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初二数学第十二章总结第十二章是初二数学中的最后一章，主要内容是三角函数。
这一章的学习对于初二学生来说可能相对较难，但只要我们掌握好基本的概念和公式，就能够应对各种题目，提高数学的综合运用能力。
首先，我们学习了角度的概念。
角度是由两条射线所围成的空间部分，可以用角度的度量来表示。
角度的度量方式有度和弧度两种，主要的转换公式是：1弧度=180度，π弧度=180度。
掌握了角度的度量方式之后，我们还学习了求解角度大小的方法。
接着，我们开始学习正弦、余弦和正切的定义及其基本性质。
正弦、余弦和正切是三角函数的三个基本函数，它们在数学和物理的各个领域有着广泛的应用，如振动、波动、电磁波等。
我们要熟练掌握它们的定义及其求解、运算的方法，能够灵活地运用到各种题目中。
在学习正弦、余弦和正切的基础上，我们又学习了三角函数的诱导公式与和差公式。
诱导公式是根据内角和定理和外角和定理得到的，在解决一些复杂的三角函数题目时非常有用。
而和差公式则是将两个角的三角函数的和与差与这两个角的三角函数之间的关系进行了总结和归纳，通过这些公式的应用，我们可以简化计算过程，提高解题的效率。
在三角函数的学习过程中，我们还研究了三角函数在单位圆上的几何解释。
通过绘制单位圆，并将角放在单位圆上，我们可以直观地理解三角函数的意义，而不仅仅停留在公式的记忆上。
最后，我们还学习了解三角函数的周期性与奇偶性。
周期性是指三角函数在某个基本区间内的取值与该区间的长度有关，而奇偶性则是指在某个基本区间内，三角函数关于坐标轴对称。
这些性质可以帮助我们更好地理解和掌握三角函数的性质和变化规律。
总的来说，初二数学第十二章的学习内容较为复杂，但只要我们掌握好基本的概念和公式，通过大量的练习和实际应用，相信我们一定能够在三角函数的学习中取得较好的成绩。
通过这章的学习，我们不仅仅可以提高数学水平，更能够培养逻辑思维和解决问题的能力，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。
因此，在接下来的学习中，我们要持续努力，加强对这些知识点的巩固和应用，为自己的数学学习之路打下坚实的基石。
备课笔记备课时间：20 19 年 4 月 27 日课题第12章小结与思考课型复习课教学设想教学目标1.回顾定义、命题、逆命题、证明、推理、公理、定理、的含义，会用推理的方法证明一个命题是真命题，会举反例说明一个命题是假命题；2.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展合情推理与演绎推理的能力；3.知道证明要合乎逻辑，初步会综合法证明的格式；4.在运用数学表达和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值．重点如何有条理的将本章知识点与平面图形中的知识融合起来解决问题.难点如何在合情推理的基础上发展学生演绎推理的能力．教学准备多媒体课件、直尺、数学课本教学过程一次备课三次备课【预学展示知识梳理】学生展示课前梳理的知识结构，并与同学交流，其他同学作补充.【学生活动】小组内交流自己绘制的知识思维导图，并相互补充，得出本组内的知识结构，之后在上台展示，组间再补充.【教师活动】观察各小组活动，并指导部分小组，并回答学生觉得模糊的知识结构.【设计意图】使学生在相互交流中熟练本章知识点，并完成教学目标.【由基本事实出发，可以证明很多命题，可参考课本P164】【基础练习提升认知】1．请你举出学过的4个真命题；2．请你举出2个假命题，并举反例说明；3.请你举出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题；4．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；5．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC＝2∠A．【学生活动】学生独立完成，之后交流，展示.【教师活动】强调各题目的注意事项，归纳综合推理的思路和方法. 【设计意图】让学生熟练掌握本章的基础知识，使学生能用平行和三角形中的相关定理或推论合乎逻辑的思考和利用综合法的证明格式解决问题.教学过程【灵活运用提升能力】6．已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，有以下几个事项：①∠1＝∠2；②∠A＝∠F；③∠C＝∠D．请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并加以证明．••7．画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索∠BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【学生活动】学生独立思考并书写规范的证明过程.【教师活动】第7题可带领学生一起先分析思路.【设计意图】通过难度适宜的证明，引导学生逐步掌握分析问题、运用【本题再次强调利用三段论证法来证明】。
本章知识解决方案☆ ⒈本章体系建构定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定．命题： 一件事情的语句．真命题：如果条件成立，那么结论 ．分类：假命题：条件成立，结论 ．证明：根据已知的真命题，确定某个命题 的过程．证明的依据：公理、已学过的定理及定理的推论、定义、等式性质、不等式性质等．证明的步骤：①根据题意，画出 ；②根据命题的条件、结论，写出 、 ； ③写出证明过程． 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 ． 推论：三角形的外角等于和它 的两个内角的和． 重要真命题：①垂直于同一直线的两条直线 ．②平行于同一直线的两直线 ；③直角三角形的两个锐角互余．命题间的特殊关系—逆命题：如果两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，第一个命题的结论又是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题．每个命题都有逆命题 ．反例：举出符合条件但命题结论 的例子来说明命题是假命题的例子． 原命题与逆命题的真假判断：原命题是真命题，其逆命题未必是真命题；原命题是假命题，其逆命题未必是假命题；．答案：判断；成立； 不成立；真实性；图形；已知；求证；180°； 不相邻；平行；平行；结论；条件；不成立；☆⒉知识清单及方法技巧点拨个命题真命题的过程．条件和结论之间的联系，为这两个铺路架桥．（6）三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．如图，∠A＋∠B＋∠C=180°．用来求三角形的内角度数和做证明其它真命题的依据．（7）三角形内角和定理的推论三角形的内角等于和它不相邻的两个外角的和．如图∠ACD是△ABC的外角，那么∠ACD=∠A＋∠B．三角形的外角是沟通三角形内角和外角的桥梁，为三角形内角、外角的计算和证明保驾护航．（8）平行线的传递性平行于同一直线的两直线平行．如图，若AB∥EF，CD∥EF，则AB∥CD．作为判定两直线平行的一个重要依据．（9）垂直于同一直线的性质垂直于同一直线的两直线平行．如图，若AB⊥EF，CD∥AB，则EF∥CD．作为判定两直线平行的一个重要依据．（10）直角三角形的性质直角三角形两锐角互为余角．如图，Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A＋∠B=180°作为直角三角形内角计算和证明互为余角的依据．（11）逆命题如果两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题．命题“同位角相等”的逆命题是相等的两角是同位角．每个命题都有逆命题，写逆命题的方法只要交换原命题的条件和结论即可．写逆命题也是构造新命题的一个方法．注意原命题的正确性与逆命题的正确性无必然联系．反例举出符合条件但命题结论不成立的例子来说明这个命题是假命题的例子．命题“若4a=，则4a=”的反例：4a=-时，满足反例是用来证明一个命题是假命题的有力证据．☆⒊解题思路、方法及技巧应用①假命题变真命题的方法【例1】“若a＞b，那么ac＞bc”是真命题还是假命题，如果是假命题举一个反例并添适当的条件使它成为真命题．分析：根据不等式的性质，两边乘以大于0的数，不等号方向不变，乘以小于0的数不等号方向改变，反例可让两边乘以小于0的数，加条件就是c＞0．解：假命题，如：2＞1，但2×（－1）＜1×（－1），如果增加条件：“c＞0”，命题为真命题．方法点拨：适当修改命题的条件，把假命题变为真命题，要求对假命题的条件和结论仔细加以分析，弄清命题不成立的实质，才能找到修改的方法．②真假命题的判断技巧（4）若a•b=0，则a=0；（5）两直线平行，同旁内角互补．在上述语句中，属于真命题的是（填序号）．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：（1）真命题，符合平行线的传递性；（2）真命题，是定理；（3）假命题，相等的角是可以是对顶角，还可能是其它角；（4）假命题，若a•b=0，则a=0或b=0；（5）真命题，符合平行线的性质．故答案为⑴⑵⑸．方法点拨：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．③利用转化思想进行证明题的思路探索求证：DF//AC，DE//AF．图12-x-1分析：由已知∠BDE=∠CAF再结合角平分线的定义及等式性质可得∠BDF=∠BAC，从而可证DF//AC；由已知∠BDE=∠CAF再结角平分线定义可得∠BAF=∠BDE，从而DE//AF．证明：∵DE平分∠BDF，AF平分∠BAC（已知）∴∠BDF=2∠BDE，∠BAC=2∠CAF（角平分线定义）∵∠BDE=∠CAF（已知）∴∠BDF=∠BAC（等量代换）∴DF//AC（同位角相等，两直线平行）∵AF平分∠BAC（已知）∴∠BAF=∠CAF（角平分线定义）∵∠BDE=∠CAF（已知）∴∠BAF=∠BDE（等量代换）∴DE//AF（同位角相等，两直线平行）．方法点拨：证明题的思路分析通常从已知入手，结合要证明的结论找出它们的联系，有时要进行灵活变通，进行适当的代换．等角的证明可以通过两组或三组等角结合等式性质、等量代换等进行变形，有时也可利用余角或补角的性质来证等角．④辅助线的添加技巧辅助线是沟通已知与待求证的结论之间的桥梁，适当地添加辅助线可以化难为易、简化证明过程．辅助线的添加不是没有规律的，如何根据题目的已知条件结合学过的性质、定理等与结论联系的蛛丝马迹，找到最佳的添加辅助线方案，这是值得我们思考和研究的问题．熟练添加辅助线来证明几何题是长时间几何证明的经验积累，但也有一些技巧需要我们了解的，如平行线的问题中过拐点添加平行线构造新的平行线、连结或延长线段构造同位角、内错角、三角形等．求证：∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°图12-x-2分析：本题是已知平行线证明三个角的和为360°问题，联想平行线的性质，我们可以过拐点P添加AB的平行线构造同旁内角，把要证明的结论转化为两组同旁内角互补来证明，也可以连接AC构造同旁内角，把要证明的结论转化为同旁内角互补加三角形内角和来证明．证明：（方法一）过P作PQ∥AB．∵PQ∥AB（辅助线作法），又∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD （平行于同一直线的两直线平行），∴∠PCD＋∠QPC=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵PQ∥AB（辅助线作法），∴∠BAP＋∠APQ=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠BAP＋∠APQ＋∠PCD＋∠QPC=360°（等式性质），∴∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°（等量代换）．（方法二）连接AC，∵AB∥CD（已知），∴∠BAC＋∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠APC＋∠P AC＋∠PCA=180°（三角形内角和等于180°），∴∠P AB＋∠APC＋∠PCD=360°（等量代换）．方法点拨：添加辅助线的目的是为定理、性质创造条件，把已知的条件与要证明的结论之间架设一座桥梁，以达沟通思路、简化证明的目的．。
第十二章全等三角形
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》
江南学校李友峰
本章内容主要包括全等三角形、三角形全等的判定、角的平分线的性质．上一章我们通过推理论证得到了三角形的内角和定理等重要结论．本章中，推理论证将发挥更大的作用．本章通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，并由此推出了角的平分线的性质．在中考中，全等三角形的性质与判断是考查的热点之一．角的平分线的性质一般不单独考查，多结合三角形或多边形的性质进行考查．
【本章重点】
全等三角形的性质与判定、角平分线的性质．
【本章难点】
全等三角形的几种判定方法的选择．
【本章思想方法】
1．体会和掌握分类讨论思想．如：已知两个三角形全等，但不清楚对应边和对应角，这个时候就要用到分类讨论思想，要考虑到所有的情况．2．体会转化的数学思想．如：在解决与全等三角形有关的实际问题时，一般需要先将实际问题转化为全等三角形问题，进而解决问题．
12．1 全等三角形 1课时
12．2 三角形全等的判定 4课时
12．3 角的平分线的性质 2课时
【素材积累】
阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
”有选择旧会有错误，有错误旧会有遗恨，但即使第一步错了，只要及时地发现并纠正，未必步步都错下去。
峰回路转，柳暗花明，路断尘埃的时候，自己给自己一双翅膀；厄运突降的时候，自己给自己一个微笑；雨雪连绵的时候，自己给自己一份责任和梦想。
天下路都是相连的，沿着心中的路坚定地走下去，同样能抵达你想要去的地方。
２.如上图右：△ABC 中，∠B=∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D 、F ，若∠AED=140°，则∠C= ∠A= ∠BDF=三．交流展示１.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、无法确定２.下列命题中的真命题是（ ）A 、锐角大于它的余角B 、锐角大于它的补角C 、钝角大于它的补角D 、锐角与钝角之和等于平角３.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，真命题的个数为（ ） A 、0 B 、1个 C 、2个 D 、3个４.下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（ ） （A ）只有（1） （B ）只有（2） （C ）只有（1）和（2） （D ）一个也没有四.拓展提高：１.如图，直线1l ∥2l ，3l ⊥4l ．有三个命题：①︒=∠+∠9031；②︒=∠+∠9032；③42∠=∠．下列说法中，正确的是（ ）（A ）只有①正确 （B ）只有②正确 （C ）①和③正确 （D ）①②③都正确课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题第12章小结与思考（2）教学目标１.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念２. ２弄清真命题与定理的区别３. 会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明教学重点定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用教学难点定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：1.填空题：（1）命题“两条直线平行，内错角相等”的条件是：，结论是：．（2）如图1，∠1=_________，∠2=__________．图1 图2（3）如图2，在△ABC中，DE∥BC，∠A=45°，∠C=70°，则∠ADE=_______°．（4）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°．5）如图, 已知∠1 =∠2 =∠3 =62°，则4∠=°（第5题）二．探究交流1.如图：已知CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠1＋∠2＝90°，求证：AD∥CB解答题(1)请把下列证明过程补充完整：已知：如图，DE∥BC，BE平分∠ABC．求证：∠1=∠3．证明：因为BE平分∠ABC（已知），所以∠1=______（）．又因为DE∥BC（已知），所以∠2=_____（）．所以∠1=∠3（）．四.拓展提高：五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记。
《第12章小结与思考》教学设计师：我们还知道，命题有两种，一种是真命题，一种是假命题。
真命题是指条件成立，结论也成立的命题，而假命题是指条件成立，但结论不成立的命题。
你知道如何判断一个命题是假命题吗？请你判断下列命题的真假, 如果是假命题，请尝试举出反例：(1)若则.(2)钝角大于它的补角. (3)两个锐角的和是钝角.(4)如果两个数是正数，那么这两个数的和也是正数. 师：在刚刚同学们举出的一些反例中，我们注意到，举反例有着特殊的要求，它是一个符合命题的条件，但命题的结论不成立的例子。
我们在研究命题时，还有这样一组特殊的命题，如果把一个命题的条件和结论互换，就组成了这个命题的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
请你指出下列命题的条件和结论，并说出其逆命题：(1)如果两个角的补角相等，那么这两个角相等. (2)对顶角相等.(3)直角三角形的两个锐角互余. 二、合作交流师：以上是我们复习的第一个知识点，接下来，我们一起来看第二个知识点：证明，我们主要复习平行线的判定与性质、三角形内角和定理及其推论的有关证明。
例1：如图1,点A 、B 、C 、D 在一条直线上,填写下列空格:∵EC ∥FD (已知)∴∠F=∠ ( )又∵∠F=∠E (已知)∴ ∠ = ∠E ( ) ∴ AE ∥BF ( )分组成，命题都可以改写成“如果……那么……”的形式 举反例先判断命题的真假，再举出反例回忆互逆命题构成，注意逆命题与原命题之间的区别，明确一对互逆命题的真假不一定相同先说出命题的条件和结论，再说出逆命题，强化互逆命题的结构特征审题、独立思考，个别学生起立回答，完成填空，并说明理由ABCDE F⌒1师：在我们证明这道题目的过程中，我们运用了一对互逆命题，大家一起来说一下。
两直线平行，是图形（两条直线）特殊的“位置关系”，内错角相等是角的“数量关系”，所以我们经常会利用平行线来构造角的数量关系。
下面请你们讨论交流下面一道题目，并在你的学案上写好证明过程：1.如图2，已知AD是∠BAC的平分线，GE∥AD, GE交AB于点F，交CA延长线于点G,（1）求证：∠AFG=∠G.师：观察图形，∠AFG与∠G没有直接联系，能否通过题目中已知的一些条件进行转化？角平分线与平行线又能给我们提供哪些信息？(2)若将上例中结论“∠AFG=∠G”与条件“AD是∠BAC的平分线”互换，你得到的新命题是什么？是否成立?(3)若将上例中结论“∠AFG=∠G”与条件“GE∥AD”互换，得到什么新命题？还成立吗?师：我们在解决第三小问时，运用了三角形内角和定理及其推论。
第十二章证明复习简案上课教师：南京师范大学苏州实验学校初中部任宏章从教感言：温情对话、自由思想，共同走进智慧的世界；为你自豪、为我感动，一起演绎生命的精彩.教学追求：生命的律动、自然的生成和智慧的发展.课题：第12章证明复习（苏科版七年级下册）教学目标：1.整体感知证明一章的知识体系，针对要点进行基础知识梳理；2.通过典型问题的分析掌握证明的一般步骤和一般思考方法，积累数学证明的经验；3.通过几何图形的变式拓展，感悟事物之间的联系，形成分析问题、解决问题的能力.教学重点：证明的一般步骤和一般思考方法.教学难点：数学证明问题中不同对象之间的联系变化分析.教学准备：多媒体课件教学过程：【整体感知】定义、命题（公理、定理）、证明、互逆命题设计意图:让学生通过自悟，明确复习内容.【基础提炼】1.下列语句中，属于定义的是（）A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.平行线的同位角相等D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离2.判断下面句子哪些是命题？如果是命题指出它的条件和结论，并说明是真命题还是假命题？（1）画一个角等于已知角. （2）内错角相等.（3）同位角相等吗？（4）两直线平行,同位角相等．（5）对顶角相等.说出（4）和（5）的逆命题，并说明逆命题是真命题还是假命题？3.小林在研究代数式2-2m+㎡的值的情况时，通过列表计算发现2-2m+㎡的值一定大于等于2.说明小林的结论是否正确.设计意图: 概念的复习凭借问题进行，通过问题启发思考，总结方法.通过三个问题的解决，复习定义、命题的概念，知道命题的结构，会判断命题的真假，会写一个命题的逆命题，体会证明的必要性，学会代数说理.【典型分析】例1.证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行.例2.已知：如图，AC、BD 相交于点O. 求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.设计意图:通过学生练习，激活学生几何证明问题的经验，进一步理解并掌握命题证明的一般步骤，获得证明问题的一般思考方法.AOCD B【变式拓展】例3.（课本P156页）已知：如图，△ABC 中，∠A ＝∠ABC ，直线 EF 分别交AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F. 求证：∠F ＋∠FEC ＝ 2∠A设计意图:通过图形的变化，感悟认识几何对象之间的联系，进一步领会和掌握几何证明问题的一般思考方法.【总结提升】命题：判断、句子 命题的结构：条件与结论 命题的真假互逆命题定义： 描述、规定证明：证明的必要性 代数证明 几何证明假命题的证明方法：举反例 命题证明步骤：画图、写已知求证、证明.命题证明的一般思考方法：综合、分析设计意图:通过总结，建构本章的知识体系，提炼几何证明的思考方法，形成几何证明的经验.第十二章 证明 复习作业 班级： 姓名： 学号： 得分：1.下列句子中,是命题的是 ( )A.今天的天气好吗B.作线段AB ∥CD;C.连结A 、B 两点D.正数大于负数2.下列命题是真命题的是 ( )A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角；B.两个互补的角一定是邻补角；C.如果a 2=b 2,那么a=b ；D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等.3.下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题，不一定是假命题。
