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定理同态满射保持运算律（包括结合律、交换律）P21左右逆元的统一性P33-34 左右逆元的唯一性P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”）群的两个定义的等价性P33群满足消去律（由逆元的存在性） P38仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律P39群的几个分类标准：1、 有限 / 无限 ——元素个数2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元P35n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义）a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ，则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的P37 群中幂形式的元的运算法则：若规定：e a =0， n n a a )(1--=则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)(（由结合律易得）两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构任何一个有限群 有一个置换群与之同构任何一个无限循环群 与整数加群同构任何一个有限循环群 与剩余类加群同构子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数群的阶： 群中元素的个数对有限群G 而言：G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶（即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群）子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1,P63 定理2子群正规充要条件： Nana N n G a ∈⇒∈∈∀-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）。
近世代数考试复习 Prepared on 22 November 2020<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理5. 设A=｛所有实数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A第二部分思考题1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。
4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。
到入的映射O : X -> X2, x G A是A到入的一个同态满射。
6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x —> 2x , x e A是A的一个自同构映射。
7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。
近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
理工数学系复试经验帖01笔试：我选的是运筹学和近世代数（听同学说泛函分析都是第一章的）运筹学就三道题（我觉得有点难度）：第一题是单纯形法矩阵描述那一块的，我当时只会列表做单纯形法，结果这个做的好吃力。
第二题是指派问题，但是我们通常是求最小，但是题目让求最大，所以需要先用最大的值减去所有值再用我们知道的解法求解。
第三题我当时懵了，说的是求五年内购买机器的最佳方案，题目中给出一到五年每年购买机器所需费用以及机器每多用一年所需要的维修费用，每一年要么购买一台新机器要么使用旧机器，如何选择让费用最小。
02近世代数：半群和群的定义，并举出含单位元的半群和非交换群。
域的定义，并举一个有限域的例子。
正规子群的定义并举例。
左陪集的定义及举例。
证明若两个集合是不变子群，那么这两个集合的交与并是否也是不变子群。
（剩下的有点想不起来，基本上考的都是前三章的内容）03面试：（我面试表现好差，只能说一些教训）面试的时候老师不让英文自我介绍，估计知道都是背的，然后一进去直接让我简单的用两三句话中文介绍一下自己，我当时一直想着一进去英文自我介绍，没料到是这样的，一下子懵了，紧张的不知道说什么（好烂），然后老师问我觉得哪些课是重要的（这个我也没想到，总之我应变能力太差，一下子就慌了），再问最喜欢哪门课，然后问了几个关于这门课的问题（然而我答的不太好），聊了点其他的（我最开始自我介绍临时想的两句话，说我有合作精神，然后那个老师就让我举几个例子，然后更惨了。
）最后问英文问题的时候让我意识到自己的英语听力真的很有问题，老师开始问两个英语问题我一直听不懂，真的是特别简单的问题，可是当时不知道是紧张还是听力有问题，就是不敢确定老师问的问题是什么意思，都没答，最后就答了一个英语问题，还特别简短特别不流利的回答。
自己出来的时候简直要崩溃了，感觉就像什么都没准备一样就来面试了，什么都不会，总之各种难过。
而且面试还有一个很重要的问题，就是两组面试的情形差别好大，我们这组的老师问的问题算好的了（只是我自己反应能力太差），另一组的面试他们把学了的课差不多都问了，好恐怖，我面试的时候老师没问我其他的课程，就问了我喜欢的那门课说的有些凌乱，昨天准备写的，当时由于觉得面试太差了没心情写，现在回忆的不太全面，希望对以后考武理数学的孩纸有点用处至于说初试，因为武汉理工10年之后的真题都没有外泄，而且10年之后的出题风格变化很大，所以我不建议大家做10年之前的真题，我当时做了，我觉得会让自己的复习方向跑偏，大家就老老实实把课本都看一遍，然后做一做经典的考研辅导书。
《近世代数》复习一、群论：基本结构有循环群，对称群与商群。
基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。
基本技术：o(a)=|<a>|;o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|;若H≤G,则|H| | |G|; 对称群S n中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群A n且是S n的非平凡的最大的正规子群; S n中的n-轮换σ的中心化子(即能与σ交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n-1)!个.二、环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。
基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理（中国剩余定理），同余方程。
基本技术: 特征; 在有单位元的交换环R中, 主理想(a)=aR, (a)(b)=(ab); 设R是主理想整环, 则a是不可约元⇔a是素元⇔(a)是极大的理想⇔R/(a)是域; 主理想整环是唯一分解环;欧氏环是主理想环; 环同态,商环与理想分别一一对应,即f:R→S 是环同态, 则kerf是R的理想且商环R/kerf≅Imf, 故若f还是满射,则R/kerf≅S; 多项式的欧几里德算法; 二多项式的最大公因式;不可约多项式及其判别(Eisenstein判别法); 多项式的根的判别: α是多项式f(x)的根⇔(x-α)|f(x);α是重根⇔(x-α)|f '(x); 整环上的n次多项式的根的个数不超过n;整系数多项式的有理数根的求法;域上的不可约多项式f(x)有重根⇔f '(x)=0; 域上的(一元)多项式环是欧氏环(从而是主理想环);整数环上的多项式环是唯一分解环(但非主理想环).三、域论：基本结构有素域，分裂域与有限域。
<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
近世代数考试大纲一、课程简介近世代数是现代数学的重要分支之一，它主要研究各种代数结构的性质和相互关系。
本课程将介绍群、环、域等基本代数结构，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
二、考试目的本次考试旨在考查学生对近世代数基本概念、定理和方法的理解与掌握程度，以及运用所学知识解决问题的能力。
三、考试内容（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括封闭性、结合律、单位元、逆元等。
掌握群的阶、元素的阶的概念及性质。
能判断给定集合和运算是否构成群。
2、子群、陪集与拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
陪集的概念和性质。
理解拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态与同构群同态、同构的定义和性质。
能够证明两个群同态或同构。
4、循环群与置换群循环群的结构和性质。
置换群的概念，以及置换的乘法和表示。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括加法和乘法的运算规则。
掌握环的零元、单位元、逆元等概念。
2、子环、理想与商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
商环的构造和性质。
3、环的同态与同构环同态、同构的定义和性质。
4、整环、域整环的定义和性质。
域的定义和基本性质。
（三）域论1、域的扩张扩域的概念。
单扩张和有限扩张的基本性质。
2、有限域有限域的结构和元素个数的计算。
四、考试题型1、选择题考查学生对基本概念、定理的理解和简单应用。
2、填空题主要涉及一些基本的计算和概念的填空。
3、判断题判断给定的陈述是否正确，考查对定理和性质的准确把握。
4、计算题要求学生进行具体的运算和推理，如求群的阶、元素的阶，计算环中的运算等。
5、证明题综合考查学生对定理的理解和运用，以及逻辑推理能力。
五、考试要求1、学生应独立完成考试，不得抄袭或作弊。
2、答题时应清晰、准确地表达自己的思路和推理过程。
3、对于证明题，应逻辑严密，步骤完整。
六、参考教材具体教材名称以上是近世代数课程的考试大纲，学生应根据大纲内容进行系统复习，掌握重点知识，提高解题能力，为考试做好充分准备。
近世代数知识点3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
3．1．2 映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。
定义1 设A ，B 为两个非空集合，若存在一个A 到B 的对应关系f ，使得对A 中的每一个元素x ，都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作y=f(x)。
y 称为x 的像，x 称为y 的原像，A 称为f 的定义域，B 称为f 的定值域。
定义2 设f 是A 到B 的一个映射(1) 若A x x ∈∀21,和21x x ≠均有)()(21x f x f ≠，则称f 是一个单射。
(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(，则称f 是满射。
(3) 若f 既是单射又是满射，则称f 是双射。
3．1．3 二元运算3．1．3．1 集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。
定义3 设A ，B 是两个非空集合，由A 的一个元素a 和B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对（a,b ），所有这样的元素对构成的集合，称为A 与B 的笛卡儿积，记作B A ⨯，即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。
用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。
定义4 设S 是一个非空集合，若有一个对应规则f ，对S 中每一对元素a 和b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应，即f 是S S S →⨯的一个映射，则此对应规则就称为S 中的一个二元运算，并表示为c b a =•，其中“•”表示运算符，若运算“•”是通常的加法或乘法，b a •就分别记作b a +或ab 。
