(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结

第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？ 解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。

相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。

相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。

下面将逐一介绍这些知识点。

1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。

即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。

2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。

3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。

4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。

相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。

相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。

人教版相似知识点总结一、相似三角形1. 定义相似三角形指的是具有相同形状但是大小不一样的三角形。

在相似三角形中，对应的角度相等，对应的边的比例也相等。

2. 判定判定两个三角形相似的方法有三种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角是相等的，那么这两个三角形就是相似的。

（2）AA相似判定法：如果两个三角形的其中一个角相等，并且它们的对边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

（3）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. 性质（1）相似三角形对应边的比例：在相似三角形中，对应边的比例是相等的。

（2）相似三角形内角对应：在相似三角形中，对应角是相等的。

（3）相似三角形内角和的性质：在相似三角形中，每个对应角的和都是180°。

4. 应用相似三角形的性质和判定方法在几何问题中有着广泛的应用。

比如在测量高楼的高度、计算不规则图形的面积等问题中，都会用到相似三角形的知识。

二、三角形的中线、角平分线、中线及高的关系1. 定义中线：三角形中线指的是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

角平分线：三角形角平分线指的是从三角形的一个顶点出发，分别平分相邻的两个角的线段。

高：三角形的高指的是从顶点到对边的垂直距离的线段。

2. 性质（1）三角形的中线：三角形三个顶点的连线的中点所组成的线段是三角形的中线，三角形的三条中线交于一个点，并且相互平分。

（2）三角形的角平分线：三角形的每个内角的角平分线相交于一个点，这个点和三个顶点连线的中点共线。

（3）三角形的高：三角形的三条高交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。

3. 中线、角平分线、高的关系中线长等于底边一半，角平分线分割对边成比例，高的平方等于底边乘以斜边的差的一半。

4. 应用三角形的中线、角平分线、高的性质和关系在解决数学问题中有很多应用，比如证明直角三角形的斜边长度等。

三、勾股定理1. 定理内容勾股定理指的是直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。

第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。

a和bc和d a,b,c,a,b,c,dd叫做成比例线段，的比，那么这四条线段）在四条线段中，如果的比等于（2简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）aca?bc?d bc?a:b?c:d?ad???；dbdb知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.A已知AD∥BE∥CF,ABDEABDEBCEFBCEFABBC DE??或??或或?或. 可得等EFDFDEDFABDEACEFBCAC CB知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似17 知识点射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。

人教版相似知识点总结一、相似三角形在平面几何中，相似三角形是指有相同形状但不一定相同大小的三角形。

相似三角形的性质和判定方法是初中数学重要的知识点之一。

1. 相似三角形的性质a. 性质1：对应角相等两个相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

b. 性质2：对应边成比例两个相似三角形的对应边成比例，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。

c. 性质3：相似三角形的面积成比例如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则它们的面积之比等于边长之比的平方，即S(ABC)/S(A'B'C')=(AB/A'B')^2=(BC/B'C')^2=(AC/A'C')^2。

2. 相似三角形的判定方法a. 直角三角形的判定方法：两个直角三角形如果有一个角相等，则它们相似；或者两个直角三角形的三条边分别成比例，则它们相似。

b. 三边成比例的判定方法：两个三角形的三条边分别成比例，则它们相似。

c. 边角边（或角边角）的判定方法：两个三角形的两个角分别相等，且夹在两边成比例，则它们相似。

d. 已知相似三角形内部某个角相等的判定方法：如果两个三角形相似且三角形内部有一个角相等，则其他两个角也相等。

相似三角形的性质和判定方法在初中数学中具有重要的理论和实际应用价值，对于几何图形的相似性质和相关计算都有重要的指导作用。

二、比例比例是数学中重要的概念，主要用来描述两个量之间的相对关系。

在人教版初中数学中，比例是一个重要的知识点，包括比例的性质、比例的计算、比例的应用等内容。

1. 比例的性质a. 比例的传递性：如果a:b=c:d，则a/c=b/d；如果a/c=b/d，则a:b=c:d。

初中数学九年级知识点总结：27相似一、知识框架二、知识点、概念总结 1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；○4.直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

5. 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。

可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。

相似三角形基本知识知识点一：相似图形1.__________________的两个图形说成是相似的图形。

注意：（1） 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形______________得到的．（2）全等形是相似图形的一种 ____________．2. 相似多边形：如果两个多边形 _____________, 对应角 __________，对应边 ___________________, 则这两个多边形是相似多边形。

________________________记为相似比。

3. 相似多边形的性质：对应角 _________，对应边 ______________________。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的相似比是_________.练习 1、在比例尺为 1：8000000 的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是 6.5cm ，则这两市之间的实际距离为km ；知识点二：平行线分线段成比例定理( 一) 平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比 . 已知 l 1∥ l 2∥l 3 , 可得_____________,_______________， _________________2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 .∵ DE ∥BC∴_______________________________.3、判定三角形相似定理 : 平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线 , 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 .即： ∵ DE ∥BC ∴ ________________.练习 1、如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点，连结 AE 交 CD 于 F ，则图中共有相似三角形 （ ）A 1 对B 2 对C 3 对D 4 对练习 2、如图，△ ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是 （ ）A. BC=2DEB. △ADE ∽△ ABCC.AD AB D.S ABC3S ADEAEACAD练习 3、在菱形 ABCD 中， E 是 BC 边上的点，连接 AE 交BD 于点 F, 若EC=2BE,则 BF的值是（）A.1FD111B.C. D. 2 3 4 58、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离 网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ）FBECh0.84 6A、8B 、 1C 、4D、8 1535知识点三：相似三角形1、相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应________，三边对应 ___________，那么这两个三角形叫做相似三角形。

第27章第2节相似三角形知识点归纳：九
年级下册数学
相似三角形
知识概念：
1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形
2.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。

(对应边成比例，对应角相等)
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;
3.直角三角形相似判定定理:
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与
原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

4.相似三角形的性质:
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

以上就是为大家整理的第27章第2节相似三角形知识点归纳：九年级下册数学，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。

相似三角形知识点总结所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

那么，接下来就由小编为大家带来相似三角形知识点总结，希望能够帮助大家!《相似三角形》知识点归纳三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

*影定理相似三角形的*质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.*质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

知识·巧学一、相似三角形1.定义：如果两个三角形对应边成比例，对应角相等，那么这两个三角形相似. 例如：在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，k A C CAC B BC B A AB =''=''='',则△ABC 与△A′B′C′相似. 2.记作△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k. 3.读作△ABC 相似于△A′B′C′.4.这里要把对应顶点写在对应的位置上.对应相等的角的顶点是对应点.以一对对应顶点为端点的边是对应边，也可以说对应角所对的边是对应边. 二、三角形一边的平行线性质1.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)平行线截得的三角形与原三角形的形状相同.如图27.2-1，DE ∥BC ，直线DE 的位置有三种，总有△ABC ∽△ADE.图27.2-1(2)如图，DE 在AB 、AC(或它们的延长线)上截得的线段成比例, 即∵DE ∥BC,∴ECAEBD AD =. (3)用几何画板演示三角形一边的平行线构成的相似关系，操作步骤如下： ①新建几何画板文件；②选取“画点”工具画三个点；③选中这三个点，由菜单“作图”→“画直线”，可以画出经过这三点的直线，标上标签； ④选取“画点”工具，在直线AB 上作点D ，标上标签；⑤选中点D 和直线AB ，由菜单“作图”→“平行线”，可以画出经过点D 的AB 的平行线，选取平行线与直线AC 的交点，标上标签E ； ⑥隐藏直线AB 、BC 、CA 、DE ；⑦用“画线段”工具，分别作线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE(△ABC 的三边用粗线，AD 、AE 用虚线，DE 用细线表示)；⑧选中线段AB 、BC 、CA 、AD 、AE 、DE ，由菜单“度量”→“长度”，量出△ABC 和△ADE 的边长(还可以计算各内角的度数)；⑨由菜单“度量”→“计算”，分别计算两个三角形对应边的比.拖动点D ，就能看到点D 在AB 上自由的移动，同时DE 也始终保持与BC 平行(内错角相等)，△ADE 各边的长度不断变化，但两个三角形对应边的比值不变(如图27.2-2).三、相似三角形的判定 1.根据定义判定.判定两个多边形相似的条件是对应边成比例，对应角相等，两条缺一不可.但是，三角形是最简单的多边形，有其特殊性，可以适当减少一些条件.2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(如图27.2-3).图27.2-3(1)这个比就是相似比.等边三角形都是相似三角形.(2)把两个三角形的三边先都按从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，最短边与最短边对应，最长边与最长边对应，来计算它们的比值 (作分子的都是同一个三角形的边，同样，作分母的都是另一个三角形的边)；只要三个比值都相等，就可断定这两个三角形相似了. 辨析比较 与全等三角形的判定定理SSS 相仿. 当k=1时，即三组边对应相等时，两三角形全等.4.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.图27.2-4(1)如图27.2-4，在△ABC 和△A′B′C′中，k A C CAB A AB =''=''，∠A=∠A′， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于 点E ，则△A′DE ∽△A′B′C′.∴.A C EA CB DE B A D A '''=''=''' ∵A′D=AB ，∴.B A BA B A D A '''=''' ∵k A C CA B A AB =''=''，∴A C CAA C E A ''='''..∴A′E=AC. 又∵∠A=∠A′,∴△A′DE ∽△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′.(2)等腰直角三角形都是相似形.(3)与全等三角形的判定定理SAS 相仿.一定是夹角相等，非夹角不能判定相似(如图27.2-5).图27.2-55.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (1)这是识别两个三角形相似的最简单方法.(2)只有两个角相等的三角形不一定全等，但一定相似. (3)特殊三角形的相似.①有一个锐角相等的直角三角形相似; ②顶角(或底角)相等的等腰三角形相似. 四、相似三角形的周长与面积1.两个相似三角形的周长的比等于相似比. 相似多边形的周长的比等于相似比.2.相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形的面积比等于相似比的平方.3.相似三角形对应中线的比、对应高之比、对应角平分线的比都等于相似比. 五、跟相似有关的主要结论上述结论可以由圆周角、弦切角等构成相似三角形得到.2.射影定理(见第29.1《问题·探究》)图27.2-10 如图27.2-10，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， 求证：(1)AC 2=AD·AB ；(2)AB 2=BD·AB ；(3)CD 2=AD·BD. 证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD.在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠B=∠ACD ，∠ACB=∠ADC=90°， ∴ Rt △ABC ∽Rt △ACD. ∴ADACAC AB ,即AC 2=AD·AB. 类似地，可证Rt △ABC ∽Rt △CBD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD. 于是有AB 2=BD·AB ，CD 2=AD·BD.3.角平分线性质：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.已知△ABC 中，∠BAD=∠DAC ，AD 交BC 于D.求证：ACABDC BD =图27.2-11证明：过C 作DA 的平行线CE 交BA 延长线于E(如图27.2-11). ∵CE ∥DA ，∴AEBADC BD =. 又∵∠E=∠BAD ，∠ACE=∠DAC ，∠BAD=∠DAC ，∴ ∠E=∠ACE.∴AC=AE. 代入上面的比例式，得ACABDC BD =. 六、相似三角形的实际应用利用相似三角形的性质来进行测量、计算那些不能直接测量的物体的高度和距离. 要点提示 太阳光下，同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的. 知识拓展 视点、视线、盲区：眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线，看不到的地方称为盲区. 问题·探究问题1 相似三角形高之比等于相似比吗？导思：如图27.2-12所示，如果△ABC ∽△A′B′C′，AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高，且k B A AB =''，可以猜想k D A AD=''.图27.2-12探究:猜想要经过证明才能作为结论使用. 老师：通过三角形相似证明比例式是常用的一种方法，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，这里AD 、A′D′分别是在Rt △ABD 与Rt △A′B′D′中，只需要证这两个三角形相似即可.要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？丁婷：两个三角形是直角三角形，有一对直角相等，还差一对锐角相等，但从问题的已知条件△ABC ∽△A′B′C′看，知道∠B=∠B′，所以可以先用三角形相似的性质，得到一组角相等，从而为证另一对三角形相似提供了一个条件，证明过程如下： 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′.又∵AD 是BC 边上的高，A′D′是B′C′边上的高， ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. ∴△ABD ∽△A′B′D′.∴k D A ADB A AB =''=''. 老师：请大家用语言来总结这个结论.李亮：相似三角形的对应高的比等于相似比.丁聪：我认为还可以总结得更一般些：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.老师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错.但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误.能不能再举例子说明你们这个结论的正确性？余童：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论. 老师：好的，来看一看，如何证明？ (上述结论都可以证明)问题2 平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？导思：根据相似多边形的定义，需要从边和角两个方面判定.在判断的过程中，可以通过作对角线把四边形问题转化为三角形问题探索. 探究:从特殊图形入手，逐渐减少对应条件. (1)角的条件：①矩形(含正方形)的角都相等；②平行四边形(含菱形)以及等腰梯形只要有一个内角相等，其它的三个角也就对应相等了. (2)边的条件：①两个菱形(含正方形)的边都是对应成比例的； ②平行四边形(含矩形)需要知道两邻边对应成比例； ③等腰梯形需要知道腰、上底、下底三边的比是否相等.结论：(1)有一个角对应相等，并且两邻边的比相等的平行四边形相似； (2)两邻边的比相等的矩形相似； (3)有一个角对应相等的菱形相似； (4)任意正方形相似；(5)有一个角对应相等，并且腰、上底、下底长的比都相等的等腰梯形相似. 典题•热题例1 (2006辽宁大连中考) 如图27.2-13，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 点中的( ) A.F B.G C.H D.O图27.2-13思路解析：在格点中可以知道三角形的边长和大致形状，本题中，△ABC 是等腰直角三角形，和它相似的△DME 也必须是等腰直角三角形，各选项中，只有点G 符合要求. 答案：B变式方法 在格点中给定一组三角形，判定哪些相似.如图27.2-14，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图27.2-14同一个三角形中把边长按大小顺序排列，分别与△ABC 的三边比较，若它们的比相同，则这两个三角形相似.选B.例 2 (2006浙江嘉兴中考) 如图27.2-15，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________.图27.2-15思路解析：图中Rt △ABC ∽Rt △ADE ，写出已知线段和所求线段的有关比例式. ∵∠CAB=∠DAE ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADE.∴AC ∶AE=AB ∶AD. 在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，所以AB=5. 把AC=3，AE=2，AB=5代入比例式，得AD=310. 答案：310 深化升华 用相似性质计算线段长时，一定要注意线段的对应；计算中，只需选定与已知线段和所求线段有关的比例式.例3 如图27.2-16，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置，求球拍击球的高度.图27.2-16图27.2-17思路解析：把三角问题转化为数学问题，结合图形，标上相应的字母；根据题目的意思，图中的两个三角形是相似的，运用相似三角形的边对应成比例就可以求出这个高度了. 解：如图27.2-17所示，分别用BD 表示球网，CE 表示球拍的高度，∵∠A=∠A(公共角)，∠ABD=∠ACE=90°，∴△ABD ∽△ACE(如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似). ∴CE BD AC AB =，即h8.01055=+. 解得h=2.4(米).答:球拍击球的高度为2.4米.误区警示 本题中不要把BC 当作是这两个相似三角形的对应边.常见错误：图27.2-18如图27.2-18，∵ DE ∥BC ，∴BCDEEC AE BD AD ==. 错误原因是把BD 、EC 作为三角形的对应边了.例4 (2006北京中考) 如图27.2-19，在⊙O 中，弦AC 与BD 交于E ，AB=6，AE=8，ED=4，求CD 的长.图27.2-19思路解析：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 本题中，△ABE ∽△DCE ，列出比例式.解：∵弦AC 与BD 交于E ，所以A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∴∠B=∠C ，∠A=∠D(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∴△ABE ∽△DCE. ∴DE AE AC AB =.∴486=DC .∴CD=3. 深化升华 在圆的问题中，有关比例线段问题都可以用圆周角、弦切角转化为相似三角形问题(见本节“知识·巧学”第五点)例5 (2006湖北武汉中考) 如图27.2-20，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB.其中相似的为( )A.①④B.①②C.②③④D.①②③图27.2-20 图27.2-21思路解析：本题涉及的三角形较多，其中由矩形的性质可以得到有两组全等形，另外较特殊的是直角三角形.①用“同角(或等角)的余角相等”，可以得到几个直角三角形的一个锐角相等，因此图中的所有的直角三角形都相似的. ②由Rt △BEA ∽Rt △AEF ，得到EFAEAE BE =，因为E 为AD 的中点，所以AE=ED ，则EFEDED BE =， 在△FED 与△DEB 中，因为EDBFEF ED =，∠FED=∠DEB ，所以△FED ∽△DEB. ③根据△FED ∽△DEB ，得到∠EDF=∠EBD ，它们的余角相等(∠FDC=∠BGA)，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠FCD=∠BAG ，所以△CFD ∽△ABG . ④△ADF 与△CFB 的形状不同，不能相似. 答案：D深化升华 ①如图27.2-21，若DE 2=EF·EB 时，则△DFE ∽△EBD ； ②比例中项问题通常换成比例式，转化为相似三角形中的对应线段的比.例6 (2006安徽中考) 汪老师要装修自己带阁楼的新居(图27.2-22，右图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m ，楼梯洞口宽AF=2 m ，阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助汪老师解决下列问题：(1)要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1.75 m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米？ (2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm ，每个台阶宽要大于20 cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？图27.2-22思路解析：根据图中的字母与尺寸，把实际问题数学化.本题的数据集中在△ABC 和△GFA 中，可以看出这两个三角形的相似的，用相似三角形的性质解决问题.台阶宽度之和等于楼梯的总长，高度之和等于楼梯的总高，根据题目中的要求，可以列出不等式组，用不等式组解决问题.解：(1)根据题意，有AF ∥BC ，∴∠ACB=∠GAF. ∵∠ABC=∠AFG=90°，∴△ABC ∽△GFA. ∴FGABAF BC =.得BC=3.2(m)，CD=(2+3)-3.2=1.8(m). (2)设楼梯应建n 个台阶，则⎩⎨⎧<>.2.32.0,8.22.0n n 解得14<n<16.楼梯应建15个台阶.方法归纳 生活中，有很多直角三角形相似问题，而直角三角形相似的条件只要有一组锐角相等即可.找到能解决问题的三角形是关键，尽量把数据集中到少数三角形中.。