19.4坐标与图形的变化
第课时
理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律,以及图形上点的坐标的平移变换的作用.
经历图形上点的坐标变化,培养学生的形象思维能力.
在观察、探究的过程中让学生获得发现的喜悦;体验数学活动中充满着探究和创造;引导学生敢于面对学习和生活中的困难和挫折.
【重点】
图形坐标变化与图形平移变换之间的关系.
【难点】
图形坐标变化与图形平移变换规律的探索.
【教师准备】课件1~6.
【学生准备】复习平移的概念和性质.
导入一:
让学生观察多媒体,一只小蚂蚁刚刚爬出洞口,它向东走了2厘米,你能说出它现在的位置吗?如果它向北走了2厘米,它的位置又在哪里呢?观察它们的变化,你能从中发现什么规律吗?
学生观察多媒体,描述小蚂蚁的位置.
[设计意图]通过问题吸引学生,激发学生学习兴趣,在描述小蚂蚁的位置时,学生会发现表达可能比较混乱,相互间的交流不是很方便,从而引出利用坐标的方法,将实际问题转化为数学问题.
探究1点的平移
[过渡语]在平面直角坐标系中,将一个图形进行平移,会使图形的位置发生变化.当一个图形的位置发生变化时,其顶点的坐标也相应地发生变化,它们是如何变化的呢?请看下面的问题.
思路一
【课件2】在坐标平面上,一只蚂蚁从原点出发,爬行的路径如图所示.
(1)写出A,B,C,D,E这五个点的坐标.
(2)指出蚂蚁在各条线段上爬行的方向和距离,并填写下表.
移动
的路径
平移
的方向和
距离
坐标的变化
横坐
标
纵坐
标
O(0,
0)→
A(0,
2)
向上
平移2个
单位长度
不变加2
A(0,
2)→
B(
)
B(
)→
C(
)
C( )→
D( )
D( )→
E( )
(3)观察各点的坐标变化,当P(x,y)沿x轴左右平移时坐标有什么变化?当点P
(x,y)
沿y轴上下平移时坐标有什么变化?
【教师活动】指导学生讨论交流,让学生根据刚才的表格对探讨过的问题进行总结.
【学生活动】学生先独立思考,然后小组内讨论交换各自的意见和想法,达成共识.
【总结】点沿x轴平移时,纵坐标不变,横坐标左减右加;点沿y轴平移时,横坐标不变,纵坐标上加下减.
探究2图形的平移
[过渡语]在直角坐标系中,将一个图形沿坐标轴平移时,各顶点的坐标是否有相同的变化规律呢?
思路一
【课件4】
如图所示,在平面直角坐标系中,长方形ABCD各顶点的坐标分别为
A(-2,1),B(2,1),C(2,3),D(-2,3).将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度,得到长方形A1B1C1D1.请写出长方形A1B1C1D1各顶点的坐标,并指出对应顶点坐标的变化规律.
【教师活动】引导学生分析图形的坐标变化是由点的变化得到的.
【学生活动】指出各顶点的坐标,探讨对应顶点坐标的变化规律.
解:将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度,各顶点移动的方向一致,移动的距离都是5个单位长度.因此,平移后的长方形A1B1C1D1各顶点的坐标为
A1(3,1),B1(7,1),C1(7,3),D1(3,3).
顶点坐标的变化规律为:长方形A1B1C1D1各顶点的横坐标是将长方形ABCD各顶点的横坐标都增加5,纵坐标不变而得到的.
[设计意图]明确点的平移变化引起图形的位置发生变化,由点到图形上的点的变化,体现知识的迁移过程.
探究3深化理解,总结规律
[过渡语]经过初步的探究,同学们理解了点和图形的平移特征,下面请同学们共同完成“做一做”.
【课件6】
1.在例题的图中,将长方形ABCD沿y轴的方向向下平移4个单位长度,画出平移后的长方形,写出各顶点的坐标,并说出图形平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
2.若将长方形ABCD先沿x轴的方向向右平移6个单位长度,再沿y轴的方向向下平移5个单位长度,画出平移后的长方形,写出其各顶点的坐标,并说出图形平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
先作图,再按题目要求解答.
学生经讨论得出结论:
1.平移后的长方形各顶点纵坐标是由长方形ABCD各顶点的纵坐标都减少4,横坐标不变得到的.
2.平移后的长方形各顶点横坐标是由长方形ABCD各顶点横坐标增加6,纵坐标是由其纵坐标减少5得到的.
【思考】在平面直角坐标系中,对于坐标平面上任意一点P(x,y),将它沿坐标轴方向平移,点的横纵坐标有什么变化.
总结:在直角坐标系中,对于坐标平面上任意一点P(x,y).将它沿x轴的方向向右(或向左)平移k个单位长度,相当于这个点的横坐标增加(或减少)k,纵坐标不变,即点P(x,y)平移到点P'(x+k,y)(或P'(x-k,y));将它沿y轴方向向上(或向下)平移k个单位长度,相当于这个点的横坐标不变,纵坐标增加(或减少)k,即点P(x,y)平移到点P″(x,y+k)(或
P″(x,y-k)).
[知识拓展]直角坐标系中,沿横轴平移,图形上每一点的纵坐标不变,而横坐标增减,简记“左减右加”;沿纵轴平移,横坐标不变,纵坐标增减,简记“上加下减”.“左减右加,上加下减”也可这样理解:沿x轴(y轴)正方向平移,则横(纵)坐标加上平移的单位数量,沿x 轴(y轴)负方向平移,则横(纵)坐标减去平移的单位数量即可.在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数k,得到的新图形就是把原图形向右(或向左)平移k个单位长度;如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数k,得到的新图形就是把原图形向上(或向下)平移k个单位长度.
[设计意图]学生动手操作,发现规律,体验结论的形成过程,通过学生的归纳概括,提高了学生的概括能力.
平面直角坐标系中点的平移规律:
点P(x,y)点P'(x+k,y);
点P(x,y)点P'(x-k,y);
点P(x,y)点P'(x,y+k);
