数学“存在性”问题的解题策略(含解答)-

数学“存有性”问题的解题策略

存有性问题是指判断满足某种条件的事物是否存有的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的水平要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存有→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存有”的判断，导出矛盾，就做出不存有的判断。

因为“存有性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存有性以后实行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，准确、完整地解答这类问题，是对我们知识、水平的一次全面的考验。

【典型例题】

例1. 223(1)9200xxmxmm若关于的一元二次方程有两个实数根，

390cos5abcABCABCCB又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，

3bamRt，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于

ABCcm△的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明

理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存有这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt△ABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，使用勾股定理并不难解决。

解：

∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k，

33343kkkab∴，∴，∵

∴存有整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方。

例2. 22kykxyP如图：已知在同一坐标系中，直线与轴交于点，抛物

2122(1)4(0)(0)yxkxkxAxBxC线与轴交于，，，两点，是抛物线的顶点

（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）

（2）若点A在点B的左侧，且x1·x2<0

①当k取何值时，直线通过点B；

②是否存有实数k，使S△ABP=S△ABC？如果存有，求出抛物线的解析式；如果不存有，请说明理由。

分析：本题存有探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使S△ABP=S△ABC，因为AB=AB，所以，只需两个三角形同底上的高相等就能够。OP显然是△ABP的高线，而△ABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的长中含有字母k，就不难找到满足条件的k值。

解：

∵点A在点B左侧，

∴A（2k，0），B（2，0），

（2）过点C作CD⊥AB于点D

∴OP=CD

例3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。

（1）当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

分析：第（1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。难点在于让P点沿BA运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条

条件和结论显现出来。

证明：（1）（如图所示）

∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠C，

∵EF∥BC，∴∠AFP=∠C

∠AFP=∠EBA

又∵∠APF=∠EPB

∴△PFA∽△PBE

∴PA·PB=PE·PF

（2）（如图所示）

当P为BA延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。

∵BT切⊙O于点B，

∴∠EBA=∠C

∵EP∥BC，∴∠PFA=∠C

∴∠EBA=∠PFA

又∵∠EPA=∠BPE

∴△PFA∽△PBE

∴PA·PB=PE·PF

（3）作直径AH，连结BH，∴∠ABH=90°，

∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠AHB

又∵∠AHB为锐角

∴⊙O的半径为3。

例4.

（1）求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点；

（2）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S。

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存有点P，使△PBD（PD⊥x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存有，求出点P的坐标；若不存有，说明理由。

分析：本题的难点是第（3）个问题。

我们应先假设在抛物线上存有这样的点P，然后由已知条件（面积关系）建立方程，如果方程有解，则点P存有；如果方程无解，则这样的点P不存有，在解题中还要注意面积比为1：2，应分别实行讨论。

解：

∴它的图象与x轴必有两个不同的交点。

∵AB=4，OA=1，

∵C（0，－3），∴OC=OB，∴∠ABC=45°

∴∠AMC=90°，设M（1，b），由MA=MC，得：

∴b=－1，∴M（1，－1）

（3）设在抛物线上存有这样的点P（x，y），则过B（3，0），C（0，－3）的直线BC的解析式为：

①当S△PBE：S△BED=2：1时，

PE=2DE，∴PD=3DE

PD的长是P点纵坐标的相反数，DE的长是E点纵坐标的相反数，且P、E两点横坐标相同

∴P（2，－3）

②当S△PBE：S△BED=1：2时，

例5.

（1）求m的值；

（2）求二次函数的解析式；

（3）在x轴下方的抛物线上有一动点D，是否存有点D，使△DAO的面积等于△PAO的面积？若存有，求出D点坐标；若不存有，说明理由。

解：（1）作PH⊥x轴于H，在Rt△PAH中

∵P（1，m）在抛物线上，m=1+b+c，

∵OH=1，∴AH－AO=1

（3）假设在x轴下方的抛物线上存有点D（x0，y0），

∴满足条件的点有两个：

例6. 如图，在平面直角坐标系O—XY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：

①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取最小值时，在抛物线上是否存有点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存有，请求出点R的坐标；若不存有，请说明理由。

解：（1）根据题意，A（0，－2），B（2，－2）

（2）①移动开始后第t秒时，AP=2t，BQ=t

∴P（2t，－2），Q（2，t－2）

假设在抛物线上存有点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，

若以PR为一条对角线，使四边形PBRQ为平行四边形

若为PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形

为顶点的四边形是平行四边形。

练习

一、单项选择题（每题3分，共42分）

1. （ ）

A. 1 B. －1 C. －2 D. 2

2. 下列计算准确的是（ ）

A. ；B. ；C. ；D.

3. 1纳米=0.000000001米，则3.14纳米用科学计数表示为（ ）

A. 3.14×109米； B. 3.14×米； C. 3.14×米； D.

4. 李明沿着坡角为β的斜坡前进200米，则他上升的最大高度是（ ）

A. 米； B. 米； C. 米； D. 米

5. 如图，⊙O的直径AB⊥CD弦于E，若OB=5，CD=8，则BE长为（ ）

A. 3 ； B. 2.5； C. 2； D. 1

6. 今年学校有n件科技小作品参赛，比去年增加了40%还多5件，设去年有m件作品参赛，则m=（ ）

A. ； B. ； C. ； D.

7. 两圆直径分别为14和6，圆心距为8，则这两圆公切线最多有（ ）条。

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

8. 在直角坐标系中，点A（m，n）且，则点A一定不在（ ）的图象上。

A. ； B. ； C. ； D.

9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=EC：AE，则DE：BC=（ ）

A. 1：3； B. 1：1； C. 2：1； D. 1：2

10. 是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）

A. 正三角形 ； B. 梯形； C. 平行四边形； D. 直线

11. 三峡工程在6月1日——6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡出平湖初现人间。假设水库水位保持均匀上升，能准确反映水位h(米)与时间t（天）变化的是（ ）

12. 如果圆锥的母线长是高的2倍，侧面展开图的面积是π，则圆锥的高是（ ）

A. 1 ； B. 1.5； C. 2 ； D.

13. 某商品的价格是按利润的50%计算销售价，为了促销，采取打折优惠方式出售。若每件商品打折后仍能获利20%，则商家是按销售价的（ ）折出售

A. 七五； B. 八； C. 八五； D. 九

14. 已知图象上有点A，，，则的值（ ）

A. 小于0； B. 等于0； C. 大于0 ； D. 正负不确定