定积分在几何计算中的应用

1 / 4 定积分在几何中的简单应用

授课班级：高二（5）班 授课人：石林红

一．

教学目标 【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

二．

教学重点难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

三．

教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。

（一） 复习引入：

1.复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.

2.热身训练：计算 dxx2224 ２．计算 22sindxx

（二）．精讲点拨

1.几种典型的平面图形面积的计算：

类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

(2) x y

o a b c )(xfy(3) (1) x y

o )(xfyab2 / 4

类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a

2.试一试：用定积分表示阴影部分面积

3.例题实践：例１．计算由曲线2xy与xy2所围图形的面积．

例２．计算由曲线xy2与4xy及x轴所围平面图形的面积．

学生分组合作完成

探究：1.本题还有其他解法吗？

12009-11-131].,[)1(

baxA

的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量

∑

==n

iiAA

1,.)2(Δ

即具有可加性

iiii

xfAA

ΔξΔΔ

⋅≈)()3(

求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点:第一节定积分的元素法第六章定积分的应用

2009-11-132x)(xA

xxΔ

+AΔ

xy

a

b)(xfy=

o

∫

=x

adttfxA)()(

dxxfAd)(=)()(xfxA=′

⇒],[)(baCxf∈

dxxfAdA)(=≈Δ

)0()()(→=−xxodxxfAΔΔΔ关键是

部分量

的近似

)()(bAdttfb

a=∫

2009-11-133局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间

,],,[],,[

xxxba

Δ

+

xxfAΔΔ

⋅≈)(

得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令

,],[,0bax→Δ

∫

=b

adxxfA)(微分近似

)()(xxxfAΔΔΔ

o=⋅−要求：微元分析法

2009-11-134第二节定积分的几何应用

一平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形面积的计算

Axfyxbxax

所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线

)(,)1(

===

根据定积分的定义和几何意义知

∫

=b

adxxfA)(

2009-11-135],[)()(,baxxfxg∈≤先看Abxaxxgyxfy

所围成的面积和直线由曲线

====

,)(),()2(

∫

−=b

adxxgxfA)]()([面积微元

xdxx+dxxgxfdA)]()([−=

∫

−=b

adxxgxfA)()(xa

by

o)(xfy=

)(xgy=

2009-11-136xyxy=

1=xy

2=x

o2

1)1,1(.2,1]1[

Axxyxy

所围成的面积及直线求由曲线例===

⎩⎨⎧

==

xyyx1解方程组

⎩⎨⎧

−==

⇒

11

21

xx[解]

∫

−=2

1)1

(dx

xxA

2ln

23

)ln

2(|2

12

−=−=xx

22009-11-137满足设连续函数)(),(yyψϕ

定积分在中学数学中的应用

定积分是数学中的一个重要概念，它在中学数学中有着广泛的应用。本文将从几个方面介绍定积分在中学数学中的应用。

定积分可以用于计算曲线下的面积。在解析几何中，我们经常需要计算曲线所围成的图形的面积。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上与x轴之间的面积。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到一个点，计算出该点的函数值乘以小区间的长度，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到曲线下的面积。

定积分可以用于求解平均值。在实际问题中，我们经常需要求解某个函数在一定区间上的平均值。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要求解它在区间[a,b]上的平均值。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，先计算出该函数在区间[a,b]上的定积分，然后再将该定积分值除以区间长度(b-a)，就可以得到函数在该区间上的平均值。

定积分还可以用于计算弧长。在解析几何中，我们经常需要计算曲线的弧长。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上的弧长。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到两个点，计算出这两个点之间的距离，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到曲线的弧长。

定积分还可以用于求解体积和质量。在立体几何中，我们经常需要求解某个曲线绕某条轴旋转所形成的体积。例如，给定一个函数y=f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上绕x轴旋转所形成的体积。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，将[a,b]区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间中找到一个点，计算出该点的函数值乘以小区间的长度，再将所有小区间的计算结果相加，就可以得到绕x轴旋转所形成的体积。

定积分还可以用于求解概率。在概率论中，我们经常需要计算某个随机事件发生的概率。例如，给定一个概率密度函数f(x)，我们想要计算它在区间[a,b]上的概率。这时，我们可以通过定积分来求解。具体的计算方法是，计算出该概率密度函数在区间[a,b]上的定积分，就可以得到该随机事件发生的概率。

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高等数学定积分在几何中的应用

作者：梁修惠

来源：《科学与财富》2017年第29期

摘要：在高等数学中，定积分不仅是理论知识的基础理论，而且是解决实际问题的有效方法。定积分在几何中的有效应用对解决实际问题起到促进作用，本论文主要从不同方面阐述高等数学定积分在几何中的应用，希望能为研究定积分应用的专家和学者提供理论参考依据。

关键词：高等数学；定积分；几何

在高等数学中，定积分是个重点，本文用不同的模型分析了在几何学中定积分的应用通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积根据定积分的几何意义，利用定积分可以求出下面几种类型的平面图形的面积。

1由连续曲线y=f（x）和y=g（x）及直线x=a，x=b（a

例如：求曲线y=cosx与y=sinx在区间[0，π]上所围平面图形的面积.

解：如图1所示，曲线y=cosx与y=sinx的交点坐标为 选取x作为积分变量，x∈[0，π]，于是，所求面积为：

2定积分在几何中的应用

定积分的概念实质上是从实际问题中抽象而来的，因此它在几何、物理、及经济学上有广泛的应用.定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式：求与某个区间[a，b]上的变量f（x）有关的总量Q.这个量Q可以是面积，体积，弧长，功等.我们用如下的步骤去确定这个量。

在此类题中我们采用的就是微元法，前面我们对微元法进行了分析，下面我们以解题的方式，来进一步诠释微元法的妙用：

例题：如图2求y=sinx；y=cosx；x=0以及x=2π所围平面图形的面积

3由连续曲线x=f（y）和x=g（y）及直线y=a，y=b（a

例求曲线y2=2x与y=x-4所围图形的面积。如图3所示：