2020重庆中考复习阿氏圆及其应用举例(Word版)

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阿氏圆及其应用举例
一、什么是阿氏圆？
阿氏圆是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
如图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、
BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1
2
PA PB 的最小值为__________．
E
A
B
C D
P
M
P
D
C
B
A
分析：注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，
连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1
2PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即
可．二、应用举例
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（） A ．7
B ．5
C ．
D ．
B P
O
解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝P A，
∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）
A．B．6C．2 D．4
解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．
例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．
解：∵2AD+3BD=
233AD BD ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，∵求23AD BD +最小值即可,
在CA 上截取CM ，使得CM ＝4，连接DM ，BM ． ∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，∴CD 2＝CM •CA ，∴＝
，
∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△ACD ，∴＝
＝，∴DM ＝AD ，∴AD +BD ＝DM +BD ，
∵DM +BD ≥BM ，
在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，∴BM ＝＝4
，
∴AD +BD ≥4
，∴AD +BD 的最小值为4
．
例4、如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝8，P 为矩形内部一点，且PB ＝4，则AP +PC 的最小值为．
A B
C
D
P
解：如图2，在AB 上截取BF ＝2，连接PF ，PC ， ∵AB ＝8，PB ＝4，BF ＝2，∴＝＝
，且∠ABP ＝∠ABP ，∴△ABP ∽△PBF ，
∴
＝
＝，∴PF ＝AP ，∴AP +PC ＝PF +PC ，∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP +PC 的
值最小，∴CF ＝
＝
＝2
，∴AP +PC 的值最小值为2
，
例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是．
解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，
∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF
∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝. 例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．
解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
三、练习巩固
1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有
一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．
解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF ＝2，连接FD ，AF ． ∴CD ＝4，CF ＝2，CB ＝8，∴CD 2＝CF •CB ，∴＝
，
∵∠FCD ＝∠DCB ，∴△FCD ∽△DCB ，∴＝
＝，∴DF ＝BD ， ∴BD +AD ＝DF +AF ，∵DF +AD ≥AF ，AF ＝
＝2
，∴BD +AD 的最小值是2
，
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则2
23
CM AM ''+的最小值为 .
解：在BM 上截取BQ=
23
， 2
,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q
，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3
QM M A ''∴= 21
22()2()33
CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+
当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：
22222237
=()4.33
QC BQ BC +=+=
2
23
CM AM ''∴+
的最小值为4373.
3、已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，则2P A +PB 的最小值
为．
解：延长OA 到点E ，使CE ＝6，∴OE ＝OC +CE ＝12，连接PE 、OP ， ∵OA ＝3，∴
，∵∠AOP ＝∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴
，∴EP ＝2P A ，
∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13.
4、如图，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，则2P A+PB 的最小值为．
解：如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴
∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝
∴2P A+PB的最小值为．
5、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小
值为；PD+4PC的最小值为．
解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，
∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，
∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．
②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．
∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，
∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．。

中考二轮圆专题7：阿氏圆(已排版,可直接用)

专题一：阿氏圆已知平面上两定点C、B，则所有满足k PBPC =(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

在几何画板上观察下面的图形，当P 在在圆A 上运动时，PC、PB 的长在不断的发生变化，但PC PB 的比值却始终保持不变。

解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。

如图，在△APB 的边AB 上找一点C，使得APAC AB AP =，则此时△APC∽△ABP。

那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:例1已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点.求：①BP AP 21+的最小值为②BP AP +31的最小值为例2已知⊙O 半径为1，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点，试求PD PC +22的最小值例3已知点A（4，0），B（4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求BP AP +21的最小值例4已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，（1）BP AP +41的最小值;（2）PAB S 的最小值.例5如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使PC PD 2+有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例6（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PC PD 21+的最小值和PC PD 21-的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PC PD 32+的最小值为；PC PD 32-的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么PC PD 21+的最小值为；PC PD 21-的最大值为课后作业：1.如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．第28题图1第28题图22.如图，抛物线y=ax 2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b 为常数）与x 轴交于A、C 两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y=89x +163．（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB 上是否存在定点P（P 不与O、B 重合），无论ON 如何旋转，NP NB 始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+34NB）的最小值．。

中考热点题型之阿氏圆

阿氏圆整理例题讲解: 例1、如图1,抛物线y ＝a ｘ2＋(a +3)x ＋３(a ≠０)与ｘ轴交于点A (４,0),与y 轴交于点B ,在x 轴上有一动点E (m ,０)(0<m ＜4),过点E 作ｘ轴得垂线交直线AB 于点N ,交抛物线于点P ,过点Ｐ作PM ⊥A Ｂ于点M 、 (1)求a 得值与直线ＡB 得函数表达式;(2)设△PMN 得周长为C 1,△ＡＥＮ得周长为C ２,若=,求m 得値;(3)如图2,在(2)得条件下,将线段O Ｅ绕点O 逆时针旋转得到ＯE ′,旋转角为α(0°＜α<90°),连接E ′A 、E ′B ,求Ｅ′A ＋＼F (2,3)E ′B 得最小值、解:(1)把点Ａ(４,0)代入ｙ＝ax 2+(a +3)x ＋3,得 16ａ+４(a ＋3)＋3＝０、解得ａ＝－＼Ｆ(3,4)、∴抛物线得函数表达式为:y ＝-34x 2＋＼Ｆ(9,４)x ＋3. 把x =0代入上式,得ｙ=3、 ∴点B 得坐标为(０,3)。

由A (４,0),B (0,3)可得直线ＡB 得函数表达式为:y ＝－３4x ＋3. (2)根据题意,得OE =m ,AE ＝4－m ,AB ＝５,点Ｐ得坐标可表示为(m ,—３4m ２＋94m +３). ∴PE =－34ｍ 2＋94m ＋3……………………………………………………①∵△AEN ∽△ＡOB ,∴＼Ｆ(ＡN ,AB )=＼Ｆ(NE ,BO )＝错误!.∴错误!=错误!=错误!、 ∴A Ｎ=54(4－m ), NE =＼F (3,4)(４-m )、 ∵△PM Ｎ∽△ＡEN ,且＝,∴＼F (PN ,AN )=、∴PN =A Ｎ＝×54(４－m )＝32(４－m ).∴PE =ＮE +PN =34(4－m )+错误!(4-m )＝错误!(４—m )………………………。

② 由①、②,得第28题图1－３４m 2+９4ｍ+3=94(4-m ). 解得m 1＝2,m 2=4(不合题意,舍去). ∴ｍ得値为2。

中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)

中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。

这个定理叫阿波罗尼斯定理。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。

②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。

③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。

所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。

总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。

【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。

（2）求13AP BP+的最小值为。

【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。

练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。