整式及乘法公式

第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。

三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。

小明想到了如下方法：()2541002m25=2==，即25个16相乘的积；n=375=（33）25=2725，即25个27相乘的16积，显然m＜n，现在设x=430，y=340，请你用小明的方法比较x与y的大小。

〖选题意图〗本题考查了幂的乘方的性质的运用，确定指数是关键，两个底数不同，指数相同的数比较大小，底数大的值比底数小的值要大．〖解题思路〗根据题意先把x、y分别写成（43）10、（34）10，然后比较底数的大小即可．〖参考答案〗解：由阅读材料知：x=（43）10=6410，y=（34）10=8110，又∵64＜81，∴x＜y．故答案为x＜y．【课堂训练题】1．若，求x3m+3n的值〖参考答案〗解：x3m+3n=x3m•x3n=（x m）3•（x n）3=（）3×33=．2．比较下列一组数的大小．8131，2741，961〖参考答案〗解：∵8131=（34）31=3124；2741=（33）41=3123；961=（32）61=3122；∴8131＞2741＞961．【例题3】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2项和x项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？〖选题意图〗本题考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．要灵活掌握立方和公式．〖解题思路〗先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2项和x项的系数为0，求得a，c 的值，代入求解．〖参考答案〗解：∵（x+a）（x2﹣x+c），=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，又∵积中不含x2项和x项，∴a﹣1=0，c﹣a=0，解得a=1，c=1．又∵a=c=1．∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1．【课堂训练题】1．若x3﹣6x2+11x﹣6=（x﹣1）（x2+mx+n），求：（1）m、n的值；（2）m+n的平方根；（3）2m+3n的立方根．〖参考答案〗解：（1）∵（x﹣1）（x2+mx+n）=x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n=x3﹣6x2+11x﹣6∴m﹣1=﹣6，﹣n=﹣6，解得m=﹣5，n=6；（2）当m=﹣5，n=6时，m+n=﹣5+6=1，1的平方根为±1；即m+n的平方根为±1（3）当m=﹣5，n=6时，2m+3n=﹣10+18=8，8的立方根为2．2．已知a，b，k均为整数，则满足等式（x+a）（x+b）=x2+kx+30的所有的k值有个．〖参考答案〗解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+30，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+30，∴a+b=k，ab=30，∵a，b，k均为整数，∴a=±1，b=±30，k=±31；a=±2，b=±15，k=±17；a=±3，b=±10，k=±13；a=±5，b=±6，k=±11；故k的值共有8个，故答案为8．【例题4】老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．〖选题意图〗本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．〖解题思路〗通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．〖参考答案〗解：（1）112﹣92=8×5，132﹣112=8×6．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．当m，n同是奇数或偶数时，m﹣n一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．当m，n﹣奇﹣偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．【课堂训练题】1．计算：〖参考答案〗解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．应用平方差公式化简得n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．2．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）28和76是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （k 为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？为什么？〖参考答案〗解：（1）是，∵28=82﹣62，76=202﹣182． （2）是，∵（2k+2）2﹣（2k ）2=4k+4=4（k+1）， ∴由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数．【例题5】已知a=2002，b=2003，c=2004，求a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值． 〖选题意图〗本题考查了完全平方式，对原式扩大2倍或 提取21求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想．〖解题思路〗题中出现两个数的平方和及两个数积时，考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算．〖参考答案〗解：∵2（a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc ），=a 2+b 2﹣2ab+a 2+c 2﹣2ac+b 2+c 2﹣2bc=（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2， =（2002﹣2003）2+（2002﹣2004）2+（2003﹣2004）2=1+4+1=6， ∴a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=3． 【课堂训练题】1．一个单项式加上多项式9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．〖参考答案〗 解：∵9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5=9x 2﹣20x+4，又∵一个单项式加上9（x ﹣1）2﹣2x ﹣5后等于一个整式的平方， ∴此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项， ①∵9x 2﹣20x+4+=（3x ﹣）2，故此单项式是；②∵9x 2﹣20x+4+8x=（3x ﹣2）2，故此单项式是8x ； ∵9x 2﹣20x+4+32x=（3x+2）2，故此单项式是32x ； ③∵9x 2﹣20x+4+16x 2=（5x ﹣2）2，故此单项式是16x 2； 故答案是、8x 、32x 、16x 2．2．试说明：（a 2+3a ）（a 2+3a+2）+1是一个完全平方式．〖参考答案〗证明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1=（a2+3a+1）2，∴（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式．【例题6】已知多项式6a2+mab﹣ab﹣10b2除以3a﹣2b，得商为2a+5b，求m的值．〖选题意图〗本题主要考查了整式的乘法和除法互为逆运算，根据对应项的系数相同列出等式是解题的关键．〖解题思路〗根据整式的乘法和除法是互逆运算，把（3a﹣2b）（2a+5b）展开再利用对应项系数相等即可求解．〖参考答案〗解：∵（3a﹣2b）（2a+5b）=6a2+11ab﹣10b2，∴mab﹣ab=11ab，∴m﹣1=11，解得m=12．故m的值为12．【课堂训练题】1．是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除？如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由．〖参考答案〗解：假设存在，则说明x4+px2+q能被x2+2x+5整除，可设另一个因式是x2+mx+n，∴（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+q，即有x4+（m+2）x3+（n+2m+5）x2+（2n+5m）x+5n=x4+px2+q，∴且解上面的方程组，得，∴存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除．故所求p=6，q=25．2．阅读下面一段话，解决后面的问题．观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5，﹣15，45，…的第四项是．（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有=，…所以a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3，…，a n=（用含a1与q的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10，第三项是20，则它的第一项是，第四项是．〖参考答案〗解：（1）∵﹣15÷5=﹣3，45÷（﹣15）=﹣3，∴第四项为45×（﹣3）=﹣135．（2）通过观察发现，第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方，即：a n=a1q n﹣1．（3）∵公比等于20÷10=2，∴第一项等于：10÷2=5，第四项等于20×2=40．a n=a1q n﹣1．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．5x3y2与一个多项式的积为20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2，则这个多项式为（）A．4x2﹣3y2B．4x2y﹣3xy2C．4x2﹣3y2+14xy4D．4x2﹣3y2+7xy32．如果一个多项式与（2x﹣3）的积是4x2﹣12x+9，那么这个多项式是（）A．4x2+9 B．8x2﹣27 C．2x﹣3 D．2x+33．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则第一个多项式是多少？4．已知272=a6=9b，求2a2+2ab的值．5．（1）计算（x+1）（x+2）=，（x﹣1）（x﹣2）=，（x﹣1）（x+2）=，（x+1）（x﹣2）=．（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知a、b、m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多少个？6．计算：（1）898×902；（2）303×297；（3）9.9×10.1；（4）30.8×29.2．7．计算（1）；（2）（x m﹣y n）（x m+y n）；（3）；（4）（x+y+z）2．8．计算：（1）（2）（﹣4x﹣3y2）（3y2﹣4x）9．利用乘法公式计算：（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）；（2）（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4）；（3）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）；（4）[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2）；（5）（m﹣n﹣3）2．10．已知多项式2x3﹣4x2﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，求这个多项式．B类试题：11．阅读下列解答过程，并回答问题．在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，求a，b的值．解：（x2+ax+b）•（2x2﹣3x﹣1）=2x4﹣3x3+2ax3+3ax2﹣3bx=①2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx ②根据对应项系数相等，有，解得回答：（1）上述解答过程是否正确？．（2）若不正确，从第 步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？ ． （3）写出正确的解答过程．12．已知多项式x 2﹣mx ﹣n 与x ﹣2的乘积中不含x 2项和x 项，求这两个多项式的乘积．13．已知6x 2﹣7xy ﹣3y 2+14x+y+a=（2x ﹣3y+b ）（3x+y+c ），试确定a 、b 、c 的值．14．填空（x ﹣y ）（x 2+xy+y 2）= ；（x ﹣y ）（x 3+x 2y+xy 2+y 3）= 根据以上等式进行猜想，当n 是偶数时，可得：（x ﹣y ）（x n+x n ﹣1y+yn ﹣2y 2+…+x 2yn ﹣2+xyn ﹣1+y n）= ．15．（1）若（2x ﹣1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 4+a 2+a 0的值． （2）已知a ，b ，c 为实数，且4122411-++-=--++b a c b a ，求：a+2b ﹣3c的值．16．已知x+=3，求的值；17.求值：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232．18．两个连续偶数的平方差能被4整除吗？为什么？19.用乘法公式计算：①20022﹣2001×2003；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）20．阅读下列材料：一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．已知a=20042+20042×20052+20052，试说明a是一个完全平方数．C类试题：21．小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=﹣1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=﹣1，那么方程x2=﹣1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个解，小明还发现i具有以下性质：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1，i7=i6•i=﹣i，i8=（i4）2=1，…请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1=，i4n+2=，i4n+3=（n 为自然数）．22．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，通过计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式为？23．已知：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4﹣b4=（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则：（1）a5﹣b5=（a﹣b）（）；（2）若a﹣=2，你能根据上述规律求出代数式a3﹣的值吗？24．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1①你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=；②根据①求出：1+2+22+…+262+263的结果．25．（2011湖南益阳，16）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．26．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=；（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．27．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．28．如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地（其中a＞b）示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a﹣b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路．（1）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；（2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（a﹣b）2=．29．计算多项式ax3+bx2+cx+d的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．①直接计算：ax3+bx2+cx+d时共有3+2+l=6（次）乘法；②利用已有幂运算结果：x3=x2•x，计算ax3+bx2+cx+d时共有2+2+1=5（次）乘法；③逐项迭代：ax3+bx2+cx+d=[（ax+b）x+c]x+d，其中等式右端运算中含有3次乘法．请问：（1）分别使用以上3种算法，统计算式a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．（2）对n次多项式a0x n+a1x n﹣1+a2x n﹣2+…+a n﹣1x+a n（其中a0，a1，a2，…，a n为系数，n＞1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．30．（神奇的数学游戏）根据下面的游戏向导来试着玩这个游戏．写出一个你喜欢的数，把这个数加上2，把结果乘以5，再减去10，再除以5，结果你会重新得到原来的数．（1）假设一开始写出的数为n，根据这个游戏的每一步，列出最后的表达式；（2）将（1）中得到的表达式进行化简．用你的结果来证实：为什么游戏对任意数都成立；（3）自己编写一个数学游戏，并写出指导步骤（试着使你编出的游戏让人感到惊奇，且并不是显而易见的）．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：依题意得[20x5y2﹣15x3y4+70（x2y3）2]÷5x3y2=4x2﹣3y2+14xy4．故选C．2．解：（4x2﹣12x+9）÷（2x﹣3）=（2x﹣3）2÷（2x﹣3）=2x﹣3，故选C．3．解：（3x﹣y）（x﹣2y）=3x2﹣6xy﹣xy+2y2=3x2﹣7xy+2y2．4．解：由272=a6，得36=a6，∴a=±3；由272=9b，得36=32b，∴2b=6，解得b=3；（1）当a=3，b=3时，2a2+2ab=2×32+2×3×3=36．（2）当a=﹣3，b=3时，2a2+2ab=2×（﹣3）2+2×（﹣3）×3=18﹣18=0．所以2a2+2ab的值为36或0．5．解：（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2，（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq结构．（3）因为12可以分解以下6组数，a×b=1×12，2×6，3×4，（﹣1）×（﹣12），（﹣2）×（﹣6），（﹣3）×（﹣4），所以m=a+b应有6个值．6．解：（1）原式=（900﹣2）（900+2）=9002﹣22=810000﹣4=809996；（2）原式=（3003）（300﹣3）=3002﹣32=90000﹣9=89991；（3）原式=（10﹣0.1）（10+0.1）=102﹣0.12=100﹣0.01=99.99；（4）原式=（30+0.8）（30﹣0.8）=302﹣0.82=900﹣0.64=899.36．7．解：（1）原式=（﹣2x2）2﹣（）2=4x4﹣；（2）原式=（x m）2﹣（y n）2=x2m﹣y2n；（3）原式=[（a+b）（a﹣b）]2=（a2﹣b2）2=；（4）（x+y+z）2=（x+y）2+2（x+y）z+z2=x2+2xy+y2+2yz+2xz+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz．8．解：（1）原式=（2x2﹣4xy+7y2）=；（2）原式=（﹣4x﹣3y2）（﹣4x+3y2）=（﹣4x）2﹣（3y2）2=16x2﹣9y4．9．解：（1）原式=（2x﹣3y）2﹣（9x2﹣y2）=（4x2+9y2﹣12xy）﹣9x2+y2=8y2﹣12xy﹣5x2；（2）原式=（x+y）（x2+y2）（x﹣y）（x4+y4），=（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）=（x4﹣y4）（x4+y4）=x8﹣y8；（3）原式=[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]=a2﹣（2b﹣3）2=a2﹣4b2﹣9+12b；（4）原式=[（x﹣y）2+（x+y）2]（x2﹣y2），=（x2﹣2xy+y2+x2+y2+2xy）（x2﹣y2）=2（x2+y2）（x2﹣y2）=2（x4﹣y4）=2x4﹣2y4；（5）原式=（m﹣n﹣3）（m﹣n﹣3），=m2﹣mn﹣3m﹣mn+n2+3n﹣3m+3n+9，=n2+m2﹣2mn﹣6m+6n+9．10．解：A=[（2x3﹣4x2﹣1）﹣（x﹣1）]÷（2x），=（2x3﹣4x2﹣x）÷（2x）=x2﹣2x﹣．B类试题：11．解：（1）不正确，（2）第①步出现错误，第②③步还有错误；（3）（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的展开式中含x3的项有：﹣3x3+2ax3=（2a﹣3）x3，含x2的项有：x2+2bx2﹣3ax2=（﹣3a+2b﹣1）x2．又∵x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6，∴有，解得．故应填：（1）不正确；（2）①，第②③步还有错误．12．解：（x﹣2）（x2﹣mx﹣n），=x3﹣mx2﹣nx﹣2x2+2mx+2n，=x3﹣（m+2）x2+（2m﹣n）x+2n，∵不含x2项和x项，∴﹣（m+2）=0，2m﹣n=0，解得m=﹣2，n=﹣4，∴乘积为x3﹣8．13．解：∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）=6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc=6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a∴2c+3b=14，b﹣3c=1，a=bc联立以上三式可得：a=4，b=4，c=1故a=4，b=4，c=1．14．解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3；故答案为：x3﹣y3；原式=x4+x3y+x2y2+xy3﹣x3y﹣x2y2﹣xy3﹣y4=x4﹣y4；故答案为：x4﹣y4；当n是偶数时，原式=x n+1+x n y+xy n﹣2+x2y n﹣1+xy n﹣x n y﹣x n﹣1y2﹣y n﹣1y2﹣…﹣x2y n﹣1﹣xy n﹣y n+1=x n﹣y n，故答案为：x n﹣y n．15．解：（1）∵（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=1，则1=a5+a4+a3+a2+a1+a0①，令x=﹣1，则﹣243=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0②，①+②得﹣242=2（a4+a2+a0），∴a4+a2+a0=﹣121；（2）∵a+b+|﹣1|=4+2﹣4，∴a﹣2+b+1+|﹣1|+1=4+2﹣4，∴（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1=0，∴++|﹣1|=0，∵、、|﹣1|都是非负数，∴=0，=0，|﹣1|=0，∴a=6，b=0，c=2，∴a+2b﹣3c=6+2×0-3×2=016．解：（1）∵x+=3，∴=x2+3+=（x+）2+1，=32+1=10，∴=；17．解：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232，=（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）•（216+1）﹣232，=（232﹣1）﹣232，=﹣1．18．解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1也是正整数，所以4（2n+1）是4的倍数．19．解：①20022﹣2001×2003，=20022﹣（2002﹣1）（2002+1），=20022﹣20022+1，=1；②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1），=（2﹣1）（2+1）（22+1）…（2n+1），=（22﹣1）（22+1）…（22n+1），…=24n﹣1．20．解：设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2，=x2﹣2x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[x﹣（x+1）]2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=1+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[1+x（x+1）]2，=[1+x+x2]2，=（1+2004+20042）2，=40180212．∴a是一个完全平方数．C类试题：21．解：∵i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i；i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从n=1开始，4个一次循环．∴i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i（n为自然数），故答案为：i，﹣1，﹣i．22．解：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩余面积为a•a﹣b•b=a2﹣b2图中梯形的上底为2b，下底为2a，高为a﹣b，∴梯形的面积为=（a+b）（a﹣b），∴可验证的公式为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．23．解：（1）a4+a3b+a2b2+ab3+b4；（2）a3﹣=（a﹣）（a2+1+），=（a ﹣）（a 2﹣2++3），=（a ﹣）[（a ﹣）2+3]，=2×（4+3），=2×7，=14．24．解：①（x ﹣1）（xn ﹣1+x n ﹣2+x n ﹣3+…+x 2+x+1）=x n ﹣1； ②原式=（2﹣1）（263+262++22+2+1）=264﹣1．25．解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.26．解：（1）（m ﹣n ）2（2）（m ﹣n ）2+4mn=（m+n ）2（3）±5（4）（m+n ）（2m+n ）=2m 2+3mn+n 2（5）答案不唯一：例如：27．解：（1）①长方形的面积=（a+1）×（a+1）=（a+1）2或a 2+2a+1，②（a+1）2=a 2+2a+1；（2）如下图，把该长方形视为一个边长为a+b的正方形时，其面积为（a+b）2；该长方形可视为四个长方形的拼图．四个长方形指两个边长分别为a和b的正方形，以及两个相同的小长方形（长和宽分别为a和b）．此时，其面积为a2+2ab+b2，由此，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2．28．解：（1）如图：正中小正方形的面积是（a﹣b）2，留作道路的空地的面积是4ab，原正方形土地的面积是（a+b）2；（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．29．解：（1）根据已知中3种运算方法直接算出即可：3种运算法的次数分别为：①10+9+8+…+2+1=55次；②2×9+1=19次；③10次．（2）乘法次数分别是：①n+（n﹣1）+…+3+2+1=（次）；②2（n﹣1）+1=2n﹣1（次）；③n次．∴①直接计算法可以得出所有项的总次数；②利用已有幂运算结果法只是最高幂的运算；③逐项迭代法只能得出最高次数．30．解：（1）；（2）==n，因为化简结果为n，所以游戏对任意数都成立；（3）答案不唯一，比如：按下图计算：，结果为1．原因：（x2+x）÷x﹣x=x+1﹣x=1．。