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中考数学试题中“存在性”问题的解题策略

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类 问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法 灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地 中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在一推理论证 一得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛 盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在 假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较 高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我 们知识、能力的一次全面的考验。

一数式是否存在型问题

数式是否存在型问题的一般解题思路是利用方程或不等式来对 问题进行判别，以便得出正确结论，利用一元二次方程知识进行是否 存在的判断时，根的判别式是最重要的依据，当+bx + c = 0(o ? 0)时, b2-4ac< 0 ，方程无实数根，即是不存在的充分理由；而当b2-4ac>Q 时，方程存在实数根，此时还要结合已知条件、法则、定理与实际情 况等进行判别

例1 .若关于X的一元二次方程%2 - + l)x + m2 - 9m + 20 = 0有两个实

数根，又已知a、b、C分别是AABC的NA、ZB. ZC的对边，Z C = 9 0 °且cosB = |, b-a = 3,是否存在整数m,使上述一元二次 程两个实数根的平方和等于^AABC的斜边c的平方？若存在，求出 满足条件的m的值。若不存在，请说明理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m,满足的条件 有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtAABC斜边c的平方，隐 含条件判别式A NO等，这时会发现先抓住RtAABC的斜边为c这个突破口，利 用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：

设a=3k, c=5k,则由勾股定理有b=4k,

,:b — a = 3,二4k — 3k = 3, = 3

.•.存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于RtAABC的斜边c的平方。 例2.如图：已知，在同一坐标系中，直线y = kx+2 — ；与y轴交于点P, 抛物线y = x1 2-2（k + l）x + 4k与x轴交于A （也，0） B

（石，0）两点，C 是抛物线的顶点。

有字母k,就不难找到满足条件的k值。

解：

1 求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）

2 若点A在点B的左侧，且xi・X2〈0

① 当k取何值时，直线通过点B；

②是否存在实数k,使SAABP=SAABC?如果存在，求出抛物线的解析 式；如果不存在，请说明理由。

分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使

SAABP=SAABC，由于AB=AB,因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。0P显

然是AABP的高线，而AABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的长中含 .••点A在点B左侧，

/.A (2k, 0) , B (2, 0),

(2) 过点C作CDXAB于点D

.•.0P=CD

例3.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形伽㈣点&的坐标为 (-8, 0),点 W的坐标为(一6, -4) .

(1)画出直角梯形切彻绕点。旋转180°的图形以此；并写出 顶点A, B,。的坐标(点〃的对应点为A,点中的对应点为B, 点&的对应点为C)；

(2)求出过凡B,。三点的抛物线的表达式；

(3) 截取且万，F, G分别在线段CO, OA, ABh, 求BEFG的面积S与也之间的函数关系式，并写出自变

量也的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这 个最小值；若不存在，请说明理由；

(4) 在(3)的情况下，四边形庞FG是否存在邻边相等的情况, 若存在，请直餐写出此时也的值，并指出相等的邻边；若不 存在，说明理由.

分析：此题主要是考查学生对作图、中心对称、确定最值等知识点的掌握.

解：(1)利用中心对称性质，画出梯形街

'：A, B, C三点、与M, N,万分别关于点。中心对称，

:.A (0, 4)，刀(6, 4) , C (8, 0)

(2)设过A, B, C三点的抛物线关系式为、=&+彼+。,

•..抛物线过点1(0,4), 人1

c = 4.则抛物线关系式为、=贝2+知土4

将B (6, 4) , C(8, 0)两点坐标代犬关系式，得。

36i + 6Z? + 4 = 4,

64(2 + 8Z? + 4 = 0.

解得 4

,3

[2

1 3

所求抛物线关系式为：y = --x2+-x + 4 . M—6, —4) H C-8, 0)

0

M 4 2 3

.S四边形EFGB = S梯形A8C0 - '△AGF — /X EOF ~~ /XBEC

= -0A (ABWC) --AF* AG--OE* OF--CE• OA

2 2 2 2

= fx4x(6 + 8)-： m(4 -m) — ： m(8 - m) - x 4m

=m4 -8m+ 28 ( 0< m <4)

s = (m —4)2+12. .•.当 m = 4 时，S 的取最小值.

又V0

(4)当 m^-2 + 2^6 时，GB^GF,当 m = 2 时，BABG.

二. 点是否存在型问题

例1.如图，在平面直角坐标系0—XY中，正方形0ABC的边长为2cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax5+bx+c 经过点A和B,且12a+5c=0o

解：(1)根据题意，A (0, —2) , B (2, —2)

3 V CM=4, 0(=89 ・.・刃几4—回,O^-m.

4 求抛物线的解析式；

5 如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点

Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：

①移动开始后第t秒时，设S=PQ2 (cm2),试写出S与t之间的函 数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、

R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不 存在，请说明理由。 (2)①移动开始后第t秒时，AP=2t, BQ=t

P ( 2t, —2 ) , Q ( 2, t — 2 )

假设在抛物线上存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边 形，

若以PR为一条对角线，使四边形PBRQ为平行四边形

若为PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形

为顶点的四边形是平行四边形。

例2 (2006年浙江省)如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴,

y轴分别交于A (3, 0), B (0,)两点，点C为线段AB上的一动点, 过点C作CD±x轴于点D.

(1) 求直线AB的解析式; （2）若 S 梯形OBCD= 冬乎，求点C的坐标;

（3）在第一象限内是否存在点P,使得以P, 0, B为顶点的三角形

与AOBA相似.若存在，请求出所有符合条件的点p的坐标；若不存 在，请说明理由.

【评析】本题是一道存在探索性问题的题型，（1）、（2）两问是常规题,

容易解决.（3）问较难，要分不同情况考虑，首先画出符合题意的图形，然 后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的结论或计算出某些未知数的 值，则表示存在；若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存在.

(1) 直线AB解析式为：y=-斗x+右.

(2) 设点 C 坐标为(x, - — x+^3 ),那么 OD=x, CD=- —x+^ .

3 3

(OB + CD) x OD __ A/3 2, /r

..o 梯形 OBCD ----------------------- _ ---- X -

2 6

由题意：-X，+ 右=4® ,解得 Xi=2, X2=4 (舍去)，(2,.

6 3 3

在 RtAPB0 中，BP= —0B=—, 0P=73BP=-.

2 2 2

•..在 RtAPM0 中，Z0PM=30° ,

/.0M= —0P=-； PM=0OM=瓯，:.P3 （-, 亚）

2 4 4 4 4

④若△ POB^AOBA （如图），则Z0BP=ZBA0=30° , ZP0M=30° ,

.•.PM=^OM=吏，...L （」，—）（由对称性也可得到点P4的坐标）. 解:

(3) 当Z0BP=RtZ时，如图：

①若△ BOP^AOBA,则ZB0P=Z0BA=60° , BP=0OB=3,「.Pi (3, 0

② 若△ BPO^AOBA,则ZP0B=ZBA0=30° , BP= —OB=L .-.P.CL

右). 当 Z0PB=RtZ 时

③ 过点。作OP±BC于点P (如图)，

此时△ PBO^AOBA, ZB0P=ZBA0=30° ,过点 P 作 PM±OA 于点 M. 3 4 4 4

当Z0PB=RtZ时，点P在x轴上，不符合要求，

综合得，符合条件的点有四个，分别是： _

Pi （3, ^3 ） , P2 （1, ^ ） , P3 （- , — ） , P4（-,—）.

4 4 4 4

例3：如图，AB是。。的直径，MN是的切线，C为切点，AC=6cm, AB=10cm.

(1) 试猜想ZACM与/B的大小有什么关系？并说明理由.

(2) 在切线MN上是否存在一点D,使得以A、C、D为顶点的三 角形与AABC相似？若存在，请确定点D的位置；若不存在，请说 明理由.

简解：(1) ZACM=ZB,连结0C,利用圆的切线性质和等腰三角形的性质可证 得结论.

(2)存在两个点Di、D2,使得以A、C、D为顶点的三角形与AABC相似.

过点A作AD」MN于D”过点A作AD2±AC交MN于成

由相似三角形对应边成比例可分别求得C0和CD?的长.

三. 直线是否存在型问题

例1 （2006年诸暨市）如图1,在等腰梯形刃"中，AWDM, AD=4,

B（=1Q.点万在下底边冏;上，点夕在腰刃万上.

——<

（1） 若涉平分等腰梯形刃冏％的周长，设庞长为 %L \