点到直线的距离 课件

课堂讲义
第三章 直线与方程
(2)由2x－x＋2yy－ ＝50＝0 ， 解得交点 P(2,1)， 过 P 任意作直线 l，设 d 为 A 到 l 的距离， 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)， ∴dmax＝|PA|＝ 10.
课堂讲义
第三章 直线与方程
规律方法 1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直 线有且仅有两条．一定要注意直线斜率是否存在． 2．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图 形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况， 进而可求出这些量的变化范围．
就是该点到直线的距离． (2)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
|Ax0＋By0＋C| d＝_________A_2_＋__B_2 _________.
预习导学
第三章 直线与方程
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的__公__垂__线__段____的长度就是
课堂讲义
第三章 直线与方程
跟踪演练1 若点(a,2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则 a＝________. 答案 5± 2 解析 直线 l：y＝x－3 可变形为 x－y－3＝0. 由点(a,2)到直线 l 的距离为 1，得 |a1－＋2－－13| 2＝1， 解得 a＝5± 2.
课堂讲义
第三章 直线与方程
课堂讲义
第三章 直线与方程
∴|5k＋k21＋－12k|＝3， 解得 k＝43， ∴l 的方程为 y－1＝34(x－2)， 即 4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线 x＝2 也符合题意， 故所求 l 的方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
课堂讲义
第三章 直线与方程

题型一 点到直线的距离 【例1】 （1）求点P（2，－3）到下列直线的距离。
①y＝43x＋13；②3y＝4；③x＝3. (2)求过点 M(－1，2)，且与点 A(2，3)，B(－4，5)距离相等的直线 l 的方程. 解 (1)①y＝43x＋13可化为 4x－3y＋1＝0， 点 P(2，－3)到该直线的距离为|4×2－423＋×（（－－33））2＋1|＝158.
＝0.故|PQ|min＝|－3122＋－432|＝155＝3. 答案 3
[微思考] 点到直线的距离公式对于当A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
提示 仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C＝0，即 y＝－CB，d ＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|， 适合公式.
答案
10 (1) 4
(2)2x－y＋1＝0
规律方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且 b1≠b2 时，d＝ |b1－b2| ；当直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，
k2＋1 l2：Ax＋By＋C2＝0，A，B 不全为 0 且 C1≠C2 时，d＝ |C1－C2| .但必须注意两直线方
（2）过点P（3，4）且斜率不存在时的直线x＝3与A，B两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0。 由已知，得|－2k－12＋＋k42－3k|＝|4k＋21＋＋4k－2 3k|， ∴k＝2 或 k＝－23， ∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0。
由点 A(2，3)与点 B(－4，5)到直线 l 的距离相等，得|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，

•
点P到直线AB的距离公式为：d = |AP ×
AB| / |AB|
计算。
•
假设直线方程为：y = kx + b
•
点P的坐标为(x0, y0)
•
点P到直线AB的距离公式为：d = |kx0 -
y0 + b| / √(k^2 + 1)
向量法的优缺点
优点
在计算点到一条线段的距离时有特别好的效果。
缺点
需要对向量有一定的了解，算法较复杂。
公式法的优缺点
优点
缺点
实战演练
基于数学公式，计算简单方便。
无法适用于计算点和线段间的
我们将演示一个具体的计算过
距离。
程，让你更好地理解公式法。
问题与解答
1
问题2：点到直线的距离有何
用途？
2
点到直线的距离可用于计算线性回归
模型的误差。
3
问题1：什么是点到直线的距
离？
点到直线的距离是点到直线的短路径
长度。
问题3：点到线段的距离应该
怎么计算？
应该使用向量法距离有向量法和公式法两种计算方法。
2
具体应用
无论哪种方法，都可准确地计算出点到直线的距离，并用于线性回归模型的误差计算等
场景。
点到直线的距离
本篇PPT将为大家详细介绍如何计算点到直线的距离。
点到直线的定义
1
数学定义
点到直线的距离是点到直线的短路径长度。
2
实际应用
点到直线的距离可用于计算线性回归模型的误差。
点到直线距离的计算方法
向量法
公式法
首先定义法向量，然后利用点积和向量模计算。
基于直线的解析式和点P的坐标，通过简单公式

.
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q

幸福村与月秀村今年要通天然气了。从哪里与 主管道接通最省材料呢?在下图中画一画。
返回
点到直线的距离
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
1.点到直线的距离是垂直线段最短。 2.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的 长度，叫做这点到这条直线的距离。 3.与两条平行线相互垂直的线段的长度都相等。
返回
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最 请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线a、b是否平行。
平行线间的垂直线段的长度都相等，直线a、b平行。 (正确的画“√”,错误的画“✕”)
短，它的长度叫做这点到直线的距离。 从直线外一点A，到这条直线画几条线段。
点到直线的距离是垂直线段最短。 (1)同一平面内,如果两条直线都与同一条直线垂直,那么它们互相平行。
课后作业
在a上任选几个点，分别向b画垂直的线段。 从直线外一点A，到这条直线画几条线段。 幸福村与月秀村今年要通天然气了。 平行线间的垂直线段的长度都相等，直线a、b平行。 沿着A点到对面马路垂直线段走。 下图中,游泳运动员如果从南岸游到北岸,怎样游路线最短?为什么?把最短的路线画出来。
1.从教材课后习题中选取； 从直线外一点A，到这条直线画几条线段。
返回
垂线段
右图中，小明如果从A点过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路线画出来。
在a上任选几个点，分别向b画垂直的线段。
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线a、b是否平行。
从哪里与主管道接通最省材料呢?在下图中画一画。
返回
点到直线的距离
小明要去河边，怎么走最近？
从小明所在的位置向河边作垂线。
返回
从直线外一点A，到这条直线画几条线段。

A
D
C
B
A
BC AC ，垂足为点C，
所以线段BC的长表示点B到直线AC 的距离.
●
CB
例题
说说线段AD、BD、CD的长表
A
示哪一点到哪条直线的距离吗？
A
D
C
B
D
C
B
ADAD到，⊥直线C线段D判的CA，DD断距垂的的某离足距长条，为离是关线点.点键段在的BDB于长D到，找是⊥直线到哪C线段D垂一CB，线点DD垂的的段到足CDC距长.哪D到，为离是条⊥直线点.点直A线段B线A，CBD垂的的足距长为离是点.点
操作：过点A作直线l的垂线，垂足为A1.
A
●
A1
l
线段AA1叫点A到直线l的垂线段. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做这个点到直线的距离.
例题
指出图中线段AC的长表示哪个点到哪条直线的距离.
A
●A
AC BC，垂足为点C，
所以线段AC的长表示点A到直线
D
BC的距离.
C
BC B
例题
指出图中线段BC的长表示哪个点到哪条直线的距离.
课堂练习
练习：如图，根据图形回答问题. (1)点B到直线AC的距离是线段__A__B__的长度； (2)点C到直线AD的距离是线段__C_D___的长度；
ABBiblioteka DC

点P 直线l
0
No Image
No Image
x
合作探究
问题2： 已知任意点 P x0, y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点P 到直线 l 的距离？
yl
么？
点到直线的距离定义是什
Q
如何求 PQ 的长度 ？
如何求点Q 的坐标呢 ？
O
x
如何求垂线 PQ 的方程?
d = PQ x x0 2 y y0 2
AC
x0
= B2x0 ABy0 AC ( A2x0 B2x0 ) A2 B2
= A Ax0 By0 C
A2 B2
y
y0
A2 y0
ABx0 A2 B2
BC
y0
A2 y0
ABx0
BC (A2 y0 A2 B2
B2 y0 )
B
Ax0 A2
By0 B2
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.
(2) 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰
的距离之和等于一腰上的高.
(3) 求经过点 P 3，5 ,且与原点距离等于3的直线 l的方程.
(4) 已知直线过点 P 3，4且与点 A 2，2 ，B 4，-2等距离，
则直线 l的方程为.
(5) 直线 3x-4y-27=0上到点 P 2，1 距离最近的点的坐标
By0 B2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
=
A( Ax0 By0 （A２+B２）
C
)
2
B
Ax0 By0

a
b
a 量一量,你发觉了什么 ?
b 端点分别在两条平行上，且与平行线 垂直旳全部线段旳长度都相等
4.从学校到公路，怎样走近来？你能画出来吗？
新城中学
公路
新城小学
3. 要从幸福镇修一条通往公路旳水泥 路。
怎样修路近来呢？
小兔家对面有条河，它想在河上修一 座桥，桥修在哪个位置离它家近来呢？
小兔家
三、巩固练习
1.右图中，小明假如从A点过马 路，怎样走路线最短？为何？ 把最短旳路线画出来。
下图中，a//b。在直线a上任选几种点，分别向 直线b画垂直旳线段。量一量这些线段旳长度， 你发觉了什么？
一、回忆旧知
下面各组直线，哪组相互平行？哪组相互垂直？
(1)
(2)
(4)
(5)
(3) (6)
过直线外一点画这条 直线旳垂线
一.线边重叠 二.平移靠点 三. 画线
人教版四年级上册数学
点到直线旳距离
大青虫家门前有条大路，它要到路上去， 怎么走近来呢?
公路
从直线外一点到这条直线所画旳垂直线段
，最短 ，它旳长度叫做 这点到直线旳距离。

a
b
返回
点到直线的距离
下图中，a∥b。在a上任选几个点，分别向b画垂
直的线段。 a
与两条平行线互相
垂直的线段的长度 都__相__等____。
b
返回
点到直线的距离
下图中，a∥b。在a上任选几个点，分别向b画垂 直的线段。
a
b
返回
点到直线的距离
课堂练习
右图中，小明如果从A点
过马路，怎样走路线最 短？为什么？把最短的 路线画出来。
垂线段
返回
点到直线的距离
小明要去河边，怎么走最近？
从小明所在的位置向河边作垂线。
返回
点到直线的距离
“西气东输”是国家“十五”重点工程。康庄村和娄营村分 别要铺一条管道与输气管道相连接，怎样铺管道成本最低？ 在图中画出来。
返回
点到直线的距离
1.老师引导学生归纳本课知识点。 2.师生共同反思学习心得。
沿着A点到对面马路 垂直线段走。
返回
点到直线的距离
请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线a、b是否平行。
平行线间的垂直线段的长度都相等，直线a、b平行。
返回
点到直线的距离
判断题。(正确的画“√”,错Байду номын сангаас的画“✕”) (1)同一平面内,如果两条直线都与同一条直线垂直,那
么它们互相平行。 ( √ ) (2)两条平行线间的线段长度都相等。( × )
人教版 数学 四年级 上册
5 平行四边形和梯形
点到直线的距离
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
点到直线的距离
课前导入
过直线外一点怎样画垂线呢？
1.边线重合。 2.平移到点。 3.画线标号。

小康家
菜地
小河
两点条不同的线段，量一量， 你能发现什么？
01
A
02
小明家
∟
●
小明家
∟
A
从直线外一点到这条直线所画的垂直线
段最短，它的长度叫做点到直线的距离
我明白了
大显身手
1.从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短， 它的长度叫做（ ）
2.什么是平行线？
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一 条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
3.什么是垂线、垂足？
贰
壹
叁
温故知新：
A
B
C
修建隧道可以更快的通过。
修建隧道可以方便的通过。
修建隧道可以不绕路。
为什么要修建隧道呢？
为什么要修隧道呢？
1
你发现了什么？
2
小康家 小河 菜地
两点之间的距离及点到直线的距离
BRAND PLANING
三唐乡中心小学 邹志勇
线段与射线都是直线的一部分。线段有两个端点，不能延伸； 射线有一个端点可以向没有端点的一端无限延伸；直线没有 端点，可以向两端无限延伸。
1.直线、线段、射线的联系和区别？
在同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直 线是另一条直线的平行线。
2.
小明家
小华家
垂直线段
点到直线的距离
●
A
B
B A
3.在同一平面内，与一条直线相距4厘米的直线
有（ ）条？ A.1 B.2 C.无数条
4.在两条平行线之间有4条垂直线段，它们之间
的关系是（ ）。 A.长度相等 B.长度不相等 C.无法比较长度
A
A

2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
例:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的 ABC面积
y
A
h
C O
B
x
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
y
R Q
O
P(x0,y0)
S
x
L:Ax+By+C=0
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+| A2 B2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
x=x1 PQ = x0 - x1
练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是__3____.

与微积分知识的联系
微积分基本定理
极限思想
在地图绘制中的应用
总结词：精确测量
详细描述：在地图绘制中，两点之间的距离和点到直线的距离是关键参数。通过 使用距离公式，可以精确测量地理坐标之间的距离，为地图绘制提供准确的数据 支持。
在建筑设计中的应用
总结词
优化设计方案
详细描述
在建筑设计中，设计师需要精确计算两点之间的距离和点到直线的距离，以优化设计方案。例如，确定建筑物的 尺寸、位置和布局等，以确保建筑物的安全性和功能性。
在机器人路径规划中的应用
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
两点之间的距离和点到直线的距离 课件
• 距离公式与其他数学知识的联系 • 距离公式在实际问题中的应用案
定义 01 02
计算公式
这个公式可以用来计算二维平面中任 意两点之间的距离。
举例说明
定义
定义 几何意义
计算公式
公式 推导过程
举例说明
例子
求点 (2,3) 到直线 3x - 4y + 1 = 0 的距离。
解法
将点的坐标代入公式，得到 d = |3*2 - 4*3 + 1| / sqrt(3² + (-4)²) = |6 - 12 + 1| / sqrt(9 + 16) = |-5| / sqrt(25) = 1。
在几何学中的应用
两点间的距离公式
点到直线的距离公式
在物理学中的应用
质点间距离
电场强 度
在静电场中，点电荷到场源电荷的距 离可以通过库仑定律来计算，公式为： E = k*q1*q2 / r^2。
在日常生活中的应用
交通距离 建筑测量

∴直线 l 的方程为 2x-y+1=0.
讲
课
人
：
邢
启
强
23
典例解析
例2．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，
如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？
解析：如图，显然有 0<d≤|AB|.
而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10.
邢
启
强
13
典型例题
求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程
解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,
得kx-y+3k+5=0.
|3+5|
所以原点到该直线的距离d= 2 =3.
+1
8
8
所以15k+8=0.所以k=- .故所求直线方程为y-5=- (x+3),
若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.
(4)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
讲
课
人
：
邢
启
强
8
典型例题
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求△ABC的面积
y
解：设AB边上的高为h
A
| AB | (3 1) (1 3) 2 2
2
k AB
2
14
巩固练习
1.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
直线l的方程为_____________________________.

点到直线距离公式的几何意义点到直线距离公式的扩展点到直线距离公式的练习与习题总结与回顾
01
CHAPTER
引言
几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间中形状、大小和关系的问题。
点到直线的距离公式是几何学中的一个基本概念，它描述了点到直线最近的点的距离。
02
详细描述：基础练习题主要针对点到直线距离公式的理解和应用，包括给定点和直线，求点到直线的距离等基础题目。
03
总结词：公式应用
04
详细描述：通过基础练习题，学生可以掌握点到直线距离公式的应用，学会将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力。
02
01
04
03
总结词：变形公式
详细描述：进阶练习题注重公式的综合应用，题目涉及的知识点较多，需要学生具备较强的数学思维和综合能力。
公式符号
公式定义
推导过程
点到直线的距离公式是通过利用向量叉积的性质和点到直线距离的几何意义推导得出的。
关键步骤
首先，将直线方程转化为参数方程形式，然后利用向量叉积的性质计算出点P到直线上的向量与直线的法向量的点积，最后通过几何意义得出点到直线的距离公式。
应用场景
点到直线的距离公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
具体应用举例
在解析几何中，可以用来计算点到直线的最短距离；在物理学中，可以用来计算点到直线的力场强度；在工程学中，可以用来计算点到直线的障碍物距离等。
03
CHAPTER
点到直线距离公式的几何意义
在二维平面内，直线是由无数个点组成的，这些点满足某个固定条件（如两点确定一条直线）。
直线
点
距离
在几何学中，点被视为最基本的图形元素，代表一个位置。