函数的奇偶性的经典总结

文件编号：E2-D2-52-64-04函数奇偶性经典总结整理人尼克函数的奇偶性(一)22120608卢立娇教学目标1.理解函数的奇偶性的概念及其图像性质，会用定义域判断函数的奇偶性。

2.提高观察、归纳、类比推理的能力，体会数形结合的思想。

3.养成乐于求索，善于观察的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点1.重点：理解函数奇偶性概念的形成和奇偶性的判断。

2.难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判别函数奇偶性的方法。

教学过程1.知识回顾平面直角坐标系中任意一点P(a,b)关于x轴、y轴及原点对称的点的坐标各是什么？1.点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为P (a,-b)o其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数。

2.点P (a,b)关于y轴的对称点的坐标为P (-a,b),其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数。

3.点P (a,b)关于原点对称点坐标为P (-a,-b),其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数。

1.新课讲解提问：函数图像有什么特点？当自变量x取相反数时，函数值有什么特点？2. 引出概念偶函数：若对于f(x)定义域中任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。

奇函数：若对于f(x)定义域中任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数。

思考：对于任意一个x,都有一个-x 与之对应，因此奇函数的定义域有什么特征呢？1.例题练讲 1. 判断下列函数是否具有奇偶性① f(x)=x 3+4xf(x)=x 2 + 2\x\②③ f(x)=l®f(x)=O2. 下列函数有奇偶性吗？/(%) = y/1-x +心=整f ⑴=(XT)席®f x ・3, x>00,x=02x+3 ,x<0 1. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x<0时，f(x)=x.x4,求当x<0时，函数的解析式. 1.总结 1.根据函数的奇偶性，函数可以分为奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数。

函数的奇偶性1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=03.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。

函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。

常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。

2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。

常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。

3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。

若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。

4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。

通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。

在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。

注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。

在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。

总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。

函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1) 奇函数关于(0，0)对称，奇函数有关系式 f (x )+ f (-x )=0(2) 偶函数关于y(即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f (-x )= f (x )2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性1)函数的轴对称：函数y = f (x )关于x =a 对称 f (a +x )= f (a -x )f (a + x ) = f (a - x ) 也可以写成 f ( x ) = f (2a - x ) 或 f (- x ) = f (2a + x )若写成： f (a + x ) = f (b - x ) ， 则 函 数 y = f ( x ) 关于直线证明：设点(x 1, y 1) 在 y = f (x ) 上，通过f (x ) = f (2a - x ) 可知， y 1 = f (x 1)= f (2a- x 1) ，即点(2a - x 1, y 1)也在y = f (x )上，而点 (x 1, y 1)与点(2a - x 1, y 1)关于x=a 对称。

得证。

说明：关于x = a 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。

∵(a +x 1,y 1)与(a -x 1,y 1) 关于x = a 对称，∴函数y = f (x )关于x =a 对称f ( a + x ) = f (a - x )∵(x 1,y 1)与(2a -x 1,y 1)关于x =a 对称，∴函数 y = f (x )关于x =a 对称f ( x ) = f (2a - x )∵ (- x 1, y 1)与(2a + x 1, y 1)关于x = a 对称，∴函数y = f (x )关于x =a 对称f (- x ) = f (2a + x )2)函数的点对称：函数 y = f (x )关于点(a ,b )对称 f (a +x )+ f (a -x ) =2b 上述关系也可以写成f (2a + x ) + f (- x ) = 2b 或 f (2a - x ) + f ( x ) = 2b若写成： f (a +x )+ f (b -x )=c ，函数y = f (x )关于点(a +b ,c ) 对称证明：设点(x 1, y 1)在y = f (x )上，即y 1 = f (x 1)，通过f (2a -x )+f (x )=2b 可知， f (2a -x = (a + x ) + (b - x ) 2 a +b 2 对称x1)+ f(x1)=2b，所以f(2a-x1)=2b- f(x1)=2b- y1，所以点(2a-x1,2b-y1)也在y= f (x)上，而点(2a - x1,2b - y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称得证。

函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数和都是偶函数;()0)(2≠=a ax x f ()0)(2≠+=a c ax x f （2）正比例函数和反比例函数都是奇函数. ()0)(≠=k kx x f ()0)(≠=k xkx f 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的的任意性,如果函数的定义域中存在,有,或x )(x f 0x )()(00x f x f ≠-,则函数不是偶函数或奇函数.)()(00x f x f -≠-)(x f （2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. )(x f 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数是偶函数,则,若,则还有;如果)(x f 0)()(=--x f x f 0)(≠x f 1)()(=-x f x f 函数是奇函数,则,若,则还有. )(x f 0)()(=+-x f x f 0)(≠x f 1)()(-=-x f x f （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即,D ,且D 关于原点对称. 0)(=x f ∈x （6）偶函数的图象关于轴对称,反过来,图象关于轴对称的函数是偶函数;奇函数的图y y 象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数是偶函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上,点与点关于轴对称;())(,a f a -)(x f ())(,a f a ())(,a f a -y 若函数是奇函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上.点与点关于原点对称.())(,a f a --)(x f ())(,a f a ())(,a f a --★（8）如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a （9）特别说明,若函数是偶函数,则有. )(x f ()x f x f x f ==-)()(偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函y 数的图象关于轴对称,则这个函数是偶函数.y 下面分别是函数和函数的图象,它们都是偶函数.4x y =1+=x y奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数和对勾函数的图象,它们都是奇函数. x y 2=xx y 4+=知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出,然后根据与的关系,确定函数的奇偶性;)(x f -)(x f -)(x f ①若,或,或（）,则函数是偶)()(x f x f =-0)()(=--x f x f 1)()(=-x f x f 0)(≠x f )(x f 函数;②若,或,或（）,则函数是)()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f )(x f 奇函数;③若,则函数是非奇非偶函数.)()(x f x f ±≠-)(x f 说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数,有a （或）即可.(见后面的相关例题))()(a f a f ≠-)()(a f a f -≠-图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于y 原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇奇奇; 偶偶偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） +=+=奇奇偶; 偶偶偶; 奇偶奇. ⨯=⨯=⨯=知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称; y （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数是奇函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果)(x f )(x f 函数是偶函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为)(x f )(x f “奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数,若为偶函数,则为偶函数;若为奇函数,则())(x g f )(x g ())(x g f )(x g 的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.())(x g f )(x f ())(x g f题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）; （2）; （3）.1)(23--=x x x x f x x x f 1)(-=22)(+--=x x x f 分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数的定义域为,不关于原点对称,所以该1)(23--=x x x x f ()()+∞∞-,11, 函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为,关于原点对称. xx x f 1)(-=()()+∞∞-,00, ∵ )(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=-∴该函数是奇函数;（3）函数的定义域为R ,关于原点对称.22)(+--=x x x f ∵ ()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=-∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数（R ）的奇偶性. xax x f +=2)(∈a 分析:该函数的解析式里面含有参数,当参数影响到判断与的关系时,要a )(x f -)(x f 对参数进行分类讨论.x当时, 0=a 2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴为偶函数; )(x f 当时,,且. 0≠a ())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-xa x x f x f --=-≠-2)()(∴函数是非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. 0=a )(x f 0≠a )(x f 例3. 已知函数,R ,为实数,判断的奇偶性. 1)(2+-+=a x x x f ∈x a )(x f 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到与的关系,必要时要对参数进行分类讨论.)(x f -)(x f 在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个,使或a )()(a f a f ≠-,则函数就不是偶函数或减函数. )()(a f a f -≠-)(x f 解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 当时,. 0=a 11)(22++=+-+=x x a x x x f ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数为偶函数;)(x f 当时,∵, 0≠a 1)(2+=a a f 12)(2++=-a a a f ∴,且 )()(a f a f ≠-1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数为非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时, 函数既不是奇函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是偶函数.例4. 已知函数,其中为实数,判断函数的奇偶性. xax x f 1)(2+=a )(x fx当时,,函数为奇函数; 0=a xx f 1)(=)(x f 当时,∵ 0≠a ()xax x x a x f 11)(22-=-+-=-∴,且 )()(x f x f ≠-)()(x f x f -≠-∴函数既不是偶函数,也不是奇函数.)(x f 综上所述,当时, 函数为奇函数;当时,函数既不是偶函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是奇函数. 例5. 判断函数的奇偶性.1111)(22+++-++=x x x x x f 分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究与)(x f -的关系时会比较困难,我们可以研究与的和、差、商,来进行奇偶)(x f )(x f -)(x f 性的判断.解:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 解法二:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 当时,;当时,0=x 0)(=x f 0≠x 0)(≠x f∵ ()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f 1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 注意:的前提是. 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有或成立,而不能只验证一段解析式. )()(x f x f =-)(-)(x f x f =- 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.x x -总结 若,则,把代入上的解析式即可得到.[]b a x ,∈[]a b x --∈-,x -[]a b --,)(x f -例6. 判断函数的奇偶性.()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 解:由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时,0>x 0<-x ∴; ())(1)(x f x x x f -=+-=-当时,0<x 0>-x ∴. ())(1)(x f x x x f -=--=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 例7. 函数,则【 】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f )(x f （A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断解:由题意可知函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时, 0>x 0<-x ∴; ())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-当时, 0<x 0>-x ∴. ())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-综上所述,函数是奇函数.选择【 A 】.)(x f 方法二:（图象法）,函数的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.)(x f例8. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,0>x 0<-x ∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数是奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∴ ()x x x x mx x 22222-=+--=-∴.2=m 题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有.)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f b a f +=+求证:为奇函数.)(x f 分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断与的关系即)(x f -)(x f 可.考虑到,所以我们可以先求出的值. 0=+-x x )0(f 证明:由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令0==b a ∵对于任意实数,都有 b a ,)()()(b f a f b a f +=+∴ )0()0()00(f f f +=+∴0)0(=f 令,则 x b x a =-=,0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例10. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有:)(x f ∈x 21,x x .()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++求证:为偶函数.)(x f 证明: 由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有0,21==x x x ① )0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+令,则有:x x x ==21,0② )()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴ )()(x f x f =-∴函数为偶函数.)(x f例11. 已知是定义在上的函数,且满足对任意,都有)(x f ()2,2-()2,2,-∈y x .)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=（1）求的值;)0(f （2）判断的奇偶性并证明. )(x f （1）解:令0==y x ∵对任意,都有()2,2,-∈y x )(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴; ()0)0(0)0(=-=f f f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知,函数的定义域关于原点对称. )(x f ()2,2-令,则有 x y -=)(0)()0()(x f x f f x f --=--=∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例12. 已知对一切都成立,且,试判断)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++y x ,0)0(≠f 的奇偶性.)(x f 解:由题意可知函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 令,则有 0==y x )0()0(2)0()0(f f f f =+∴, )0(2)0(22f f =()01)0()0(=-f f ∵,∴0)0(≠f 1)0(=f 令,则有 0=x )()0(2)()(y f f y f y f =-+∴ )(2)()(y f y f y f =-+∴)()(y f y f =-∴函数为偶函数.)(x f 注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意R ,都满足)(x f b a ,∈. )()()(a bf b af ab f +=（1）求,的值;)0(f )1(f （2）判断的奇偶性,并证明你的结论.)(x f （1）解:令,则. 0==b a 0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f 令,则,∴; 1==b a )1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=0)1(=f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f 令,则有 1,-==b x a )()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=-∴函数为奇函数.)(x f 例14. 若函数的定义域是R ,且对任意R 都有成)(x f ∈y x ,)()()(y f x f y x f +=+立.（1）试判断的奇偶性;)(x f （2）若,求的值.4)8(=f ⎪⎭⎫⎝⎛-21f 解:（1）∵函数的定义域是R )(x f ∴其定义域关于原点对称.令,则有 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=∴0)0(=f令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数;)(x f （2）令,则有 y x =)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴ 2)2()(x f x f =∵ 4)8(=f ∴,,, 2242)8()4(===f f 1222)4()2(===f f 212)2()1(==f f 412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数为奇函数)(x f ∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 例15. 已知函数,R 对任意实数都有,且当时,)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f ab f +=1>x .0)(>x f （1）试判断函数的奇偶性;)(x f （2）求证:函数在上是增函数.)(x f ()+∞,0（1）解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则,∴.1==b a )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则,∴. 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f 0)1(=-f 令,则 1,-==b x a )()1()()(x f f x f x f =-+=-∴函数为偶函数;)(x f （2）任取,且,则∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴1>x 0)(>x f 012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴ ()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f xx x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数在上是增函数. )(x f ()+∞,0题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式;（3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知为奇函数,,,则_________; )(x f 9)()(+=x f x g 3)2(=-g =)2(f （2）设函数的最大值为M ,最小值为,则_________.()11)(22++=x x x f m =+m M 解:（1）∵为奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∵, 9)()(+=x f x g 3)2(=-g ∴ 6939)2()2(-=-=--=-g f ∴.6)2()2(=--=f f （2） ()12112111)(22222++=+++=++=x xx x x x x x f 设,其定义域为R ,关于原点对称. 12)(2+=x xx g ∵ )(12)(2x g x xx g -=+-=-∴为奇函数)(x g ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g ∴.2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M重要结论（1） 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即)(x f )(x f .0)()(min max =+x f x f （2）若函数为奇函数,（为常数）,则.)(x f k x f x g +=)()(k ()k x g x g 2)(min max =+例17. 已知,且,则【 】 8)(35-++=bx ax x x f 10)2(=-f =)2(f （A ）（B ）（C ）（D ）1026-18-10-解法一:设,易知函数为奇函数. bx ax x x g ++=35)()(x g ∴,)()(x g x g -=-8)()(-=x g x f ∵,∴,. 10)2(=-f 108)2(=--g 18)2(=-g ∴18)2()2(-=--=g g ∴.选择【 A 】. 268188)2()2(-=--=-=g f 解法二:①8222)2(35-++=b a f ②()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ①②得: +16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f ∴.261016)2(16)2(-=--=---=f f 例18. 已知,其中是偶函数,且,则【 】 1)()(--=x x f x g )(x g 1)2(=f =-)2(f （A ）（B ）1（C ）（D ）31-3-解:∵是偶函数,∴. )(x g )()(x g x g =-∵,∴1)()(--=x x f x g 1)()(++=x x g x f ∵,∴ 13)2(12)2()2(=+=++=g g f 2)2()2(-=-=g g ∴.选择【 C 】.312212)2()2(-=+--=+--=-g f 例19. 已知,均为R 上的奇函数,且在上)(x f )(x g 2)()()(++=x bg x af x F ()+∞,0的最大值为5,则在上的最小值为_________. )(x F ()0,∞-解:设,则 )()()(x bg x af x G +=2)()(+=x G x F ∵,均为R 上的奇函数)(x f )(x g ∴也是R 上的奇函数 )()()(x bg x af x G +=∵当时, ∈x ()+∞,052)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G ∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为 )(x G ()0,∞-3)()(max min -=-=x G x G ∴.1232)()(min min -=+-=+=x G x F 注意:本题利用结论: 若函数为奇函数,（为常数）,则)(x f k x f x g +=)()(k .可以快速得出结果.()k x g x g 2)(min max =+例20. 已知是奇函数,则_________.⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f ()=-)3(g f 分析:先求出当时,函数的解析式,然后代入求值. 0<x )(x g 解:当时,0<x 0>-x ∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f ∴,∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f 3)(2+-=x x g ∴()633)3(2-=+--=-g ∴.()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f 应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; x （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;)(x f -（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. )(x f )(x f -)(x f )(x f 注意:若是R 上的奇函数时,不要遗漏的情形.)(x f 0=x 例21. 已知是R 上的奇函数,当时,. )(x f 0>x 132)(2++-=x x x f （1）求的值; （2）求函数的解析式. )0(f )(x f 解:（1）∵是R 上的奇函数 )(x f ∴, )0()0()0(f f f -==-0)0(2=f ∴;0)0(=f （2）当时,则0<x 0>-x ∴ ())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=-∴.132)(2-+=x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f 例22. 若函数是偶函数,函数是奇函数,且,求函数)(x f )(x g 11)()(-=+x x g x f 的解析式.)(x f 解:∵函数是偶函数,函数是奇函数 )(x f )(x g ∴,)()(x f x f =-)()(x g x g -=-∵ 11)()(-=+x x g x f ∴,11)()(--=-+-x x g x f 11)()(+-=-x x g x f 解方程组得:.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 11)(2-=x x f ∴函数的解析式为. )(x f 11)(2-=x x f 例23. 已知是定义在R 上的偶函数,且≤0时,.)(x f x 1)(+-=x x f（1）求,; )0(f )2(f （2）求函数的解析式.)(x f 解:（1）∵当≤0时,,∴.x 1)(+-=x x f 1)0(=f ∵是定义在R 上的偶函数,∴; )(x f 31)2()2()2(=+--=-=f f （2）当时,则 0>x 0<-x ∴.()11)(+=+--=-x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f 例24. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,则函)(x f y =0>x x x x f 2)(2-=数在R 上的解析式为____________.)(x f 结论 若奇函数在原点处有定义,则.0)0(=f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数∴. )(x f y =0)0(=f ∵当时,0>x x x x f 2)(2-=∴当时,, 0<x 0>-x ())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=-∴.x x x f 2)(2--=∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x 例25. 函数为R 上的奇函数,且. 1)(2++=x b ax x f 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求函数的解析式;)(x f （2）若≤在区间上恒成立,求的取值范围.)(x f 532-m []4,2m 解:（1）∵函数为R 上的奇函数1)(2++=x bax x f ∴,∴0)0(==b f 1)(2+=x axx f∵,∴,解之得:. 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 5252121212==+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a1=a ∴函数的解析式为; )(x f 1)(2+=x xx f （2）∵≤在区间上恒成立)(x f 532-m []4,2∴≤恒成立 12+x x 532-m 设,只需≤即可.1)(2+=x x x g max )(x g 532-m 任取,且,则有[]4,2,21∈x x 21x x < ()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵,且[]4,2,21∈x x 21x x <∴ ()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴,∴ 0)()(21>-x g x g ()()21x g x g >∴函数在上为减函数 )(x g []4,2∴ 52122)2()(2max =+==g x g ∴≤,解之得:≥1或≤. 52532-m m m 1-∴实数的取值范围是.m (][)+∞-∞-,11, 例26. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,求. )(x f 0>x 32)(x x x f +=)(x f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数,∴. )(x f 0)0(=f ∵当时,0>x 32)(x x x f +=∴当时,，∴.0<x ,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-32)(x x x f +-=∴.⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f应用3 求参数的值例27. 已知函数为偶函数,其定义域为,则()b a x b ax x f ++-+=31)(2[]a a 2,1-的值为_________.b a +结论 如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得:. 021=+-a a 31=a ∴ ()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴ ()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122∴,解之得: ()11-=--b b 1=b ∴. 34131=+=+b a 例28. 若函数为奇函数,则_________.()()a x x xx f -+=12)(=a 解:∵函数为奇函数 )(x f ∴, )()(x f x f -=-()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-1212展开并整理得: ()()x a x a 2112-=-∴,解之得:. a a 2112-=-21=a 例29. 若函数为偶函数,则_________. ()()a x x x f -+=1)(=a 解:∵函数为偶函数,∴ )(x f )()(x f x f =-∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-11∴()()x a x a -=-11∴,解之得:.a a -=-111=a 例30. 若函数为偶函数,则函数在区间上()321)(2++-=mx x m x f )(x f ()3,5--【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减（D ）单调递增分析: 结论 对于函数：c bx ax y ++=2（1）当时,它是偶函数; 0=b （2）当时,它是奇函数.0==c a 对于本题,因为函数为偶函数,所以不难得到. ()321)(2++-=mx x m x f 0=m 解:∵函数为偶函数()321)(2++-=mx x m x f ∴, )()(x f x f =-()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴,解之得:m m 22=-0=m ∴,其图象开口向下,对称轴为轴. 3)(2+-=x x f y ∵函数在区间单调递增.选择【 D 】.)(x f ()3,5--例31. 设为常数,函数.若为偶函数,则_________. a 34)(2+-=x x x f ()a x f +=a 分析:将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即可得到)(x f ()0>a ()0<a a 函数的图象.偶函数的图象关于轴对称.()a x f +y 结论 若函数满足,则函数的图象关于直线对称.)(x f )()(x a f x a f -=+)(x f a x =解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f ∴()()122--+=+a x a x f ∵为偶函数()a x f +∴其图象的对称轴为轴,∴,解之得:.y 02=-a 2=a 解法二:,其图象的对称轴为直线.()1234)(22--=+-=x x x x f 2=x ∵为偶函数()a x f +∴,即 )()(a x f a x f +=+-)()(x a f x a f +=-∴函数的图象关于直线对称. )(x f a x =∴. 2=a例32. 已知是定义在上的偶函数,则_______. ()231)(bx x a x f +-=[]b b +2,=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得: 02=++b b 1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵,∴ )()(x f x f =-()()232311x x a x x a --=---∴,解之得:. ()11-=--a a 1=a ∴0.=+b a 例33. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,,∴ 0<x 0>-x x x x f 2)(2--=-∵函数是奇函数 )(x f ∴ )(2)(2x f x x x f -=--=-∴（） mx x x x x f +=+=222)(0<x ∴.2=m 例34. 已知函数为偶函数.()()21)(xt x x x f -+=（1）求实数的值;t （2）是否存在实数,使得当时,函数的值域为?0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.b a ,分析:,设,因为与均为()()21)(x t x x x f -+=()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2)(x f )(x g 偶函数,所以也是偶函数,故,得到. ()t x t x x h --+=1)(201=-t 1=t 解:∵函数为偶函数()()21)(xt x x x f -+=∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴ ()()()()t x x t x x -+=--+-11∴,解之得:. t t -=-111=t ∴; ()()222211111)(xx x x x x x f -=-=-+=（2）∵ 0>>a b ∴函数在区间上为增函数 211)(xx f -=[]b a ,∴,2min11)()(a a f x f -==2max 11)()(bb f x f -==∵函数的值域为)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-b b a a 2211221122⎩⎨⎧==11b a ∵0>>a b ∴不存在实数,使得当时,函数的值域为.0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22例35. 已知函数是R 上的偶函数. 211)(x mx x f ++=（1）求实数的值;m （2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.)(x f y =()0,∞-解:（1）∵函数是R 上的偶函数 211)(x mx x f ++=∴,)()(x f x f =-221111x mx x mx ++=++-∴,,解之得:;11+=+-mx mx m m =-0=m（2）由（1）知:. 211)(x x f +=函数在上为增函数,理由如下: )(x f y =()0,∞-任取,且,则有()0,,21∞-∈x x 21x x < ()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=-∵,且()0,,21∞-∈x x 21x x <∴ ()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数.)(x f y =()0,∞-例36. 已知函数是奇函数,且,其中R .nmx x x f ++=2)(23)1(=f ∈n m ,（1）求的值;n m ,（2）判断在上的单调性,并加以证明. )(x f (]2,-∞-解:（1）∵,∴,∴. 3)1(=f 33=+nm 1=+n m ∵函数为奇函数)(x f ∴, )()(x f x f -=-nmx x n mx x --+=+-+2222∴,解之得:n n -=0=n 解方程组得:;⎩⎨⎧==+01n n m ⎩⎨⎧==01n m （2）由（1）可知:（可见函数为对勾函数）xx x x x f 22)(2+=+=)(x f 函数在上为增函数,理由如下: )(x f (]2,-∞-任取,且,则有∈21,x x (]2,-∞-21x x <()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-∵,且 ∈21,x x (]2,-∞-21x x <∴ 02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数. )(x f y =()0,∞-应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知在定义域上是奇函数,又是减函数,若)(x f []1,1-,求实数的取值范围.()()0112<-+-a f a f a 解:∵ ()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵在定义域上是奇函数 )(x f []1,1-∴ ()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f 由题意可得:,解之得:0≤.⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a 1<a ∴实数的取值范围是.a [)1,0例38. 定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实[]2,2-)(x f []2,0()()m f m f <-1数的取值范围.m 结论:若函数为偶函数,则有.)(x f ()x f x f x f ==-)()(解:∵函数是定义在上的偶函数)(x f []2,2-∴,,.()()m f m f -=-11()()m f m f =[]2,0,1∈-m m∵在上单调递减, )(x f []2,0()()m f m f <-1∴,.()()m f m f <-1m m >-1由题意可得:,解之得:≤.⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 1222121-m 21<∴实数的取值范围是.m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1注意:的同解不等式为.m m >-1()221m m >-例39. 定义在R 上的奇函数,满足,且在上单调递减,求不等)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ()+∞,0式的解集.0)(>x xf 分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数,满足)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f ∵函数在上单调递减 )(x f ()+∞,0∴函数在上单调递增 )(x f ()0,∞-∴当时,;当时, 210<<x 0)(>x f 021<<-x 0)(<x f ∴不等式的解集为.0)(>x xf ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 注意:对于奇函数的理解,可结合下面的图象.图中.)(x f 0)0(=f例40. 已知奇函数,是减函数,解不等式. )(x f y =∈x ()1,1-0)31()1(<-+-x f x f 解:∵ 0)31()1(<-+-x f x f ∴ )31()1(x f x f --<-∵是奇函数)(x f y =∴ ()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f 由题意可得:,解之得:.⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x 210<<x ∴不等式的解集为. 0)31()1(<-+-x f x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x 例41. 已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值)(x f [)+∞,0()02=f ()01>-x f x 范围是__________.解:由题意可得的解集为 0)(>x f ()2,2-∵()01>-x f ∴,解之得: 212<-<-x 31<<-x ∴的取值范围是.x ()3,1-例42. 已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,)(x f []a a 2,1-x )(x f则关于的不等式的解集为【 】x ()()a f x f >-1（A ）（B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 （C ）（D ）随的值的变化而变化⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 a 解:∵函数是定义在上的偶函数 )(x f []a a 2,1-∴,解之得: 021=+-a a 31=a ∴函数的定义域为)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵,∴,∴ ()()a f x f >-1()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ∵当≥0时,单调递增,≥0 x )(x f 1-x ∴. 311>-x 由题意可得: ,解之得:≤或≤.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x 3132<x x <3435∴不等式的解集为.选择【 B 】.()()a f x f >-1⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 例43. 已知是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满)(x f (]0,∞-a 足,则的取值范围是【 】()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f a （A ）（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321, （C ）（D ）⎪⎭⎫⎝⎛23,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增)(x f (]0,∞-∴在区间上单调递减,. )(x f [)+∞,0⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-2121f f ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ∴,∴,解之得:.()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f 211<-a 2321<<a ∴的取值范围是.选择【 C 】.a ⎪⎭⎫⎝⎛23,21☆例44. 已知函数的定义域为,且是奇函数.)(x f ()+∞,0⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g （1）求的表达式;)(x f （2）若在上的值域是,求值:是方程的两个根.)(x f []b a ,⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1b a ,x x f 1)(=解:当时, 0>x 0<-x ∴ ()x x x g 22-=-∵是奇函数)(x g ∴ ()()()x g x x x g -=+--=-22∴（） x x x g 2)(2+-=0>x ∴（）; x x x f 2)(2+-=0>x （2）证明:由题意可知: 0>>a b ∵≤1()112)(22+--=+-=x x x x f ∴≤1,∴≥1 a1a ∴在上单调递减)(x f []b a ,∴, ()a a f 1=()bb f 1=∴是方程的两个根.b a ,xx f 1)(=例45. 设函数对任意R 都有,且当时,)(x f ∈y x ,()()()y f x f y x f +=+0>x,. 0)(<x f 2)1(-=f （1）证明:为奇函数; )(x f （2）证明:在R 上是减函数;)(x f （3）若,求的取值范围; ()()47652>-++x f x f x （4）求在上的最大值与最小值.)(x f []3,3-（1）证明:令,则,∴ 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=0)0(=f 令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数的定义域为R ,关于原点对称 )(x f ∴函数为奇函数;)(x f （2）证明:任取R ,且,则 ∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 0)(<x f ()012<-x x f ∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-.()012<-=x x f ∴,∴. ()()012<-x f x f ()()21x f x f >∴在R 上是减函数;)(x f （3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f 令,则 1-==y x 4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f ∴, ())2(7652->-++f x x f ())2(511->-f x f ∵在R 上是减函数 )(x f ∴,解之得:. 2511-<-x 513>x∴的取值范围是; x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,513（4）令,则1,2-=-=y x 624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵在R 上是减函数)(x f ∴在上的最大值为6)(x f []3,3-∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数∴在上的最小值为.)(x f []3,3-6-例46. 函数对任意R 都有,并且当时,)(x f ∈b a ,()()()1-+=+b f a f b a f 0>x .1)(>x f （1）判断函数是否为奇函数;)(x f （2）证明:在R 上是增函数;)(x f （3）解不等式.()1232<--m m f （1）解:令,则0==b a 1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f ∴函数不是奇函数;)(x f （2）任取R ,且,则∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 1)(>x f ()112>-x x f ∴ ()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()0112>--=x x f ∴()()12x f x f >∴在R 上是增函数;)(x f （3）由（1）可知:1)0(=f ∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵在R 上是增函数)(x f ∴,解之得: 0232<--m m 132<<-m ∴不等式的解集为. ()1232<--m m f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32例47. 设是定义在上的减函数,且满足, )(x f y =()+∞,0())()(y f x f xy f +=. 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求,,的值; )1(f ⎪⎭⎫ ⎝⎛91f )9(f （2）若,求的取值范围.2)2()(<--x f x f x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则有; 31==y x 212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ∵ 01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f ∴;()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f （2）∵2)2()(<--x f x f ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)(∵是定义在上的减函数)(x f y =()+∞,0∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴的取值范围是. x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51☆例48. 设是定义在上的函数,且满足,当)(x f ()()+∞∞-,00, ()()()y f x f xy f +=时,.1>x ()0<x f （1）求的值,并证明是偶函数;)1(f )(x f （2）证明函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）若,≥,求的取值范围.1)3(-=f )8()(-+x f x f 2-x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f ∵是定义在上的函数)(x f ()()+∞∞-,00, ∴其定义域关于原点对称.令,则有,∴.1-==y x ()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ()01=-f 令,则有1-=y ()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴是偶函数;)(x f （2）证明:任取,且,则 ∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴ 1>x ()0<x f 012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴ ()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴.()()21x f x f >∴函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）解:∵1)3(-=f ∴令,则有 3==y x 2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴≥)8()(-+x f x f )9(f ∴≥())8(-x x f )9(f ∵函数是偶函数)(x f ∴≥()()8-x x f )9(f ∵函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0∴,解之得:≤≤或≤≤9,且,. ()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x 1-x 74-74+x 0≠x 8≠x ∴的取值范围是. x [)(][)(]9,88,7474,00,1 +--例49. 若函数为区间上的奇函数,则它在这一区间上的最大1)(++-=bx a x x f []1,1-值为_________.解:∵函数为区间上的奇函数)(x f []1,1-∴,∴0)0(=f 0=a ∴ 1)(+-=bx x x f ∵,∴,解之得: ())1(1f f --1111+=+---b b 0=b ∴,在区间上为减函数x x f -=)([]1,1-∴.()11)(max =-=f x f 例50. 已知函数.32)(2-+-=x x x f （1）求在区间上的最小值; )(x f []2,12-a ()a g （2）求的最大值.)(a g 解:（1）由题意可知:,解之得:. 212<-a 23<a ,其图象的开口向下,对称轴为直线. ()2132)(22---=-+-=x x x x f 1=x当,即时, 12212<+-a 21<a 684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴;()6842-+-=a a a g 当≥1,即≤时, 2212+-a 2123<a ()()32min -==f x f ∴.3)(-=a g 综上所述,; ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g （2）由（1）可知:.3)(max -=a g。

函数奇偶知识点高中总结一、奇偶数的定义1.1 奇数的定义奇数是指一个自然数除以2余1的数，即如果一个数能被2整除余1，则它是奇数。

例如：1、3、5、7、9等都是奇数。

1.2 偶数的定义偶数是指一个自然数除以2余0的数，即如果一个数能被2整除余0，则它是偶数。

例如：2、4、6、8、10等都是偶数。

二、奇偶数的性质2.1 奇数的性质（1）奇数加奇数等于偶数；（2）奇数加偶数等于奇数；（3）奇数乘奇数等于奇数；（4）奇数乘偶数等于偶数；（5）奇数的立方是奇数；（6）奇数的倍数仍然是奇数。

2.2 偶数的性质（1）偶数加偶数等于偶数；（2）偶数加奇数等于奇数；（3）偶数乘偶数等于偶数；（4）偶数乘奇数等于偶数；（5）偶数的立方是偶数；（6）偶数的倍数仍然是偶数。

三、奇偶数的运算规律3.1 加法运算（1）奇数加奇数等于偶数；（2）奇数加偶数等于奇数；（3）偶数加偶数等于偶数。

3.2 减法运算奇数减奇数或偶数减偶数结果往往是奇数，而奇数减偶数结果则往往是偶数。

3.3 乘法运算（1）奇数乘奇数等于奇数；（2）奇数乘偶数等于偶数；（3）偶数乘偶数等于偶数。

3.4 除法运算奇数除以奇数或偶数除以偶数结果往往是奇数，而奇数除以偶数结果则往往是偶数。

四、奇偶数的解题技巧4.1 求和求积在解题中，经常会涉及到奇偶数的求和与求积。

根据奇偶数的性质，我们可以灵活运用奇偶数的特点，帮助我们更快地解题。

4.2 奇偶数判断在解析数学问题中，经常需要判断某个数是奇数还是偶数。

我们可以通过取余、观察末位数字等方法，进行奇偶数的判断。

4.3 奇偶数运算在解析数学问题中，有时需要进行奇偶数的运算，例如奇数加偶数、奇数乘偶数等，需要根据奇偶数的运算规律进行灵活运用。

4.4 奇偶数的应用奇偶数在生活和数学中都有很多的实际应用，例如在统计学中奇偶数的应用、在概率统计中奇偶数的应用等，都需要我们掌握奇偶数的基本知识和运用技巧。

五、奇偶数的实际应用奇偶数在实际生活和数学中有着丰富的应用。

函数奇偶性知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x=； （3）()|1||1|f x x x =+--；（4）()f x =（5）()f x =（6）22,0 (),0x x xf xx x x⎧+<⎪=⎨->⎪⎩解：（1）2()||(1)f x x x=+的定义域为R，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x-=--+=+=∴()()f x f x-=，即()f x是偶函数．（2）1()f xx=的定义域为{|0}x x>由于定义域关于原点不对称故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x=+--的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()f x={2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（5）()f x=的定义域为{1，－1}，由(1)0f=且(1)0f-=，所以()0f x=所以()f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故()f x既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0 ()(),0x x xf xx x x⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x-=-∴()f x为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例5】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g (1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得()()f x f x-=-，()()g x g x-=所以－f(1)＋g(1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=. 课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 函数()11f x x x =-- ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x=++≠是奇函数，求m14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋ 16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式 17.判断函数()(1f x x =+.。

函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。

(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。

高一函数奇偶性常考知识点函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，也是函数性质分析中经常出现的题型。

了解函数的奇偶性特点，可以帮助我们简化计算和解题过程。

本文将介绍高一函数奇偶性的常考知识点。

一、函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数关于坐标原点的对称性。

具体而言，如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则函数f(x)称为偶函数；如果对于任意的x，函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则函数f(x)称为奇函数。

二、奇偶性的性质1. 偶函数的性质- 偶函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称；- 偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 偶函数的图像在y轴上对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, y)，在图像上对应的两点关于y轴对称。

2. 奇函数的性质- 奇函数关于原点对称，即图像关于原点对称；- 奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一个区间；- 奇函数的图像关于原点对称，即对于图像上的每一点(x, y)，也存在相应的点(-x, -y)，在图像上对应的两点关于原点对称。

三、计算函数的奇偶性1. 利用函数表达式判断奇偶性- 当函数表达式中只含有偶指数幂的项且系数非零时，函数为偶函数；- 当函数表达式中只含有奇指数幂的项且系数非零时，函数为奇函数；- 当函数表达式中含有奇数个奇指数幂的项且系数非零时，函数既不是偶函数也不是奇函数。

2. 利用函数的性质判断奇偶性- 若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；- 若函数的图像关于y轴对称而不关于原点对称，则函数为偶函数；- 若函数既不关于y轴对称也不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数。

四、常见函数的奇偶性1. 偶函数的例子- 幂函数：y = x^n（n为正整数且为偶数）- 余弦函数：y = cos(x)- 绝对值函数：y = |x|- 常函数：y = k（k为常数）2. 奇函数的例子- 正弦函数：y = sin(x)- 正切函数：y = tan(x)- 反正比函数：y = cot(x)- 倒数函数：y = 1/x（x ≠ 0）五、应用函数的奇偶性在数学题目中有广泛的应用，常见的应用包括：1. 确定函数的对称中心：根据函数的奇偶性，可以确定函数图像的对称中心，帮助我们更好地绘制函数图像；2. 确定函数的性质：根据函数的奇偶性，可以快速判断函数的性质，如极值点、零点等；3. 简化计算过程：根据函数的奇偶性，可以简化函数的计算过程，并帮助我们更快地求解问题。

【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += (3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-=（8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0)(0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +⎧∈⎪⎪≠+⎨⎪⎪⎩⎧∈⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩⎧+≠≠⎪⎨=+≠⎪⎩==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪=±⎪⎪⎩⎩两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。

（五）奇偶性1.奇、偶函数的定义（数的角度）(1)对于函数)(x f 定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；(2)对于函数)(x f 定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数.注：①等价形式：,0)()(=+-x f x f 奇函数；,0)()(=--x f x f 偶函数.②形的角度：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称.③用定义证明函数的奇偶性时，一定要先判断定义域是否关于原点对称.2.结论(1)若奇函数的定义域内包含0，则.0)0(=f (2)既是奇函数又是偶函数的函数为D D x x f ,,0)(∈=关于原点对称.(3),2)()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+=定义域关于原点对称的任意一个函数都可以写成一个偶函数2)()(x f x f -+和一个奇函数2)()(x f x f --的和.(4)要特值法求含字母的奇（偶）函数解析式时，如),1()1(,0)0(f f f -=-=一定要检验.(5)多项式函数如d cx bx ax x f +++=23)(是偶函数，则奇次项系数c a ,为0；是奇函数，则偶次项系数d b ,为0.(6)奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，在研究单调性、最值或作图像等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得,（六）对称性(1)关于点(a,b )对称①函数y ＝f (x )的图像关于(a,b )对称，则有f (x )＝－f (2a －x )+2b ；②若两个函数f (x )与g (x )的图像关于(a,b )对称，则有f (x )＝－g (2a －x )+2b.(2)关于直线x ＝a 对称①函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称，则有f (a ＋x )＝f (a －x )或f (2a －x )＝f (x )；②若两个函数f (x )与g (x )的图像关于直线x ＝a 对称，则有g (x )＝f (2a －x )；③偶函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称，则函数f (x )是周期为2a 的周期函数；④奇函数g (x )的图像关于直线x ＝a 对称，则函数g (x )是周期为4a 的周期函数．。

,函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，那么函数f(x)就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任一个x，都有f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0，那么函数f(x)就叫做奇函数。

注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(-x)=±f(x)之一是否成立。

（2）在判断f(x)与f(-x)的关系时，只需验证f(-x)±f(x)=0及可来确定函数的奇偶性。

题型一判断下列函数的奇偶性。

f(-x)f(x)=±1是否成立即f(x)=x+1x⑴f(x)=x2+x，（2）f(x)=x3-x（3）f(x)=x x2+1G(x)=f(x)-f(-x)x∈R(4)(5)f(x)=x cos x(6)f(x)=x sin x(7)f(x)=2x-2-x，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：f(x)=x，f(x)=x3，f(x)=sin x，（3）常见的奇函数有：f(x)=x2，f(x)=x，f(x)=cos x f(x)=1x（4）若f(x)、g(x)都是偶函数,那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)为偶函数，f (x)-g(x)为偶函数。

当g(x)≠0时，f(x)g(x)为偶函数。

（5）若f(x)，g(x)都是奇函数，那么在f(x)与g(x)的公共定义域上，f(x)+g(x)是奇函数，f (x)-g(x)是奇函数，f(x)⋅g(x)是偶函数，当g(x)≠0时，f(x)g(x)是偶函数。

( （6）常函数 f (x ) = c (c 为常数 )是偶函数， f (x ) = 0 既是偶函数又是奇函数。

函数中的奇偶性知识点总结一、基本概念1.1 奇数和偶数在整数集中，可以将整数分为奇数和偶数。

奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。

奇数和偶数在日常生活中经常出现，例如我们说1、3、5、7、9等数都是奇数，而2、4、6、8、10等数则是偶数。

1.2 奇偶性的判定判断一个整数的奇偶性，最简单的方法就是看这个数能不能被2整除。

如果能被2整除，那么这个数就是偶数，否则就是奇数。

1.3 奇偶性的性质奇数与奇数相加或相乘得到的结果仍然是奇数；偶数与偶数相加或相乘得到的结果仍然是偶数；奇数与偶数相加得到的结果是奇数，相乘得到的结果是偶数。

1.4 奇偶性的表示方法对于一个整数n，可以用数学符号来表示其奇偶性。

一般用e表示偶数，用o表示奇数，偶数可以表示成2k（k为整数），奇数可以表示成2k+1（k为整数）。

二、奇偶性的应用2.1 奇偶性在数论中的应用在数论中，奇偶性是一个非常重要的概念。

很多数论中的问题都可以通过奇偶性的分析来解决。

比如，确定一个数的因数个数，判断一个数的平方是否是完全平方数等等。

2.2 奇偶性在代数中的应用在代数中，奇偶性也有着重要的应用。

例如，解不定方程时可以通过奇偶性来得到一些重要结论；计算多项式的值可以通过奇偶性来简化计算等等。

2.3 奇偶性在组合数学中的应用在组合数学中，奇偶性也有着广泛的应用。

比如，在排列组合中，奇偶性可以用来证明一些组合恒等式；在排列组合问题中，奇偶性也可以用来简化问题的求解等等。

2.4 奇偶性在概率论中的应用在概率论中，奇偶性也有着重要的应用。

例如，在求事件概率时可以通过奇偶性来约简问题；在独立事件的概率计算中也可以用奇偶性来简化问题等等。

三、常见问题与定理3.1 奇数的性质奇数与奇数相加的结果是偶数；奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数的平方是奇数。

3.2 偶数的性质偶数与偶数相加的结果是偶数；偶数与偶数相乘的结果是偶数；偶数的平方是偶数。

3.3 整数的奇偶性定理整数的奇偶性有许多重要的性质和定理。

函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。

本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。

一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。

奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。

例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。

2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。

偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。

例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。

二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。

（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。

（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。

2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。

（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。

（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。

三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。

具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。

T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。

例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。

周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。

2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。

3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。

函数的奇偶性的经典总结奇函数:一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立。

也就是说，奇函数关于y轴对称。

奇函数的图像通常具有中心对称的特点。

常见的奇函数有：1. 正弦函数：f(x)=sin(x)。

正弦函数在整个定义域上都是奇函数，其图像以原点为中心，关于y轴对称。

2. 正切函数：f(x)=tan(x)。

正切函数在每个周期都具有关于原点对称的特点，在定义域上都是奇函数。

3.x的三次幂：f(x)=x^3、这是一个多项式函数，其图像以原点为中心，关于y轴对称。

奇函数具有以下特点：1.如果f(x)为奇函数，那么f(0)=0。

奇函数的图像一定经过原点。

2.如果f(x)为奇函数，那么f(x)在第一象限和第三象限下的值相同。

奇函数的曲线具有关于原点对称的特点。

3.如果f(x)为奇函数，那么在区间[-a,a]上，f(x)的积分为0。

奇函数的积分在对称区间上的值相互抵消。

偶函数:一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立。

也就是说，偶函数关于y轴对称。

偶函数的图像通常具有左右对称的特点。

常见的偶函数有：1. 余弦函数：f(x)=cos(x)。

余弦函数在整个定义域上都是偶函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。

2. 双曲余弦函数：f(x)=cosh(x)。

双曲余弦函数在整个定义域上都是偶函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。

3.x的二次幂：f(x)=x^2、这是一个多项式函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。

偶函数具有以下特点：1.如果f(x)为偶函数，那么f(0)为对称轴上的一个点。

偶函数的图像关于对称轴对称。

2.如果f(x)为偶函数，那么f(x)在第二象限和第四象限下的值相同。

偶函数的曲线具有关于y轴对称的特点。

3.如果f(x)为偶函数，那么在区间[-a,a]上，f(x)的积分为2倍的在区间[0,a]上的积分。

偶函数的积分在对称区间上的值是相同的。