2019-2020学年湖南省益阳市桃江县高二下学期期末考试数学试题

湖南省益阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知具有线性相关关系的五个样本点A 1（0,0），A 2（2,2），A 3（3,2），A 4（4,2）A 5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l 1:y=bx+a ，过点A 1,A 2的直线方程l 2:y=mx+n 那么下列4个命题中(1) ,m b a n >>；(2)直线1l 过点3A ； (3)()()552211i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑； (4) 5511i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑. （参考公式()()55115522211()i i i i i i i i i i x y nxyx x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】分析：先求均值，再代公式求b,a ，再根据最小二乘法定义判断命题真假. 详解：因为023********,255x y ++++++++==== ，所以直线1l 过点3A ； 因为515221i ii i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，所以0.6b = 因为a y bx =-，所以0.2a =，因为过点A 1,A 2的直线方程，所以2:l y x = ，即,m b a n >>；根据最小二乘法定义得()()552211 i i i i i i y bx a y mx n ==----∑∑； (4) 5511 i i i i i i y bx a y mx n ==----∑∑.因此只有（1）（2）正确，选B. 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=- B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．2log y x =【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【详解】A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数；D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．3．对于椭圆22(,)221(,0,):a b x y C a b a b a b +=>≠，若点()00,x y 满足2200221x v a b+<，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部【答案】B【解析】【分析】由(2,1)P 在椭圆上，根据椭圆的对称性，则P 关于坐标轴和原点的对称点(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在椭圆上，即可得结论．【详解】设00(,)A x y 在过(2,1)P 的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上， 则22411a b +=，2200221x y a b +≤，即22002222411x y a b a b +≤+=， 由椭圆对称性知，(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在任意椭圆上，∴满足条件的A 点在矩形PBCD 上及其内部，故选：B ．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点(,)P m n 在椭圆上，则(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----也在椭圆上，这样过P 点的所有椭圆的公共部分就是矩形PBCD 及其内部．4．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A．175B．275C．375D．475【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再列举出所得的两条直线相互平行但不重合的个数，利用古典概型公式即可得解. 【详解】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22 661515225C C⋅=⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF//,//,//AF BE CE FD CF ED共12对，所以所求概率为12422575p==，选D.【点睛】本题主要考查了古典概型的计算，涉及空间直线平行的判断，属于中档题.5．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】画图标注其位置，即可得出答案。

2016—2017学年度第二学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选.考点：复数的四则运算.2. 若，且≤19，则（20-n）(21-n)……(100-n)等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：共有项，表示个不同元素中任取的元素的全排列，所以，故选C.考点：排列数的概念.3. 在一次试验中事件A出现的概率为，则在次独立重复试验中出现次的概率A. 1－B.C. 1－D.【答案】D【解析】根据题意,在n次试验中出现k次,则A出现(n−k)次；根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式可得其概率为，故选：D.4. 在相关分析中，对相关系数，下列说法正确的是（）A.越大，线性相关程度越强B. 越小，线性相关程度越强C. 越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强D. 且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱【答案】D【解析】由相关系数的含义可得且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱.本题选择D选项.5. 某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：根据表中数据得到≈15.968，因为≥10.828,则断定秃发与心脏病有关系,那么这种判断出错的可能性为（）附表：0．050 0．010 0．0013．841 6．635 10．828A. 0.1B. 0.05C. 0.01D. 0.001【答案】D【解析】由题意时，，题中≈15.968>10.828，故这种判断出错的可能性为0.001.本题选择D选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．6. 五位同学去听同时进行．．．．的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（）A. 54B. 5×4×3×2C. 45D. 5×4【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的选择种数是 .7. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A. 假设都是偶数B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个是偶数D. 假设至多有两个是偶数【答案】B【解析】“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”的反证假设是“假设都不是偶数”选B8. 曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，所以直线的斜率为，倾斜角为考点：函数导数的几何意义9. 设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题是一个古典概型，∵袋中有80个红球20个白球，若从袋中任取10个球共有种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有种取法，由古典概型公式得到P= ，本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10. 四名师X毕业生全部分配到3所中学任教，每校至少有1名，则不同的分配方案有A. 18种B. 36种C. 54种D. 72种【答案】B【解析】由题意知将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，分配的只有一种结果1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有种结果，本题选择B选项.11. 随机变量服从正态分布，则下列结论不正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴A正确；，∴B正确，C不正确；∵，∴D正确本题选择C选项.12. 函数，则的值为（）A. -20B. -10C. 10D. 20【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，，故选D.考点：导数的定义及对数函数求导.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量等可能取1，2，3，...，这个值，如果，则等于__________ .【答案】10【解析】随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，∵P(X=k)= (k=1,2,……，n)，∴0.4=P(X⩽4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= ，∴n=10.故答案为：10.14. 定理:“平行于同一直线的两直线平行”,可用符号语言表示为: “∵，，∴”,这个推理称为_____________ . (填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”之一)【答案】演绎推理【解析】由推理的定义可得题中所给的推理形式为演绎推理.点睛：演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．15. ________．【答案】116. 已知是各项系数均为整数的多项式，，且满足，则的各项系数之和为________ .【答案】5【解析】-f(g(x))=22−g(x)+1=2x4+4x3+13x2+11x+16，依题意，可设g(x)=x2+ax+b，∴g(x)的各项系数和为1+a+b=g(1)；而22−g(1)+1=2⋅14+4⋅13+13⋅12+11⋅1+16，∴22−g(1)−45=0.∴g(1)=或5∵g(x)是各项系数均为整数的多项式，故g(1)不可能是分数,舍去)，∴g(1)=5，故选B.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 现有2名男生和3名女生．(Ⅰ)若其中2名男生必须相邻排在一起，则这5人站成一排，共有多少种不同的排法? (Ⅱ)若男生甲既不能站排头，也不能站排尾, 这5人站成一排，共有多少种不同的排法? 【答案】（1）48（2）72【解析】试题分析：试题解析：解：(1)(2)18. (Ⅰ) 比较下列两组实数的大小：① －1与2－；② 2－与－；(Ⅱ) 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明.【答案】（1）①－1＞2－.②2－＞－.（2）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)利用平方做差的方法比较两数的大小即可；(Ⅱ)利用题意，归纳推理得出更一般的结论：若n是正整数，则－＞－.试题解析：(Ⅰ) 解法一：① (+)2－(2+1)2=2－4＞0.故+＞2+1，即－1＞2－.② (2+)2－(+)2=4－2=2－2＞0.故2+＞+ ，即2－＞－.解法二：分子有理化，略(Ⅱ)一般结论：若n是正整数，则－＞－.或：函数在上单调递减；或：若正数满足：，且，则证明从略.19. 在二项式的展开式中，(Ⅰ)写出其中含的项；(Ⅱ)如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．【答案】（1）13440x2（2）1【解析】略20. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在线段A1B1上运动．（Ⅰ）求证：PN⊥AM；（Ⅱ）试确定点P的位置，使直线PN和平面ABC所成的角最大．【答案】（1）见解析（2）D为AB的中点，P为A1B1的中点【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合摄影定理即可证得PN⊥AM；(Ⅱ)由几何关系，角的正切值越大，则角度值越大，据此可得最大时，D为AB的中点，P为A1B1的中点。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案考生注意：1、本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面2、在本试题君上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3、可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知向量，且，则2、双曲线的右焦点的坐标为3、与向量垂直的一个单位向量4、若（是复数单位），则5、若()(1)(2)()f n n n n n =++++++L ，则6、已知无穷等比数列的前n 项和，则7、一个方程组的增广矩阵为，则该方程组的解为8、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则另外两个角的读书分别 为9、已知圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径，则该圆锥的体积为10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为11、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米（精确到0.1厘米）12、若，且，则向量与的夹角为13、将全体正整数排成一个三角形的数阵：按照以上排量的规律，第n 行（），从左向右的第3个数为14、在中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，，则（用表示）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、两个非零向量垂直的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．16、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．17、设椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点，若，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．18、若数列满足当成立时，总可以推出成立，研究下列四个命题：（1）若，则 (2) 若，则(2) 若，则 (4) 若，则其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分74分）共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知点，（1）求直线AB 的方程（2）若点P 满足，求P 点的轨迹方程．20、（本题满分14分）如图，在直平行六面体中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，与底面ABCD 所成角的大小为，M 为的中点．（1） 求四棱锥M-ABCD 的体积；（2） 求异面直线BM 和所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且．（1）若命题中根的虚部为整数，求实数的值；（2）若命题同为真命题，求实数的取值范围．22、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k0，求证PAPB ．23、（本题满分18分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且是递增数列，求a 的取值范围；（3）若，且，记，求证：数列为等差数列．。

2019-2020学年湖南省益阳市桃江县高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．“x＜2”是“lgx＜lg2”的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要3．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．24．已知x＝lg2，y＝ln3，z＝log23，则（）A．x＜z＜y B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．z＜x＜y5．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，若实数m满足f（log2m）≤3，则m的取值范围是（）A．（0，2]B．[，2]C．（0，8]D．[，8]8．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，则S12＝（）A．40B．60C．32D．509．已知菱形ABCD边长为4，∠DAB＝60°，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN＝NM，则的值为（）A．B．16C．14D．810．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的图象关于对称B．g（x）在[0，π]上有2个零点C．g（x）在区间上单调递减D．g（x）在上的值域为二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17B．S35C．a17﹣a19D．S19﹣S1612．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为D．若，则椭圆C的长轴长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16小题，第一空2分，第二空3分．13．已知平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则||＝．14．已知a＞1，则a+的最小值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P为准线l上一点，且不在x轴上，直线PF交抛物线C于A，B两点，且，则|AB|＝；设坐标原点为O，则△AOB的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝log a（a x﹣1）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）解关于x的不等式f（x）＜f（1）．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）．（1）求角B的大小；（2）已知2a+c＝6，且a＜c，若△ABC的面积为，求b边的长以及△ABC外接圆的半径R．19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D，E分别是棱CC1，BB1的中点．（1）证明：B1D⊥平面A1C1E；（2）求二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S6＝﹣7S3，且a2，1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝|a n﹣1|，求数列{b n}的前2n项的和T2n．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求△MON面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}＝{x∈N*|﹣1≤x≤3}＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2，3}．故选：C．2．“x＜2”是“lgx＜lg2”的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【分析】由对数函数的性质结合充分必要条件的判定得答案．解：由x＜2不一定得到lgx＜lg2，原因是当x＜0时lgx无意义，反之，由lgx＜lg2可得x＜2．∴“x＜2”是“lgx＜lg2”的必要不充分条件．故选：B．3．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．2【分析】通过双曲线的离心率求出m，然后求解双曲线的虚轴长即可．解：双曲线C：＝1的离心率为，可得e＝＝＝，解得m＝6，故C的虚轴长为2．故选：B．4．已知x＝lg2，y＝ln3，z＝log23，则（）A．x＜z＜y B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．z＜x＜y 【分析】利用对数函数的性质求解．解：∵x＝lg2＜1，y＝ln3＞1，z＝log23＞1，所以x最小，又∵y＝，z＝，而lge＞lg2，∴x＜y＜z，故选：C．5．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝15，利用列举法求出放入小球的盒子的编号连续包含的基本事件有5个，由此能求出放入小球的盒子的编号不连续的概率．解：两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，基本事件总数n＝＝15，放入小球的盒子的编号连续包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），共5个，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为p＝1﹣＝．故选：A．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，若实数m 满足f（log2m）≤3，则m的取值范围是（）A．（0，2]B．[，2]C．（0，8]D．[，8]【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，结合奇函数的性质可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（log2m）≤3⇒f（log2m）≤f（1）⇒log2m ≤1，解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则f（x）在R上为增函数，又由当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，则f（log2m）≤3⇒f（log2m）≤f（1）⇒log2m≤1，解可得0＜m≤2，即m的取值范围为（0，2]；故选：A．8．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，则S12＝（）A．40B．60C．32D．50【分析】由已知结合等比数列的性质可知，a4+a5+a6＝q3（a1+a2+a3）＝8，从而可求q3，然后代入即可求解．解：∵数列{a n}是等比数列，a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝q3（a1+a2+a3）＝8，∴q3＝2，则S12＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a10+a11+a12＝4+8+16+32＝60．故选：B．9．已知菱形ABCD边长为4，∠DAB＝60°，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN＝NM，则的值为（）A．B．16C．14D．8【分析】取AM中点O，结合平面向量的线性运算及向量数量积的性质即可求解．解：取AM中点O，连接ON，因为AN＝NM，所以ON⊥AM，即＝0，因为，∠DAB＝60°，所以∠MDA＝120°，所以＝（）2＝＝4+16﹣2×＝28，则＝＝＝＝14故选：C．10．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的图象关于对称B．g（x）在[0，π]上有2个零点C．g（x）在区间上单调递减D．g（x）在上的值域为【分析】首先利用函数关系式的平移变换的应用求出g（x）的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x）＝sin[2（x﹣）]＝sin（2x﹣）＝sin（2x+），所以对于选项A：当x＝时，g（x）≠±1，故A错误．对于选项B：当（k∈Z），整理得，（k∈Z），当k＝1时，x ＝，当k＝2时，x＝时，函数g（x）＝0，故选项B正确．对于选项C：，所以，故函数在该区间内有增有减，故错误．对于选项D：x，所以，所以函数g（x）的值域为[﹣1，]，故错误．故选：B．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17B．S35C．a17﹣a19D．S19﹣S16【分析】设{a n}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+d＝18a1+d，得a1＝﹣17d，可得：a n，S n，即可判断出结论．解：设{a n}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+d＝18a1+d，得a1＝﹣17d，∴a n＝（n﹣18）d，S n＝＝d，所以a18＝0，S35＝0．a17﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，S19﹣S16＝d﹣d＝0．故选：BD．12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为D．若，则椭圆C的长轴长为【分析】由焦距的值及P的坐标可得PF2⊥x轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P，F2，Q三点共线时|QP|+|QF1|取到最小值，因为P在椭圆内可得b＞1，可得短轴长大于2，由P在椭圆内可得长轴长2a大于|PF1|+|PF2|，进而可得椭圆的离心率的范围；，可得F1为PQ的中点，由P，F1的坐标求出Q的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a＝|QF1|+|QF2|的值．解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正确；D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D 正确，故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16小题，第一空2分，第二空3分．13．已知平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则||＝2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求出m的值，再根据向量的模的定义，求得结果．解：∵平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则•＝4+2m＝0，∴m＝﹣2，则||＝＝2，故答案为：2．14．已知a＞1，则a+的最小值为5．【分析】由a+＝a﹣1++1，然后结合基本不等式即可求解．解：因为a＞1，则a+＝a﹣1++1＝5，当且仅当a﹣1＝即a＝3时取等号，故答案为：515．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1E 与AC1所成角的余弦值．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，2，1），A（2，0，0），C1（0，2，2），＝（0，2，﹣1），＝（﹣2，2，2），设异面直线A1E与AC1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P为准线l上一点，且不在x轴上，直线PF交抛物线C于A，B两点，且，则|AB|＝9；设坐标原点为O，则△AOB的面积为6．【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝8x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长，即可求出三角形的面积．解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AF|＝AD＝x1+2，|BF|＝x2+2，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+4．∵＝3，∴|PA|＝3|AD|，∴|PD|＝2|AD|，∴直线PF的斜率为±2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝±2（x﹣2），将y＝±2（x﹣2），代入方程y2＝8x，得8（x﹣2）2＝8x，化简得x2﹣5x+4＝0，∴x1+x2＝5，于是|AB|＝x1+x2+4＝9，则点O到直线AB的距离d＝，∴S△AOB＝|AB|•d＝×9×＝6故答案为：9，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝log a（a x﹣1）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）解关于x的不等式f（x）＜f（1）．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得a x＞1，分情况讨论不等式的解集，综合即可得答案；（2）根据题意，先分析a的取值范围，再分析函数f（x）的单调性，据此分析可得答案．解：（1）根据题意，函数f（x）＝log a（a x﹣1），必有a x＞1，当a＞1时，a x＞1⇒x＞0，此时函数f（x）的定义域为（0，+∞），当0＜a＜1时，a x＞1⇒0＜x＜1，此时函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），则当a＞1时，定义域为（0，+∞）当0＜a＜1时，定义域为（﹣∞，0）（2）根据题意，不等式f（x）＜f（1），x＝1在定义域内，必有a＞1对于f（x）＝log a（a x﹣1），设t＝a x﹣1，则y＝log a t，当a＞1时，在区间（0，+∞）上，t＝a x﹣1为增函数，y＝log a t在区间（0，+∞）上为增函数，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＜f（1）的解集为（0，1），故答案为：（0，1）．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）．（1）求角B的大小；（2）已知2a+c＝6，且a＜c，若△ABC的面积为，求b边的长以及△ABC外接圆的半径R．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，sin B ≠0，可求cos B的值，即可求B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，由2a+c＝6，解得a，c的值，根据余弦定理可求b的值，由正弦定理即可求解△ABC外接圆的半径R．解：（1）由正弦定理以及a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）得：sin A sin（π﹣2B）＝sin B sin （π﹣A），∴sin A sin2B＝sin B sin A，又sin A≠0，∴2sin B cos B＝sin B，又sin B≠0，∴．（2），∴ac＝4，由2a+c＝6，联立可得，或，∵a＜c，∴a＝1，c＝4，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+16﹣4＝13，∴，由，即，综上：b边的长为，△ABC外接圆的半径R等于．19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）写出利润关于售价的函数，再由二次函数求最值．解：（Ⅰ）由表格中的数据可得，．＝＝，＝﹣＝90+32×9.5＝394，∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣8），（x≥8）．∴y＝﹣32x2+650x﹣3152．则当x＝（元）时，销售的利润最大为148元．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D，E分别是棱CC1，BB1的中点．（1）证明：B1D⊥平面A1C1E；（2）求二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．【分析】（1）推导出A1C1⊥平面BCC1B1，从而A1C1⊥B1D．推导出C1E⊥B1D．由此能证明B1D⊥平面A1C1E．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．解：（1）证明：由题意知，A1C1⊥平面BCC1B1，∵B1D⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥B1D．又，D，E分别是棱CC1，BB1的中点，∴C1E⊥B1D．又A1C1⊂平面A1C1E，C1E⊂平面A1C1E，A1C1∩C1E＝C1，∴B1D⊥平面A1C1E．（2）解：不妨设，如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），，．设平面A1DB1的法向量为，则，令y＝1，得x＝1，z＝﹣1，∴．因为y轴垂直平面A1AD，所以可取平面A1AD的法向量为，∴．又由图知二面角B1﹣A1D﹣A为钝角∴二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值为．21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S6＝﹣7S3，且a2，1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝|a n﹣1|，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）讨论n为奇数或偶数，可得b n的正负，再由等比数列的求和公式，奇数可得所求和．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由S6＝﹣7S3，得（1+q3）S3＝﹣7S3，S3≠0，所以1+q3＝﹣7，解得q＝﹣2，由a1，1，a3成等差数列，可得a2+a3＝2，即﹣2a1+4a1＝2，所以a1＝1，所以；（2）当n为偶数时，，当n为奇数时，所以T2n＝（a1﹣1）﹣（a2﹣1）+（a3﹣1）﹣（a4﹣1）+…+（a2n﹣1﹣1）﹣（a2n﹣1）＝a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n＝．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求△MON面积最大时直线l的方程．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M （x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k值，写出三角形面积公式，得到关于m的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN的方程．解：（1）由题意得，，解得．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）＝12（3k2+1﹣m2）＞0，①，．∴．∵，∴，得k＝﹣．代入①得，＜m＜，且m≠0．∴＝•＝．当且仅当3m2＝4﹣3m2，即m＝时，上式等号成立，符合题意．∴直线MN的方程为y＝．。

湖南省益阳市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．若二项式22)nx x-（的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为 A ．-240 B ．-160 C ．160 D ．240【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为2n ，由此得到n ，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案. 【详解】由已知得到264n =，所以6n =， 所以展开式的通项为261231662()()(2)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1230r -=，得到4r =，所以展开式的常数项为4456(2)240T C =-=，故选D.【点睛】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ）A ．14B ．12C ．12-D ．12或12-【答案】B 【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.4．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 的元素，由此求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}0123B =，，，，故{}1,2A B =,故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题. 5．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A 【解析】分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小．详解：由题意，可得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A8．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．118B ．19C ．16D ．13【答案】B 【解析】 【分析】把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是19．故选B．【点睛】本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．9．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，根据正态分布的特征，可得，解得.故选D【点睛】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.10．复数z满足，则复数z＝( )A．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．2,3]C ．2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()112322F AB S a c b ∆-=-=可得，2,3a c ==，1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡⎤∈⎣⎦，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +【答案】B【解析】【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率．【详解】由随机变量X的概率密度函数的意义得3233111d x xeP e x ee---==-=⎰，故选B．【点睛】随机变量X的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X在这一区间上概率．二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 的通项公式是1nan n=++，若前n项和为20，则项数n为__________.【答案】440【解析】【详解】由数列的通项公式可得：()1111nn na n nn nn n-+===+--+++,则：()()()()213243111nS n n n=-+-+-+++-=+-，结合前n项和的结果有：1120n+-=，解得：440n=.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．14．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), 45ABC∠=，2AB=，1AD=，DC BC⊥，则这块菜地的面积为______．【答案】32【解析】【分析】首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：2sin4512BC=+=，由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积()1122S =⨯+⨯=【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.【答案】3413 【解析】 【分析】可以根据X 服从正态分布(100,64)N ，可以知道100,8μσ==，根据()0.6826P X μσμσ-<<+≈，可以求出(92108)0.6826P X <<=，再根据对称性可以求出(92100)P X <<，最后可以估计出质量在区间(92,100)内的产品的数量. 【详解】 解:100,8μσ==，0.6826(92100)0.34132P X ∴<<==， ∴质量在区间(92,100)内的产品估计有100000.34133413⨯=件.【点睛】本题考查了正态分布，正确熟悉掌握正态分布的特点以及,2σσ原则是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省益阳市桃花江实验中学2019年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）是f（x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′（x）的图象得出结论．【解答】解：若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′（x）的图象可知f′（x）=0共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，故f（x）有2个极值点．故选A．2. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A.B.C.D.参考答案：D【分析】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。

【详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【点睛】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。

3. 定义在(1,+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，；记函数，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1,2)B. [1,2]C.D.参考答案：C【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【详解】因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由题意得f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）k PA2，k PB，所以可得k的范围为故选：C．【点睛】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．4. “”是“两直线和互相垂直”的：A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件参考答案：A5. 四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π参考答案：C【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．6. 三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为( )A．b-a=c-b B．b2=ac C．a=b=c D．a=b=c≠0参考答案：D7. 已知函数为奇函数，，则函数的零点所在区间为（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)参考答案：C8. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D9. 不等式的解集是（）A． B．C．或 D．参考答案：C10. 已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A．③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于；⑤若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．参考答案：①④⑤【考点】命题的真假判断与应用；正弦定理；余弦定理．【分析】①通过讨论三角形的形状来判断；②构造函数f（x）=（0＜x＜π），应用导数求单调性，从而得到B＜A，即可判断②；③由两角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，从而推断③；④将，化简整理运用不共线结论，得到2a=b=c，再运用余弦定理求出cosA，即可判断；⑤构造函数f（x）=tsinx﹣sin（tx），应用导数运用单调性得到tsinB＜sin（tB），又sinA ＜tsinB，再根据和差化积公式，结合角的范围即可判断．【解答】解：①若cosα≥，则0＜α，若△ABC为直角三角形，则必有一内角在（0，]，若为锐角△ABC，则必有一个内角小于等于，若为钝角三角形ABC，则必有一个内角小于，故总存在某内角α，使cosα≥；故①正确；②设函数f（x）=（0＜x＜π），则导数f′（x）=，若，则f′（x）＜0，又AsinB＞BsinA，即?B＜A，若0＜x＜，则由于tanx＞x，故f′（x）＜0，即有B＜A，故②不正确；③在斜三角形中，由tan（A+B）==﹣tanC，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC＞0，即tanAtanBtanC＞0，即A，B，C均为锐角，故③不正确；④若2a+b+c=，即2a（），即（2a﹣b）=（2a﹣c），由于不共线，故2a﹣b=2a﹣c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA==，故最小角小于，故④正确；⑤若a＜tb（0＜t≤1），则由正弦定理得，sinA＜tsinB，令f（x）=tsinx﹣sin（tx），则f′（x）=tcosx﹣tcos（tx），由于0＜tx＜x＜π，则cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），故有sinA＜sin（tB），即2cos sin＜0，故有A ＜tB，故⑤正确．故答案为：①④⑤【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查正弦、余弦定理及应用，考查向量中这样一个结论：若（不共线）则a=b=0，还考查三角形中的边角关系以及构造函数应用单调性证明结论，属于综合题．12. 数列的通项公式为，达到最小时，n等于_______________. 参考答案：24略13. 给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，以此类推. 要求计算这50个数的和. 先将下面给出的程序框图补充完整，再根据程序框图写出程序.1. 把程序框图补充完整：（1）_______________________ (3分)（2）_______________________ (4分)2. 程序：（7分）参考答案：略14. 如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离为________________.参考答案：14略15. 已知两点A(1，－1)，B(3,3)，点C(5，a)在直线AB上，则a＝________.参考答案：a＝716. 已知椭圆，则m等于________参考答案：略17. 已知命题函数的值域是，命题的定义域为，若为真命题，则实数的取值集合为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年湖南省益阳市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A．150种B．240种C．300种D．360种【答案】A【解析】【分析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组,共有113354332260C C CAA⨯=种分组方法；若按照1、2、2分组,共有122354232290C C CAA⨯=种分组方法，根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.故选：A.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.2．已知函数在上可导，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求导后代入可得关于的方程，解方程求得结果.【详解】由得：令，则，解得：本题正确选项： 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够根据导数运算法则得到导函数的解析式，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）A ．12B ．14 C ．18D ．116【答案】D 【解析】 【分析】根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果. 【详解】因为数列是等比数列，故得到357241,8a a q a a +==+进而得到12q =，则5a 4111.216⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.4．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点，q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为A ．(,2)[3,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞C ．(1,2][3,)⋃+∞D ．(,2)(1,2]-∞-⋃【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p ，q 有一个真命题一个假命题，由p 得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1．由q ，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m ＜3，分两种情况求出实数m 的取值范围． 解答：解：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假 ∴p ，q 中一个真命题一个假命题， 由p ：函数f （x ）=x 1+mx+1有两个零点， 得△=m 1-4＞0，解得m ＞1或m ＜-1． 由q ：∀x ∈R ，4x 1+4（m-1）x+1＞0 得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m ＜3， 当p 真q 假时，有m 2m 2m 3m 1-⎧⎨≥≤⎩＞或＜或即m≥3或m ＜-1当p 假q 真，有2m 21m 3-≤≤⎧⎨⎩＜＜即1＜m≤1∴实数m 的取值范围为（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）． 故选B ．5．曲线1x y xe =+在点()0,1处的切线方程是( ) A ．10x y -+= B ．210x y -+= C ．10x y --= D ．220x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程． 【详解】曲线1xy xe =+，解得y′=e x +xe x ，所以在点(2,1)处切线的斜率为1． 曲线1x y xe =+在点（2，1）处的切线方程是：y ﹣1=x ． 即x ﹣y +1=2． 故选A ． 【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力6．设a ，b 是实数，则1133a b -->的充要条件是（ ）A ．a b >B ．a b <C ．11a b> D ．11a b< 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质证明1133a b -->与11a b >可进行互推.【详解】对选项C 进行证明，即11a b>是1133a b -->的充要条件，必要性：若1133a b -->，则两边同时3次方式子仍成立，∴113333()()a b -->，∴11a b>成立； 充分性：若11a b>成，两边开时开3次方根式子仍成立，∴>，∴1133ab -->成立.【点睛】在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.7．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ） A ．2575C A B ．2272C AC ．2275C AD ．2375C A【答案】C 【解析】分析：首先从后排的7人中选出2人，有C 72种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A 52，利用乘法原理可得结论．详解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先从后排的7人中选出2人，有C 72种结果， 再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A 52， ∴不同的调整方法有C 72A 52， 故选：C点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 8．α是第四象限角，5tan 12α=-,，则sin α=（ ） A ．15B ．15- C ．513D ．513-【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 解得：5sin 13α=±， 又α是第四象限角，所以5sin 13α=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 9．已知()215P AB =，()25P A =，那么()|P B A 等于（ ） A ．475 B ．13C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式得出()()()|P AB P B A P A =可计算出结果.【详解】由条件概率公式得()()()251|1523P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.10．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．由 220y x y =⎧⎨-+=⎩解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 11．若随机变量ξ服从正态分布()22,,N σξ在区间(4,)+∞上的取值概率是0.2，则ξ在区间02（，）上的取值概率约是( ) A ．0.3 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性可知，ξ在区间(,0)-∞上的取值概率是0.2，可得ξ在区间(0,4)上的取值概率是0.6，从而可得ξ在区间02（，）上的取值概率。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且． （1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，． （1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为． （1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件， （1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。

湖南省益阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．60【答案】B 【解析】 【分析】将二项式表示为()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525rr r C x x y -⋅+，可得出3r =，再利用完全平方公式计算出()22x x +展开式中3x 的系数，乘以35C 可得出结果.【详解】()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦Q ，其展开式通项为()525rr r C x x y -⋅+，由题意可得3r =，此时所求项为()()222334323552C x xy C x x x y ⋅+=⋅++，因此，()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为35221020C =⨯=，故选B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．已知集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则M N =I （ ） A ．(2,3] B ．(1,2)C ．(1,3]D ．[2,3]【答案】A 【解析】 【分析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{|2}M x x =>，集合{|13}N x x =<≤，则(2,3]M N =I . 故选：A . 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.3．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A ．18B ．916C ．4π D ．1516【答案】B 【解析】分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案. 详解：如图：要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内， 硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内， 由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为6698816P ⨯==⨯. 故选B.点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.4．与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A ．2212x y -=B ．2214x y -=C ．22133y x -= D ．2212y x -=【答案】A 【解析】由椭圆方程可得焦点坐标为()0,3±，设与其共焦点的双曲线方程为：()221033x y m m m-=<<-，双曲线过点()2,1Q ，则：4113m m-=-，整理可得：28120m m -+=， 结合03m <<可得：2m =，则双曲线方程为：2212x y -=.本题选择A 选项.5．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2B．4C．6D．8 【答案】B【解析】【分析】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．【详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为12⨯2×2×2＝1．故选B．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．6．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A．150种B．180种C．300种D．345种【答案】D【解析】试题分析：分两类（1）甲组中选出一名女生有112536225C C C=种选法；（2）乙组中选出一名女生有211562120C C C=种选法．故共有345种选法考点：排列组合7．下列关于残差图的描述错误的是（）A．残差图的横坐标可以是编号B．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小【答案】C【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．详解：A残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 则对应相关指数越大，故选项D 正确，C 错误. 故选：C ．点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．8．设{|23}A x x =-≤，{|}B x x t =<，若R A B =∅I ð，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1t <- B ．1t ≤-C ．5t >D ．5t ≥【答案】C 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和R C B ，根据交集的结果可确定t 的范围. 【详解】{}{}2315A x x x x =-≤=-≤≤，{}R C B x x t =≥R A C B =∅Q I 5t ∴>本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.9．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】B 【解析】 【分析】由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①、先在4种蔬菜品种中选出3种，有344C =种取法， ②、将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有336A =种情况， 则不同的种植方法有4624⨯=种； 故选：B ．【点睛】本题考查计数原理的运用，注意本题问题要先抽取，再排列．10．一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球，其中有n 个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于827，则n 的值共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】设每次取到红球的概率为p ，结合独立事件的概率的计算公式，求得1233p <<，再由12n p =，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，设每次取到红球的概率为p ， 可得()22248C 127p p ->，即()219p p ->，解得1233p <<，因为12np =，所以()124,8n p =∈，所以5n =或6或7. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了独立事件的概率的计算公式及其应用，其中解答中正确理解题意，合理利用独立事件的概率的计算公式，求得相应的概率的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种 B ．140种 C ．51种 D ．50种【答案】A 【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种．故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．12．下列命题是真命题的为（ ） A ．若11x y=,则x y = B ．若21x =,则1x =C ．若x y =,=D ．若x y <,则22x y <【答案】A 【解析】试题分析：B 若21x =，则1x =±，所以错误；C ．若0x y =<，=不成立．所以错误；D ．若21x y =-<=，此时式子22x y <不成立．所以错误，故选择A考点：命题真假二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．()f x 为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，则()102f =_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据已知将x=x+2代入等式可得(4)(2)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，可知()f x 为周期T=4的周期函数，化简()102f ，再由奇函数的性质可得其值． 【详解】由题得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则有(102)(2542)(2)f f f =⨯+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，那么(0)0f =，则(02)(0)0f f +=-=，故(102)0f =. 【点睛】本题考查奇函数的性质和周期函数，属于常见考题． 14．在数列{}n a 中,1121,2nn na a a a +==+,通过计算234,,a a a 的值,可猜想出这个数列的通项公式为n a = 【答案】21n + 【解析】试题分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．由于在数列{}n a 中,1121,2n n na a a a +==+，则可知1111111+122n n n a a a ++=∴｛｝是等差数列公差为，首项为，故可知为1112=1+n-12221nn n a a n =+∴=+（）,故答案为21n + 考点：数列的通项公式点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．15．若直线12{23x t y t=-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = ．【答案】6- 【解析】试题分析：把直线12{23x t y t=-=+（t 为参数）消去参数，化为直角坐标方程可得3x+2y 7=1．再根据此直线和直线4x+ky=1垂直，可得34()12k-⨯-=-，解得k= 6，故选B. 考点：参数方程.16．将一边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x 等于__________时，方盒的容积最大． 【答案】6a【解析】 【分析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值. 【详解】方盒的容积为：2()(2)()2a V x a x x x =-<2'()4(2)(2)(2)(6)=0()2aV x a x x a x a x a x x =--+-=--<6a x =当26a a x >>时函数递减，当06ax >>时函数递增 max ()()6aV x V =故答案为6a【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．（参考数据：222222222161412537816191360++++++++=，2222222141132123++++++2226713598+++=）【答案】（1）乙城市，理由见解析；（2）425【解析】 【分析】（1）求出甲已两个城市的打分平均数及方差，根据大小判断即可；（2）设事件A =“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件B =“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，根据条件概率公式()(|)()P A B P B A P A ⋅=求解即可. 【详解】（1）甲城市的打分平均数为：636567747679868795987910+++++++++=，乙城市的打分平均数为：656876787781828586927910+++++++++=，则甲城市的打分的方差为：()()()()()()()()()()2222222222637965796779747976797979867987799579987913610-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙城市的打分的方差为：()()()()()()()()()()2222222222657968797679777978798179827985798679927959.810-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=甲乙两城市的打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”； （2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个． 设事件A =“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”， 事件B =“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”， 则()(|)()P A B P B A P A ⋅=，因为211265221010444()27C C C C P A B C C ⎛⎫+⋅=⨯= ⎪⎝⎭， 222210160525()1()127C C P A P A C C ⋅=-=-=⋅，所以()4(|)()25P A B P B A P A ⋅==.【点睛】本题考核方差，平均数的计算，考查条件概率的求解，是中档题.18．命题p ：方程230x x m -+=有实数解，命题q ：方程22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆． (1) 若命题p 为真，求m 的取值范围； (2) 若命题p q ∧为真，求m 的取值范围． 【答案】（1）94m ≤.（2）924m <≤【解析】 【分析】（1）原题转化为方程230x x m -+=有实数解，23)40m ∆=--≥（；（2）p q ∧为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果. 【详解】（1）∵230x x m -+=有实数解，∴293)40,4m m （∆=--≥∴≤ （2）∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以902092m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，∴1122m <<∵p q ∧为真，119224m m ∴<<≤且，924m ∴<≤. 【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．（2）可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．19．已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点为F ，直线2x =与x 轴相交于点M ，与曲线C 相交于点N ，且45MN FN =（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线于,P Q 两点，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，求证点A 的纵坐标为定值.【答案】 (1) 22x y =；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义得1MN a=，再根据点N 坐标列方程，解得结果，（2）利用导数求切线斜率，再根据切线方程解得A 点纵坐标，最后利用直线与方程联立方程组，借助韦达定理化简A 的纵坐标. 【详解】解：（1）由已知抛物线21:(0)C x y a a =>的焦点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭， 由45MN FN =，得5144FN MN MN a ==+，即1MN a= 因为点(2,4)N a ， 所以11402a a a a =>∴=Q ， 所以抛物线方程：22x y =（2）Q 抛物线22x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴设过抛物线22x y =的焦点的直线为12y kx =+． 设直线与抛物线的交点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，由22,12x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得：2210x kx --=,根据韦达定理得121x x =- 抛物线22x y =,即二次函数212y x =，对函数求导数，得y x '=， 所以抛物线在点P 处的切线斜率为11k x =可得切线方程为()111y y x x x -=-，化简得21112y x x x =- ，同理，得到抛物线在点Q 处切线方程为22212y x x x =-， 两方程消去x ，得两切线交点A 纵坐标满足122A x x y =, 121x x =-Q ，12A y ∴=-，即点A 的纵坐标是定值12-． 【点睛】本题考查抛物线方程、抛物线切线方程以后利用韦达定理求值，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．已知函数21()ln ,2f x x x ax x a R =--∈有两个不同极值点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若212x x me ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1(0,)a e ∈；（Ⅱ）(,1]m ∈-∞【解析】【分析】 （Ⅰ）把函数21()ln ,2f x x x ax x a R =--∈有两个不同极值点12,x x 转化为()0f x '=有两个不同的实数根，分类讨论0a =，0a <，0a >时，()f x '值域情况，从而得到实数a 的取值范围；（Ⅱ）显然0m ≤ ，212x x me ≥恒成立，只需讨论0m >的情况，由于1x ，2x 为方程ln 0x ax -=的两个根，从而有1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，变形可得：121121221ln ln ln 1x x x x x x x x ++=- 所以要使212x x me ≥恒成立等价于111222(1)ln (ln 2)(1)0x x x m x x x +-+-≤恒成立，令()(+1)ln (2ln )(1)h t t t m t =-+-，利用导数讨论()h t 的值域即可。

2019-2020学年湖南省益阳市桃江县高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A ．{}13x x ≤≤ B ．{}03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2．“2x <”是“lg lg2x <”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】根据2x <可能导致lg x 无意义，可知不是充分条件，根据对数函数的单调性可知是必要条件. 【详解】当2x <时，lg x 不一定有意义，所以推不出lg lg2x <， 当lg lg2x <时，可得02x <<，满足2x <.因此，“2x <”是“lg lg2x <”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了对数函数的单调性，属于基础题.3．若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（ ）A．4 B ．C ．D ．2【答案】C【解析】利用离心率得到关于m 的方程，求出其解后可得虚轴长. 【详解】因为双曲线22:13x y C m -==，解得6m =，所以虚轴长为故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指2b ，本题属于基础题. 4．已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则( ) A ．x z y << B ．z y x << C ．x y z << D ．z x y <<【答案】C【解析】由题意可知，三个数中x 的值最小，再根据换地公式可知lg 3lg y e =，lg 3lg 2z =，即可得到结果. 【详解】因为lg 21x =<，ln 31y =>，2log 31z =>，所以x 最小. 又因为lg 3lg y e =，lg 3lg 2z =，所以y z <，所以x y z <<.故选：C. 【点睛】本题主要考查了对数的大小比较以及对数换地公式的应用，属于基础题. 5．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（ ） A ．23B ．14C ．13D ．34【答案】A【解析】根据排列组合知识求出所有基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果. 【详解】根据题意可得所有基本事件的总数为226230C A =，其中盒子的编号连续的有225A 10=种，所以盒子的编号不连续的有301020-=种， 所以放入小球的盒子的编号不连续的概率为202303=. 故选：A. 【点睛】本题考查了不相邻问题的排列，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，若实数m 满足2(log )3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(0,8]D ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先根据题意得到函数()f x 是定义在R 上的增函数，再根据单调性可得结果. 【详解】因为当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+为单调递增函数， 又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以函数()f x 是定义在R 上的增函数，因为()1123f =+=，所以2(log )3f m ≤可化为2(log )(1)f m f ≤， 根据()f x 是增函数可得2log 1m ≤，解得02m <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于基础题.8．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．9．已知菱形ABCD 边长为4，60DAB ∠=，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，且满足AN = NM ，则AM AN ⋅的值为（ ）A ．B ．16C ．14D ．8【答案】C【解析】在ADM △中，用余弦定理求出27AM =，取AM 的中点E ，因为AN NM =，所以NE AM ⊥，根据1||cos ||||2AN NAM AE AM ∠==可计算出AM AN ⋅.【详解】在ADM △中，4=AD ，2DM =，18060120ADM ∠=-=，所以222142242cos1202016()282AM =+-⨯⨯⨯=-⨯-=，所以27AM =， 取AM 的中点E ，因为AN NM =，所以NE AM ⊥，所以||||cos AM AN AN AM NAM ⋅=⋅∠211||||||281422AM AE AM ⋅==⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查了用定义计算平面向量的数量积，考查了余弦定理，属于基础题. 10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于12x π=-对称B ．()g x 在[]0π，上有2个零点C ．()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为3 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断． 【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．二、多选题11．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a B ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【答案】BD【解析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确；171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.12．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD【解析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+≥-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到111a b+<，又1a b -=，解得a，再由=e 解；D. 根据11PF FQ =，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误； C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(2136244++>==a，所以>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a，解得24+===a ，所2=，所以椭圆C，故正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知平面向量(1,2),(4,)a b m == ，若a b ⊥，则b =________.【答案】【解析】根据向量垂直的坐标表示可得2m =-，再根据模长公式可得解. 【详解】因为a b ⊥，所以1420m ⨯+⨯=，解得2m =-， 所以(4,2)b =-，所以2||44b=+=故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了模长公式，属于基础题. 14．当1x >时，41x x +-的最小值为______. 【答案】5【解析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()44111511x x x x +=-++≥+=--. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41xx+-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.15．在正方体1111ABCD A B C D-中，E为1BB的中点，则异面直线1A E与1AC所成角的余弦值为_________.【答案】1515【解析】以D为原点，1,,DA DC DD分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量可以求得结果.【详解】以D为原点，1,,DA DC DD分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A，1(0,1,1)C，1(1,0,1)A，1(1,1,)2E，所以1(1,1,1)AC=-，11(0,1,)2A E=-，设异面直线1A E与1AC所成角为θ，则1111cos||||AC A EAC A Eθ⋅=10121111014+-=++⋅++15=.故答案为：1515.【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线所成角，属于基础题.四、双空题16．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为准线l 上一点，且不在x 轴上，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点，且3PA AF =，则AB =______；设坐标原点为O ，则AOB 的面积为__________. 【答案】9【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，0(2,)P y -，根据3PA AF =可得11x =，不妨设10y >，则1y =AF的斜率为-，直线AF的方程为2)y x =--，代入抛物线方程解得,A B 的坐标，由两点间的距离公式可得||AB ，由AOB AOF BOF S S S =+△△△可得解. 【详解】依题意得(2,0)F ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，0(2,)P y -， 则110(2,)PA x y y =+-，11(2,)AF x y =--，因为3PA AF =，所以1123(2)x x +=-，解得11x =，所以21188y x ==，不妨设10y >，则1y =(1,A ，又(2,0)F ，所以直线AF的斜率110212y k x -===---所以直线:2)PF y x =--，代入28y x =，得2840320x x -+=，即254x x -+0=，所以(1)(4)0x x --=，因为11x =，所以24x =，2y =-所以(4,B -，所以||9AB ==， 所以AOB AOF BOF S S S =+△△△1211||()222OF y y =-=⨯⨯=故答案为：9；【点睛】本题考查了向量共线问题，考查了直线与抛物线的交点，考查了弦长问题和面积问题，考查了运算求解能力，属于中档题.五、解答题17．已知函数()log (1)(0x a f x a a =->且1)a ≠.（1）求()f x 的定义域；（2）解关于x 的不等式()(1)f x f <.【答案】（1）当1a >时，定义域为(0,)+∞，当01a <<时，定义域为(,0)-∞；（2）(0,1). 【解析】（1）对a 分类讨论，解不等式1x a >可得结果 （2）根据()f x 单调递增，结合定义域可得结果. 【详解】（1）由函数有意义得1x a >， ∴当1a >时，定义域为(0,)+∞ ， 当01a <<时，定义域为(,0)-∞ . （2）∵1x =在定义域内，∴1a > ∴()f x 单调递增，结合定义域可知：()(1)f x f <的解集为(0,1).【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了对数型函数的定义域，考查了对数函数的单调性，属于基础题.18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin()sin()a A C B b B C +-=+． （1）求角B 的大小；（2）已知26a c +=，且a c <，若ABC b 边的长以及ABC 外接圆的半径R ．【答案】（1）3π；（2）b =R =. 【解析】（1）利用正弦定理边化角，根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据三角形的面积列方程可得4ac =，结合26a c +=，且a c <，可解得1,4a c == ，再根据余弦定理和正弦定理可得解.【详解】（1）由正弦定理以及sin()sin()a A C B b B C +-=+得：sin sin(2)sin sin()A B B A ππ-=-∴sin sin2sin sin A B B A =，又sin A 0≠, ∴2sin cos sin B B B =，又sin B 0≠,∴1cos ,2B = 因为0B π<<，所以3B π=.（2）1sin 24ABCSac B ===，∴4ac =， 由26a c +=，联立可得22a c =⎧⎨=⎩或14a c =⎧⎨=⎩∵a c <，∴1,4a c ==根据余弦定理：2222cos 116413b a c ac B =+-=+-=∴b =由2sin b R B=，即12R ==综上：bABC 外接圆的半径R等于3. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，属于基础题. 19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x （元）与销量y （杯）的相关数据如下表：（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，51=4195i ii x y =∑，521=453.75ii x=∑.【答案】（1）ˆ32394yx =-+（2）单价应该定为10元【解析】（1）首先求出x、y ，然后再求出ˆb、ˆa ，即可求解. （2）设定价为x 元，利润函数为()()323948y x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由表中数据，()18.599.51010.59.55x =⨯++++= ()1201101590706090y ++++==， 则12221419559.590ˆ32453.7559.5ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑， ˆˆ90329.5394ay bx =-=+⨯=， 所以y 关于x 的线性相关方程为ˆ32394yx =-+. （2）设定价为x 元，则利润函数为()()323948y x x =-+-， 其中8x ≥，则2326503152y x x =-+-， 所以()65010232x =-≈⨯-（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元. 【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题. 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,112AC BC AA ==,D ,E 分别是棱1CC ,1BB 的中点.（1）证明：1B D ⊥平面11AC E ； （2）求二面角11B A D A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3-. 【解析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理转化为证明111AC B D ⊥且11C E B D ⊥即可得解；（2）以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果. 【详解】（1）由题意知，11A C ⊥平面11BCC B ，1B D ⊂平面11BCC B ，111A C B D ∴⊥.又112AC BC AA ==，D ，E 分别是棱1CC ，1BB 的中点， 11C E B D ∴⊥.又11A C ⊂平面11AC E ，1C E ⊂平面11AC E ，1111AC C E C =，1B D ∴⊥平面11AC E .（2）不妨设1112AC BC AA ===， 如图，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D ，()11,0,2A ，()10,1,2B ， 1(0,1,1)DB =,11(1,1,0)=-A B .设平面11A DB 的法向量为(,,)n x y z =， 则11100n A B x y n DB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得1x =，1z =-，(1,1,1)n .因为y 轴垂直平面1A AD ，所以可取平面1A AD 的法向量为(0,1,0)m =，cos ,||||33m n m n m n ⋅∴<>===⨯. 又二面角11B A D A --显然为钝角， 所以二面角11B A D A --的余弦值为-【点睛】本题考查了直棱柱的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了二面角的向量求法，属于中档题.21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,637S S =-,且23,1,a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n b a =-,求数列{}n b 的前2n 项的和2n T . 【答案】（1）()12n n a -=-（2）2221nn T =-【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据等比数列的性质求解得2q =-,再根据23,1,a a 成等差数列求出首项即可得数列{}n a 的通项公式.(2)分n 为偶数与奇数两种情况去绝对值,再根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,由637S S =-, 即()33456312337S a a a S qa a a S +++=+++=-,得()33317q S S +=-,30S ≠,所以317q +=-,2q =-,由13,1,a a 成等差数列,可得232a a +=,即11242a a -+=,所以11a =, 所以()1112n n n a a q --==-.（2）当n 为偶数时,11210n n a --=--<,当n 为奇数时11210n n a --=-≥,所以()()()()()()212342121111...11n n n T a a a a a a -=---+---++---1234212...n n a a a a a a -=-+-++-223212121222 (2)2112n n n --=+++++==--. 【点睛】本题主要考查了本题主要考查了等比数列性质的运用以及基本量的求解等,同时也考查了分奇偶去绝对值求和的问题.属于中档题.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点A ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM ON OA λ+=，求MON △面积最大时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（2）13y x =-± 【解析】(1)由题意列关于a ,b ,c 的方程组,求解a ,b 的值,则椭圆方程可求; (2)由题意可知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为(0)y kx m m =+≠,1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,联立直线方程与椭圆方程,化为关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系及向量等式可得k 值,写出三角形面积公式,得到关于m 的函数式,整理后利用基本不等式求最值,然后求得MN 的方程. 【详解】(1)由题意得2222233144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2231a b ⎧=⎨=⎩,所以椭圆C 的方程为2213x y +=;(2)由题意可知,直线MN 的斜率显然存在,设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠,()11,M x y ,()22,N x y ,由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330k x kmx m +++-=, ()()()222222364313312310k m k m k m ∆=-+-=+->①所以12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩,所以()121222231m y y k x x m k +=++=+, 因为OM ON OA λ+=,所以12212263122312km x x k m y y k λ⎧+=-=⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩, 所以13k =-,代入①得m <<且0m ≠, 所以121122MON S m x x m =-=△12==223432m m +-=≤=当且仅当22343m m =-,即3m =±时上式取等号,此时符合题意,所以直线MN 的方程为133y x =-±. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,结合了基本不等式求最值,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.。