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一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元,则G 的子集（ )是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G,＊）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合,＊为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a —bB 、a*b=max ｛a,b ｝C 、 a ＊b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12)(23）（13），2σ=（24）(14），3σ=（1324），则3σ=（ ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ )。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——----—-——同构。
2、一个有单位元的无零因子——-—-称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—--——-.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与—-—--——同构.5、A=｛1。
2。
3} B=｛2。
5.6} 那么A ∩B=——-——.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为—--—-———-——--——--。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的—————n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为—---—-——-。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {},a e {}3,e a {}3,,e a a 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中，，1σ2σ3σ1(12)(23)(13)σ=2(24)(14)σ=，则（ ）3(1324)σ=3σ=A 、 B 、 C 、 D 、21σ12σσ21σσ22σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群6、12阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（ ）不一定是A 的理想。
A 、I+JB 、I∩JC 、I∪JD 、IJ10、中元素(123)的中心化子有（ ）3S A 、(1),(123),(132) B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元,则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，＊为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a ＊b=a-bB 、a*b=max ｛a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a —b ｜4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=(12)(23）（13)，2σ=（24）（14），3σ=（1324)，则3σ=( ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---—-----—同构.2、一个有单位元的无零因子-———-称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于---———.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-————--同构。
5、A={1。
2。
3} B=｛2.5。
6｝ 那么A ∩B=-—---.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为—---—-——----—-———。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的----—n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为——----—-—。
近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ f ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ f ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ t ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（t ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ t ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ t ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ t ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ 2 ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理5. 设A=｛所有实数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A第二部分思考题1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。
4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。
到入的映射O : X -> X2, x G A是A到入的一个同态满射。
6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x —> 2x , x e A是A的一个自同构映射。
7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。
m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。
证明，首先是循环环，则的理想就是的子加群。
而的子加群都是循环群，是一个元素生成的。
所以也是主理想。
0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r aI r b qa I a r b qa II a I a >∈⊃<>=<>∀∈∈=+≤<=-∈==∈⊂<>=<> 2、证明：是主理想整环。
显然，是整环。
所以我们只证的理想都是主理想。
设，则存在，使得是中元素最小的。
显然我们证明，，事实上，对。
由带余除法，存在使得因为是理想，则但根据的选取，必有则所以，则，即的任何理想都是主理想。
22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ⨯⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀∈=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 、设证明是的子环是的理想证：对，，则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ⨯+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀∈=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则是的子环。
，对，，则是的加法子群，I R 且是左理想和又理想。
故是的理想。
近世代数教案近世代数教案西南⼤学数学与统计学院张⼴祥学时数：80（每周4学时）使⽤教材：抽象代数——理论、问题与⽅法，科学出版社2005教材使⽤说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通⽤的传统教材（例如：张⽲瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应⽤和⽅法特点。
本教材的后4章有⼀定难度和深度，可作为本科近世代数（⼆）续⽤。
如果不再开设近世代数（⼆），则可以供有兴趣的学⽣⾃学、⾃读，进⼀步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识⾯。
教学⽅法：由于该教材⾸次在全年级使⽤，采⽤教研室集体备课的⽅式，每2周⼀次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学⽣独⽴思考，学⽣完成的思考题成绩可记⼊平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究⽅法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学⼿段：⿊板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张⽲瑞,近世代数基础,1952第⼀版,1978年修订版,⾼等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(⾯向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) ⾼等教育出版社,19993.⽯⽣明, 近世代数初步, ⾼等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁⽯孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第⼀章导引本章教学⽬标：1. 概要了解代数学发展的四个阶段：⽂字叙述阶段；简化⽂字阶段；符号代数阶段；结构代数阶段2. 了解近世代数产⽣的三⼤基础：⾼次⽅程求根问题与Galois群；费马问题的Kummer⽅法与理想论；Hamilton四元数；了解近世代数在现代数学中的地位3. 代数运算的⼀般定义4. 群、环、域的定义与初步实例教学时数：共3节，每节2学时，共6学时思考问题：1. 利⽤乘法公式解释我国古代筹算开⽅法的原理。
近世代数答案杨子胥【篇一：近世代数杨子胥最新版题解_答】概念1. 11.4.5.近世代数题解 1. 22.3.近世代数题解 1. 31. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是m中n个元素可重复的全排列数nn．3. 解例如a?b＝e与a?b＝ab—a—b．4.5.近世代数题解 1. 41.2.3.解 1）略 2）例如规定4．5．略近世代数题解 1. 51. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.1. 61.2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证 1）略2）7.8.9.10.【篇二：概率部分答案】、选择题 1-6：ccdcbb 二、填空题：(1)??{(正，反)， (反，正)，(正，正)，(反，反)}；(2)??{(两正)，(一正一反)， (两反)}；(3)令10件产品中的合格品为正1，正2，?，正9，次品记为次，则（正2，正3），（正2，正4）?，（正2，次）??（正9，次）}(4)??{0,1,2,?}(5)a?{1,3,5},b?{3,4,5,6},a?b?{1,3,4,5,6},ab?{3,5}a?{2,4,6},b?{1,2},a?b?{1},b?a?{4,6}(6)p(ab)?0，p(ab)?1?p?q. (7)0.56；0.94；0.44. (8)p(a?b)?0.7.(9) p(b?a)?0.3，p(a?b)?0.1.3.（1）必然事件；（2）不可能事件；（3）取到的球码是2或4；（4）取到的球码是5，7或9；（5）b?c={6，8，10}.4.（１）选到一名是一年级男生，而非计算机专业；（２）计算机专业只有一年级，且全是男生；（３）计算机专业只有一年级；（４）全校女生都是一年级，且一年级都是女生。
