近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()ab b a a a -----==；（4）ab ac b c =⇒=；（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。
3、元素的阶使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。
（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。
（2）若m a e =，则①||a m ≤；②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。
（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。
（4）||||r n a n a d =⇒=，其中(,)d r n =。
证明 设|||r a k =。
因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d。
另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d =。
注：1︒ ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。
2︒ ||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。
例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。
显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。
二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。
2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。
3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。
（1）变换群的单位元是A 的恒等变换。
（2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。
（3）一般地，变换群不是交换群。
（4）任一个群都与一个变换群同构。
4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。
即有限集合上的变换群叫做置换群。
例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。
解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。
（2）||!n S n =。
（3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。
（4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。
（5）任一有限群都与一个置换群同构。
5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。
（1）循环群是交换群（P61.1）。
（2）素数阶群是循环群（P70.1）。
（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。
（4）当||G =∞时，2102{,,,,,,}G Z G a a e a a a --≅⇒==L L ； 当||G n =时，021{,,,,}n n G Z G e a a a a -≅⇒==L 。
（5）||||G a =（6）当||G =∞时，G 有且仅有两个生成元1,a a -； 当||G n =时，G 有且仅有()n ϕ个生成元，这里()n ϕ表示小于n 且与n 互素的正整数个数。
且当(,)1m n =时，m a 是G 的生成元。
（7）若G 与G 同态，则1︒ G 也是循环群；2︒ 当()a a ϕ=时，()G a =；3︒ G 的阶整除G 的阶。
例3（P79、3）三、子群1、定义：设H 是群G 的非空子集，若H 关于G 的于是也构成群，则称H 是G 的子群，记作H G ≤。
2、等价条件（1）群G 的非空子集H 是子群⇔,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈ ⇔,a b H ∀∈，有1ab H -∈（2）群G 的非空有限子集H 是子群⇔,a b H ∀∈，有ab H ∈。
3、运算（1）若12,H H G ≤，则12H H G ≤I （可推广到任意多个情形）。
（2）若12,H H G ≤，则12H H U 未必是G 的子群。
（3）若12,H H G ≤，则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。
（4）若12,H H G ≤，则12H H -不是G 的子群。
4、陪集设H G ≤，则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集；G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。
（1）一般地，aH Ha ≠。
（2）1aH bH b a H -=⇔∈；1Ha Hb ab H -=⇔∈；()aH Ha H a H =⇔∈。
（3）()aH Ha G a H ≤⇔∈。
（4）()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠⇔==I I 。
（5）{|}aH a G ∈是G 的一个分类，{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。
即a GG aH ∈=U ，且()()aH bH φ=I （当aH bH ≠时）或a GG Ha ∈=U ，且()()Ha Hb φ=I （当Ha Hb ≠时）5、指数：群G 的子群H 的左陪集（右陪集）个数叫做H 的指数，记作[:]G H 。
当||G <∞时，有||||[:]G H G H =。
6、不变子群设H 是群G 的子群，若a G ∀∈，都有aH Ha =，则称H 是G 的不变子群，记作H G <。
群G 的子群H 是不变子群⇔a G ∀∈，有1a Ha H -=⇔,a G h H ∀∈∀∈，有1a ha H -∈。
例4（P74、1）例5（P74、3）1〫不变子群的交是不变子群。
2〫交换群的子群是不变子群。
3〫群G 的中心(){|,}C G a G x G xa ax =∈∀∈=是G 的不变子群。
4〫设12,H H G ≤且有一个是不变子群，则12H H G <。
7、商群 设H G <，令{|}G H aH a G =∈，,aH bH G H ∀∈，定义()()()aH bH ab H = 则它是G H 的代数运算，叫做陪集的乘法。
G H 关于陪集的乘法作成群，叫做G 关于H 的商群。
当||G <∞时，有||||||G G H H =。
四、群同态 设ϕ是群G 到G 的同态满射，则1、G 也是群；2、()e e ϕ=；3、11()[()]a a ϕϕ--=；4、|()|||a a ϕ；5、ker {|()}a G a e G ϕϕ=∈=<；6、ker (:ker ())G G a a σϕσϕϕ≅→；7、()H G H G ϕ≤⇒≤；8、()H G H G ϕ⇒<<；9、1()H G H G ϕ-≤⇒≤；10、1()H G H G ϕ-⇒<<。
注：若H G <，则映射:()a aH a G ϕ→∀∈是G 到G H 的同态满射，叫做自然同态。
环论部分一、基本概念1、环的定义设R 是一个非空集合，“＋”与“。
”分别是加法与乘法运算，若（1）R 关于“＋”作成交换群（叫做加群）；（2）R 关于“。
”封闭；（3）,,a b c R ∀∈，有()()a b c a b c =o o o o ；（4）,,a b c R ∀∈，有()a b c a b a c +=+o o o()b c a b a c a +=+o o o则称R 关于“＋”与“。
”作成环。
2、基本性质（1）()a b c a b a c -=-o o o ，()b c a b a c a -=-o o o ；（2）000a a ==o o ；（3）()()()a b a b a b -=-=-o o o ；（4）()()a b a b --=o o ；（5）1111(),()n n n n a b b a b a b b b a b a b a ++=++++=++o L o L o L o o L o ；（6）1111()()m n m ni j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑o o ；（7）,()m n m n m n mn a a a a a +==o ；（8）当R 是交换环时，,a b R ∀∈，有1111()n n n n n n n n a b a C a b C ab b ---+=++++L 。
3、环的几种基本类型 设R 是环（1）交换环：,a b R ∀∈，有ab ba =。
例6（P89.2）（2）有单位元环：存在1R ∈，使得a R ∀∈，有11a a a ==。
（3）无零因子环：,a b R ∀∈，当0,0a b ≠≠时，0ab ≠。
注：无零因子环的特征：无零因子环R 中的非零元关于加法的阶，叫做R 的特征。
1︒ 无零因子环R 的特征，或是∞或是素数；2︒ 当无零因子环R 的元素个数||R 有限时，R 的特征整除||R 。
（4）整环：有单位元无零因子的交换环。
（5）除环：有单位元1(0)≠，且非零元都有逆元。
（6）域：交换的除环。
二、两类特殊的环1、模n 剩余类环：{[0],[1],[2],,[]}n Z n =L 。
（1）n Z 是有单位元的交换环，且[1]是n Z 的单位元；（2）[]n a Z ∀∈，[][0]a ≠，则[]a 不是零因子⇔(,)1a n =；（3）n Z 无零因子⇔n 是素数；（4）[]n a Z ∀∈，[][0]a ≠，则[]a 不是零因子⇔[]a 是可逆元；（5）n Z 是域⇔n 是素数。
2、多项式环：1010[]{()|,,,}n n n R x f x a x a x a a a a R ==+++∈L L 。
例7（P109.2）三、理想1、定义：设U 是环R 的非空子集，若（1）,a b U ∀∈，有a b U -∈；（2）,a U r R ∀∈∀∈，有,ar ra U ∈。
则称U 是环R 的理想子环，简称理想。
注：1︒ 理想一定是子环，但子环不一定是理想。
2︒ 环的中心是子环，但未必是理想。
2、运算（1）若12,U U 是环R 的理想，则12U U I 也是环R 的理想（可推广到任意多个情形）。
（2）若12,U U 是环R 的理想，则12U U U 未必是环R 的理想。
（3）若12,U U 是环R 的理想，则12121122{|,}U U u u u U u U +=+∈∈也是环R 的理想。
