−1 −t m t0 tm t e ， R (t ) = exp(− ) t0 t0
t 0 (> 0) 是尺度参数
m(> 0) 是形状参数
当 m < 1 ，早期失效较多 m = 1 ，威布尔即为指数分布，即指数分布是一种特殊的威布尔分布 m > 1 ，密度是呈单峰状 m ≥ 3 ，渐呈对称状，近似正态分布。一般 m 取 0.5 ~ 5 之间有时用 t0 = η 来表示， η 为特征寿命，此时寿命密度函数的表达式为
t0.784 = θ ln(1/ R (t0.784 )) = 15000 ln(1/ 0.784) = 3650h t0.6147 = θ ln(1/ R (t0.6147 )) = 15000 ln(1/ 0.6147) = 7299h
如果机器每天平均工作 2h,每年 365 天，5 年共 3650h,说明 78.4%是这台机器 5 年工作的可靠度。 (2).威布尔分布威布尔分布是可靠性中常用的等参分布，它是由瑞典的 W. 威布尔首先提出的，首先用正态分布需两个参数 μ 和于处理材料疲劳寿命等问题。负指数分布只需一个参数 λ 来描述，
P = n!∏ f (t i ,θ 1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,θ l )dt i
i =1
n
上述中 n! 和 dt i 为常数，为使其概率达到最大，只需下式达到最大，即得到似然函数：
L(θ ) = ∏ f (ti ,θ j )( j = 1, 2......l )
i =1
n
上式是连乘，为求解方便，对似然函数取对数（称为对数似然函数）
f (μ ,σ ) =
待估参数： μ ， σ
2
1 1 ln t − μ 2 exp{− [ ]} 2 σ 2πσ t
图 4.16 对数正态分布函数(a)和密度函数(b)的图形其似然函数：
n
L( μ , σ 2 ) = ∏
i =1
1 ln t − μ 2 exp[− ( i ) ] 2 σ 2πσ ti 1
λ (t ) = λ = Const
指数分布的密度函数为 f (t , λ ) = λe
− λt
，可靠度函数 R (t ) = e
− λt
，累积故障概率
F (t ) = 1 − e − λt ，平均寿命 θˆ = 1/ λ 。由于故障率为常数，且又与平均寿命互为倒数，因此
1
数 θ i , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, l 作为估计值，这就是极大似然估计值（通过对样本的考察，认为待估的参数最象是取什么值作为对参数的估计）。设总体分布具有故障概率密度函数 f (t ,θ 1 ,θ 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,θ l ) ，其中 θ j , j = 1, 2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, l 为待估参数。若从总体中抽 n 个样本进行寿命试验，得到寿命数据 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，假设第一个故障样本在 (t1 , t1 + dt1 ) 区间内，第二个在 (t 2 , t 2 + dt 2 ) 内故障，……，第 n 个样本在 (t n , t n + dt n ) 区间内故障，则试验中故障出现的概率为：
ln L(θ ) = ∑ ln f (ti ,θ j )
i =1
n
当 L(θ ) 是单调函数时，使 L(θ ) 最大，等价于使 ln L(θ ) 达到最大，只要解下列方程组：
∂ ln L(θ ) =0 ∂θi
θ = (θ1 , θ 2 ,..., θl ), i = 1, 2,..., l
ˆ ,θˆ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,θˆ 。通过求解上述似然方程组，可求出 θ i 的待估参数 θ 1 2 l
−λ t L(λ ) = λe −λt1 ⋅ λe −λt2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅λe −λtn = λn e ∑ i
对其取对数
ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ t i
ˆ 解似然方程，求出待估的故障率 λ
d ln L(λ ) n = − ∑ ti = 0 λ dλ ˆ= n λ ∑ ti
2 2 2 ˆ2 = S2 = ⎡ σ ⎣(1502 − 1493) + (1253 − 1493) + .....⎤ ⎦ / 4 = 1047h
二、极大似然估计（MLE——Maximum Likelihood Estimation）极大似然估计法是一种重要的参数估计方法。其基本思想：样本来自总体，如果一次试验中得到样本的观察值 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，取一个使样本观察值结果出现概率达到最大时的待估参
ˆ0 ， γˆ 。 ˆ ，t 可解得参数估计值 m
图 4. 16 t0 = 1, m = 2, γ 值不同时的威布尔分布曲线
5
(3) 对数正态分布有不少产品的失效是由于微小因素积累而造成的，如材料的磨损，弹性元件的疲劳，部件的断裂，由于暴露而造成的腐蚀等失效机理，是在一定的应力下，随时间的延长，微小因素逐渐增加而使产品最后失效，这些产品的寿命都服从对数正态分布。其密度函数：
ˆ 可得到产品的可靠度和平均寿命的估计值分别为由故障率的估计值 λ
ˆ = e − λˆt ， θˆ = 1 = ∑ t i R
λ
n
θˆ 的估计值与矩法得到的结果一样。
在指数分布场合，可靠寿命 t r 可以从方程 e
− tr θ
= R(tr ) 中解出，其中 λ = 1 ， R (tr ) θ
是可靠度， tr = θ ln(1/ R (tr )) ，即 t r 是平均寿命 θ 的 ln(1/ R (tr )) 倍。例：一台机器的平均寿命为 15000 小时，假设其寿命服从指数分布，试问：其可靠度分别为 78.40％和 61.47%时的寿命是多少？解：
m
f (t , m,η ) = (m / η )(t / η ) m −1 e − (t /η )
其可靠度函数为
m
R (t ) = e − (t /η )
累积失效概率
m
F (t ) = 1 − e − (t /η )
平均寿命
m
4
θ = ηΓ(1/ m + 1)
其中 Γ(1/ m + 1) 是伽马函数，可查表求得。威布尔分布的似然函数为：