高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
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- 1 - / 13 曲线的参数方程
教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程
一．参数方程的概念
1．探究：
（1）平抛运动：
为参数）tgtytx(215001002
练习：斜抛运动：
为参数）tgttvytvx(21sincos200
2．参数方程的概念
（见教科书第22页）
说明：（1）一般来说，参数的变化X围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C的参数方程是1232tytx (t为参数)
（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。
x y
500
O A v=100m/s
x y
O
v=v0
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cossin2DCBAyx，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程word
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A、一个定点 B、一个椭圆
C、一条抛物线 D、一条直线
二．圆的参数方程
)(sincos为参数ttrytrx
)(sincos为参数ryrx
说明：
（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X围。
例2．（教科书第24页例2）
思考：你能回答教科书第25页的思考吗？
三．参数方程和普通方程的互化
1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值X围保持一致。
例3．（教科书第25页例3）
例4．（教科书第26页例4）
2．你能回答教科书第26页的思考吗？
四．课堂练习
（教科书第26页习题）
五．巩固与反思
1．本节学习的数学知识
2．本节学习的数学方法
巩固与提高
1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）
A．22tytx B． tytxcscsin C．tytx1 D．tytxcottan x y
OrMM0轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222tttytxyx。半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin235cos22yxword
- 3 - / 13 2．下列哪个点在曲线)(2cossin为参数yx上（C）
A．(2,7) B．)32,31( C．)21,21( D．(1,0)
3．曲线)(sin2cos12为参数yx的轨迹是（D）
A．一条直线 B．一条射线 C．一个圆 D．一条线段
4．方程)(cos2为参数yx表示的曲线是（D）
A．余弦曲线 B．与x轴平行的线段
C．直线 D．与y轴平行的线段
5．曲线)(sincos为参数yx上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A．21 B．22 C．1 D．2
6．方程04524222ttytxyx(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
7．直线)(sincos为参数tytx与圆)(sin2cos24为参数yx相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．6或65 B．4或43 C．3或32 D．6或65
8．曲线yyx222的一个参数方程为)(sin1cos为参数yx。
9．曲线)(11为参数tttyttx的普通方程为422yx。
10．已知)(sincos2为参数yx，则22)4()5(yx的最大值是6。
11．设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。
（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。
解：（1）)(9.45881502为参数ttytx。
（2）1643m。
12．火炮以为发射角，0v为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。
解：)(21sincos200为参数tgttyytvx。
13．动点M从起点M0(1,2)出发作等速直线运动，它在x轴与y轴方向上的分速度word
- 4 - / 13 分别为6和8，求点M的轨迹的参数方程。
解：)(8261为时间参数ttytx。
14．求直线为参数）ttytx(11与圆422yx的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
圆的参数方程的应用
教学目标：
知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：会用圆的参数方程求最值。
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
授课类型：复习课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、最值问题
1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
（1）求 xy 的最小值与最大值
（2）求x－y的最大值与最小值
2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；
2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；
3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：
为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为；
二、参数法求轨迹
1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程
2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.
解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示 word
- 5 - / 13 例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,
求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程
2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4
程表示一个圆,求m的取值X围和圆心的轨迹方程。
三、小结：本节学习内容要求掌握
1．用圆的参数方程求最值；
2．用参数法求轨迹方程，消参。
四、作业：
圆锥曲线的参数方程
教学目的：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆222ryx参数方程sincosryrx （为参数）
（2）圆22020)\()(ryyxx参数方程为：sincos00ryyrxx （为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
二、讲解新课：
的推导：椭圆12222byax参数方程
sincosbyax （为参数）
参数方程：双曲线12222byax参数方程tansecbyax（为参数）
参数方程：抛物线Pxy22参数方程PtyPtx222 （t为参数）
1、 关于参数几点说明：
（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 word
- 6 - / 13 （2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3） 在实际问题中要确定参数的取值X围
2、 参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
3、 参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为),(yx
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
4、 关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t做参数
与旋转的有关问题选取角做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
二、 典型例题：
例1．设炮弹发射角为，发射速度为0v，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若smVo/100，6，当炮弹发出2秒时，
① 求炮弹高度
② 求出炮弹的射程
例2．求椭圆的参数方程（见教材）
椭圆12222byax参数方程
sincosbyax （为参数）
变式训练1. 已知椭圆sin2cos3yx (为参数)
求（1）6时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角
