华师大版圆的对称性第二课时PPT优选课件

（3）如果∠AOB=∠COD，那么____________A_，B=_C__D______． AB=CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
OE AB, OF CD,
AE 1 AB, CF 1 CD.
2
2
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
A C
E O·
F
B D
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么
（）
D
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
.
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系⌒是（⌒ ）
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠⌒AC⌒B=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·O
B
C
温馨提示：本题告知我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
( ( ( (
( (
（1）如果AB=CD，那么__________A_B，=_C_D_________∠_．AOB= ∠COD

（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
Oห้องสมุดไป่ตู้
E
B
F
D
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
一、圆的旋转对称性
小组合作学习
班级展示
圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相等，那么它们所 对的弧相等，所对的弦相等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
试试看，你还可以将圆多少等分？
小组合作学习 班级展示
证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧。
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且AB∥CD，AB＝8cm， CD＝6cm，⊙O的半径为5cm.求AB与CD之间的距离。
C
F
D
O
A
E
B
小结
圆 的 性 质

基础习题
01
等边三角形
02
等腰三角形
03
直角三角形
Hale Waihona Puke 04等腰直角三角形
提高习题
01
题目4：已知圆O的半径为5cm，点A、B、C在圆上，若 △ABC是等边三角形，则它的边长是多少？
02
题目5：若直线l经过圆心O，且与圆O相交于A、B两点，则 △OAB一定是( )。
03
等边三角形
04
等腰三角形
05
直角三角形
通过学习圆的对称性，可以帮助学生更好地理解圆的性质和特点，提高他们的几何 思维能力和空间想象力。
学习目标
掌握圆的基本概念和 性质，理解圆心、半 径、直径等基本元素。
能够运用圆的对称性 解决一些实际问题， 提高解决实际问题的 能力。
理解圆的对称性，掌 握旋转对称、中心对 称、轴对称等概念。
02 圆的基本概念
使用直径作图
通过一个已知点和该点在 圆上的一个已知点，可以 画出该圆的直径。
03 圆的对称性
轴对称性
定义
如果一个图形沿着一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。
圆的轴对称性
圆关于任何经过其中心的直线都是 轴对称的。这意味着你可以沿任何 这样的直线折叠圆，两侧的部分会 完全重合。
圆上三点确定一个圆
不在同一直线上的三个点可以确定一 个唯一的圆，这三个点是圆心和两个 圆上的点。
圆的作图
01
02
03
使用圆规作图
圆规的两只脚张开到一定 距离，然后固定一只脚在 纸上，另一只脚旋转画出 一个圆。
通过三点作圆
不在同一直线上的三个点 可以确定一个圆的位置和 大小，通过连接这三个点 可以画出该圆。

探究2、垂径定理的推论
如下图，若直径CD平分弦AB则 ①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条 弧？如何证明？ ②你能用一句话总结这个结论吗？ ③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
【归纳结论】垂径定理的推论：平分弦的 直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧。平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
C E
F D
O
解析：利用垂径定理，解题过程中可以使 用列方程的方法
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
2
×600=300（m）
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m．
运用新知
1、如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足
为M，下列结论不成立的是（ ）
A.CM=DM
B.CB BD
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MD
解析：根据垂径定理得：CM=DM， CB BD
，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC， 而OM=MD不一定成立。 答案：D.
2、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若 AB= ，0C=1，则半径OB的长为___2__3___．
O ACB
解析： 根据垂径定理“垂直于弦的直径平
分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知
B1 AC=B=
2
3，然后根据勾股定理，得OB=

3 2 12
=2。
答案：2。
3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦 （即图中CD，点O是CD 的圆心，•其中 CD=600m，E为 CD 上一点，且OE⊥CD， 垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

O.
A CE D B
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦
的垂线，是一种常用的辅助线添法．
C
4.平分已知弧AB
⌒
已知：AB
⌒
求作：AB的中点
E
A
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
·O
B
1.作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点； 2.以O为圆心，OA为半径作圆。
你认为AC和BD有什么关系？为什么？
与同伴说说你的想法和理由. （2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法.
A
C
D
B
R
O
赵州石拱桥
解：由题设得 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
AD 1 AB 137.418.7,
22
37.4
O D O CDC R7.2.
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 7.2 A O2AAD 2OD 2,
AM=BM
D
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
练一练
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（ √）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） (4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √）
数学九年级下华师大版课 件
初三数学备课组
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发

2
CH 1 CD8 2
• ∴Rt△AOG中， O GO2A A2G ，8
• Rt△COH中， O HO2C C2 H 6 ．
• ∴GH＝OG＋OH＝14．
• (2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如图 23-1-8②所示．
• 2G020/H7/21＝OG－OH＝8－6＝2．
2020/7/21
根据自学提示检查自学效果
2020/7/21
教师点评
• 1. 圆也是轴对称图形，任意一条直径所 在的直线都是它的对称轴。
• 2.垂径定理： 注意： (1)此性质必须具备两个条件：直径；此直 径垂直于弦，两者缺一不可． (2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、 弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意 两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△， 利用勾股定理求解．
2020/7/21
当堂训练
• Ｐ４９练习１、２
2020/7/21
1.如图所示，直径为10cm的圆中解：连结OA．
∵OM⊥AB，
∴ AM 1 AB
∵
OA
1
2
105，OM＝4，
2
AM O2 A OM 23
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2. 在 ⊙O半径为10，弦AB＝12，CD＝ 16，且AB∥CD．求AB与CD之间的离．
分析：本题目属于 “图形不明确型”题 目，应分类求解． (如右图)
• (1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图 23-1-8①所示．
• 作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H ，连结OA、OC．
• ∵AB∥CD，GH⊥AB，∴GH⊥CD．
• •
∵OG⊥AB，AB＝12， ∴． AG 1AB6 同理．

∵ CD是直径,
∴ AM=BM,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？
同步训练：
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD。求证：OA＝OB。
例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
连接OA,OB,
则Байду номын сангаасA=OB.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
∵CD⊥AB于M
证明：
自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
CD⊥AB,
E
探究二：垂径定理的应用
利用折叠的方法即可解决上述问题.
2、按下面的步骤做一做：1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2）得到一条折痕CD．3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？它们为什么相等呢？
自主学习：
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
自主学习：

C A A A A A
M O
D
B B B
B B
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为M. （1）右图是轴对称图形 吗？如果是，其对称轴是 什么？
C A
M
O
B
（2）你能发现图中有 哪些等量关系？说一说 你的理由。
D
探索发现
已知：在⊙O中，过圆心的直线OE垂直于弦AB，垂足为E。 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB 的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又是 ⊙ O 的对称轴。所以，当把圆沿着直 径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重 合，A点和B点重合， AE和BE重合， A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合。 因此AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
九年级下册
第三章
2.圆的对称性
c 2.圆的对称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。
圆的基本性质 圆是轴对称图形， 其对称轴是任意一条 过圆心的直线.
几个重要概念
圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.
37.4
C
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D R
B
解得 R≈27.9（m）
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.