2020-2021学年四川省南充市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

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2020-2021学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 棱长都是1的三棱锥的表面积为( )

A. √3 B. 2√3 C. 3√3 D. 4√3

2. 𝑐𝑜𝑠72𝑐𝑜𝑠12°+𝑠𝑖𝑛72°𝑠𝑖𝑛12°=( )

A. 𝑐𝑜𝑠84° B. 𝑠𝑖𝑛84° C. 0 D. 12

3. 设𝑏<𝑎，𝑑<𝑐，则下列不等式中一定成立的是( )

A. 𝑎−𝑐>𝑏−𝑑 B. 𝑎𝑐>𝑏𝑑 C. 𝑎+𝑐>𝑏+𝑑 D. 𝑎+𝑑>𝑏+𝑐

4. 下列命题中，错误的是( )

A. 平行于同一条直线的两个平面平行

B. 平行于同一个平面的两个平面平行

C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

5. 设𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，𝑎1=2，𝑎5=3𝑎3，则𝑎3=( )

A. −2 B. 0 C. 3 D. 6

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝐵=45°，𝐶=60°，𝑐=1，则最短边的边长等于( )

A. √32 B. √62 C. 12 D. √63

7. 不等式𝑥2−2𝑥−5>2𝑥的解集是( )

A. {𝑥|𝑥≥5或𝑥≤−1} B. {𝑥|𝑥>5或𝑥<−1}

C. {𝑥|−1<𝑥<5} D. {𝑥|−1≤𝑥≤5}

8. 利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论，正确的是( )

A. ①② B. ① C. ③④ D. ①②③④

9. 已知tan𝛼2=12，则𝑠𝑖𝑛2𝛼=( ) 第2页，共15页 A. −35 B. −2425 C. 2425 D. 35

10. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2，设𝑎=𝑓(log30.2)，𝑏=𝑓(3−0.2)，𝑐=𝑓(−31.1)，则( )

A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑏>𝑎>𝑐 C. 𝑐>𝑎>𝑏 D. 𝑐>𝑏>𝑎

11. 将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为( )

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

12. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=𝜋6，△𝐴𝐵𝐶的面积为2，则2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶+2𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶的最小值为( )

A. √32 B. 3√34 C. 32 D. 53

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 𝑠𝑖𝑛15°𝑐𝑜𝑠15°=______．

14. 等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3=12，𝑎5=48，那么𝑎7= ______ ．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，cos𝐶2=√55，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=5，则𝐴𝐵=______．

16. 已知正三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2√3的正三角形，侧棱长为2√5，则球O的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知等差数列{𝑎𝑛}的前三项依次为a，4，3a．

(1)求a；

(2)记𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑆𝑘=110，求k．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+3．

(1)若𝑓(𝑥)有一个零点为𝑥=3，求a；

(2)若当𝑥∈𝑅时，𝑓(𝑥)≥𝑎恒成立，求a的取值范围．

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19. 在三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，平面𝑆𝐴𝐶⊥平面ABC，且△𝑆𝐴𝐶是正三角形，O是AC的中点，D是AB的中点．

(Ⅰ)求证：𝑂𝐷//平面SBC；

(Ⅱ)求证：𝑆𝑂⊥𝐴𝐵．

20. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵)=√3𝑎.

(1)求A；

(2)若𝑎=1，△𝐴𝐵𝐶的周长为√3+2，求△𝐴𝐵𝐶的面积．

第4页，共15页 21. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=−𝑎𝑛−(12)𝑛−1+2(𝑛∈𝑁∗)，数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛．

(1)求证：数列{𝑏𝑛}是等差数列，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)设𝑐𝑛=𝑛(𝑛+1)2𝑛(𝑛−𝑎𝑛)(𝑛+1−𝑎𝑛+1)，数列{𝑐𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，求满足𝑇𝑛<12463(𝑛∈𝑁∗)的n的最大值．

22. 比较𝑥2+𝑦2+1与2(𝑥+𝑦−1)的大小．

23. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．

第5页，共15页 答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为四个面是全等的正三角形𝑆底面积=12×1×√32=√34，

则𝑆表面积=4𝑆底面积=4×√34=√3．

故选A

棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．

本题考查棱锥的面积，是基础题．

2.【答案】D

【解析】解：𝑐𝑜𝑠72𝑐𝑜𝑠12°+𝑠𝑖𝑛72°𝑠𝑖𝑛12°=cos(72°−12°)=𝑐𝑜𝑠60°=12．

故选：D．

由已知利用两角差的余弦公式化简即可求解．

本题主要考查了两角差的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式，属于基础题．

本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．

【解答】

解：∵𝑏<𝑎，𝑑<𝑐

∴设𝑏=−3，𝑎=−2，𝑑=2，𝑐=3

选项A，−2−3>−3−2，不成立

选项B，(−2)×3>(−3)×2，不成立

选项D，−2+2>−3+3，不成立

故选：C． 第6页，共15页 4.【答案】A

【解析】解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即A不正确；

由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即B正确；

由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即C正确；

利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即D正确．

故选：A．

平行于同一条直线的两个平面平行或相交；

由面面平行的判定定理，可得结论；

由面面平行的性质定理，可得结论；

利用反证法，可得结论．

本题考查命题的真假判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．

5.【答案】A

【解析】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，

∵𝑎1=2，𝑎5=3𝑎3，∴2+4𝑑=3(2+2𝑑)，解得𝑑=−2．

则𝑎3=𝑎1+2𝑑=2+2×(−2)=−2．

故选：A．

利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．

本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．

6.【答案】D

【解析】解：△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐵=45°，𝐶=60°，

∴𝐴=75°，又𝑐=1，

∴由正弦定理得：𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶得：

最小的边𝑏=𝑐⋅𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=1×√22√32=√63．

故选D．

依题意，可求得△𝐴𝐵𝐶中的最小角，再利用正弦定理即可解决问题． 第7页，共15页 本题考查正弦定理，求得△𝐴𝐵𝐶中的最小角是关键，属于基础题．

7.【答案】B

【解析】解：不等式𝑥2−2𝑥−5>2𝑥⇔𝑥2−4𝑥−5>0⇔(𝑥−5)(𝑥+1)>0⇒𝑥>5或𝑥<−1，

故选：B．

将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论．

本题考查了一元二次不等式的解法，求解的关键在于求出对应方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法．

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查对斜二测画法的理解，属基础知识的考查．

由斜二测画法规则直接判断即可．

【解答】

解：由斜二测画法规则知：①正确；

平行性不变，故②正确；

正方形的直观图是平行四边形，③错误；

因为平行于𝑦′轴的线段长减半，平行于𝑥′轴的线段长不变，故④错误．

故选A．

9.【答案】C

【解析】解：由tan𝛼2=12，得𝑡𝑎𝑛𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼21−tan2𝛼2=2×121−(12)2=43，

∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼tan2𝛼+1=2×43(43)2+1=2425．

故选：C．

由已知利用二倍角的正切求得𝑡𝑎𝑛𝛼，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基