柱锥台球的表面积和体积公式(有答案)

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

第一章 空间立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱、锥、台的表面积与体积测试题知识点1 柱、锥、台的表面积1．已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的表面积为( ) A ．33a 2＋6ah B.3a 2＋6hC ．43a 2＋6ah D.323a 2＋6ah2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶1 C ．1∶4 D ．1∶33．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．2804．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．6．如图所示的圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．7．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．8.如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果保留π)10.一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．知识点2 柱、锥、台的体积11．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．2 3C.736πD.733π 12．(2014·课标全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13 13．(2014·日照高一检测)某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π314．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．15．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．16．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图，AA 1＝3. (1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．17．如图，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为D.以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【参考答案】1A 【解析】柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S 底＝33a 2＋6ah.2B 【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S 1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π，故S 1∶S 2＝1∶1，选B.3B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和．S ＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.故选B.4A 【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh)∶2πrh ＝(r ＋h)∶h ＝(2π＋1)∶2π.52∶1 【解析】S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·⎝⎛⎭⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.6 100π【解析】设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝（3r）2＋（4r）2＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2，8，8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.7 S2【解析】如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得⎩⎨⎧π2l2＝S，πl＝2πr.解得r＝S2π，所以底面积为πr2＝π×S2π＝S2.8 【解】几何体的表面积为：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.9 【解】如下图所示，设圆台的上底面周长为c cm，上、下底面半径分别为r1 cm，r2 cm，则r1＝10，r2＝20.因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.又c＝2π·10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20.S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．答：圆台的表面积为1 100πcm2.10 【解】(1)圆锥的母线长为62＋22＝210 cm，∴圆锥的侧面积S＝π×2×210＝410πcm2.(2)画出轴截面如图所示：设圆柱的半径为r .由题意知：r2＝6－x6，∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x)，∴当x ＝3 cm 时，S 最大＝6πcm 2.11D 【解析】 S 1＝π，S 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R)l ， ∴l ＝2，∴h ＝ 3.∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.12C 【解析】由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.13A 【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为13π×2＝2π3，所以该几何体的体积为8－2π3，选A.14.32【解析】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.1533π 【解析】 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r ，高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝2π，h 2＋r 2＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，h ＝ 3.∴它的体积为13×π×12×3＝33π.16【解】 (1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S △ABC ＝12×3×332＝934.S 侧＝3AC ×AA 1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的表面积为27＋2×934＝27＋932.这个三棱柱的体积为934×3＝2734.17【解】 在△ABC 中，由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，∴S 表面积＝πr ·(AC ＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π.V ＝13πr 2(AD ＋BD)＝13πr 2·AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π.所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.。

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 一、知识梳理知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝ 圆锥底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝圆台上底面面积：S 上底＝下底面面积：S 下底＝ 侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体 体积 说明圆柱V 圆柱＝Sh ＝πr 2h圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h 圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h知识点三 球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径).2.球的体积公式V ＝43πR 3.二、例题精讲圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )变式 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3D.192π cm 3(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π变式 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_____.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.三、课堂反馈1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 四、课后作业1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.122.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶273.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16πcm 2 4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C.22πD.42π5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶97.一平面截一球得到直径为6 m的圆面，球心到这个平面的距离为4 m，则球的体积为__ m3.8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.11.如上右图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.12.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.*13.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积知识点三 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径). 2.球的体积公式V ＝43πR 3.一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2 答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A.4πSB.2πSC.πSD.233πS答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π， ∴底面周长为2πr ＝2πS π， 又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积是⎝⎛⎭⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3). (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π D.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2. S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2. ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32πcm 2 B.32π cm 2C.32 cm 2D.16πcm 2 答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B. 6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2， ∴V 内＝43π⎝⎛⎭⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ， ∴V 外＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝33πa 36， ∴V 内∶V 外＝1∶3 3.7.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3.答案 500π3解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm.所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3). 8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.答案 33π 解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案 7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 10.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.11.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3， V 球＝43πR 3， 故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3 ＝3∶1∶2.*13.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ， SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ， 在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1C．1D2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A．2πB．3πC．πD．4π【答案】D【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81πB．100πC．14πD．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RπB．圆锥的侧面积为22RπC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224R R Rππ⨯=，∴A错误；圆锥的侧面积为2R Rπ=，∴B错误；球面面积为24Rπ，∵圆柱的侧面积为24Rπ，∴C正确；2322V R R Rππ=⋅=圆柱，2312233V R R Rππ⋅==圆锥，343V R=π球33324:2::3:1:233:V V V R R Rπππ∴==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.6．（多选题）如图所示，ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥 ∴侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，∴A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，∴C 错误，D 正确.故选：AD .二、填空题7． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.8．如图，若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．【答案】259π3【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得13O A =，24O B =，5OA OB ==，则14OO =，23OO =，127O O =，所以()22π259347π33V ⨯⨯==.9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．【答案】6π【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，可得圆柱的底面半径为1r =，母线2l =，所以该圆柱的表面积为221222212216S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=。

柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。

立体几何的柱，锥，台，球的公式1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2V ＝43πR 3 3．直观图 S 原＝22S 直题型一：直观图1.如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．222.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1A B ''=，3O C ''=，2O A ''=，则原梯形的面积为( )A ．22B ．42C ．8D ．43．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′O ′，则四边形A ′B ′C ′O ′的面积为___________.4．如图所示，是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积S △ABC =_______；（请用数字填写）5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．222+6.正三角形ABC 的边长为2 cm ，如图，△A’B’C’为其水平放置的直观图，则△A’B’C’的周长为（ ） A .8 cmB .6 cmC .（2 +√6）cmD .（2 + 2√3）cm7.用斜二测画法画出水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A’C’ = 3，B’C’ = 2，则△ABC 中AB 边上的中线长为_________.8.(多空题)在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在平面直角坐标系中原四边形OABC 为________(填具体形状)，其面积为________ cm 2.9．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角△O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( ) A ．2B ．22C ．3D ．2310.如图，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 根据斜二测画法得到的直观图，A B ''在x '轴上，B ′C ′与x '轴垂直，且2B C ''=，则△ABC 的边AB 上的高为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．4211.如图所示，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A ′B ′在x ′轴上，B ′C ′与x ′轴垂直，且B ′C ′＝3，则△ABC 的边AB 上的高为（ ） A ．6√2 B ．3√3 C ．3√2 D ．3题型二棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.正三棱锥的所有棱长均为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A .33a 2B .23a 2C .3a 2D .4a 22.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5，则该正四棱锥的表面积为（ ） A .3B .12C .8D .433.已知高为3的棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B -AB 1C 的体积为（ ） A .41 B .21 C .63 D .43 4.将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ） A .26aB .212aC .218aD.224a5.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的（ ）A .21 B .31 C .61 D .41 6.如图所示，在三棱台ABC - A 1B 1C 1中，A 1B 1：AB = 1：2，则三棱锥B - A 1B 1C 1与三棱锥A 1 - ABC 的体积比为（ ） A .1：2 B .1：3 C .1：2D .1：47.在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知球A 与球B 的体积之比为8：27，则球A 与球B 的半径之比为（ ） A ．：B ．4：9C ．2：3D ．3：29.球的一个截面面积为49πcm 2，球心到球截面距离为24cm ，则球的表面积是 ． 10.用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是49πcm 2，则球心到截面的距离是 ． 11.已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为_________。

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l cπ==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l cπ==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S =上时即为锥体的体积公式；②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：BCC 1四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？DCBA 解：展开后使其成一线段AC cm =考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。

A 级 课时对点练一.选择题(本题共5小题,每小题5分,共25分)1．母线长为1的圆锥的正面睁开图的圆心角等于43π,则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881πC.4581πD.1081π 解析：设圆锥的底面半径为r ,则2πr 1＝43π,∴r ＝23,∴圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝4581π.答案：C2．如图,是一个几何体的三视图,侧视图和正视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何 体的正面积为( )A ．6B ．123C ．24D ．3解析：留意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形,于是正面积为S ＝6×4＝24. 答案：C3．下图为一个几何体的三视图,则该几何体的概况积为(不斟酌接触点)( )A ．6＋3＋π B．18＋3＋4πC ．18＋23＋π D．32＋π解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球,个中正三棱柱底面边长为2,侧棱长为3,故其概况积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×34×22＋3×2×3＝18＋23＋π.4．一个多面体的三视图分离为正方形.等腰三角形和矩形, 如图所示．则该多面体的体积( )A ．48 cm 3B ．24 cm 3C ．32 cm 3D ．28 cm 3解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱,如图．个中正面矩形ABCD 中,AD ＝6(cm ),AB ＝4(cm ),底面等腰三角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm ),则其体积V ＝12×4×4×6＝48(cm 3)． 答案：A5．已知某几何体的三视图如图,个中正(主)视图中半圆 的半径为1,则该几何体的体积为( )A ．24－32πB．24－π3C ．24－πD．24－π2解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,个中长方体的棱长分离为：2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.答案：A 二.填空题：6．如图,一个空间几何体的正视图和侧视 图都是边长为1的正方形,俯视图是直径为1的圆,那么这个几何体的正面积为________．解析：由三视图的常识,它是底面直径与高均为1的圆柱,所以 正面积S ＝π.7．若球O 1.O 2概况积之比S 1S 2＝4,则它们的半径之比R 1R 2＝________.解析：∵S 1＝4πR 21,S 2＝4πR 22,∴S 1S 2＝R 21R 22＝4,∴R 1R 2＝2.答案：28．下图是一个几何体的三视图,依据图中数据,可得该几何体的体积为________．解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱,是以V ＝12×π×12×2＝π. 答案：π三.解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分) 9．已知某几何体的俯视图是如右图所 示的矩形,正视图(或称主视图)是一个 底边长为8.高为4的等腰三角形,侧 视图(或称左视图)是一个底边长为6. 高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的正面积S .解：由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长.宽分离为8和6的矩形,正正面及其相对正面均为底边长为8,高为h 1的等腰三角形,左.右正面均为底边长为6.高为h 2的等腰三角形, 如右图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正正面及相对正面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5. 左.右正面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的正面面积为：S ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.10．某高速公路收费站进口处的安然标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P —EFGH ,下半部分是长方体ABCD —EFGH .图2.图3分离是该标识墩的正视图和俯视图． (1)请画出该安然标识墩的侧视图; (2)求该安然标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图,如图所示： (2)该安然标识墩的体积为 V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝64 000(cm 3)．B 级 素能晋升练(时光：30分钟 满分：40分)一.选择题(本题共2小题,每小题5分,共10分)1．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,极点都在一个球面上,则该球的概况积为( )A ．πa 2B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2答案：B2．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E .F 在棱A 1B 1上,动点P ,Q 分离在棱AD ,CD 上,若EF ＝1,A 1E ＝x ,DQ ＝y ,DP ＝z (x ,y ,z 大于零),则四面体PEFQ 的体积( ) A ．与x ,y ,z 都有关B ．与x 有关,与y ,z 无关C ．与y 有关,与x ,z 无关D ．与z 有关,与x ,y 无关解析：从题图中可以剖析出,△EFQ 的面积永久不变,为面A 1B 1CD 面积的14,而当P 点变更时,它到面A 1B 1CD 的距离是变更的,是以会导致四面体体积的变更． 答案：D二.填空题(本题共2小题,每小题5分,共10分)3．在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.相似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶84．已知一几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为6,俯视图为正方形,一个小正四棱柱内接于这个几何体,棱柱底面在面ABCD 内,其余极点在几何体的棱上,当棱柱的底面边长为________,高为________时,棱柱的体积最大,这个最大值是________．解析：依据前提可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x ,则高为6－x ,从而由V ＝x 2(6－x )知,当x ＝4时,即底面边长为4,高为2时,棱柱的体积最大,最大体积为32. 答案：4 2 32三.解答题(本题共2小题,每小题10分,共20分)5．直三棱柱高为6 cm ,底面三角形的边长分离为3 cm ,4 cm ,5 cm ,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值．解：如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才干最小,设此时圆柱的底面半径为R ,圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中,AB ＝3(cm ),BC ＝4(cm ),AC ＝5(cm ),∴△ABC 为直角三角形．依据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5,∴R ＝1(cm )．∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π(cm )．而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)．∴削去部分体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)．即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm 3.6．如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA 1AA 1B 1B 程度放置时,液面正好过AC .BC .A 1C 1.B 1C 1的中点,当底面ABC 程度放 置时,液面高为若干？解：当正面AA 1B 1B 程度放置时,水的外形为四棱柱形,底面ABFE 为梯形．设△ABC 的面积为S ,则S 梯形ABFE ＝34S , V 水＝34S ·AA 1＝6S .当底面ABC 程度放置时,水的外形为三棱柱形,设水面高为h ,则有V 水＝Sh ,∴6S ＝Sh ,∴h ＝6.故当底面ABC 程度放置时,液面高为6.。

柱、锥、台、球的表面积和体积考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．经典例题：在三棱柱ABC—DEF中，已知AD到面BCFE的距离为h，平行四边形BCFE的面积为S．求：三棱柱的体积V．当堂练习：！1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（）A．+1 B．C．D．2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（）A．8R2 B．9R2 C．10R2 D．12R23．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A．10cm B．5cm C．5cm D．cm4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍B．2倍C．1倍D．1倍】6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）A．B．C．D．7．两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（）A．a3 B．a3 C．a3 D．a39.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10.棱锥V-ABC的中截面是A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：811. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（）A．1：32 B．1：24 C．1：64 D．1：256|12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（）A．2：3 B．4：9 C．D．13．棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（）A．4 3 B．C．D．14．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________．15．E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A-BCE（A，D重合），则此三棱锥的体积为____________．16.直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED的体积是________________．17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________．18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值最大值是多少#19．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．.20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S和体积V．21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积．】参考答案：经典例题：解法一：把三棱柱补成一平行六面体EFDG—BCAH，可看成以s为底，以h为高，则体积为sh．VABC-DEF=这就是用补的方法求体积．解法二：连DB、DC、BF，把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥，如D—BEF就是以s为底，高为h的三棱锥，则VD-BEF=则VABC-DEF=3 VD-BEF=．当堂练习：; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 14. 6R2; 15. ; 16. ; 17. ;18. 如图,SAB是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x , 由与相似, 则OO1=SO-SO1=12-,则圆柱的全面积S=S侧+2S底=2则当时,S取到最大值．19. 解：AB2+BC2=AC2，ABC为直角三角形，ABC的外接圆O1的半径r=15cm，因圆O1即为平面ABC截球O所得的圆面，因此有R2=（）2+152，R2=300，S球=4R2=1200（cm2）.20. 解:设母线长为, 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时,底面半径,高则S全=21. 解：四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则，平面ABB1A1，三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a，S。

2016年03月13日沐玖的高中数学组卷一．选择题（共30小题）1．（2015•徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π2．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C．D．3．（2014春•滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125π D．都不对4．（2000•天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．5．（2015•武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2B．4C．8D．166．（2015•沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几何体的内切球的体积为（）A．πB．πC．D．π7．（2016•宝鸡一模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．4π B．πC．12πD．20π8．（2016•宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A．208π B．128π C．64πD．32π9．（2015•新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π10．（2015•哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．11．（2015•衡水四模）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（）A．20+8B．24+8C．8 D．1612．（2015•沈阳校级模拟）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）A．2 B．6 C．2（+）D．2（+）+213．（2015•邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．64πB．16πC．12πD．4π14．（2015•厦门模拟）如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（）A．B．a2C．D．a215．（2015•河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．16．（2015秋•深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q 分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A． B． C． D．17．（2015•沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm318．（2015•武昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环 B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环 D．不确定19．（2015•重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC． D．20．（2015•河池一模）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm321．（2015•天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．222．（2015•石家庄一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC 的体积为（）A．1 B．C．D．与M点的位置有关23．（2015•昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形．那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（）A．B．C．D．24．（2015•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．8π B．6π C．4π D．2π25．（2015•银川校级三模）以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．2cm3B．3cm3C．4cm3D．5cm326．（2015•嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：327．（2015•赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣A 1B1C1中，A1C1=2，AA1=，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A． B．2C．1 D．328．（2015•宁城县一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．29．（2015•黄山二模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（）A．B．C． D．30．（2015•兰州模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB=AD，AA 1=2AD，则四棱锥D1﹣ABCD的体积为（）A．B．C．2D．42016年03月13日沐玖的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2015•徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．2．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题．3．（2014春•滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125π D．都不对【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选B．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．4．（2000•天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选A．【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．5．（2015•武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2B．4C．8D．16【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积．【解答】解：由三视图，得该几何体为三棱锥，有，∴x2+y2=128，∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，此时，V=××2×6×8=16，故选：D．【点评】本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识，属于中档题．6．（2015•沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几何体的内切球的体积为（）A．πB．πC．D．π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图是边长为1的正方形，得几何体是棱长为1的正方体，即可求出这个空间几何体的内切球的体积．【解答】解：根据几何体的三视图是边长为1的正方形，得几何体是棱长为1的正方体，∴几何体的内切球的体积为V=π×（）3=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求这个空间几何体的内切球的体积，判断几何体的形状是关键．7．（2016•宝鸡一模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．4π B．πC．12πD．20π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设球心为O，由点P、A、B、C、D都在同一球面上，可得球的直径就是矩形对角线的长，求得球的半径，从而得出表面积．【解答】解：设球心为O，如图．由PA=PD=AB=2，∠APD=90°，可求得AD=2，在矩形ABCD中，可求得对角线BD==2，由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，∴球的半径R=BD=则此球的表面积等于=4πR2=12π．故选：C．【点评】本题是中档题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．8．（2016•宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A．208π B．128π C．64πD．32π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；综合法；立体几何．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球半径，代入求得表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为4，底面为等腰三角形，底边长为6，高为3．∴△ABC为等边三角形，外接圆的半径r=2，∴几何体的外接球的半径R==4，∴外接球的表面积S=4π×16=64π．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．9．（2015•新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣==36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，AOB=故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（2015•哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．故选C．【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．11．（2015•衡水四模）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（）A．20+8B．24+8C．8 D．16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．12．（2015•沈阳校级模拟）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）A．2 B．6 C．2（+）D．2（+）+2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出空间几何体的直观图，运用几何体的性质求解侧面积．【解答】解：根据三视图画出直观图，得出：PA=2，AC=2，AB=，PB=，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴这个四棱锥的侧面积为2××+2×××=2（），故选：C【点评】本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的性质，关键是确定直观图，恢复得出直线平面的位置关系，属于中档题．13．（2015•邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．64πB．16πC．12πD．4π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半径R=4，∴球O的表面积S=4πR2=64π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．14．（2015•厦门模拟）如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（）A．B．a2C．D．a2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），即可求出三棱锥Q﹣BMN 正视图的面积．【解答】解：由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），其面积为=．故选：B．【点评】本题考查三棱锥Q﹣BMN正视图的面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC是关键．15．（2015•河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，所以V=4×3﹣1=11．故选：C【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．16．（2015秋•深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q 分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】由已知中三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA 1、CC1上的点，且PA=QC1，我们可得S APQC=，即V B﹣，再结合同底等高的棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即APQC=可求出答案．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，又∵P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，∴四棱锥B﹣APQC的底面积S APQC=又V B﹣ACC1A1=∴V B﹣APQC===故选C．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积、棱锥的体积，其中分析出棱锥与原棱柱之间底面积、高之间的比例关系是解答本题的关键．17．（2015•沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．18．（2015•武昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环 B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环 D．不确定【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．【解答】解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B【点评】本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．19．（2015•重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V 球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．20．（2015•河池一模）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱锥的体积是a2×a=，故选：A【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．21．（2015•天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=3ah+2•=+，最后利用导函数即得底面边长．【解答】解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h=，则表面积为S=3ah+2•=+，则令S′=a﹣=0，解得a=即为所求边长．故选：B．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．22．（2015•石家庄一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC 的体积为（）A．1 B．C．D．与M点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC1，取=，则PN∥D1C1，，PN=1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．故选：B．【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2015•昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形．那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体积即可．【解答】解：由题意，分类讨论可得（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=，所以四面体A﹣BCD的体积为=．故选：C．【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（2015•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．8π B．6π C．4π D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由于三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC．而2AC=AB，可得BC=x，AC=x．利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∵三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵2AC=AB，∴∠ABC=60°，∴BC=x，AC=x．∴V P﹣ABC===，解得x=．∴该三棱锥的外接球的体积V==．故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2015•银川校级三模）以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．2cm3B．3cm3C．4cm3D．5cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图得到原几何体，然后直接由棱柱的体积公式求得答案．【解答】解：由三视图作出几何体原图形如图，则原几何体为底面三角形是等腰三角形，高为3的直三棱柱，且底面三角形ABC的面积为S=．∴该几何体的体积V=S△ABC•EF=1×3=3（cm3）．故选：B．【点评】本题考查几何体的三视图，关键是能由三视图得到原几何体，是中档题．26．（2015•嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，由B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，得到棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD 的体积的；棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V ﹣ABCD的体积的．由此可得答案．【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是四棱锥V﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1﹣ABC的体积是棱锥V﹣ABC体积的，棱锥D1﹣ACD的体积是棱锥V﹣ACD的体积的，∴棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；棱锥B1﹣VAD1的体积是棱锥B﹣VAD体积的，棱锥B1﹣VCD1的体积是棱锥B﹣VCD体积的，∴棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V=四棱锥P﹣ABCD的体积﹣个四棱锥P﹣ABCD的体积=个四棱锥P﹣ABCD的体积，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．故选：C．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档题．27．（2015•赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=2，AA1=，D 为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A． B．2C．1 D．3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．。

第73课 柱、锥、台、球的表面积和体积.1. 掌握柱、锥、台、球的结构特征以及表面积和体积的计算公式.2. 能求简单几何体的表面积和体积.1. 阅读：必修2第53～65页.2. 解悟：①研读直棱柱、正棱锥、正棱台的定义；②教材第53页中的直棱柱、正棱锥和第54页中圆柱、圆锥、圆台都是用侧面展开图的方法推导侧面积公式的，你在解题中能运用这些方法吗？③教材第59页例1中的几何体的体积是通过正六棱柱与圆柱体的体积之差计算的，这就是常用的“割补法”.3. 践习：在教材空白处，完成第60页练习；第63～64页习题.基础诊断1. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为3. 解析：因为圆锥的底面积为π，所以圆锥底面的半径为1，所以其底面的周长为2π.因为圆锥的侧面积为2π，所以12×2πl ＝2π，解得l ＝2，所以圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为22－12＝3，故该圆锥的体积为13×π×3＝3π3.2. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是6.解析：由题意知该多面体为正四棱锥，如图所示，底面边长为1，侧棱长为1，斜高SE ＝32，连结顶点和底面的中心即为高，所以SO ＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22，所以体积为13×1×1×22＝26，故该多面体的体积为26.3. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 17π . 解析：由题意知该正四棱柱的外接球的直径就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为22＋22＋32＝17，所以球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫1722＝17π. 4. 已知某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 38Ｗ.解析：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连结BP ，EP ，CP.易证AD ⊥平面BPC ，所以V ABCD ＝13S △BPC ×AD ＝13×12×a ×a 2－x 24－a 24×x ＝112a ×（3a 2－x 2）x 2＝112a ×－⎝⎛⎭⎫x 2－3a 222＋9a 44≤a 38，当且仅当x 2＝3a 22，即x ＝62a 时取等号，所以该四面体体积的最大值为a 38.范例导航考向❶ 用侧面展开图的方法，将空间问题化归为平面问题例1 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为 10 .解析：方法一：将两个正三棱柱都沿AA 1剪开后展开，如图1，则最短路线长为l ＝（2×3）2＋82＝10.方法二：将正三棱柱侧面展开如图2所示，设该质点绕三棱柱侧面一周时交AA 1于点M ，则第一周的最短路线为AM ，第二周的最短路线为MA 1，所求最短路线的长即求AM ＋A 1M 的最小值，如图2，取点A 关于A″的对称点A′，连结A′A 1，交A″A″1于点M 0，连结A′M ，由三角形的三边不等关系知A 1M ＋A′M ≥A 1A′＝（2×3）2＋82＝10.图1 图2已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为4，母线AB ＝12，从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.(1) 求绳子的最短长度；(2) 求当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解析：(1) 将圆台补形成圆锥，并将圆锥侧面展开成如图所示的扇形. 取A 1B 1的中点M 1，AM 1就是绳子的最短长度. 设∠ASA 1＝α，则BB 1︵＝απ·SB180°＝2π，①AA 1︵＝απ·（SB ＋12）180°＝8π.②②－①得α＝90°. 将α＝90°代入①，解得SB ＝4.在△ASM 1中，SA ＝16，SM 1＝4＋6＝10， ∠ASA 1＝90°，所以AM 21＝102＋162＝356，所以AM 1＝289， 即绳子的最短长度为289.(2) 过点S 作SQ ⊥AM 1，交BB 1︵于点P ，交AM 1于点Q ，则PQ 的长度即为所求. 在Rt △ASM 1中，SQ ＝SA·SM 1AM 1＝16×10289＝808989.PQ ＝SQ －SP ＝808989－4，所以当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为808989－4.考向❷ 折叠问题中线面关系、数量关系的变与不变，等体积法求锥体体积例2 如图1所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.(1) 求证：BE ∥平面ADF ； (2) 求三棱锥FBCE 的体积.图1图2解析：(1) 方法一：取DF的中点G，连结AG，EG.易证四边形ABEG为平行四边形，所以BE∥AG.因为BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，所以BE∥平面ADF.方法二：由题意得BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变.因为BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.因为BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF.因为BE⊂平面BCE，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF.(2) 方法一：因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，所以BC⊥平面DCEF.因为DC＝CE＝1，所以S△CEF＝12CE×DC＝12，所以V FBCE＝V BCEF＝13×BC×S△CEF＝16.方法二：由题意得CD⊥BC，CD⊥CE，BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE.因为DF∥CE，所以点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离，距离为1，因为BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，所以V FBCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三：如图，过点E作EH⊥FC，垂足为H，由图可知BC⊥CD.因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊥DC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面DCEF.因为EH⊂平面DCEF，所以BC⊥EH.因为FC ∩BC ＝C ，FC ，BC ⊂平面FBC ， 所以EH ⊥平面BCF.因为BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5， 所以S △BCF ＝12BC ×CF ＝52.在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15， 所以V FBCE ＝V EBCF ＝13×EH ×S BCF ＝16.如图，已知在多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则这个多面体的体积为 4 .解析：方法一：如图1，将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半，所以V ABCDEFG ＝12V 正方体＝12×2×2×2＝4.方法二：如图2，连结BD ，BG ，则V ABCDEFG ＝V BADGC ＋V BEFGD ＝13S 梯形ADGC ·AB ＋13S 梯形EFGD ·BE ＝13×(1＋2)×2×12×2＋13×(1＋2)×2×12×2＝2＋2＝4. 图1图2自测反馈1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为 6 cm 3.解析：如图，连结AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD.因为D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AO 是四棱锥ABB 1D 1D 的高.因为AO ＝12AC ＝322，S 矩形B 1BDD 1＝2×32＝62，所以V ABB 1D 1D ＝13×322×62＝6.2. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥FADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝ 1∶24 .解析：设三棱柱A 1B 1C 1ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S.因为D ，E ，F 分别是AB ，AC ，A 1A 的中点，所以△AED ∽△ACB ，AF ＝12AA 1，所以S △AED ＝14S △ABC ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ，V 2＝Sh ，所以V 1V 2＝124.3. 已知圆台的母线长为4cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是 24π cm 2.解析：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面.由题意知AC ＝4cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA. 设O 1C ＝r ，则OA ＝2r.因为O 1C SC ＝OASA＝sin 30°，所以SC ＝2r ，SA ＝4r ，所以AC ＝SA －SC ＝2r ＝4，解得r ＝2，所以圆台的侧面积为π(r ＋2r)×4＝π(2＋4)×4＝24π.4. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 3 .解析：因为正三棱锥的底面边长为2，所以底面正三角形的高为2×32＝3，所以底面中心到三角形顶点的距离为233.因为正三棱锥的侧棱长为433，所以正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫4332－⎝⎛⎭⎫2332＝2，所以该三棱锥的体积为13×12×2×3×2＝233.5. 如图，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，其中∠BAC ＝30°，求该几何体的体积.解析：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，所以AC ＝3R ，BC ＝R ，CD ＝32R ， 所以AD ＝（3R ）2－⎝⎛⎭⎫32R 2＝32R ， 所以BD ＝2R －32R ＝R2，所以V 球＝4π3R 3，V 圆锥AD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3π8R 3，V 圆锥BD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×R 2＝π8R 3，所以V 几何体＝4π3R 3－3π8R 3－π8R 3＝5π6R 3.1. 用侧面展开图的方法解决相关问题，是空间问题平面化思想的应用.关键是要搞清楚展开图的形状，及其数量关系.如，例1及其跟踪练习.例1跟踪练习中的“补台成锥”，自测反馈第5题的组合几何体，“割补法”是解决此类问题的常用方法.2. 处理折叠问题，如例2中，折痕CD 左右两部分仍是平面图形，其中的数量关系、位置关系没有变化，而两部分元素之间的平行、垂直等位置关系和相互间的数量关系.3. 你还有哪些体悟，请写下来：。

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。

精心整理A级课时对点练一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为()形，于是侧面积为S＝6×4＝24.答案：C3．下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ()A．6＋3＋π B．18＋3＋4πC．18＋23＋π D．32＋π解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×34×22＋3×2×3＝18＋23＋π. 答案：C的半径为1，则该几何体的体积为 ( )A ．24－32πB ．24－π3C ．24－πD ．24－π2解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝ 24－3π2. 答案：A二、填空题：6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视 ．由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆×π×12×2＝π.答案：π三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由题设可知，几何体是一个高为4的矩形，视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．解：(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V＝V P－EFGH＋V ABCD－EFGH2×60＋402×20＝13×40＝64 000(cm3)．B级素能提升练(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．答案：D二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶8角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高．∵在△ABC 中，AB ＝3(cm )，BC ＝4(cm )，AC ＝5(cm )，∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，∴R＝1(cm)．∴V圆柱＝πR2·h＝6π(cm)．3)．而三棱柱的体积为V三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm∴削去部分体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm3.水的形状为三棱柱形，设水面高。