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中学数学掌握向量的运算法则向量是数学中常见的概念，掌握向量的运算法则对于数学学习至关重要。
本文将从向量的定义入手，介绍向量的基本运算法则，并深入探讨向量的数量积和向量积的计算方法。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用带箭头的字母表示。
常见的向量表示方法为大写拉丁字母如A、B，加上一个箭头，表示向量A、向量B。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
假设有向量A、B和C，其加法法则如下：A +B = B + A （交换律）(A + B) + C = A + (B + C) （结合律）向量加法的本质是将两个向量的对应分量相加。
2. 向量的减法向量的减法也满足交换律：A -B = -(B - A)向量的减法可以转化为加法，即A - B = A + (-B)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量乘以一个常数。
假设有向量A和一个实数k，其数量乘法法则如下：kA = Ak(k1k2)A = k1(k2A)k(A + B) = kA + kB数量乘法的本质是将向量的每个分量进行相应的数乘。
4. 向量的点乘（数量积）向量的点乘的结果是标量。
假设有向量A和向量B，其点乘法则如下：A ·B = |A| |B| cosθ其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A和B的夹角。
点乘的结果表示了两个向量之间的相关程度。
5. 向量的叉乘（向量积）向量的叉乘的结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。
假设有向量A和向量B，其叉乘法则如下：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A和B的夹角，n是一个垂直于A和B的单位向量。
叉乘的结果表示了两个向量之间的垂直关系。
三、练习题1. 已知向量A = (2, 3) 和向量B = (4, -1)，求向量A + B和向量A - B 的结果。
2. 已知向量A = (3, -2) 和向量B = (5, 1)，计算向量A · B和向量A× B的结果。
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
中学数学认识向量与平面的位置关系中学数学认识：向量与平面的位置关系一、向量的基本概念与性质在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。
它由起点和终点两个点确定，在平面上可表示为有向线段。
向量的性质包括加法、数量乘法、共线性和平行等特征。
二、平面的基本概念与性质平面是二维几何空间中的一个基本概念，由无数个点构成。
平面上的点可通过坐标系表示。
平面的性质包括平行、垂直、共面等关系。
三、向量与平面的关系——共面性当三个或三个以上的向量共面时，它们所在的平面称为“共面向量组”。
共面向量组的特点是，其中某一个向量可被其他向量线性表示。
此时，向量组中的向量之间存在一定的关系，可以通过线性组合得到同一个平面上的任意点。
四、向量与平面的关系——垂直性若一个向量与其所在平面上的所有向量都垂直，则该向量垂直于平面。
垂直向量与平面的关系可以通过向量的数量积来判断：若一个向量与平面上的某个向量的数量积为零，则两向量垂直。
五、向量与平面的关系——平行性若一个向量与平面上的所有向量都平行，则该向量平行于平面。
平行向量与平面的关系可以通过向量的叉积来判断：若一个向量与平面上的两个非共线向量的叉积为零，则向量平行于该平面。
六、平面方程的表示使用数学表达式来表示平面的一种常见方式是平面方程。
一般情况下，平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0的形式，其中A、B和C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
七、向量在平面内的投影向量在平面内的投影是指将该向量投影到该平面上的一条线段。
投影的计算可通过向量的数量积和法向量来实现，得到的投影线段与法向量垂直。
八、定点到平面的距离定点到平面的距离是指从给定点到平面上的点的最短距离。
根据向量的点乘和模运算可得到定点到平面的距离公式。
九、应用实例向量与平面的关系在实际问题中有许多应用，如力的合成、几何图形的相似性判定、立体图形的投影等。
了解向量与平面的关系有助于解决这些实际问题。
结论：中学数学中，向量与平面的位置关系是一种重要的数学概念，通过向量与平面的共面性、垂直性和平行性的关系，可以解决许多与平面相关的问题。
初中数学向量的运算与应用知识点提起初中数学的向量，那可真是一段让我又爱又恨的回忆。
还记得当初刚接触向量的时候，我整个人都是懵的。
看着那些带着箭头的线段，脑袋里就像一团乱麻。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
向量的运算，什么加法、减法，还有数乘，一开始对我来说简直就是天书。
就拿向量的加法来说吧，两个向量相加，居然不是简单地把它们的长度相加，而是要遵循平行四边形法则或者三角形法则。
当时我就想，这数学怎么这么爱“刁难”人呐！比如说，有两个向量 a 和 b ，a 的坐标是（3，4），b 的坐标是（1，2），要计算它们的和。
按照三角形法则，得把 b 的起点平移到 a 的终点，然后连接 a 的起点和 b 的终点，得到的新向量就是 a ＋ b 。
这过程中，得仔细算坐标，可不能马虎。
就这一个简单的例子，我当时做练习的时候，那是算了一遍又一遍，草稿纸都用了好几张。
向量的减法也不简单。
它可不是直接把长度相减，而是要把减的那个向量取反，然后再做加法。
有一次做作业，遇到一个向量减法的题目，我想当然地就把长度一减，结果答案错得一塌糊涂。
被老师批改后，那一个个大红叉，真让我面红耳赤。
不过，向量的数乘倒是相对简单一些。
一个向量乘以一个实数，就是把向量的长度放大或者缩小，方向相同或者相反。
但这里也有容易出错的地方，比如符号问题，一不小心就会搞错方向。
在学习向量运算的过程中，我还闹过不少笑话。
有一次课堂小测验，有道题是计算两个向量相加的结果。
我信心满满地做完交了上去，结果老师发下来的时候，我发现自己居然把方向搞反了。
当时我那个懊恼啊，恨不得找个地缝钻进去。
随着不断地学习和练习，我渐渐摸到了向量运算的门道。
我发现，只要认真画图，按照法则一步一步来，其实也没有那么难。
向量的应用那也是相当广泛。
在物理学中，力、速度、位移这些都可以用向量来表示和计算。
就拿扔铅球来说吧。
铅球出手时的速度就是一个向量，它有大小和方向。
要计算铅球能扔多远，就得分析这个速度向量。
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||ABAB →→表示与AB →同向的单位向量。
例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。
(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)⑸的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
中学数学认识向量与直线的位置关系在中学数学中，向量和直线是非常重要的概念。
向量既有大小又有方向，可以表示一个物体的位移或力的大小与方向。
而直线则是由一系列点无限延伸而成的，可以用来表示很多几何图形或者物体的方向和位置。
在数学中，我们经常需要研究向量和直线之间的位置关系，这对于理解几何学和应用数学有着重要的作用。
一、向量的表示和运算在研究向量和直线的位置关系之前，我们先了解一下向量的基本表示和运算。
向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在平面上，一个向量可以由其在x轴和y轴上的分量表示，例如a = (a1, a2)，其中a1表示x方向上的分量，a2表示y方向上的分量。
向量之间可以进行加法和减法运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即a - b = a + (-b)，其中-b表示向量b的相反向量。
二、向量和直线的位置关系在几何学中，我们常常需要研究向量和直线之间的位置关系，可以分为以下三种情况：1. 向量在直线上：如果一个向量与直线重合或者平行，那么我们说向量在直线上。
这意味着向量的方向和直线的方向相同或者相似。
可以通过向量的坐标表示来判断向量是否在直线上。
2. 向量与直线相交：如果一个向量与直线相交且不在直线上，那么我们说向量与直线相交。
这意味着向量的起点和终点分别位于直线的两侧。
可以通过向量的终点坐标来判断向量是否与直线相交。
3. 向量与直线平行或共线：如果一个向量与直线平行或共线，那么我们说向量与直线平行或共线。
这意味着向量和直线的方向相同或者相似，但不一定重合。
三、向量和直线的应用向量和直线的位置关系不仅在几何学中有着应用，还在实际问题中起着重要的作用。
以下是一些向量和直线的应用示例：1. 位移向量：我们可以使用向量来表示物体的位移。
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例、求函数2()3244f x x x =++-的最大值．分析：观察其结构特征，由2344x x +-联想到向量的数量积的坐标表示． 令2(3,4),(,4)p q x x →→==-，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故 ()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即23404x x =>-时取等号，从而问题得到解决．求参变数的范围 求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则 p q a b c k d →→⋅=++=-，222,3p a b c q →→=++=.由p q p q →→→→⋅≤得 2233k k d d -≤⋅-，解得102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-， 22cos a b β→→=-．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 22cos 2ββ-≤-，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．。
课堂教学设计学科：高一数学姓名：课题：6.2.1向量的加法运算课型：新授课教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节课是新课标人教A版（2019）必修第二册中第六章平面向量及其应用之平面向量的加法运算，平面向量的加法，是借助物理中的位移和力的合成引入，通过教学平面向量的加法法则以及加法的运算律两个知识点，初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其它知识奠定了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践．（二）学生情况分析学生在上节课中学习了向量的定义及表示方法、相等向量、平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础．学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过位移的合成和力的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点．学习目标1.理解向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；2.掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；教学重点和难点1.教学重点：向量的加法运算、运算规则及其几何意义．2.教学难点：向量加法概念的形成过程，对向量加法法则的理解．教学资源和教学方法采用多媒体和黑板结合，创设情景，从具实例引入新课。
以学生为主体，通过问题衔接，引导学生思考探究学习。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一创设情境引出课题问题 1 位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．我们先来看一个与位移有关的问题．如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？学生回忆位移的合成的有关知识，通过观察、操作、思考，回答：温故知新.回归课本启发学生由位移的合成引入向量的加法．环节二归纳探索概念形成问题2 由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？问题3 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：如图2，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？问题 4 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算学生独立思考，动手操作后，小组交流学生画图探索，学生代表展示并发表见解由位移的合成引入向量加法的定义及其三角形法则．继续挖掘学生头脑中的旧有认知——物理中力的合成的实例，不仅帮助学生加深理解向量加法的定义，而且可以借助力的合成的平行四边形法则，引入向量加法的平行四边形法则．通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上是一致的．例1 如图3，已知向量a，b，求作向量a+b．学生先尝试，通过独立思考和动与数的加法相比，向量的加法复杂了许多，为此，设置环节三概念的巩固应用追问1 在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形法则作图呢？问题5 如图4，（1）已知向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？（2）结合例1探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系．问题6 请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和．问题7 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．例2 如图6，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为手操作，经过同学交流学生思考回答学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看成是三角形法则的特例学生思考、动手操作学生自主探究，猜想并互相交流．学生作出几何图形，将问题转化为向量加法问本例题明确如何作出两个向量的和，进一步帮助学生理解向量加法定义、几何意义，强化学生的作图意识，帮助学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．（1）借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，帮助学生认识共线向量的加法也适合向量加法的三角形法则，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养．（2）让学生借助数形结合发现向量的和的长度与原向量长度和的关系：|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．促进学生多角度理解向量加法定义，教会学生理解一个数学概念的一般方法．明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养．体现向量加法在实际生活中的应用，要求学生能够把它转化为向量的加法运算，体会其15 km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6 km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1o）．题，并依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果.中应解决的问题是确定向量的大小及方向，发展学生解决实际问题的能力．环节四目标检测5.教科书第10页的练习．独立思考完成练习.通过练习及时巩固、反馈．考查学生对平面向量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的掌握情况．环节五归纳总结1. 你是如何理解向量加法的定义？；（几何表达）2. 向量加法的运算律有什么？；3. 本节课的学习过程中用到了哪些数学思想？回答本节课学到了什么。
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
人教版数学向量的认识与运算向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于物理、几何以及其他领域。
而在中学数学教材中，人教版数学向量的学习是非常重要的一部分。
本文将介绍人教版数学向量的认识与运算，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
第一部分：向量的基本概念在学习向量之前，我们首先需要了解向量的基本概念。
向量是由大小和方向共同决定的量，通常用有向线段来表示。
在人教版数学中，向量通常用大写字母表示，例如AB表示从点A到点B的向量。
第二部分：向量的表示方法人教版数学主要介绍了二维向量和三维向量的表示方法。
对于二维向量，我们可以使用坐标表示法或单位向量法。
坐标表示法指的是将向量的起点放在原点O，并用终点的坐标表示向量。
单位向量法则是将向量表示为一个已知方向上的单位向量，并用向量的模长乘以单位向量的方式来表示向量。
对于三维向量，同样可以使用坐标表示法或单位向量法。
不同的是，坐标表示法需要使用向量在三个坐标轴上的投影来表示。
而单位向量法则是使用与向量方向相同的单位向量来表示，并在单位向量前面加上向量的模长。
第三部分：向量的运算人教版数学中，常见的向量运算有向量的加法、减法和数量乘法。
向量的加法：向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A + B的分量为（a1 + b1，a2 + b2）。
向量的减法：向量的减法运算是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A - B的分量为（a1 - b1，a2 - b2）。
数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新向量。
例如，向量A的分量为（a1，a2），标量k为任意实数，则向量kA的分量为（ka1，ka2）。
第四部分：向量的性质人教版数学中也介绍了一些向量的性质，包括共线、共面和向量的线性组合。
一、教材内容分析6.2.1平面向量基本定理本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。
平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。
定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打下基础。
定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
三、学习者特征分析（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。
同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。
（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分将作为本节课的重点内容四、教学重点、难点教学重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解；五、教学方法探究式，小组合作学习六、教学过程1共线向量基本定理【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，探究 ：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。
1中学数学教学中的向量齐民友(武汉大学数学与统计学院 430072)编者按 本刊将连载齐民友先生谈中学数学课程中向量、三角函数和复数的文章。
齐先生是武汉大学教授,是我国著名的数学家,曾在偏微分方程等研究领域内做出过重要贡献。
齐先生为培养数学人才倾注了毕生精力,他给本科生上课,指导研究生,编写偏微分方程等方面的教材,甚至在担任武汉大学校长,行政事物繁忙的四年多时间里,他仍然坚持上课,参加讨论班。
他认为培养年轻人,"共同治学,一乐事也"。
近年来,齐民友先生对数学教育特别关注,经常到湖北省和武汉市的中学教研室、师院、师专、教育学院等地讲学,从“集合论的基本知识”,“向量”,“中学老师进修的几个问题”,“国内外数学教育比较”到“世纪之交话数学”,题目广泛、观点明晰、思想深刻,有独到见解。
(见中国现代数学家传,第四卷)目前,世界上不少数学家参与到中小学教育中来,比如日本数学家,菲尔兹奖得主小平邦彦,日本学士院院士弥永昌吉,日本数学教育学会会长藤田宏等都编写过日本中学教科书,齐民友先生也参加了我国的中小学教材编写本刊发表的文章,就是齐先生在教材编写中的思考,相信会对老师们和数学教育工作者们有所启发。
正在推行的中学数学教学内容的改革中,增加了不少原来在高校讲授的内容,向量是一个突出的部分.这件事不少人认为是大学教学内容的‘下放’,因而有不少担忧.但是从科学发展的历史来看,‘下放’是不可避免的.例如小数,到16世纪才开始流行,现在则是小学算术的内容,谁也不说是‘博士研究课题下放’.从世界主要国家的中学数学教材来看,包含了微积分初步,概率论与统计学初步等等,已是普遍的现象.向量也是同样.考虑到教育是国力的基础,如果我国中学生的数学水平远远落在世界平均水平之下,则给我们带来的困难,将会比我们现在努力改进,充实数学内容,提高教师准备程度等等遇到的困难,大得无可比拟.但是简单地‘下放’也会事与愿违.现在的向量是在大学课程中教.由向量而到更抽象的线性空间;或者由向量而向量场,而微分几何,这些都是通向现代科学的大道.现在大学里的教法适合于这一途径,但是不完全适合中学教学所需.所以简单地用“初步”二字,把大学教材删节简化,当然会造成中学数学课负担过重,偏深偏难,老师无法教,学生无法学.所以一方面必须对大学教的向量等等内容的处理需作很大的改变,另一方面也需要改变中学教学多年来形成的习惯.否则向量的新内容与中学教材的主体很难融合.近年来,因为参与了中学数学教材的编写工作,与负责数学‘课标’、教材的编审的同志以及中学老师有不少接触,与近年高考命题阅卷的老师也有一些接触.各个初等数学教学刊物几乎每期都有与向量有关的文章.根据这些信息,写了下面的文章,抛砖引玉,以供切磋.先把我处理向量这一部分教材“总结”出来的几条“原则”提出来,可能有助于读者评论作者的想法和写法.在文中来再详细解释它们.(1)先用其“意”,慎用其“词”.把哪些是“意”,哪些是“词”各作适当处理.避免以“词”害“意”.也避免用“词”不准确引起误解.(2)从删繁就简进到化繁为简.(3)把“数形结合”这个笛卡儿等大师们研究数学的重大创造,转化为我们“教”数学和“学”数学的有力工具.1 什么是向量现在大多数教材都说:向量就是有大小有方向的量.其实不这么简单,应该说,我们在现实生活中遇到的许多量都有三个要素:2007年 第46卷 第4期 数学通报2 11起点,或作用点,着力点等等;21大小和方向.我们把这三个要素分成了两组,是因为它们对所研究对象的作用不同,研究方法也不同.现代数学中是先研究后一组:大小与方向,由此得到向量的概念和理论.所以才说向量就是有大小,有方向的量.例如人教版高中数学第二册(下B)(以下简称‘二下(B)’)的表述:“这个平移就是一个向量a‘由西向东平移4个单位长度’”(二下(B)26页)就是准确的.它得到了向量之意:方向由西向东,大小4个单位,而完全不讲平移的起点.但是有的书上说:两个大小与方向都相等而仅有起点不同的有方向的量就‘看成’或‘当作’同样的‘量’或同样的‘向量’,这种表述会引起误解.下面举三个‘怪论’.(1)教室南墙的天花板缝与地板缝,如果由西向东量,显然大小与方向都相同,东墙的天花板缝和地板缝也是一样的.如果把天花板缝和地板缝‘看成’同样的向量,那么东墙的天花板缝和南墙的地板缝是决定了天花板还是地板?所以必须把墙缝的起点考虑进去,它们不是只有大小与方向的向量,而是同时还有起点的有向线段.两个具有公共起点的不平行的有向线段才能决定一个平面.但是即令这一点也需解释.(2)由北京到天津可由一个平移来完成(注意,平移按定义是沿一定方向的运动,乘火车“由北京到天津”只表示旅客的位置变动最终由一向量表示,而不表示实际的运动路径———铁道———是一直线),再由济南到南京又用一个向量来表示.两个向量可以相加,那么(北京到天津)+(济南到南京)有什么意义?所以旅行一定有起点,旅行应由有向线段来表示,绝不能忽略起点而只考虑大小和方向.两个有向线段只有首尾相连时才谈得上相‘加’.所以上面提到的‘加法’没有意义.(3)第三个怪论更类似胡搅蛮缠:北京起了北风,风速每秒3米,这是一个向量.上海起了东风,风速也是每秒3米,这又是一个向量.两个向量可以相加,成为东北风,风速每秒32米.可是,是南京起了东北风,还是济南起了东北风?这个怪论的性质与前两个还不同.因此,我建议在一开始就对向量作如下表述:“在物理学和几何学中有许多量要采用有向线段来描述.有向线段必有三个要素:起点,大小与方向.但是起点与另两个要素性质和处理方法都不同.所以我们暂时把起点放在一边,而称有大小和方向的量为向量”.但是如果没有起点,向量就无法表示.因此为了对向量作几何描述,我们规定把向量的起点放在原点.这样就得到:起点在原点而有一定大小、方向的量.(见图1)图1 AB,C D是同样的向量这种表述与现行教材有很大的区别.例如下图中的两个向量按现有教材说是相同的.而按我们的说法,则只看到两个有向线段,其大小与方向虽相同,起点则不同.所以我们只能说,它们包含了相同的向量v(什么叫包含下面要细说),作为自己的成份.这样做有什么好处?首先,它避免了上面的前两个怪论.其次,由此继续讲向量的运算之几何意义最为方便.可是最重要的是:它最便于建立向量的第二种表述:坐标描述(或称R n描述.以下我们只讨论R3,即讨论三维空间中的向量,但是结果对于平面向量也成立.)因为一方面,若取基底向量i,j, k(都以原点为起点),则用平行四边形法则,一定有三个实数vx,v y,v z使v=v x i+v y j+v z k,从而v=(v x,v y,v z).反过来,若给定了一组实数(v x, v y,v z),也可以通过以上作法得到v,其起点仍在原点.总之有一个一一对应.由此可见,只要把基底向量的起点放在原点,则得到的一切向量起点也必在原点.所以规定向量的起点在原点其实是最自然的选择.图2 向量的起点都放在原点那么,为什么现行教材都不作这样的限制呢?作者认为可能是由于一个考虑:例如在把向量应用于几何问题时,向量起点总是要变动的.但是,作者以为,如果明确提出:在解决几何问题时,一方面系统地跟踪起点的变动,另一方面对只具大小与方向的向量按照向量理论的方法来处理———这是应用向量于几何问题时关键性的思想.这时很容易看到在向量的几何描述中规定用起点在原点的有向线段来表示向量,不但不会影响向量概念的数学通报2007年 第46卷 第4期3 广泛性,而且会使其应用更加方便.下面还要用许多例子详细解释.以上我们得到了向量的几何描述.这样得到的向量的集合具有线性结构,即有两种运算:加法———用几何语言来讲即平行四边形法则,以及数乘向量———位似中心在原点的位似变换,而且有以下的基本定理:任一向量v必可表示为某一组基底i, j,k的线性组合v=v x i+v y j+v z k(1)而且这种表示是唯一的.于是三维空间当选定了原点以后就会被向量的端点填满.因此,这个空间就称为一个向量空间或线性空间.所以比较准确的说法是:向量空间———线性空间———就是有一个特定原点(这一点是非常重要的),容许两种运算的R3(或R n,R2).向量还有另一种表述,即表为一组n个(例如3个)实数v=(vx,v y,v z),称为坐标描述.它的主要优点在于:一切运算都化成了数的代数运算.这两种描述之间有一种对应关系:以原点为起点的有向线段v～(v x,v y,v z)这种对应关系不只是一一对应,而且保持运算关系.这样的对应关系称为同构.同构是最基本的数学概念之一.有了两种描述后就可以问;既然说向量有两种描述,那就是说向量还有其自身,那么向量自身是什么?或者说向量的定义是什么?可以确定地说“向量就是有大小有方向的量”不是定义.因为在数学中给出了一个定义后,一定能推导出被定义的对象的种种性质.例如由等腰三角形之定义———有两边相等的三角形,就可以推导出它的两个底角相等,底边的中线一定是垂直平分线等等.但是如果以“有大小和方向的量就是向量”作为向量的“定义”,怎能推导出例如加法的平行四边形法则?解决之道是把最必须的运算也归入定义之中.所以在现代数学中是作了很大的抽象化,先定义线性空间(或称向量空间,有人以为这是循环定义:没有定义向量怎能定义向量空间?这是一个误解,向量空间的“向量”二字其实是用作“形容词”),然后定义向量为线性空间的元素.这种处理方式人称公理化,但与欧氏几何的公理化颇有不同:欧氏空间的最基本元素点、直线、平面都是无定义的,但是其含意在人们心理上是没有疑问的.这种下定义给公理的方法不妨称为基于直觉、经验的定义与公理化.处理向量时,有向线段是很直观的,可是我们不能直接以它为基础来给出向量的定义,而是至少把它与实数(v x, v y,v z)对照以后,在高度抽象化的基础上才提出线性空间的公理以及向量的定义.对此不妨称为基于抽象化的公理化与定义(这个提法并非作者编造,至少大数学家外尔(H.Weyl)这样说过:他的说法是definition(axiomatization)by abstraction.这种给定义的方式在19世纪后半叶才出现,标志数学极大的进步.在中学教材中则是第一次出现,因此老师们也会感到生疏.现在的高中数学老师大多数学过大学的线性代数课程,线性空间是都学过的.但是大学里教线性空间是为了更高深的课程,没有想到有朝一日它会进入中学教材,当然也不会想到它与中学教学习惯的思维方式多么格格不入,我不主张要对中学生讲这些道理,但是在中学教师的培训中提到这一点大有好处.在有了线性空间的公理化定义以后,前面讲的几何描述和坐标描述就成为线性空间的两个模型;几何模型和坐标模型.这里又一次看到思想上的飞跃或颠倒;原来人们是由具体的起点放在原点的有向线段出发上升到抽象的线性空间定义;现在反过来了,抽象的线性空间成了出发点,具体的几何图形反而成为模型了.然而由此就会产生一个问题:线性空间还有没有其它模型?有,2维的线性空间还有一个极重要的模型:复数平面.但3维或更高维的则没有.关于复数,准备以后另写专文.由此对教学再提一点建议:不宜过分强调“向量就是有大小和方向的量”,而应该指出这只是向量的几何描述.应该把重点放在向量的线性构造上,它体现在现行教材中讲的向量的基本定理上.要特别强调,线性空间有一个特别的点:原点.描述一切向量时都要以它为起点.这对处理几何问题特别重要.2 向量怎样有了大小和方向当作者提议在中学教学中对向量作为有大小和方向的对象不宜过分强调,因为向量只是线性空间的元素时,有不少老师是反对的.因为他们认为这是过分抽象,而且无法从“生活情境”引入.对此谨作以下“申辩”.现在的中学课标开始把注意力引向数学在社会经济生活中的应用,而且有不少选修课(至少是教学内容)主要来自这些领域.线性规划是一个例子.可是在这些领域中,没有大小和方向2007年 第46卷 第4期 数学通报4的向量可谓比比皆是.现从“生活情境”中引进一个例子.如果你开一个书店,当然随时要盘点存货.一个书店卖1000种书是常事.于是你把这1000种书的存量列为一个“表”:a=(a1,a2,…,a1000).它确实是一个向量.甚至令某一个元例如a2=-10也是很好理解的:这部书太畅销,不但卖光了,还有10个顾客留下定单!它可以相加.例如你有两个连锁店,另一个店也有一个表:b=(b1,b2,…,b1000),你的总存货就是a+b=(a1+b1,a2+b2,…,a1000+b1000).也可以讨论13a:例如你开了一个新销售点,就把第一个点存货的13拨到新点去了,于是拨过去的就是1 3a=a13,a23,…,a10003.一个银行有10万存户,存户们的存款总额就可以表为一个10万维向量!你能说这些例子太抽象吗?这样的例子真可谓要多少有多少!这些向量大小、方向是什么?但是同时应该注意,并非每一个数表都是向量,例如我们身份证号码中有一部分是出生日期.例如×××…×19910324×××就表示这个持证人是1991年3月24日出生,不妨写为(1991,3,24).但它决非向量,因为对它不能进行向量的运算:2×(1991,3,24)= (3982,6,48)就毫无意义:3982年6月当然可能生下一个人,但怎么也不可能出生于6月48日!以上我们讲的是,由于科学的发展,甚至在中学教学中也会遇到没有大小、方向而只有线性结构的向量.因此,不能把话说得太死.许多人认为这是过分抽象化,是布尔巴基的流毒,其实是因为没有充分看到向量应用领域的扩大.过去(指20世纪50年代前),讲向量只用于几何、力学、物理.在那里当然向量就是有大小,有方向的对象.现在情况在变.但是就主要方面,就中学教学中经常遇到的情况而言,向量仍主要出现在几何,力学,物理问题中,因此还要讨论向量的大小与方向问题.但是,现在人们明白了,一个向量能否决定其大小和方向(方向可由夹角来表示),不仅是看它的大小和方向在物理上有无意义,更要看你定义出来的大小与方向是否适合数学上的某些要求.如果不适合则必出问题.这些要求是什么?就是线性空间必须适合某些要求,这些要求又是以一组公理形式出现的,具体说来即要求在线性空间中对其任意两个元素(即两个向量———我们不再使用箭头,以表示现在向量是一种抽象的东西)都有一个实数x・y,或记为(x,y),称为其数量积.它要适合某些要求:(ⅰ)λx・y=x・λy=λ(x・y),λ是实数;(ⅱ)x・(y+z)=x・y+x・z;(x+y)・z=x ・z+y・z;(ⅲ)x・y=y・x;(ⅳ)x・x≥0,而且当且仅当x=0(零向量)时为0,所以它可以写为x・x=‖x‖2,这样保证了它的非负性.‖x‖=0当且仅当x=0,‖x‖称为向量x的长度(或范数,或模).其实模就是绝对值的推广,所以,在中学教学中就不必使用记号|x|,而直接使用|x|好了,下面我们都是这样作的.(ⅴ)施瓦兹不等式|x・y|≤|x|・|y|(2)以上的叙述可能不准确、不完备,请参看任何一本线性代数教材中关于欧氏空间的论述.如果一个线性空间,能以某种方式定义适合以上要求的数量积,就称为欧氏空间,因为这时欧氏几何中的许多概念都可以在这里得到反映.总而言之,有了(ⅳ)就有了向量的大小,有了(ⅴ)就有了向量的交角,因此就有了方向.那么,线性空间中怎样才能找到适合以上要求的数量积?应该说,这样的数量积有无穷多种.在介绍最有用也是最常见的一种之前,我们先对一般的欧氏空间定义向量的正交性,然后在必要时对一个向量x乘以适当常数1/|x|,令y=x/|x|,则|y| =1,y有时称为把x规范化,任意非零向量都可以规范化,(但是零向量不行).在通常的线性空间中,例如(1)式的基本定理中的i,j,k互相就谈不上正交,因为正交并未定义,也谈不上|i|=|j|=|k|= 1,因为向量的范数现在还没有定义.在欧氏空间中有一种特别有用的基底,就是满足|i|=|j|=|k|=1i・j=j・k=k・i=0(3)适合条件(3)的基底称为规范正交基底.它就是笛卡儿坐标系.以后我们就专门使用欧氏空间一定有规范正交基底这个坐标系,因此图1就应该画成图2.这样,我们又回到一般教材中讲空间向量分解时所用的图.一般的中学生不知不觉地从图1走到图2,时常以为图2的直角坐标系(即笛卡儿坐标系)是自然而然就有的,殊不知这里面绕了这么大数学通报2007年 第46卷 第4期5 的圈子.我以为,对中学生就不能要求他们知道这么多,但是中学老师必须知道,只有线性结构就无法说明向量的大小和方向,还必需要有适合以上要求的数量积,即欧氏结构.正如线性空间有多种不同的模型一样,欧氏空间也至少有两种常用的模型,现设在欧氏空间中已经定义了一个笛卡儿坐标系,于是在其几何模型和坐标模型中,我们可以定义其数量积如下:211 几何模型对于向量a ,b 我们定义其数量积为a ・b =|a ||b |cos α(4)α是a ,b 的夹角.图3 向量的数量积注意,我们这里讲的是3维空间,但作为夹角是一个平面几何概念.事实上,除非a ,b 共线,它们必决定一个平面π,而(4)式在这个平面中即有意义.尽管π不是坐标平面,可是平面欧氏几何的一切结果在π上均成立.这是一个在立体几何课程中时时刻刻都用得上的思想,但如果不提一下,人们就会淡忘了,更不会想到,哪怕a ,b 是更高维空间的向量,它们仍旧构成一个普普通通的平面,在其上平面欧氏几何总是适用的.当a ,b 共线时,即存在一个实数c 使a =c b 或b=c a ,c 可正可负甚至可以为0,则a ,b 不能决定一个平面π,但我们仍用(4)来定义a ・b .如果c ≠0;若c =0,则定义a ・b =0.我们说(4)式定义了数量积,那么它是否适合上面的条件(i )—(v ).其它都好办,特别是施瓦兹不等式现在成了不言而喻的.但是其代数运算法则(i )—(iii ),特别是分配律就难办了,人教社的教材是用几何方法证明的,但是对于3维向量怎样讲投影呢?甚至在平面情况也有极大困难(理由见下文).所以教材上说请同学们自己思考,是要求太高了.实际上只能是由老师直接宣布结果,如果有少数优秀学生问起,再引导他们深入下去.212 坐标模型设有两个向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则定义a ・b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3(5)现在证明它适合(i )—(iii )就十分容易了.这是坐标模型最大的好处,(iv )也容易,因为在笛卡儿坐标系下,由勾股定理,直接有|a |2=a 21+a 22+a 23.(v )式是一个极重要的不等式,我们不但应该知道其代数证明,而且应该知道其几何意义.知道它其实就是余弦定理.课标是在选修课的不等式选讲中提到它而且称为不等式,也应说明代数证明如下:任取实数λ,则由向量范数的定义有0≤|a +λb |2=(a +λb )・(a +λb )=|a |2+2λa ・b +λ2|b |2=Aλ2+2B λ+C,A =|b |2,B =a ・b ,C =|a |2(6)(6)式是λ的二次三项式,它恒取非负值的充分必要条件是B 2≤AC ,双方开方即得.几何意义下面再说.现在余下的问题是要证明(4)式与(5)式是等价的.有多种方法证明这一点,现在需要加以比较.一种方法是得用“差角公式”cos (α-β)=cos αcos β+sin αsinβ(7)如果两个向量a ,b 之辐角分别为α,β,则其“夹角”为α-β(还可能有符号问题),则由上式有|a ||b |cos θ=|a |cos α・|b |cos β+|a |sin α・|b |sinβ=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3在“课标”中是建议利用数量积来证明(7)式,但为此就需要先证明数量积的两种定义一致,这又如何证明?现在则反过来,利用(7)式证明两种定义的一致,则“差角公式”又怎样证?我们来分析一下现在中学教材证明例如cos (α+β)公式的方法.由图4立即就知道证法了,详细的说明可以在任何一本中学教材上找到,所以不重复.但是实际上这个证明只适合于α,β与α+β均为锐角的情况.一般情况如何?许多中学教材就说它在其它情况下也正确,或者“可以仿此类推”.这还是比较负责任的,实际上我怀疑谁真正考查过“其它情况”,甚至其它情况有多少种都不易说清.而且如果这样做,就会至少遇到两个问题:①线段的“长”现在规定非负,似乎应赋以符号,否则这些公式的加减号要根据不同情况作不同选取.这里有没有一般原则?2007年 第46卷 第4期 数学通报图4 现行教材中和角公式的证明②中学里讲这个公式时也会遇到投影或射影的说法,但和我们现在讲的又不尽相同,追究下去要问:向量x 在向量y 上的投影(现在只讲正交投影,其实还有非正交投影)是向量还是数量?如果说是一个几何线段,则它应不应该有符号?我们说式a ・b =|a |cos α・|b |中|a |cos α是a 在b 上的投影,则它是有符号的数了,但是在讲线性变换(课标系列4,矩阵与变换)时,又说投影是矩阵,将a 投影的结果应是某矩阵A 作用于a ,而得到A a .所以投影又应为一向量.所以应该把b 方向的单位向量l 取出来,而称|a |cos α・l 为a 在b 上的投影.那么:数量积a ・b=(a 在b 上的投影)(b 的长度)这个正确说法似乎又要修改.总之给人一个印象就是越说越糊涂.很有必要在中学教材涉及的范围内给一个说法:既要在数学上站得住脚,又要便于教学,这是后话.造成这种情况的原因在于,我们需要从一个新的视角来看待三角函数,向量正是一个很好的途径,我们将在另一篇文章中介绍对三角函数的一种讲法,而完全可以避免以上的尴尬情况.上述讲法另一个缺点是,它很难用于3维向量.我以为讲(4)与(5)的等价性的更为适合的方法是用余弦定理.在解释何以这样做更为适合之前,先再讲一次具体的作法.这里请大家特别注意,我们是就3维向量来讲的,但是对平面情况完全适用.图5 在3维空间中,余弦定理仍是平面问题首先,由(4)到(5)考虑两个向量(如果它们共线,或者一个向量是零向量,等价性是不必证明的).于是有三个点O (o 1,o 2,o 3),A (a 1,a 2,a 3),B (b 1,b 2,b 3).我们把它们的三维坐标都写出来了.它们虽然是3维向量,但是这个三角形位于一个平面π(图5)上.欧氏几何的一切结果在这里都有效.它的任意两点的距离,无论是作为3维空间还是2维平面的点的距离都是相同的.因此|AB |2=(a 1-b 1)2+(a 2-b 2)2+(a 3-b 3)2=(a 21+a 22+a 23)-2(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)+(b 21+b 22+b 23)(8)但由余弦定理,|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cosα(9)比较二式即得|OA ||OB |cosα=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3按几何描述在左方就是数量积公式a ・b 即(4)式.代入上式即得(5).再证明由(5)可以得(4).我们仍由(8)出发.但由数量积的性质(ⅰ)-(ⅴ),(8)式可另写为|OA -OB |2=(OA -OB )・(OA -OB )=|OA |2+|OB |2-2OA ・OB(10)但由施瓦兹不等式|-2OA ・OB |≤2|OA |・|OB |,所以一定能找到实数λ:|λ|≤1使OA ・OB =λ|OA |・|OB |但在[0,π]在中一定有唯一的角θ使λ=cos θ,代入上式即得OA ・OB =|OA |・|OB |cosθ但这就是(4)式.不放心的读者可能会问,这样算出来的θ是否恰好是图5中的α?问这样的问题反映发问的读者对代数计算的结果在几何上的可靠性还有疑虑.,,|OA -OB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA |・|OB |cosα,这里0≤α≤π.与(10)式以及OA ・OB =|OA |・|OB |cos θ比较即得θ=α.这一段由(5)到(4)的证明特别重要之处在于,它应用了施瓦兹不等式.这说明施瓦兹不等式就是余弦定理(后者又是勾股定理的推广,所以称余弦定理为推广的勾股定理是完全正确的).许多人以为只要对每一个向量a 都规定一个非负数‖a ‖(称为范数或模),这个向量空间就成了欧氏空间.这是不行的,哪怕再规定范数适合“三角形不等式”‖a +b ‖≤‖a ‖+‖b ‖也不行.因为这时还没有办法定义“角”.而为了定义角,就需要有适合(i )—(v )的五条性质,其中(ⅴ)最值得注意,它就是余弦定理———推广的勾股定理.(4)与(5)的等价性就是说,用代数方法作出的欧氏空间(下转第14页)。
