高中数学：4.4.2参数方程与普通方程的互化教案新课标人教A版选修4-4

4.4.2 参数方程与普通方程的互化

1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程．

2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．

[基础·初探]

1．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 x＝x0＋lcos α，y＝y0＋lsin α(l为参数)，其中参数l的几何意义：有向线段P0P的数量(P为该直线上任意一点)．

2．圆x2＋y2＝r2的参数方程为 x＝rcos θ，y＝rsin θ(θ为参数)．

圆心为M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ(θ为参数)．

3．椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为 x＝acos φ，y＝bsin φ(φ为参数)．

[思考·探究]

1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？

【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．

2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？

【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．

②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程 x＝at＋1tcos θ，y＝at－1tsin θ，如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_____________________________________________________

解惑：_____________________________________________________

疑问2：_____________________________________________________

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修

一、教学目标：

1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 通过对参数方程的学习，提高学生的数学思维能力和创新意识。

二、教学内容：

1. 参数方程的定义及基本形式。

2. 参数方程与普通方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：

1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的互化。

2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法：

1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索参数方程的概念及应用。

2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程与普通方程的关系。

3. 运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为参数方程求解。

五、教学过程：

1. 导入：引导学生回顾普通方程的知识，激发学生对参数方程的兴趣。

2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式及与普通方程的关系。

3. 案例分析：分析参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹、电路问题等。

4. 练习与讨论：学生分组讨论，尝试将实际问题转化为参数方程求解，教师给予指导。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生深入研究参数方程的性质和应用。

六、教学评估：

1. 课后作业：布置有关参数方程的概念理解、形式转换和实际应用的练习题，以巩固所学知识。

2. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对参数方程的理解程度，以及能否将实际问题转化为参数方程。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们在解决问题时的创造性思维。

七、课后作业：

1. 复习参数方程的概念和基本形式。

2. 完成课后练习题，包括将普通方程转化为参数方程，以及运用参数方程解决实际问题。

3. 探索参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

八、教学资源：

1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。

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年级

高二 学科 数学 版本 通用版

课程标题 选修4-4第二讲参数方程（文）

编稿老师 孙洪成

一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标

1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。

2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。

3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。

4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。

二、重点、难点

重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。

难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。

三、考点分析

高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。

一、知识网络

第2页 版权所有 不得复制 参数方程抛射体运动方程参数方程的概念与意义直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程其他常见曲线的参数方程椭圆抛物线双曲线摆线圆的渐开线“点角式”“点向式”

二、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

说明：

1. 在曲线的参数方程中，如果出现了多个字母，应明确哪个是参数，以及参数的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。

2. 一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以有多个。

3. 某些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。某些动点的普通方程可能根本就找不到，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，但它的普通方程没法直接表示，而参数方程则很容易得出。

课题：参数方程与普通方程互化

教学目的：

知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法能力目标：选取适当的参数化普通方程为参数方程

德育目标：

教学重点：参数方程与普通方程的互化

教学难点：参数方程与普通方程的等价性

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1 复习：（1）

（2）

（3）

2 引课：

问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）

（1）

（2）

（3）

二、讲解新课：

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数

（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(yxF：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致

性，必须根据参数的取值范围，确定)(tf和)(tg值域得x、y的取值范围。

2、常见曲线的参数方程

（1）圆222ryx参数方程sincos

ryrx（为参数）

（2）圆22020)()(ryyxx参数方程为：sincos

00ryyrxx（为参数）

（3）椭圆122

22

by

ax参数方程sincos

byax（为参数）

（4）双曲线122

22

by

ax参数方程tansec

byax（为参数）

（5）抛物线Pxy22参数方程PtyPtx

222（t为参数）

（6）过定点),(00yxP倾斜角为的直线的参数方程

sincos

00tyytxx（t为参数）

典型例题

1、将下列参数方程化为普通方程

（1）22

22

tyttx（2）2sincossin

yx

（3）

2221

ttyttx（4）

22

1212

ttytx（5）

)1(3)1(2

22ttyttx

变式训练1

2、（1）方程

21

yttx表示的曲线

A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分

（2）下列方程中，当方程xy2表示同一曲线的点

A、2tytx B、tytx

sinsin2 C、tyx11 D、