定积分在几何中的应用

1 / 4 定积分在几何中的简单应用

授课班级：高二（5）班 授课人：石林红

一．

教学目标 【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

二．

教学重点难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

三．

教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。

（一） 复习引入：

1.复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.

2.热身训练：计算 dxx2224 ２．计算 22sindxx

（二）．精讲点拨

1.几种典型的平面图形面积的计算：

类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

(2) x y

o a b c )(xfy(3) (1) x y

o )(xfyab2 / 4

类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a

2.试一试：用定积分表示阴影部分面积

3.例题实践：例１．计算由曲线2xy与xy2所围图形的面积．

例２．计算由曲线xy2与4xy及x轴所围平面图形的面积．

学生分组合作完成

探究：1.本题还有其他解法吗？

定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积

设旋转体是曲线y＝f(x)(≥0，a≤x≤b)，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y)，Q(x＋dx，y＋Δy)，由弧微分中的讨论知：

弧长＝Δs＝ds＋o(dx) ①

线段＝＋o(dx)＝ds＋o(dx) ②

因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ

绕x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为的圆台的侧面积Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于

Δ∑＝π(y＋y＋Δy)

＝π[2y＋dy＋o(dx)][ds＋o(dx)]

＝2πyds＋o(dx)，

显然ΔA＝Δ∑＋o(dx)，故有

从而旋转体的侧面积为

相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．

例18 求抛物线y2＝2px(0≤x≤a)绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．

由⑤式得侧面积为

例19 求由圆x2＋(y－a)2＝r2(r＜a)绕x轴旋转而成的环体的表面积．

故对哪个半圆周都有

代入公式⑤即得所求表面积为

解 采用参数坐标较为方便．

令 x＝acost，y＝bsint 0≤t≤2π

弧长微分

故表面积为

我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来．当e 习题

29．求抛物线y2＝4x，直线x＝8所围成图形绕x轴旋转所得旋转体的侧面积．

求旋转下列曲线所成曲面的面积

33．x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)分别绕x轴和y轴．

答案

12009-11-131].,[)1(

baxA

的某个区间自变量依赖于不均匀变化的整体量

∑

==n

iiAA

1,.)2(Δ

即具有可加性

iiii

xfAA

ΔξΔΔ

⋅≈)()3(

求得近似值可“以不变代变”部分量可以应用定积分计算的量有如下特点:第一节定积分的元素法第六章定积分的应用

2009-11-132x)(xA

xxΔ

+AΔ

xy

a

b)(xfy=

o

∫

=x

adttfxA)()(

dxxfAd)(=)()(xfxA=′

⇒],[)(baCxf∈

dxxfAdA)(=≈Δ

)0()()(→=−xxodxxfAΔΔΔ关键是

部分量

的近似

)()(bAdttfb

a=∫

2009-11-133局部量的近似值写出“不变代变”的小区间取具有代表性第一步：分割区间

,],,[],,[

xxxba

Δ

+

xxfAΔΔ

⋅≈)(

得定积分就是整体量无限积累上微元在区间第二步：令

,],[,0bax→Δ

∫

=b

adxxfA)(微分近似

)()(xxxfAΔΔΔ

o=⋅−要求：微元分析法

2009-11-134第二节定积分的几何应用

一平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形面积的计算

Axfyxbxax

所围曲边梯形的面积曲线轴和连续及由直线

)(,)1(

===

根据定积分的定义和几何意义知

∫

=b

adxxfA)(

2009-11-135],[)()(,baxxfxg∈≤先看Abxaxxgyxfy

所围成的面积和直线由曲线

====

,)(),()2(

∫

−=b

adxxgxfA)]()([面积微元

xdxx+dxxgxfdA)]()([−=

∫

−=b

adxxgxfA)()(xa

by

o)(xfy=

)(xgy=

2009-11-136xyxy=

1=xy

2=x

o2

1)1,1(.2,1]1[

Axxyxy

所围成的面积及直线求由曲线例===

⎩⎨⎧

==

xyyx1解方程组

⎩⎨⎧

−==

⇒

11

21

xx[解]

∫

−=2

1)1

(dx

xxA

2ln

23

)ln

2(|2

12

−=−=xx

22009-11-137满足设连续函数)(),(yyψϕ

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《定积分在几何学上的应用——旋转体的体积》课程教学设计

作者：姬志飞

来源：《学校教育研究》2017年第14期

一、 教学背景

学员己经学习了如何用定积分的元素法求解平面图形的面积，掌握了元素法解决问题的一般技巧。

二、教学目的

知识目标：理解微元法建立旋转体体积公式的推导过程。

能力目标：引导学员学以致用，使学员学会用定积分的元素法

求解一些旋转体的体积。

三、教学分析

旋转体的体积是定积分应用中一个重要的知识点，它对巩固元素法的理解和运用起到了重要的作用。该内容的学习过程渗透了抽象思维，对学员的空间想象能力、数形结合能力、类比划归能力提出了较高的要求，对培养学员的量变到质变的哲学思想有比较形象的数学描述。针对教学内容的复杂性、抽象性，教学中依托信息化教学软件，充分利用信息基础，拓展教学方法，从而达到复杂问题的简单化，抽象问题的形象化。

四、教学内容

1.旋转体的概念

2.旋转体的体积求解方法

五、教学重难点

旋转体的体积求解

六、教学理念 龙源期刊网

课程教学充分利用信息技术、调用数字资源、依托信息环境展开。把flash动画、Matlab仿真、3DMax、mathcad特效等多种信息技术辅助于课堂教学，构建信息化网络环境，达到复杂数学问题的简单化、抽象数学问题的形象化。课程展开，突显学员自主探究学习能力的提升，学员信息素养的提高，达到激发学员学习兴趣，优化了教学过程和教学效果之目的。

七、教学方法

结合“问题导学”的基本方法，从实际出发结合类比教学法从可视化的角度“提出问题——知识讲解——回归问题”，讨论微元法求旋转体体积。