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课题§3.5.2 简单的线性规划问题(1) 授课班级
教学目标
1．知识目标：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.通过设立目标函数求出最优解。
能力目标：培养学生自主学习的能力，能够运用线性规划解决一些简单的数学问题的能力，
善于发掘能够运用数形结合的能力并运用数形结合能力.
情感目标：通过本节的探究性学习让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。
过程与方法：
（1）通过巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；找出约束条件.通过设立目标函数求出最优解
（2）通过解题实践，体会线性规划的数学方法。
教学重点：能进行简单的二元线形规划问题.
教学难点：掌握线性规划的数学方法
教学方法：采用探究型设计方法，教学中要提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程。
使数学学习成为再创造的过程。
授课类型：新授课
教具：多媒体
教学过程：师生互动设计意图教师体问复习内容，
板书设计。
《简单线性规划》教学设计课题：简单线性规划教材分析：本节课是《人教版（B版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）第三章 3.5.2》在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．说明：（1）学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；（2）放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二. 深入研究，探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察．设建设中学教学楼面积为x百平方米，建设小学教学楼面积y百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成y x z =-+的形式，这表示一组平行直线，而z 表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线的纵截距最大时，z 取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d =，把它化成x y +=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以z x y =+=．从而到直线x + y =0的距离最大的点就是使z 取最大值的点．说明：（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答； （2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识； （3） 教师巡视观察，适当点拨；（4） 教师配合学生的探究结果，利用“几何画板”进行动态演示． 三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）；1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A需要x kg，食物B需要y kg，花费为z 元．则：z ＝6x＋8y．满足：5455865580.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步 掌握解决简单线性规划问题的一般方法．问题三： 设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．说明：（1） 借助练习，落实知识的掌握；（2） 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念． 五. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 六. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：已知：x 、y 满足条件：求：z = x ＋3y 的最大值．034241,x y x y x x y ⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩N。
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。
简单的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题4.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
六、教学支持条件分析可以借助计算机，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性. 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程1、复习引入：二元一次不等式（组）所表示的平面区域画出不等式x+4y -4 ＜0 表示的平面区域.2、创设情境，提出问题引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；每生产一件乙产品使用4个A配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？问题1：该厂日生产安排受哪些条件约束？设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，得出二元一次不等式组：学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→ 画平面区域，教会学生用画表格的方式理清题意，关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形。
3.3.2线性规划中的实际应用问题教学目标：1.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型，并求解作答。
2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际应用问题。
3.通过实例应用，培养学生用数学模型分析处理问题的能力，了解数学来源于生活又应用于生活的过程，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点：重点：利用图解法解决实际生活中的线性规划问题。
难点：分析处理数据建模求解的过程。
教学过程：环节一：知识梳理教师口头表述引领学生回忆上节课关于线性规划问题、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
【设计意图】：帮助学生回忆巩固知识，形成数学知识框架，为接下去的新课教学作铺垫。
环节二：复习巩固提问1：求解目标函数在线性约束条件下最值的方法是什么？（图解法）提问2：图解法的一般步骤分为哪五个部分？1.画可行域根据线性约束条件画出⇒ 2.作的直线出在平面直角坐标系中作0z =+=⇒by ax 3.变z bx ba y by ax z 1+-=⇒+=⇒把一般式变为斜截式（4.移取得最值时的点的坐标距在可行域中寻找使纵截平移直线bzl ,⇒ 5.答)z z min max 或数求出最优解（将点的坐标代入目标函⇒【设计意图】：图解法是解决线性规划问题的重要方法，因此需要教师反复强调分析，为接下去解决实际应用问题提供理论支持。
问题3：如何在可行域中寻找整点？（打网格线确定整点） 【设计意图】：为后面的寻找整点提供方法。
环节三：新课导入教师强调数学知识来源于生活最后又应用于生活，在实际生活当中数学知识无处不在，因此线性规划问题在实际生活中也广泛应用，比如： 例.某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天最多工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排有几种？ 思考：回忆解决函数实际应用问题的一般思路是什么？类比函数实际应用问题的一般步骤，你能否用线性规划的知识求解？ 【设计意图】：求解数学的实际问题，方法都是大同小异，总体框架不变，因此从必修一最后一章中的二次函数在实际生活中的应用唤醒学生的认知，通过类比来引出线性规划的数学模型。
《3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域》授课教案授课内容：人教A版数学必修五第三章第三节第一课时一．教学目标1.了解二元一次不等式（组）的概念，理解用直角坐标系中的平面区域表示二元一次不等式解集的原理，并能正确画出二元一次不等式表示的平面区域，增强数形结合的数学思想。
2.能从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示相关要求，体会二元一次不等式（组）的模型价值。
二．教学重、难点1.重点：用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的原理及其画法。
2.难点：（1）用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的原理。
（2）从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的过程。
三．教学方法类比与启发探究与讨论四．教学过程（一）创设情境，激发兴趣实例：小明需要买一些笔记本和画笔，妈妈给了他20元钱，其中笔记本单价为5元，画笔单价为3元，问小明可以有多少种购买方式？（要求：笔记本和画笔至少各买一本（支））学生经过自主探究后不难列出如下9种购买方式：①笔记本：1 画笔：1 ②笔记本：1 画笔：2③笔记本：1 画笔：3 ④笔记本：1 画笔：4⑤笔记本：1 画笔：5 ⑥笔记本：2 画笔：1⑦笔记本：2 画笔：2 ⑧笔记本：2 画笔：3⑨笔记本：3 画笔：1问题：上述每一种购买方式所满足的共同条件是什么？你能否用字母表示这个条件？学生经过思考不难得出：设购买笔记本x本，画笔y支，则+≤①5320x yx x N*≥∈②1,≥∈③1,y y N*问题：不等式①具有什么样的特征？（二）明晰概念，探究原理1.二元一次不等式（组）的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式称为二元一次不等式，把满足不等式的每一组未知数的取值称为不等式的一组解，并把所有的解构成的集合称为不等式的解集。
学生活动：请说出一些二元一次不等式。
从学生说出的不等式中任选一个，比如 236x y +> ，要求学生试着说出该不等式的几组解。
3.5.2简单线性规划教学设计
教材分析
普通高中课程标准实验教科书（人教B版）必修5第三章3.5.2简单的线性规划问题（第一课时），这是一堂关于简单线性规划的“问题教学”。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支。
它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划关心的两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最好的任务；二是给定一项任务应如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍而来线性规划问题的图解法，引用线性规划等概念。
学生情况分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
教学目标
1、了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
2、经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。
3、渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
教学重点：线性规划的图解法
教学难点：寻求线性规划问题的最优解
教学过程
情景引入：
问题：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。
生产甲产品1工时需要A 种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg。
现有A种原料200kg，B种原料800kg。
如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产以产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
请学生读题引导阅读理解后，列表建立数学关系式画平面区域，强调这是同一事物的两
种事物的两种表达形式数与形。
解:设计划生产甲种产品工时，生产乙种产品工时，利润总额为元。
目标状态：利润总额――>生产甲种产品创造的利润+生产乙种产品创造的利润，用符号表示为：
①――>这是关于变量的一次解析式，从函数观点看的变化引起的变化。
1200
把上述材料符号化后有：②
此时，由于对初始状态的分析，使我们的目标明朗起来了，
在满足条件下，求的最大值。
到了这里学生会陷入僵局，还得需要我们对做进一步的思考
图形化：
此时目标的理解又一次的发生变化：在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子时，使该式取最大值。
（下面的过程是老师介绍图解法）从方程的角度来理解这个等式，它是关于的二元一次方程
对应的图像是一条直线，但是变化的。
把转化为直线的斜截式：
根据式子的特点可以知道直线在轴上的截距是，当直线在轴上的截距最大时，有最大值。
解方程组
得点B的坐标(200,300),代入式子①，得。
答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18000元，此时利润总额最大。
在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组②成为约束条件。
如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数。
如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解。
【在黑板上将整个过程展示给学生，让学生有一个整体感、有一个初步的认识，并进一步让学生感受一下画移求答的过程，结合这道题介绍概念，避免的了数学概念的枯燥，使学生更容易理解。
】
问题情景是学生感到数学是自然的，有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表―>建立数学关系式―>画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题的过程，教师则在数据的分析整理上加以指导。
探究新课
例1例: 已知
43
3525
1
x y
x y
x
-≤-
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
归纳解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数；
2.画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.移：⑴令目标函数z=0作直线Ax+By=0；
⑵平移直线Ax+By=0，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(注：对于直线l ：z ＝Ax ＋By ，若B ＞0，则当直线l 在y 轴上的截距最大(小)时，z 取最大(小)值；若B ＜0，则当直线l 在y 轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值.）
4.求：通过解方程组求出最优解；
5.答：作出答案。
练习
求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
变式：设z=2x －y ，变量x 、y 满足下列条件 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值.
练习：
求z ＝2x-y 的最大值，使x 、y 满足约束条件：11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
【及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习的目的：培养学生的触类旁通、迁移的思想，会用数形结合思想解决问题，在做题的过程中体会解决线性规划问题的四步。
练习1一共两道题，找两位同学做，其他同学在下边自己做，大约要用5—6分钟，之后教师讲解，及时发现错误并指正，对的给予鼓励。
】
课堂小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值，是一种数形结合的数学思想，它将目标函数的最值问题转化为动直线在y 轴上的截距的最值问题来解决.
2.对于直线l ：z ＝Ax ＋By ，若B ＞0，则当直线l 在y 轴上的截距最大(小)时，z 取最大(小)值；若B ＜0，则当直线l 在y 轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值.
课后作业
课本P94页练习题。
