函数奇偶性的判断

函数的奇偶性的判断和证明一、函数的奇偶性的定义对于函数 f(x) ，其定义域 D 关于原点对称，如果 x D,恒有 f( x) f ( x) ，那么函数 f(x)为奇函数；如果 x D,恒有 f( x) f (x) ，那么函数 f (x)为偶函数 . 二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有f(0) 0.三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法 .1 、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果 函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f( x)和 f (x)的关系，如果有 f( x)=f (x)， 则函数是偶函数，如果有 f ( x) 2、和差判别法=- f (x) ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 .对于函数定义域内的任意一个x ，若f( x) f(x) 0，则 f(x) 是奇函数；若f(x) f ( x)0 ，则 f (x) 是偶函数 .3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个 x ，设 f ( x) 0，若f (x)1，则 f(x) 是奇函数，f (x) 1，则 f(x)f( x)f ( x)是偶函数解题步骤首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非 偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 f( x) ；最后比较 f ( x) 和 f(x)的关 系，如果有 f( x)= f (x) ，则函数是偶函数，如果有 f( x)=- f ( x) ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数 .例 1】判断下列函数的奇偶性②令 x 0，则 f (y) f( y) 2f (0) f (y)2) f (x)2lg(1 x 2) x22点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则 函数是非奇非偶函数 . (2) 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件 . (3)函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式 .第 2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简 .例 2】定义在实数集上的函数f (x) ，对任意 x 、y R ，有 f(x y) f(x y) 2f (x) f(y)且 f (0) 0①证： f (0) 1 ②求证： y f (x)是偶函数解析】证明：①令 x y 0，则 f (0) f (0) 2[ f (0)] 2f (0) 0 ∴ f(0) 1∴ f ( y) f (y)1) f (x) (1 x)1x 1x∴ y f (x) 是偶函数【点评】 对于抽象函数的奇偶性的判断， 和具体函数的判断方法一样， 不同的是， 由于它是抽象函数， 所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如 0、-1、1等. 学科 * 网【例 3】判断函数f (x)x x (x 0)的奇偶性x 2x (x 0)【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函 数，所以要分类讨论 . (2)注意，当 x 0时，求 f ( x) 要代入下面的解析式，因为 x 0, 不是还代入上 面一段的解析式 .1)证明函数 f (x)是奇函数；(2)讨论函数 f(x)在区间 [ 1,1]上的单调性；3)设 f(1) 1 ，若 f (x) m 22am 1，对所有 x [ 1,1]， a [ 1,1]恒成立，求实数 m 的取值范 围.反馈检测 1】已知 f(x)2x 1 2x 11)判断 f(x) 的奇偶性； 2)求 f(x) 的值域．反馈检测 2】已知函数 f (x) 定义域为 [ 1,1] ，若对于任意的 x,y [ 1,1]，都有f (x y) f(x)f (y)，且 x 0时，有 f (x) 0.例 4】判断函数 f(x) lg(x x 1) 的奇偶性 .【点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差 判别法可以化繁为简，简捷高效 .【反馈检测 3】已知函数 f(x) log a x 2(a 0且a 1).ax 2(1)求 f (x)的定义域； (2)判定 f (x)的奇偶性；3)是否存在实数 a ，使得 f (x)的定义域为 [ m,n ]时，值域为 [log an数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由xx例 5】判断函数 g(x)x xx的奇偶性 .2x1 2x x x 0，所以 g( x) g(x) ，所以g(x)是偶函数 .点评】 和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用和差判别法可以化繁为简，简洁高效1, log a m 1] ？若存在，求出实解析】由题得 x 0 ，因为 g( x) g(x)xx2 x 1 2 xx 2x 1 2x(2x 1)2x 1a1例 6】 证明函数 f (x) x (a 0， a 1)是奇函数 .ax 1【点评】 作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式， 判别法可以化繁为简，简捷高效 .参考答案反馈检测 1答案】(1)奇函数；(2){y| 1 y 1} ．但是利用定义判断， 计算较为复杂， 利用作商奇函数；( 2)单调递增函数；( 3)m 2或 m 2.令x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) ，所以 f (0) 0 ， 令y x 可得：f (0) f (x) f( x) 0, 所以 f ( x)f (x) ，所以 f (x)为奇函数(2)f (x) 是定义在 ［1,1］上的奇函数，由题意设 1 x 1x 2 1，则f(x 2) f (x 1) f (x 2) f ( x 1) f (x 2 x 1)由题意x 0时，有 f(x) 0， f(x 2) f (x 1)反馈检测 2 详细解析】 1)因为有 f (x y) f (x) f(y) ， f (x) 是在 ［ 1,1］上为单调递增函数；反馈检测 2 答案】( 1)3)因为 f (x)在 ［ 1,1］上为单调递增函数，所以 f (x)在［ 1,1］上的最大值为 f (1) 1，2所以要使 f (x) <m 22am 1，对所有x [ 1,1],a [ 1,1] 恒成立，22只要 m 2 2am 1 1 ，即 m 2 2am0，22令 g(a) m 2am 2am m2 由g( 1) 0 得2m m 2 g(1) 0 2mm 2m 2或 m 2.反馈检测 3 答案】(1)定义域为 (2) (2, )；(2)f (x) 在定义域上为奇函数； ( 3)a (0,3 2 2)2) .x2即m、n是方程log a log a x 1的两个实根，于是问题转化成关于x的方程x22ax2 (2a 1)x 2 0在(2, ) 上有两个不同的实数解令g(x)ax2(2a1)x2, 则有：322 3 2 2(2a1)28a0a或a222a 11 3 2 2 2a0 a 又0 a 1 2a62g(2) 8a 0a0故存在这样的实数a(0,3222) 符合题意.2。

函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。

函数的奇偶性对于函数图像的对称性有着重要的影响，因此掌握函数奇偶性的判断方法对于理解函数的性质至关重要。

本文将介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们需要了解函数的奇偶性的定义。

一个函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。

也就是说，偶函数具有轴对称性，而奇函数具有中心对称性。

接下来，我们来介绍如何判断一个函数的奇偶性。

对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过以下几种方法来判断它的奇偶性：1. 代数判断法。

对于一个函数f(x)，我们可以将其展开成幂函数的形式，然后通过代数运算来判断它的奇偶性。

具体来说，如果一个函数可以写成f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ的形式，那么我们只需要判断a₁、a₃、a₅...这些奇次幂的系数是否为0，以及a₀、a₂、a₄...这些偶次幂的系数是否为0，就可以得出函数的奇偶性。

2. 函数图像判断法。

我们知道，奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。

因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它的奇偶性。

如果函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

3. 导数判断法。

对于一个函数f(x)，如果它是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数；如果它是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数。

因此，我们可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。

通过以上方法，我们可以比较准确地判断一个函数的奇偶性。

在实际应用中，我们经常会遇到需要判断函数奇偶性的情况，比如在求函数的积分、解方程等问题中，掌握函数奇偶性的判断方法可以帮助我们更好地解决问题。

奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。

这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。

另外，还可以通过函数的定义来判断。

奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。

此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。

如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。

综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

判断奇函数偶函数的方法一、奇函数偶函数的基本概念1.1 奇函数呢，就像是一个调皮捣蛋的小顽童，有着独特的性质。

对于函数f(x)，如果满足f(-x)= -f(x)，那这个函数就是奇函数。

简单来说，就好比你把x换成 -x的时候，函数值就变成原来的相反数了。

比如说y = x这个函数，当x = 2时，y = 2；当x = -2时，y = -2，完全符合奇函数的定义。

这就像照镜子，镜子里的像和自己是相反的，奇函数在关于原点对称的点上的函数值也是相反的。

1.2 偶函数就不一样啦，它像是一个规规矩矩的乖孩子。

对于函数f(x)，要是满足f(-x)=f(x)，那这个函数就是偶函数。

例如y = x²这个函数，当x = 2时，y = 4；当x = -2时，y还是4呢。

这就好比不管你从左边看还是右边看，它都是一个样，偶函数关于y轴对称，在关于y轴对称的点上函数值是相等的。

二、判断方法2.1 首先看函数表达式。

如果函数表达式里只有x的奇次幂，那这个函数很可能是奇函数。

像y = x³，这里面x是三次幂，是奇次幂，按照咱们前面说的定义去验证一下，f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，果不其然是奇函数。

要是函数表达式里只有x的偶次幂，那这个函数大概率是偶函数。

例如y = x⁴，f(-x)=(-x)⁴=x⁴=f(x)，就是偶函数。

这就像是看一个人的穿着打扮，从外表大概能判断出他的性格一样。

2.2 然后呢，可以通过图像来判断。

奇函数的图像关于原点对称，就像一个旋转180度之后还和原来重合的图案。

比如说y = sinx这个函数的图像，你把它绕着原点转180度，会发现和原来的图像一模一样，这就是奇函数图像的特点。

偶函数的图像关于y轴对称，就像左右两边是完全对称的。

像y = cosx的图像，以y轴为对称轴，两边是对称的，这就是偶函数图像的特征。

这图像啊，就像是函数的一张脸，从脸上就能看出它是奇函数还是偶函数。

精品二轮第07讲：函数的奇偶性的判断和证明【知识要点】一、函数的奇偶性的定义对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数.二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称；2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；4、 奇函数在原点有定义时，必有(0)0f =.三、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法.1、定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2、和差判别法对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，()1()f x f x =-，则()f x 是偶函数.【方法讲评】【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1)()22x f x x -=--【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =⋅且(0)0f ≠①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数【例3】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性【反馈检测1】已知1212)(+-=x x x f （1）判断)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的值域．【反馈检测2】已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.（1）证明函数()f x 是奇函数；（2）讨论函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性；（3）设(1)1f =，若2()21f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【例4】判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性.【反馈检测3】已知函数)10(22log )(≠>+-=a a x x x f a 且. （1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【例5】判断函数2x 12x )x (g x +-=的奇偶性.【例6】 证明函数)1a 0a (1a 1a )x (f x x ≠>-+=，是奇函数.精品二轮第07讲：函数的奇偶性的判断和证明参考答案【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）}11|{<<-y y ．【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）2m <-或2m >.【反馈检测2详细解析】（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，令y x =-可得：(0)()()0,f f x f x =+-= 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.（2）)(x f 是定义在[1,1]-上的奇函数，由题意设1211x x -≤<≤，则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-由题意0x >时，有()0f x >，21()()f x f x ∴>()f x ∴是在[1,1]-上为单调递增函数；（3）因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为1)1(=f ，所以要使()f x <221m am -+，对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，只要2211m am -+>，即220m am ->，令22()22g a m am am m =-=-+由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩ 得222020m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩，2m ∴<-或2m >. 【反馈检测3答案】（1）定义域为),2()2,(+∞⋃--∞；（2）)(x f 在定义域上为奇函数；（3）)2223,0(-∈a . 即m n 、是方程1log 22log +=+-x x x a a 的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程 ),2(02)12(2+∞=+-+在x a ax 上有两个不同的实数解.令 ,2)12()(2+-+=x a ax x g 则有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>-->--=∆08)2(221208)12(2a g a a a a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-<+>⇒06122232223a a a a 或22230-<<∴a 10<<a 又 故存在这样的实数)2223,0(-∈a 符合题意.。

判断函数奇偶性的方法
⑴定义域法
求出函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则要用下面方法继续判别。

⑵解析法
利用函数解析式，根据奇偶性的定义确定函数奇偶性的方法。

⑶图像法
利用图像的对称性确定函数奇偶性的方法。

⑷运算法
利用已知函数的奇偶性，确定它们的和、差、积、商型函数的奇偶性。

注意：一般来说，函数的奇偶性有四种情况，一个函数不可能有两种奇偶性。

但函数Y=0是特殊情况，它既是奇函数、又是偶函数，这点要特别考虑。

1 / 1。

函数奇偶性的判断方法在学习函数的性质时，我们经常会遇到函数的奇偶性判断问题。

那么，什么是函数的奇偶性呢？如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？本文将详细介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来了解一下函数的奇偶性的概念。

一个函数的奇偶性是指该函数图象关于原点对称的性质。

具体来说，如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，那么我们称该函数为偶函数；如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，那么我们称该函数为奇函数。

接下来，我们将介绍如何判断一个函数的奇偶性。

首先，我们可以利用函数的解析式来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它的解析式中只包含偶次幂的项（如x^2, x^4,等），那么该函数就是偶函数；如果它的解析式中只包含奇次幂的项（如x, x^3,等），那么该函数就是奇函数；如果它的解析式中即包含偶次幂的项，又包含奇次幂的项，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。

其次，我们可以利用函数的图象来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它的图象关于y轴对称，那么该函数是偶函数；如果它的图象关于原点对称，那么该函数是奇函数；如果它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。

除此之外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它满足函数的奇偶性质，那么我们可以利用函数的性质来进行判断。

例如，对于偶函数，我们有f(x)+f(-x)=0；对于奇函数，我们有f(x)-f(-x)=0。

总之，函数的奇偶性判断方法主要有三种，利用函数的解析式、利用函数的图象、利用函数的性质。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个函数的奇偶性。

在实际问题中，我们经常需要根据函数的奇偶性来简化问题的求解过程，因此掌握这一知识点对于我们的学习和工作都是非常重要的。

希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这一知识点，提高问题的解决效率。

函数的奇偶性口诀函数奇偶性的判断口诀：内偶则偶，内奇同外。

验证奇偶性的前提：要求函数的定义域必须关于原点对称。

判定奇偶性四法（1）定义法用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。

首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。

其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

（2）用必要条件具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

（3）用对称性若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

（4）用函数运算如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数。

简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。

函数奇偶性性质1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数），偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数），奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

若g(x）是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。

若g(x）是奇函数且f（x）是奇函数，则F[x]是奇函数。

若g(x）是奇函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。

判断奇偶性的步骤
1、用定义来判断函数奇偶性。

首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。

其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

奇函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=-f（-x）。

偶函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=f（-x）。

2、具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

3、用对称性。

若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

4、用函数运算。

如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数。

如：“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

怎么判断奇偶函数
按定义来说：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足f(x)=f(-x)。

所以,一般来说判断一个函数是奇函数还是偶函数必须要将定义域中的的所有数带入,这肯定不可能的。

那么我们可以先看看定义域,奇偶函数的定义域必须是对称的,一个函数的定义域若不是对称的,那么就不用判断了,肯定不是.这个基本一看就能看出。

定义域对称,这时候要判断奇偶性,首先是利用公式,若能推出
f(x)=f(-x)或者f(x)=-f(-x),那么就可以判定了.所以若是有表达式,一般是将-x带入。

还有可以看图像,看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y 轴对称（此为偶函数）。

若以上两种都没有判断出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函数了.不过考虑有的函数表达式复杂,f(x)=f(-x)或者f(x)=-f(-x)难以推断,我们也可以将之分解,化成几个函数相加减或乘除的形式,然后根据各自的奇偶性再判断.当然这时要记住奇函数、偶函数相加减或乘除之后的奇偶变化。