柱锥台球的表面积和体积公式(含答案解析)

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 一、知识梳理知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝ 圆锥底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝圆台上底面面积：S 上底＝下底面面积：S 下底＝ 侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体 体积 说明圆柱V 圆柱＝Sh ＝πr 2h圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h 圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h知识点三 球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径).2.球的体积公式V ＝43πR 3.二、例题精讲圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )变式 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3D.192π cm 3(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π变式 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_____.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.三、课堂反馈1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 四、课后作业1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.122.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶273.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16πcm 2 4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C.22πD.42π5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶97.一平面截一球得到直径为6 m的圆面，球心到这个平面的距离为4 m，则球的体积为__ m3.8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.11.如上右图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.12.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.*13.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积知识点三 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径). 2.球的体积公式V ＝43πR 3.一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2 答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A.4πSB.2πSC.πSD.233πS答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π， ∴底面周长为2πr ＝2πS π， 又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积是⎝⎛⎭⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3). (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π D.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2. S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2. ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32πcm 2 B.32π cm 2C.32 cm 2D.16πcm 2 答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B. 6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2， ∴V 内＝43π⎝⎛⎭⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ， ∴V 外＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝33πa 36， ∴V 内∶V 外＝1∶3 3.7.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3.答案 500π3解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm.所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3). 8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.答案 33π 解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案 7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 10.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.11.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3， V 球＝43πR 3， 故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3 ＝3∶1∶2.*13.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ， SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ， 在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。

柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。

立体几何的柱，锥，台，球的公式1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2V ＝43πR 3 3．直观图 S 原＝22S 直题型一：直观图1.如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．222.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1A B ''=，3O C ''=，2O A ''=，则原梯形的面积为( )A ．22B ．42C ．8D ．43．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′O ′，则四边形A ′B ′C ′O ′的面积为___________.4．如图所示，是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积S △ABC =_______；（请用数字填写）5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．222+6.正三角形ABC 的边长为2 cm ，如图，△A’B’C’为其水平放置的直观图，则△A’B’C’的周长为（ ） A .8 cmB .6 cmC .（2 +√6）cmD .（2 + 2√3）cm7.用斜二测画法画出水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A’C’ = 3，B’C’ = 2，则△ABC 中AB 边上的中线长为_________.8.(多空题)在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为________(填具体形状)，其面积为________ cm 2.9．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角△O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( ) A ．2B ．22C ．3D ．2310.如图，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 根据斜二测画法得到的直观图，A B ''在x '轴上，B ′C ′与x '轴垂直，且2B C ''=，则△ABC 的边AB 上的高为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．4211.如图所示，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A ′B ′在x ′轴上，B ′C ′与x ′轴垂直，且B ′C ′＝3，则△ABC 的边AB 上的高为（ ） A ．6√2 B ．3√3 C ．3√2 D ．3题型二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.正三棱锥的所有棱长均为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A .33a 2B .23a 2C .3a 2D .4a 22.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5，则该正四棱锥的表面积为（ ） A .3B .12C .8D .433.已知高为3的棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B -AB 1C 的体积为（ ） A .41 B .21 C .63 D .43 4.将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ） A .26aB .212aC .218aD.224a5.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的（ ）A .21 B .31 C .61 D .41 6.如图所示，在三棱台ABC - A 1B 1C 1中，A 1B 1：AB = 1：2，则三棱锥B - A 1B 1C 1与三棱锥A 1 - ABC 的体积比为（ ） A .1：2 B .1：3 C .1：2D .1：47.在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知球A 与球B 的体积之比为8：27，则球A 与球B 的半径之比为（ ） A ．：B ．4：9C ．2：3D ．3：29.球的一个截面面积为49πcm 2，球心到球截面距离为24cm ，则球的表面积是 ． 10.用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是49πcm 2，则球心到截面的距离是 ． 11.已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为_________。

圆锥圆柱圆台球的表面积和体积公式圆锥、圆柱和圆台球是几何学中常见的三个立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。

在本篇文章中，我将为您介绍这三个图形的定义、特点以及如何计算它们的表面积和体积。

一、圆锥圆锥是由一个圆和与圆上每一点相连的一条线段组成的立体图形。

圆锥有一个顶点和一个底面，底面是一个圆，而顶点则位于底面的正上方。

圆锥的表面积公式为：S = πr² + πrl其中，S表示圆锥的表面积，r表示底面圆的半径，l表示圆锥的斜高。

圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h其中，V表示圆锥的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆锥的高。

二、圆柱圆柱是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的立体图形。

圆柱的底面是一个圆，而圆柱的高则是连接两个底面中心的线段。

圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh其中，S表示圆柱的表面积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高。

圆柱的体积公式为：V = πr²h其中，V表示圆柱的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高。

三、圆台球圆台球是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的立体图形，其中一个圆面的半径较大，另一个圆面的半径较小。

圆台球的底面是一个圆，而圆台球的高则是连接两个底面中心的线段。

圆台球的表面积公式为：S = π(R+r)l + πR² + πr²其中，S表示圆台球的表面积，R表示底面较大圆的半径，r表示底面较小圆的半径，l表示圆台球的斜高。

圆台球的体积公式为：V = (1/3)πh(R²+r²+Rr)其中，V表示圆台球的体积，R表示底面较大圆的半径，r表示底面较小圆的半径，h表示圆台球的高。

通过以上公式，我们可以方便地计算出圆锥、圆柱和圆台球的表面积和体积。

这些公式的应用范围广泛，例如在建筑设计、工程测量以及日常生活中都有重要的应用。

在实际问题中，我们可以根据给定的数据，将公式中的参数代入，计算出具体的数值。

课题：柱、锥、台、球的面积与体积备课时间:2008年12月1日主备人:唐春兵编号:043一、知识点梳理1、多面体的表面积多面体的表面积是各个侧面的面积和底面面积的总和.2、旋转体的表面积（1）圆柱的表面积公式S= （其中r为底面半径，l为母线长）.（2）圆锥的表面积公式S= （其中r为底面半径，l为母线长）.（3）圆台的表面积公式S= （其中/,r r为上、下底面半径，l为母线长）. （4）球的表面积公式S= （其中R为球半径）.3、几何体的体积公式（1）柱体的体积公式V= （其中S为底面面积，h为高）.（2）锥体的体积公式V= （其中S为底面面积，h为高）.（3）台体的体积公式V= （其中/S S、为上、下底面面积，h为高）. （4）球的体积公式V= （其中R为球的半径）.二、基础巩固练习1、一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .2、棱长为1的正三棱锥的全面积是 .3、一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸板，将这硬纸板折成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对角线长为 .4、圆锥母线长6cm，底面直径为3cm，在母线SA上有一点B，AB=2cm，那么由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为 .5、已知正四棱柱的底面面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .6、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 .7、将半径为R的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r，则123r r r++的值为 .8、若正四棱锥的底面积是Q，侧面积是S，则它的体积为 .三、例题精选例1、一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积以及侧棱与底面所成的角.例2、将一个底面圆的直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A.（1）求面积A的以x为自变量的函数式；（2）求出截得棱柱的体积的最大值.例3、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切.将球取出后，容器内的水深是多少？左视图主视图俯视图单位：mmAMCO1BO r例4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为a 的正三角形，且1AA 与,AC AB 所成角均为60︒，且1A A AB =，求该三棱柱的侧面积和体积例5、如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使.PE AE ⊥记,()BE x V x =表示四棱锥P ACFE -的体积.（1）求()V x 的表达式； （2）当x 为何值时，()V x 取得最大值.四、反馈练习1、正四棱台的上下底面边长分别为方程29180x x -+=的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其高与斜高分别为 .2、正方体的全面积为2a ，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 .3、体积为352cm 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为 .4、已知圆1O 是半径为R 的球O 的一个小圆，且圆1O 的面积与球O 的表面积的比值为29，则线段1OO 与R 的比值为 .5、已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0OA OB OC ++=，则正三棱锥P ABC -的体积为 .6、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在楞1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点P 的轨迹的面积是 .ABC DOA 1B 1C 1ABCFED PA 1AB CDB 1C 1D 1 M N7、正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、中点，MN AM ⊥，若SA =，则此三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .8、已知直平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为3，60BAD ∠=︒，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与其一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为 . 9、如图，线段AB α⊂平面，线段CD ⊂平面β，且平面//α平面,,,,AB CD AB CD a βαβ⊥==的距离为h ，求四面体ABCD 的体积.10 、已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？ AB CDβα。

第73课 柱、锥、台、球的表面积和体积.1. 掌握柱、锥、台、球的结构特征以及表面积和体积的计算公式.2. 能求简单几何体的表面积和体积.1. 阅读：必修2第53～65页.2. 解悟：①研读直棱柱、正棱锥、正棱台的定义；②教材第53页中的直棱柱、正棱锥和第54页中圆柱、圆锥、圆台都是用侧面展开图的方法推导侧面积公式的，你在解题中能运用这些方法吗？③教材第59页例1中的几何体的体积是通过正六棱柱与圆柱体的体积之差计算的，这就是常用的“割补法”.3. 践习：在教材空白处，完成第60页练习；第63～64页习题.基础诊断1. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为3. 解析：因为圆锥的底面积为π，所以圆锥底面的半径为1，所以其底面的周长为2π.因为圆锥的侧面积为2π，所以12×2πl ＝2π，解得l ＝2，所以圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为22－12＝3，故该圆锥的体积为13×π×3＝3π3.2. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是6.解析：由题意知该多面体为正四棱锥，如图所示，底面边长为1，侧棱长为1，斜高SE ＝32，连结顶点和底面的中心即为高，所以SO ＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22，所以体积为13×1×1×22＝26，故该多面体的体积为26.3. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 17π . 解析：由题意知该正四棱柱的外接球的直径就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为22＋22＋32＝17，所以球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫1722＝17π. 4. 已知某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 38Ｗ.解析：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连结BP ，EP ，CP.易证AD ⊥平面BPC ，所以V ABCD ＝13S △BPC ×AD ＝13×12×a ×a 2－x 24－a 24×x ＝112a ×（3a 2－x 2）x 2＝112a ×－⎝⎛⎭⎫x 2－3a 222＋9a 44≤a 38，当且仅当x 2＝3a 22，即x ＝62a 时取等号，所以该四面体体积的最大值为a 38.范例导航考向❶ 用侧面展开图的方法，将空间问题化归为平面问题例1 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为 10 .解析：方法一：将两个正三棱柱都沿AA 1剪开后展开，如图1，则最短路线长为l ＝（2×3）2＋82＝10.方法二：将正三棱柱侧面展开如图2所示，设该质点绕三棱柱侧面一周时交AA 1于点M ，则第一周的最短路线为AM ，第二周的最短路线为MA 1，所求最短路线的长即求AM ＋A 1M 的最小值，如图2，取点A 关于A″的对称点A′，连结A′A 1，交A″A″1于点M 0，连结A′M ，由三角形的三边不等关系知A 1M ＋A′M ≥A 1A′＝（2×3）2＋82＝10.图1 图2已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为4，母线AB ＝12，从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.(1) 求绳子的最短长度；(2) 求当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解析：(1) 将圆台补形成圆锥，并将圆锥侧面展开成如图所示的扇形. 取A 1B 1的中点M 1，AM 1就是绳子的最短长度. 设∠ASA 1＝α，则BB 1︵＝απ·SB180°＝2π，①AA 1︵＝απ·（SB ＋12）180°＝8π.②②－①得α＝90°. 将α＝90°代入①，解得SB ＝4.在△ASM 1中，SA ＝16，SM 1＝4＋6＝10， ∠ASA 1＝90°，所以AM 21＝102＋162＝356，所以AM 1＝289， 即绳子的最短长度为289.(2) 过点S 作SQ ⊥AM 1，交BB 1︵于点P ，交AM 1于点Q ，则PQ 的长度即为所求. 在Rt △ASM 1中，SQ ＝SA·SM 1AM 1＝16×10289＝808989.PQ ＝SQ －SP ＝808989－4，所以当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为808989－4.考向❷ 折叠问题中线面关系、数量关系的变与不变，等体积法求锥体体积例2 如图1所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.(1) 求证：BE ∥平面ADF ； (2) 求三棱锥FBCE 的体积.图1图2解析：(1) 方法一：取DF的中点G，连结AG，EG.易证四边形ABEG为平行四边形，所以BE∥AG.因为BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，所以BE∥平面ADF.方法二：由题意得BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变.因为BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.因为BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF.因为BE⊂平面BCE，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF.(2) 方法一：因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，所以BC⊥平面DCEF.因为DC＝CE＝1，所以S△CEF＝12CE×DC＝12，所以V FBCE＝V BCEF＝13×BC×S△CEF＝16.方法二：由题意得CD⊥BC，CD⊥CE，BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE.因为DF∥CE，所以点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离，距离为1，因为BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，所以V FBCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三：如图，过点E作EH⊥FC，垂足为H，由图可知BC⊥CD.因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊥DC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面DCEF.因为EH⊂平面DCEF，所以BC⊥EH.因为FC ∩BC ＝C ，FC ，BC ⊂平面FBC ， 所以EH ⊥平面BCF.因为BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5， 所以S △BCF ＝12BC ×CF ＝52.在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15， 所以V FBCE ＝V EBCF ＝13×EH ×S BCF ＝16.如图，已知在多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则这个多面体的体积为 4 .解析：方法一：如图1，将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半，所以V ABCDEFG ＝12V 正方体＝12×2×2×2＝4.方法二：如图2，连结BD ，BG ，则V ABCDEFG ＝V BADGC ＋V BEFGD ＝13S 梯形ADGC ·AB ＋13S 梯形EFGD ·BE ＝13×(1＋2)×2×12×2＋13×(1＋2)×2×12×2＝2＋2＝4. 图1图2自测反馈1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为 6 cm 3.解析：如图，连结AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD.因为D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AO 是四棱锥ABB 1D 1D 的高.因为AO ＝12AC ＝322，S 矩形B 1BDD 1＝2×32＝62，所以V ABB 1D 1D ＝13×322×62＝6.2. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥FADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝ 1∶24 .解析：设三棱柱A 1B 1C 1ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S.因为D ，E ，F 分别是AB ，AC ，A 1A 的中点，所以△AED ∽△ACB ，AF ＝12AA 1，所以S △AED ＝14S △ABC ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ，V 2＝Sh ，所以V 1V 2＝124.3. 已知圆台的母线长为4cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是 24π cm 2.解析：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面.由题意知AC ＝4cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA. 设O 1C ＝r ，则OA ＝2r.因为O 1C SC ＝OASA＝sin 30°，所以SC ＝2r ，SA ＝4r ，所以AC ＝SA －SC ＝2r ＝4，解得r ＝2，所以圆台的侧面积为π(r ＋2r)×4＝π(2＋4)×4＝24π.4. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 3 .解析：因为正三棱锥的底面边长为2，所以底面正三角形的高为2×32＝3，所以底面中心到三角形顶点的距离为233.因为正三棱锥的侧棱长为433，所以正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫4332－⎝⎛⎭⎫2332＝2，所以该三棱锥的体积为13×12×2×3×2＝233.5. 如图，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，其中∠BAC ＝30°，求该几何体的体积.解析：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，所以AC ＝3R ，BC ＝R ，CD ＝32R ， 所以AD ＝（3R ）2－⎝⎛⎭⎫32R 2＝32R ， 所以BD ＝2R －32R ＝R2，所以V 球＝4π3R 3，V 圆锥AD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3π8R 3，V 圆锥BD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×R 2＝π8R 3，所以V 几何体＝4π3R 3－3π8R 3－π8R 3＝5π6R 3.1. 用侧面展开图的方法解决相关问题，是空间问题平面化思想的应用.关键是要搞清楚展开图的形状，及其数量关系.如，例1及其跟踪练习.例1跟踪练习中的“补台成锥”，自测反馈第5题的组合几何体，“割补法”是解决此类问题的常用方法.2. 处理折叠问题，如例2中，折痕CD 左右两部分仍是平面图形，其中的数量关系、位置关系没有变化，而两部分元素之间的平行、垂直等位置关系和相互间的数量关系.3. 你还有哪些体悟，请写下来：。

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。