北师大版高中数学选修2-3同步精练：1离散型随机变量及其分布列 含解析

求离散型随机变量的分布列
【例 2】 一个袋中有 10 个大小相同的黑球和白球,已知从袋中任意摸
出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率为 79. (1)求白球的个数;
(2)从袋中任意取出 3 个球,记得到白球的个数为 ξ,求随机变量 ξ
的分布列.
分析:确定随机变量 ξ 的所有可能取值,分别求出 ξ 取各值的概率.
143,
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 153. X
所以 X 的分布列为
P
0 5
13
1 4
13
2 4
13
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【变式训练3】 如图所示,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中 随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该 “立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面 内,此时“立体”的体积V=0).
(3)P(X>1.5)=1-P(X=1)=1−
5 8
=
38.
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反思离散型随机变量的分布列有如下性质:
(1)pi>0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…=1; (3)随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个
值的概率之和.
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P(X=k)=
������ ������(������+1)
,
������

2.1离散型随机变量及其分布列(包括2.1.1离散型随机变量,2.1.2离散型随机变量的分布列)姓名:___________班级:______________________一、选择题1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是( )A.5B.9C.10D.252.随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=,11(3),(5)212P X P X ====,则(0)P X =的值为( ) A.0 B.14 C.16 D.18 3.设ξ的分布列如下:则p 等于( ) A.0 B.13 C.16D.不确定 4.设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==,1,2,3,4,5k =,则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于() A.215 B.25 C.15 D.1155.设随机变量X 的概率分布如下表,则(|2|1)P X -==( )A.712B.12C.512D.166.则q 等于( )A.1B.C.17.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为)(X P ,则)4(=X P 的值为( ) A.2201 B.5527 C.22027 D.2521 8.一袋中装有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下颜色,若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ,则=≤)6(ξP ( ) A.149 B. 5625 C. 5637 D. 2823二、填空题9.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X ＝01⎧⎨⎩，两球全红，，两球非全红，则X 的分布列为________.10.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:11.已知12x x <,0αβ≠,与随机变量ξ相关的三个概率的值分别是()11P x ξα≥=-、2()1P x ξβ≤=-和()1234P x x ξ<<=,则αβ的最大值为 .三、解答题12.某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中的男生人数,求X 的分布列.13.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖;某顾客从此10张券中任取2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列.14.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.参考答案1.B【解析】号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种.考点:离散型随机变量.2.C【解析】因为随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=, 11(3),(5)212P X P X ====,所以(0)P X =＝16,故选C 考点:随机变量的概率.3.C【解析】由已知及分布列的性质知:11123p ++=,16p ∴=,故选C. 考点:分布列的性质.4.C故选C. 考点:随机变量的概率公式及运用.5.C【解析】由所有概率和为1,所以 ()()115(|2|1)136412P X P X P X -===+==+=.故选C. 考点:随机变量的概率分布.6.C1－2.故选C. 考点:分布列的性质.7.C【解析】从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为4X =时,相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个,所以取出的3个球中只有一个新球,即取出的3个球中有2个是旧球1个新球,所以21393123927(4)121110220321C C P X C ⨯====⨯⨯⨯⨯,故选C. 考点:离散型随机变量及其分布列.8.D【解析】k =ξ表示前k 个为白球,第1+k 个恰为红球.18135)(+⋅==k k A A A k P ξ(=k 0,1,2,…,5), ∴分布列为 ∴=≤)6(ξP 4623(0)(1)(2)5628P P P ξξξ=+=+===. 考点:离散型随机变量及其分布列.9.如下表:【解析】P(X ＝0)311,P(X ＝1)＝1－311＝811,故X 的分布列如下表.考点:离散型随机变量及其分布列.10.0.88【解析】根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有P(ξ＝7)＝0.09,P(ξ＝8)＝0.28,P(ξ＝9)＝0.29,P(ξ＝10)＝0.22,所求的概率P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88. 考点:离散型随机变量及其概率.11.4964【解析】()()()12311114P x x ξαβαβ<<=----=+-=,∴74αβ+=,又,0αβ>,∴49264αβαβ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. 考点:离散型随机变量,概率及不等式性质.12.X 的分布列如下:【解析】X 的可能取值为0,1,2,3,4, ()0464410C C 10C 210P X ===,()1364410C C 41C 35P X ===,()2264410C C 32C 7P X ===,()3164410C C 83C 21P X ===,()4064410C C 14C 14P X ===. ∴X 的分布列为:考点:古典概率的计算,随机变量的分布列.13.(1)23(2)概率分布列见解析 【解析】即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ的所有可能值为0,10,20,50,60,()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===,()23210C 120C 15P ξ===, ()1116210C C 250C 15P ξ===,()1131210C C 160C 15P ξ===, 故ξ的分布列为:ξ 010 20 50 60 P 13 25 115 215 115 考点:离散型随机变量的概率及分布列.14.(1)516(2)ξ的分布列见解析 【解析】(1)由题意得,甲,乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44.记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A ,则111()422P A =⨯+ 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516. (2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8,1111151111115(0),(2),(4)844221644242416P P P ξξξ====⨯+⨯===⨯+⨯+⨯=, 11113(6)442416P ξ==⨯+⨯=,111(8)4416P ξ==⨯=, 分布列如下表:02468P 18516516316116考点:离散型随机变量的分布列及概率.。

§1离散型随机变量及其分布列授课提示：对应学生用书第26页[自主梳理]一、随机变量的概念及其表示1．随机变量的定义将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都____________，这种对应称为一个随机变量．2．随机变量通常用大写的英文字母，如________来表示．二、离散型随机变量1．定义随机变量的取值能够____________，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．性质(1)p i>0；(2)p1＋p2＋ (1)三、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，(1)或把上式列成表：X＝a i a1a2…P(X＝a i)p1p2…上表或(1)[双基自测]1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()A.B.C.D.3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的试验结果是() A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点授课提示：对应学生用书第27页探究一离散型随机变量的判定[例1]指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：(1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29](dm)这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.[解析](1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因此是离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29](dm)这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．离散型随机变量的两个特点(1)试验结果是随机的；(2)试验结果可按一定顺序一一列出．1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．①在2 016张已编号的卡片(从1号到2 016号)中任取一张，被取出的编号数为X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③从2 016张已编号的卡片(从1号到2 016号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；④一天之内的温度的取值X；⑤投掷一个骰子，六面都刻上数字6，所得的点数X.解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，④中X的取值为某一范围内的实数，无法列出，不是离散型随机变量，⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．答案：①②③探究二 求离散型随机变量的分布列[例2] 一个口袋里有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，从中同时取出3个球，以X 表示取出的球的最小编号，求随机变量X 的概率分布．[解析] X 所有可能的取值为1,2,3.当X ＝1时，其余两球可在余下的4个球中任意选取， ∴P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，其余两球在编号为3,4,5的球中任意选取， ∴P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取出的球只能是编号为3,4,5的球， ∴P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴随机变量的概率分布为：X 1 2 3 P35310110(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．2．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．求取球次数X 的分布列．解析：X 的可能取值为1,2,3,4,5， 则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝45×14＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝45×34×13＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝45×34×23×12×11＝15.所以X 的分布列是：X 1 2 3 4 5 P151515 1515探究三 离散型随机变量分布列的性质的应用[例3] 设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5).(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．[解析] 题目所给随机变量X 的概率分布为：X 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)解法一 P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55)＝315＋415＋515＝45. 解法二 P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.利用分布列的性质解题时要注意的两个问题(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的． (2)p 1＋p 2＋…＝1，且p i ＞0，i ＝1,2….3．设随机变量η的分布列为：η －1 2 3 P141214试计算事件(η ≤12)和(32≤η ≤72)的概率．解析：因为事件(η ≤12)只包含基本事件(η＝－1)，故P (η ≤12)＝P (η＝－1)＝14.同理，事件(32≤η ≤72)包含基本事件(η＝2)和(η＝3)，所以P (32≤η≤72)＝P (η＝2)＋P (η＝3)＝12＋14＝34.随机变量分布列的综合应用[典例] (本题满分12分)一盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次取出1个零件．如果取出的是次品零件，则不再放回．求在取得正品零件前已取出的次品数X 的分布列，并求P ⎝⎛⎭⎫X ≤52的值． [解] 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. …………………………………………………………2分 X ＝0表示第一次取到正品．则P (X ＝0)＝C 19C 112＝34.…………………………………………………………4分 X ＝1表示第一次取到次品，第二次取到正品．则P (X ＝1)＝A 13C 19A 212＝944.同理求得P (X ＝2)＝A 23C 19A 312＝9220，P (X ＝3)＝A 33C 19A 412＝1220.因此随机变量X 的分布列为X123P34 944 9220 1220…………………………………………………………10分 故P ⎝⎛⎭⎫X ≤52＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝34＋944＋9220＝219220.……………………………………12分 [规范与警示] 1.在处，准确地写出随机变量X 的所有取值，是解决本题的关键点．若对题意理解不清，在处会误解为C 13C 19C 312，是解决本题的易失分点；若对题意理解不清，在处会误解为C 23C 19A 312，是解决本题的又一易失分点．2．防范措施：在确定随机变量X 的所有可能取值时要全面考虑，不可漏解．如本例中易忽视X ＝0的情形．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程 x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求X 的分布列．解析：(1)由题意知，设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C ，则Ω＝{(b ，c )|b ，c ＝1,2，…6}，A ＝{(b ，c )|b 2－4c ＜0，b ，c ＝1,2，…，6}，B ＝{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1,2，…，6}，C ＝{(b ，c )|b 2－4c ＞0，b ，c ＝1,2，…，6}，所以Ω中的基本事件总数为36，A 中的基本事件总数为17，B 中的基本事件总数为2，C 中的基本事件总数为17.又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (C )＝236＋1736＝1936.(2)由题意，X 的可能取值为0,1,2，则 P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2015学年高中数学离散型随机变量及其分布列选修2-3重难点易错点解析题一：以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.(Ⅰ)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(Ⅱ)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.题二：下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.金题精讲日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(Ⅰ)求当天商品不进货的概率；(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.题二：某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(II)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.题三：经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X (单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若X∈[100，110)，则取X=105，且X=1 05的概率等于需求量落入[100，110)的概率)，求利润T的数学期望.离散型随机变量及其分布列(三)讲义参考答案重难点易错点解析题一：(Ⅰ) 平均数为354，方差为1116Y 17 18 19 20 21P1814141418EY=19.题二：(Ⅰ)213X 0 1 2 P513413413EX=12 13金题精讲题一：(Ⅰ) 0.3(X 2 3P143 4数学期望：11 4题二：(I) 2 9(II) Y的分布列Y51 48 45 42P2154152515数学期望：46题三：(Ⅰ)80039000,[100,130]65000,(130,150]x xTx-∈⎧=⎨∈⎩(Ⅱ)0.7 (Ⅲ)T的数学期望为59400。