北师大版数学九年级下册：3.4 《圆周角和圆心角的关系》 练习

3.4 圆周角和圆心角的关系

第1课时 圆周角定理及其推论1

基础题

知识点1 圆周角的概念

1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )

A B C D

知识点2 圆周角定理

2.(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，

则∠AOB的度数是( )

A.75° B.70° C.65° D.35°

3.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA.若∠D

的度数是50°，则∠C的度数是( )

A.25° B.30° C.40° D.50°

4.(2017·兰州)如图，在⊙O中，AB︵＝BC︵，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，

则∠AOB＝( )

A.45° B.50° C.55° D.60°

5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是

.

6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝ .

知识点3 圆周角定理的推论1

7.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是( )

A.∠2 B.∠3

C.∠4 D.∠5

8.(2017·哈尔滨)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是( )

A.43° B.35° C.34° D.44°

9.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E.若∠C＝25°，则∠D＝ .

10.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.

证明：

易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错

11.在直径为4的⊙O中，弦AB＝23，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB的度数为

中档题

12.(2018·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA等于( )

A.64° B.58° C.32° D.26°

13.(2017·泰安)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )

A.12.5° B.15°

C.20° D.22.5°

14.(2017·贵港)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是AC︵的中点，M是半径OD上任意一点.若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )

A.45° B.60° C.75° D.85°

15.(2018·泰安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，

则⊙O的直径为 .

17.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝20°，试求∠BAC的度数.

解：连接OB，OC，OD.

第2课时 圆周角定理的推论2，3

基础题

知识点1 圆周角定理的推论2

1.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)

A.35° B.45° C.55° D.65°

2.(教材P83练习T2变式)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(B)

3.(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，

则∠B的度数是(A)

A.58° B.60°

C.64° D.68°

4.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)

A.10

cm

B.5 cm

C.6 cm D.10 cm

5.如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D＝32°，则∠OAC＝(B)

A.64° B.58°

C.72° D.55°

6.如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长.

解：∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°.

又∵∠ABD＝∠ACD＝30°，

∴BD＝AB·cos∠ABD＝10×32＝53(cm).

知识点2 圆周角定理的推论3

7.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝(D)

A.20° B.30° C.70° D.110°

8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点.

若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)

A.115° B.105° C.100° D.95° 9.(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，

则∠BOD的大小是(B)

A.80° B.120° C.100° D.90°

10.(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的

度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.

易错点

对圆内接四边形的概念理解不清导致错误

11.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.

中档题

12.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)

A.30° B.45°

C.60° D.70°

13.(2017·牡丹江)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，

则∠ADC等于(B)

A.100° B.112.5° C.120° D.135°

14.(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B是x轴

下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)

A.15° B.30° C.45° D.60°

15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：

(1)AD＝CD；

(2)AB是⊙O的直径.

证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D＝180°－∠B＝130°.

∵∠ACD＝25°，

∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.

∴∠DAC＝∠ACD.

∴AD＝CD.

(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，

∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.

∴AB是⊙O的直径.

16.(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.

(1)求证：四边形ABFC是菱形；

(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积.

解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵AB＝AC，

∴CE＝BE，

又∵EF＝AE，

∴四边形ABFC是平行四边形.

又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)，

∴平行四边形ABFC是菱形.

(2)连接BD.

∵AD＝7，BE＝CE＝2，

设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.

∵AB为半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AB2－AD2＝CB2－CD2.

∴(7＋x)2－72＝42－x2.

∴x1＝1或x2＝－8(舍去).

∴AB＝8.

∴S半圆＝12×π×42＝8π.

∴BD＝15.

∴S菱形ABFC＝815.

综合题

17.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23.

(1)求证：△CDE∽△CBA；

(2)求DE的长.

解：(1)证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，

∴∠A＋∠BED＝180°.

又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A.

又∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CBA.

(2)连接AE.

由(1)得DEBA＝CECA，

∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为23，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°，AB＝43.

在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°.

∴DEBA＝CECA＝12，即DE＝23.

3.4 圆周角和圆心角的关系 答案

第1课时 圆周角定理及其推论1

基础题

知识点1 圆周角的概念

1.下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)

A B C D

知识点2 圆周角定理

2.(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，

则∠AOB的度数是(B)

A.75° B.70° C.65° D.35°

3.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA.若∠D

的度数是50°，则∠C的度数是(A)

A.25° B.30° C.40° D.50°

4.(2017·兰州)如图，在⊙O中，AB︵＝BC︵，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，

则∠AOB＝(B)

A.45° B.50° C.55° D.60°

5.(2018·广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°. 6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝35°.

知识点3 圆周角定理的推论1

7.(教材P80练习T2变式)(2017·柳州)如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是(A)