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如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ⌒ ⌒ (即图中 CD ，点o是 CD 的圆 心)，其 ⌒ 上一点，且 中CD=600m,E为 CD OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段 C 弯路的半径。
E F O D
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A 则下列结论不正确的是（ ） C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B、BC=BD A、AC=AD O C、AM=OM D、CM=DM
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
A 如图，已知在⊙O中，
E
B
弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
1 1 则AE＝BE＝ AB＝ ×8＝4厘米 2 2
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E
在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理 OA＝ AE 2 OE 2 3 2 4 2 5 厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
AB
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母).
B A
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB).
●
O
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
探求不断
如图,CD是直径, AB弦, CD⊥AB,垂足为M 。 你能发现图中有哪些等量关系？ 请你说说它们相等的理由。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM，AC=BC，AD=BD
A
┗
●
B 小明发现图中有:
O
M
●
由 ① CD是直径
②CD⊥AB,
可推得
③ AM=BM
D
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ． 并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
布置作业：
3、思考题
。O C A E
1
F
B
已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。大 圆的弦CD交小圆于E、 F，OE、OF的延长线 交大圆于AB。 D ⌒ ⌒=BD. 求证： AC
3、思考题
。O A C E D B
已知：在以O点为圆心 的两个同心圆中。大 圆的弦AB交小圆于C、 D. 求证：AC＝DB
如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
N M · 0
G
D
B
E
F
C
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
37.4
C
7.2
A
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
D
B
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 18.7 2 ( R 7.2) 2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
C
•o
┐E
D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的 弧相等吗？为什么?
E
A
N ●O
C
M
└ └
B
D
F
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
CD⊥AB,
⌒ AD=BD.
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
●
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
M ●O
●
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
A F D
O
E
C B
反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于 弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。 2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”.小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒(用两个字母).
D
A
600
B
O ø650
C
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥 拱的半径(精确到0.1m).
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 由题设 AB 37.4, CD 7.2,
R
O
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
r
D A
4
B
r-4
C
⌒ =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的 两条弧. C ∵ CD是直径, A B CD⊥AB, M└ ∴ AM=BM, O
●
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD.
③直径平分弦
D
条件
①一条直径
②垂直于弦
结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
C
A
M└
●
B
O
D
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦， 且CD⊥AB于M， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
证明： 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
A
M└
●
O
D
∵CD⊥AB于M B ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
