12009-11-131].,[)1(
baxA
的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量
∑
==n
iiAA
1,.)2(Δ
即具有可加性
iiii
xfAA
ΔξΔΔ
⋅≈)()3(
求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点:第一节定积分的元素法第六章定积分的应用
2009-11-132x)(xA
xxΔ
+AΔ
xy
a
b)(xfy=
o
∫
=x
adttfxA)()(
dxxfAd)(=)()(xfxA=′
⇒],[)(baCxf∈
dxxfAdA)(=≈Δ
)0()()(→=−xxodxxfAΔΔΔ关键是
部分量
的近似
)()(bAdttfb
a=∫
2009-11-133局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间
,],,[],,[
xxxba
Δ
+
xxfAΔΔ
⋅≈)(
得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令
,],[,0bax→Δ
∫
=b
adxxfA)(微分近似
)()(xxxfAΔΔΔ
o=⋅−要求：微元分析法
2009-11-134第二节定积分的几何应用
一平面图形的面积
1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
Axfyxbxax
所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线
)(,)1(
===
根据定积分的定义和几何意义知
∫
=b
adxxfA)(
2009-11-135],[)()(,baxxfxg∈≤先看Abxaxxgyxfy
所围成的面积和直线由曲线
====
,)(),()2(
∫
−=b
adxxgxfA)]()([面积微元
xdxx+dxxgxfdA)]()([−=
∫
−=b
adxxgxfA)()(xa
by
o)(xfy=
)(xgy=
2009-11-136xyxy=
1=xy
2=x
o2
1)1,1(.2,1]1[
Axxyxy
所围成的面积及直线求由曲线例===
⎩⎨⎧
==
xyyx1解方程组
⎩⎨⎧
−==
⇒
11
21
xx[解]
∫
−=2
1)1
(dx
xxA
2ln
23
)ln
2(|2
12
−=−=xx
22009-11-137满足设连续函数)(),(yyψϕ
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高等数学定积分在几何中的应用
作者：梁修惠
来源：《科学与财富》2017年第29期
摘要：在高等数学中，定积分不仅是理论知识的基础理论，而且是解决实际问题的有效方法。定积分在几何中的有效应用对解决实际问题起到促进作用，本论文主要从不同方面阐述高等数学定积分在几何中的应用，希望能为研究定积分应用的专家和学者提供理论参考依据。
关键词：高等数学；定积分；几何
在高等数学中，定积分是个重点，本文用不同的模型分析了在几何学中定积分的应用通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积根据定积分的几何意义，利用定积分可以求出下面几种类型的平面图形的面积。
1由连续曲线y=f（x）和y=g（x）及直线x=a，x=b（a
例如：求曲线y=cosx与y=sinx在区间[0，π]上所围平面图形的面积.
解：如图1所示，曲线y=cosx与y=sinx的交点坐标为 选取x作为积分变量，x∈[0，π]，于是，所求面积为：
2定积分在几何中的应用
定积分的概念实质上是从实际问题中抽象而来的，因此它在几何、物理、及经济学上有广泛的应用.定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式：求与某个区间[a，b]上的变量f（x）有关的总量Q.这个量Q可以是面积，体积，弧长，功等.我们用如下的步骤去确定这个量。
在此类题中我们采用的就是微元法，前面我们对微元法进行了分析，下面我们以解题的方式，来进一步诠释微元法的妙用：
例题：如图2求y=sinx；y=cosx；x=0以及x=2π所围平面图形的面积
3由连续曲线x=f（y）和x=g（y）及直线y=a，y=b（a
例求曲线y2=2x与y=x-4所围图形的面积。如图3所示：
定积分的几何应用例题
1、一个向量比例
假设有两个矢量A和B，他们的长度分别为3和4，他们的角度$\angle AOB =
60^\circ$，求C是A和B的线段的长短比为何？
解：
由正弦定理可知：
$a : b = \sin \angle AOB : \cos \angle AOB = \frac{3}{4} :
\frac{3\sqrt3}{4}$
所以C是A和B的线段的长短比为 $\frac{3}{3\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$
2、三角形中某点的利用
假设三角形ABC中，$\angle A = 75^\circ$， $BC = 4.3$，求M是角BAC内一点，其距离角B为$2.1$。
因为$\angle C + \angle B + \angle A = 180^\circ$，所以$\angle B =
180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
由正弦定理可知：$\frac{BM}{\sin \angle B} = 4.3$
所以M是角BAC内一点，其距离角B为$2.1$。
浅谈定积分在几何中的应用 王晓康 （四川信息职业技术学院 四川广元 ６２８０１ ７） 学术论坛 摘要：为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图 形来选择定积分的上（下）限．积分变量，被积函数，最后求出图形的面积或体积。 关键词：定积分 面积 体积 中图分类号：０１７２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－３７９ｌ（２ｏ￣８）ｌ０（ｂ）一０２４８—０１ 众多教材在定积分在几何中的应用 中，都用微分法来解决，但实际上此方法对 于众多学生而言太抽象，导致学生不易弄 懂。特别是职业学校的学生，起点低，基础 薄弱，而且学校强调的是直观性、实用性， 而不是理论。本文就笔者多年的教学感受 谈谈自己的一点教授方法与大家共勉。 １相关知识回顾 １．１定积分的几何意义 若．，１（ ）在【“６】上不连续，则 ，ｆ ｌ ０ ， （ 》≤０ ／（ ¨ｒＩＩ：ｆ『 若．，、ｆ ）在［ 方】上有正有负时，此时由曲 线．１～，‘（ ）、直线 ＝ ，，及 轴所围成 的图形的面积 ４ ｒｌ＿， ∽）Ｉ 。 １．２基本初等函数的图像的描绘——描点法 直线：两点确定一条直线；抛物线：顶 点和一组对称点。 ２利用定积分求平面图形面积 ①平面图形由连续曲线 １一． ．Ｙ）， Ｉ ／ ）【 ０．９ ２ －Ｙ）以及直线 ＝ａ、 ｒ＝ｈ ≥／＇）所围成的。则其面积为： ｌ㈩一 ２（．ｖ）ｌｄｘｌ … ｌ 往：①若图像为上、下型时，则选 为积 分变量（可通过图形观察得知）；②积分区间 为所围图像最左端和最右端的横坐标构 成；③被积函数为“上下”； 例如：求曲线 ＋：ｖ：一２ｘ＋ｌ和直线 ＝＝ 十ｌ所围成平面图形的面积。 帮嚣 图１ 求两曲线所围的平面图形的面积 解：两曲线所围的平面图形如图１所 示。显然应取 为积分变量。先求两曲线 ｛ｌ ＝ 一２ Ｙ＋１ 的交点。为此，解方程组 ． ，得 ｛ Ｊ‘ 十Ｉ 交点为（Ｏ，１）、（３，４），从而知道图形的积分区 间为［０，ｊ】。于是所求图形的面积为： ②平面图形由连续曲线 ＝ ｌ（，’）， ＾－＝ ２（＋ ’）【ｆ，， （．１’ｌ ２ （ ’）】以及直线 Ｉ一（‘、 ＇＝ｄ（ｄ＝２ ｃ・）所围成的，则其面积为： ＾ ．４＝ｌ【ｆ，，ｊ ） （Ｙ）１（，１ 注：①若图像为左、右型时，应选Ｙ为积 分变量；②积分区间为所围图像最上端和 最下端的纵坐标构成；③被积函数为“右 左” 体的体积为：叵二 巫 注：①若曲线绕 轴旋转则应选 为移１ 分变量；②积分区间为所围图像最左端和 最右端的横坐标构成；③被积函数为 ！ （此处的Ｒ指曲边梯形的高，’（ ））。 例如：求椭圆 ｌ绕 旋转一剧 “ Ｄ 而成的旋转体的体积。 Ｉ ／ 。 —＼＼ ‘ ， ，、 、 ｒ ＿ 。 ＼ ０ ｌ ｝ 、 ’ ／ ＼ 一— —。 、～、—．． 图３ 解：由题意可知，应该 为积分变量。显 然积分区间为卜 “】，故所求旋转体的体积为： 所围 ： ’ ｒ／＇７＂Ｆ ２ｄＡ＂．￣ ｔ ～ ３ 所围成平面图形的面积。 ＪＬ Ｊ＿，“＿１、“ … … 图２ 求两曲线所围的平面图形的面积 解：先作出图形。 显然应取Ｙ为积分变量。则积分区间为 【０，１］，于是所求图形的面积为： ＝＝ｊ＝： ２～：√ ＝［２． ～詈 ；）ｌ＝ 归纳前面两个例子，可以得出求平面 图形面积的步骤如下： ①作出图形，确定积分变量；②确定积 分区间；③计算定积分。 ３旋转体的体积 ①由曲线．ｖ＝．，’（ ）、直线 ＝ 、 ＝／》及 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转 ２４８ 科技资讯ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ②由曲线 ＝ （１’）、直线． ，＝（‘、｝ ＝（， 及Ｙ轴所围成的图形绕Ｙ轴旋转一周而成 Ｉ 、 Ｉ 的旋转体的体积为：ｌ ＝ｌ万【 （ｊ州一ｃｎｌ１ ｌ ‘ ｌ 注：①若曲线绕Ｙ轴旋转则应选Ｙ为积 分变量；②积分区间为所围图像最』二端和 最下端的纵坐标构成；③被积函数为 ？ （此处的尺指曲边梯形的高ｆ，，（ ・））。 以上方法，直观、简便、易懂，学生学 起来特别轻松，愉快。 ４结语 定积分是一种实用性很强的数学方 法，在科学技术问题中它有着广泛的应用， 其重点是将实际问题表示成定积分的分析 方法。通过这样的学习，学生会从形象、直 观、实效的角度很好的掌握其重要内涵。 ｑ一，一 【ｌ ¨ 了 ，＿ 一 一， 、 一 、， Ｊ ３ ＋ ＋ ２ Ｈ ｒ （ ｜ｊ ｒ＿三 Ｉｌ 一 ， ＩＩ ，
