定积分在几何上的应用

12009-11-131].,[)1(

baxA

的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量

∑

==n

iiAA

1,.)2(Δ

即具有可加性

iiii

xfAA

ΔξΔΔ

⋅≈)()3(

求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点:第一节定积分的元素法第六章定积分的应用

2009-11-132x)(xA

xxΔ

+AΔ

xy

a

b)(xfy=

o

∫

=x

adttfxA)()(

dxxfAd)(=)()(xfxA=′

⇒],[)(baCxf∈

dxxfAdA)(=≈Δ

)0()()(→=−xxodxxfAΔΔΔ关键是

部分量

的近似

)()(bAdttfb

a=∫

2009-11-133局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间

,],,[],,[

xxxba

Δ

+

xxfAΔΔ

⋅≈)(

得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令

,],[,0bax→Δ

∫

=b

adxxfA)(微分近似

)()(xxxfAΔΔΔ

o=⋅−要求：微元分析法

2009-11-134第二节定积分的几何应用

一平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形面积的计算

Axfyxbxax

所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线

)(,)1(

===

根据定积分的定义和几何意义知

∫

=b

adxxfA)(

2009-11-135],[)()(,baxxfxg∈≤先看Abxaxxgyxfy

所围成的面积和直线由曲线

====

,)(),()2(

∫

−=b

adxxgxfA)]()([面积微元

xdxx+dxxgxfdA)]()([−=

∫

−=b

adxxgxfA)()(xa

by

o)(xfy=

)(xgy=

2009-11-136xyxy=

1=xy

2=x

o2

1)1,1(.2,1]1[

Axxyxy

所围成的面积及直线求由曲线例===

⎩⎨⎧

==

xyyx1解方程组

⎩⎨⎧

−==

⇒

11

21

xx[解]

∫

−=2

1)1

(dx

xxA

2ln

23

)ln

2(|2

12

−=−=xx

22009-11-137满足设连续函数)(),(yyψϕ

2 第二节 定积分在几何上的应用

一平面图形的面积

1.直角坐标情形

例1 求由两条抛物线xy2及2xy所围图形的面积.

解 (1)画草图,求交点.

解方程组.,22xyxy得交点)1,1(),0,0(.

(2)选取积分变量,并确定积分区间.

取x为积分变量,积分区间为]1,0[.在]1,0[上任取一个小区间],[dxxx,则面积元素

dxxxdA)(2,

(3)故所求面积为

3131323132)(1031023102xxdxxxA.

如果取y为积分变量,则积分区间为]1,0[.在]1,0[上任取一个小区间],[dyyy,则面积元素

dyyydA)(2,

故所求面积为

3131323132)(1031023102yydyyyA.

注:在直角坐标系下求平面图形的面积时,既可取x为积分变量,也可取y为积分变量.原则是:

(1)所求积分简便;

(2)面积元素dA最好由一个式子表示.

例2 求由122xy及01yx所围成的平面图形的面积.

解 (1) 画草图,求交点.

解.01,122yxxy得交点)3,4(),1,0(.

(2) 取y为积分变量,则积分区间为]3,1[,在]3,1[上任取一个小区间],[dyyy,则面积元素

dyyydyyydA)223(]21)1[(22

(3)故所求面积为 3 316)223(312dyyyA.

如取x为积分变量,则积分区间为]4,21[,则面积元素

.40,)112()]1(12[,021,122)]12(12[xdxxxdxxxxdxxdxxxdA

故所求面积为

316)112(122)(40421021dxxxdxxxdAA.

龙源期刊网

《定积分在几何学上的应用——旋转体的体积》课程教学设计

作者：姬志飞

来源：《学校教育研究》2017年第14期

一、 教学背景

学员己经学习了如何用定积分的元素法求解平面图形的面积，掌握了元素法解决问题的一般技巧。

二、教学目的

知识目标：理解微元法建立旋转体体积公式的推导过程。

能力目标：引导学员学以致用，使学员学会用定积分的元素法

求解一些旋转体的体积。

三、教学分析

旋转体的体积是定积分应用中一个重要的知识点，它对巩固元素法的理解和运用起到了重要的作用。该内容的学习过程渗透了抽象思维，对学员的空间想象能力、数形结合能力、类比划归能力提出了较高的要求，对培养学员的量变到质变的哲学思想有比较形象的数学描述。针对教学内容的复杂性、抽象性，教学中依托信息化教学软件，充分利用信息基础，拓展教学方法，从而达到复杂问题的简单化，抽象问题的形象化。

四、教学内容

1.旋转体的概念

2.旋转体的体积求解方法

五、教学重难点

旋转体的体积求解

六、教学理念 龙源期刊网

课程教学充分利用信息技术、调用数字资源、依托信息环境展开。把flash动画、Matlab仿真、3DMax、mathcad特效等多种信息技术辅助于课堂教学，构建信息化网络环境，达到复杂数学问题的简单化、抽象数学问题的形象化。课程展开，突显学员自主探究学习能力的提升，学员信息素养的提高，达到激发学员学习兴趣，优化了教学过程和教学效果之目的。

七、教学方法

结合“问题导学”的基本方法，从实际出发结合类比教学法从可视化的角度“提出问题——知识讲解——回归问题”，讨论微元法求旋转体体积。

定积分在中学数学中的应用

定积分是数学中的一个重要概念，它在中学数学中有着广泛的应用。本文将从几个方面介绍定积分在中学数学中的应用。

定积分可以用于计算曲线下的面积。在解析几何中，我们经常需要计算曲线所围成的图形的面积。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上与x轴之间的面积。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到一个点，计算出该点的函数值乘以小区间的长度，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到曲线下的面积。

定积分可以用于求解平均值。在实际问题中，我们经常需要求解某个函数在一定区间上的平均值。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要求解它在区间[a,b]上的平均值。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，先计算出该函数在区间[a,b]上的定积分，然后再将该定积分值除以区间长度(b-a)，就可以得到函数在该区间上的平均值。

定积分还可以用于计算弧长。在解析几何中，我们经常需要计算曲线的弧长。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上的弧长。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到两个点，计算出这两个点之间的距离，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到曲线的弧长。

定积分还可以用于求解体积和质量。在立体几何中，我们经常需要求解某个曲线绕某条轴旋转所形成的体积。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上绕x轴旋转所形成的体积。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到一个点，计算出该点的函数值乘以小区间的长度，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到绕x轴旋转所形成的体积。

定积分还可以用于求解概率。在概率论中，我们经常需要计算某个随机事件发生的概率。例如，给定一个概率密度函数f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上的概率。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，计算出该概率密度函数在区间[a,b]上的定积分，就可以得到该随机事件发生的概率。