2021高三数学(理)培优专项《6三角函数》

14 / 172021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、 选择题1．若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-B ．1516C ．78D ．78-2．在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A ．6π B ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A．2BC．2D ．124．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）ABC． D．6．函数2cos 53y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）14 / 17A ．5π B ．52πC ．2πD ．5π7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，,tan ≠=a c B ABC的面积为则2||b ac -的最小值为（ ）A．B．C．D．9．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数14 / 17C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ）A)km B．)km C)kmD)km11．关于函数πsin 23f x xx R ，给出下列命题：（1）函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；（2）函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭对称； （3）为得到函数()sin 2g x x =的图像，只要把函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)(sin sin )()sin b A B cb C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）14 / 17A ．1B ．2CD．13．知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）满足()()f x f x -=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π．现给出了以下结论．①2ω=且2ϕπ=②在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递减且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ③在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递增且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④14．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-15．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 16．（多选题）函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心为（ ）A．,3π⎛⎝⎭B．5,6π⎛⎝⎭C．23π⎛-⎝⎭D．2,3π⎛⎝ 17．（多选题）将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）14 / 17A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称18．（多选题）下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于顶点对称 B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π二、 解答题19．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒14 / 17（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度.20．已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值. 21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积. 22．设函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=⋅++⎪⎝⎭2x （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.14 / 172021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选择题1．若1sin 4θ=，则cos2θ= （ ） A ．1516-B ．1516C ．78D ．78-【答案】C【解析】解：41sin θ=， 217cos 212sin 188θθ∴=-=-=，故选：C.2．在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（ ）A ．6π B ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin sin a B A b π===，又a b >，所以4A π>，所以3A π=或23A π=．选D ．3．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2B14 / 17CD ．12【答案】A【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，∴sin α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 010αβ-=-<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos αβ-==.∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-2⎛== ⎝⎭. 故选：A.4．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B14 / 17【解析】解：由余弦定理得2222cos 1cos 442b c a bc A bc A +-==，又根据三角形面积公式得2221sin 42b c a bc A +-=，∴sin cos A A =， 又角A 为ABC 的内角， ∴45A ︒=， 故选：B ．5．设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）ABC． D．【答案】D【解析】由题得sin cos sin cos cos sin )x x x x x ϕϕϕ=⋅-⋅-,其中cos ϕϕ== 当sin()1x ϕ-=，即2()x 222x k k z k ππϕππϕ-=+∈=++即时，函数取到最大值.所以=2,cos cos(2)sin 22k k ππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=. 6．函数2cos 53y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）14 / 17A ．5π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【解析】由题意，函数2cos()53y x π=+，所以函数的最小正周期是：2525T ππ==. 7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ【答案】B 【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ14 / 178．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，,tan ≠=a c B ABC的面积为则2||b ac -的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：tan B =1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B ，6ac ∴=， 由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c 8||||-=-a c a c 等号成立．9．函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数14 / 17【答案】C【解析】由题中图像可知2A =，由图像，因为对不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()12f x f x =，易知函数在122x x x +=取到最大值， 所以12222x x πϕ+⎛⎫+=⎪⎝⎭，故122x x πϕ+=-，又()12f x x +=， 故()()122sin 2x x ϕ++=，得()sin 2πϕϕ-+=， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； 故C 选项正确，ABD 都错； 故选：C.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ）14 / 17A)km B．)km C)km D)km【答案】B【解析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE=33==()km ， 在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅92723(=+-⨯⨯ 63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC =+=+263=+75=， 所以)km AC =.14 / 17故选：B.11．关于函数πsin 23f x xx R ，给出下列命题：（1）函数()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；（2）函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭对称； （3）为得到函数()sin 2g x x =的图像，只要把函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当πππ2π22π232k x k k Z ，即51212k x k ππππ-+<<+，函数()f x 是增函数，故（1）错； ()23x k k Z ππ+=∈，即62πk πx =-+， 则函数()f x 的图像关于点(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭对称，（2）正确； 将函数()f x 的图像上所有的点向右平行移动6π个单位长度， 得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（3）正确， 故选：C .12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)(sin sin )()sin b A B c b C -=-，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）14 / 17A ．1B ．2CD．【答案】C【解析】因为a =)(sin sin )()sin b A B c b C -=-可化为(a b)()(c b)a b c +-=-，即222a b c bc =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=. 又由正弦定理得2sin bB =，2sin cC =，所以1cos sin cos 2S B C bc A B C =+sin cos cos ))B C B C B C =+=-， 当且仅当B C =时，cos S B C +.13．知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）满足()()f x f x -=，其图象与直线2y =的某两个交点横坐标为1x ，2x ，且12x x -的最小值为π．现给出了以下结论．①2ω=且2ϕπ= ②在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递减且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π③在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上()f x 单调递增且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】C【解析】根据()()2sin f x x ωϕ=+及条件12x x -的最小值为π， 可知函数()f x 的最大值为2，()f x 的最小正周期为π，14 / 17∴2T ππω==，因为0>ω，所以2ω=，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=．于是序号①正确，进而知()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；对于序号②：∵2202f cos ππ⎛⎫==-≠⎪⎝⎭，于是序号②错误； 对于序号③，当且仅当取222()k x k k Z πππ-+≤≤∈时， 解得()2k x k K Z πππ-+≤≤∈，即,()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦为()f x 的单调增区间，显然)2,02(,k k k Z ππππ⎡⎫⎡⎤∈-+∈⎪⎢⎢⎥⎣⎣⎦-⎭，又2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故序号③正确；对于序号④，令cos20x =，解得()24m x m Z ππ=+∈， 即,0()24m m Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭为函数2cos2y x =的对称中心， 显然,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的其中一个对称中心，故④序号正确， 综上知正确的序号为①③④．14．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-【答案】D14 / 17【解析】 ()sin 23f x x x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D. 15．要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B【解析】2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22sin 22cos 246626y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.16．（多选题）函数2sin cos y x x x =-的图象的一个对称中心为（ ）A．,32π⎛⎫-⎪⎝⎭B．5,62π⎛-⎝⎭C．2,32π⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．2,3π⎛⎝ 【答案】AB【解析】11sin 2cos 2)sin 2cos 2sin(2)2222232y x x x x x π=++=+-=+- 令2,()326k x k x k Z ππππ+==-∈,当k=1时，3x π=,对称中心是,32π⎛- ⎝⎭;当k=2时，56x π=,对称中心14 / 17是5,6π⎛⎝⎭. 17．（多选题）将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】AC【解析】将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，可得()3cos sin 2x x y f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭=+， 所以()y f x =是奇函数，且图象关于直线π2x =对称. 18．（多选题）下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数12y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于顶点对称 B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称14 / 17C ．函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π 【答案】ABD【解析】由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确； 对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.三、 解答题14 / 1719．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度. 【解析】解：（1）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =∴由余弦定理，有2221cos 2?2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-，∴在ABC ∆中，120BAC ∠=︒；（2）由（1）知30ACB ∠=︒， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin30sin 45AD AC=︒︒，∴sin30sin 45AC AD ︒==︒20．已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值. 【解析】（1）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，14 / 17所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，2sin 26x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的最大值为2，()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值为4，214a ∴++=，1a ．21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积.【解析】（1）由sin 3sin A B 及正弦定理知3a b ，又b c =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=22223122b b b b +-==-.()0,A π∈，23A π=.（2）由（1）知6B Cπ==，又a =ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB AD D ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=14 / 17解得1AD =， 故332ABD S ∆.22．设函数()sin sin 2f x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭2x （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()2sin cos f x x x x =11cos2sin 2122x x +=++=1sin 212x x +sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈. （Ⅱ）因为()1f A =，所以sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以02A π<<，42,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 所以23A ππ+=，故有3A π=.已知能盖住ABC ∆的最小圆为ABC ∆的外接圆，而其面积为4π.所以24R ππ=外，解得=2R 外，ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c . 由正弦定理2=4sin sin sin a b c R A B C===外.14 / 17所以4sin 3a π==4sin b B =，4sin c C =，4sin 4sin 4sin b c B C B +=+=+24sin 36B B ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ABC ∆为锐角三角形，所以62B ππ<<. 所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故6b c <+≤，所以6a b c +<++≤. 故此ABC ∆的周长的取值范围为(6+.。

高考数学一轮复习数学三角函数与解三角形多选题的专项培优练习题(含答案一、三角函数与解三角形多选题1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.2．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.3．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】根据3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆面积是4【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题6．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈，∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.7．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B错误，可选B;对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。

高三数学数学三角函数与解三角形多选题的专项培优练习题(及答案一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．xπ3 7π12x ωϕ+0 π2π3π22π()f x 25A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．3．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.5．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD利用图象，把(代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.二、数列多选题9．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确；当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=， 所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。

2021年高考数学一轮复习三角函数创优测评卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题5分） 1．现有下列三角函数：①4πsin π()3n n ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；②sin 2()3n n ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；③sin (21)()6n n ππ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦Z ；④sin (21)()3n n ππ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦Z ．其中函数值与πsin 3的值相同的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．①②④ 2．下列三角函数值的符号判断正确的是（ ） A ．sin1560< B ．16cos05π> C ．17tan 08π⎛⎫-< ⎪⎝⎭D ．tan 5560< 3．有如下关于三角函数的四个命题：1:p x R ∃∈，221sin cos 222x x += 2:,p x y R ∃∈，()sin sin sin x y x y -=- []3:0,πp x ∀∈，1cos2sin 2xx -= 4:p 若sin cos x y =，则π2x y +=其中假命题的是（ ）A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，4p 4．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①π6πsinsin 55=；②ππcos cos 44⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③π3πtan tan 88>；④3π4πsinsin 55>. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4yx π=+C ． cos()4y x π=+D ．3cos(2)4y x π=+6．将三角函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得到的函数解析式为 （ ） A ．sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 2xD ．cos2x7．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ）A ．15-B ．15C ．75-D ．758．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e eππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④10．关于三角函数的图像，有下列命题：①sin ||y x =与sin y x =的图像关于y 轴对称；②sin y x =-与|sin |y x =的图像关于x 轴对称；③cos()y x =-与cos ||y x =的图像重合；④sin cos y x x =+的图像关于原点对称．其中错误命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置(),P x y .若初始位置为031,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，秒针从0P （注：此时0t =）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（ ）A ．sin 306y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 606y t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．sin 306y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．sin 306y t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12．若三角函数()f x 的部分图象如下,则函数()f x 的解析式,以及(1)(2)(2012)S f f f =+++的值分别为（ ）.A ．1()sin 122x f x π=+,2012S = B ．1()cos 122xf x π=+,2012S =C ．1()sin 122xf x π=+,2012.5S =D ．1()cos 122xf x π=+,2012.5S =二、填空题（共20分，每题5分）13．对函数()f x ,若()()(),,,,,a b c R f a f b f c ∀∈为某一个三角形的边长，则称()f x 为“ζ三角函数”，已知函数()1x x e mf x e +=+为“ζ三角函数”，则实数m 的取值范围是__________14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，=90ACB ∠，4AC =，3BC =，1AB BB =，则异面直线1A B 与11B C ，所成角的大小是___________（结果用反三角函数表示）．15．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(2,1)q a =，(2,cos )p b c C =-，且//p q ，三角函数式2cos 211tan CCμ-=++的取值范围是 .16．欧拉公式i e cos isin θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos 2020n n a π=+isin 2020n π（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n a 前2020项的乘积为________三、解答题（共70分） 17．（10分）已知17tan 47πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭;（1）求tan α以及2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值;（2）若0,022ππαβ<<<<，且16cos()65αβ+=-，求β的值（用反三角函数表示）. 18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan.2（1）求PA 的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．(结果用反三角函数表示)19．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a ，3AD a =，且25arcsin ADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =.求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）； （2）点A 到平面PBC 的距离.20．（10分）已知角θ是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点125,1313P ⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）写出三角函数,cos sin θθ的值；（2）求()()tan 2cos sin sin πθθπθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值. 21．（12分）已知a b c ，，分别是ABC △的内角A B C ，，所对的边长，且a c =，满()cos cos 3cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若点O 是ABC △外一点，24OA OB ==，记AOB α∠=，用含α的三角函数式表示平面四边形OACB 面积并求面积的最大值．22．（14分）已知向量(20)OB =，，向量(22)OC =，，向量(22)CA αα=，记OB 与OC 的夹角为θ．(Ⅰ)求3sin()cos 2cos tan()2ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭(Ⅱ)求向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围．。

三角函数（多选与填空）一、多选题1. 已知函数()()sin ()03f x x πωω=+>在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是A.11763ω< B. ()f x 在(0,2)π上有必有2个极小值点 C. ()f x 在(0,2)π上有必有2个极大值点 D. 将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度，可得sin y x ω=的图象2. 已知2()2cos 1(0,0,)24f x x ωπϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+−>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，具有下面三个性质：①将()f x 的图象右移π个单位得到的图象与原图象重合;②x R ∀∈，5()|()|;12f x f π③()f x 在5(0,)12x π∈时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是( ) A. ()f x 在(0,)4x π∈时单调递减B. 91()()()483162f f f πππ++= C. 将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象关于原点对称D. 若()g x 与()f x 图象关于3x π=对称，则当2[,]23x ππ∈时，()g x 的值域为1[1,]2−3. 设0ω>，函数()sin ,0,421,,44x x f x x x πωππωωπ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎛⎫⎪−−+∈+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，则下列命题正确的是( )A. 若6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32ω=B. 若()f x 的值域为[)0,,+∞则243ω C. 若函数()f x 在区间()0,+∞内有唯一零点，则[)20,4,8ωπ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭D. 若对任意的[)12,0,,x x ∈+∞且12x x ≠都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，则223ωπ<4. 数学中一般用min{,}a b 表示a ，b 中的较小值，max{,}a b 表示a ，b 中的较大值；关于函数()min{sin ,sin }f x x x x x =+−；()max{sin ,sin }g x x x x x =有如下四个命题，其中是真命题的是( )A. ()f x 与()g x 的最小正周期均为πB. ()f x 与()g x 的图象均关于直线32x π=对称 C. ()f x 的最大值是()g x 的最小值D. ()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称5. 已知函数()()2sin cos f x x x =+−( ) A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 图象的一条对称轴为直线34x π=C. 当0m >时，()f x 在区间3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D. 存在实数 m ，使得()f x 在区间()0,1012π上恰有2023个零点6. 已知点(,0)6π是函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的图象的一个对称中心，且()f x 的图象关于直线3x π=对称，()f x 在[0,]3π单调递减，则( )A. 函数()f x 的最小正周期为23π B. 函数()f x 为奇函数C. 若()[]()10,23f x x π=∈的根为()1,2,,i x i n ==⋅⋅⋅，则16ni i x π==∑D. 若()()2f x f x >在(),a b 上恒成立，则b a −的最大值为29π7. 已知函数()tan (2)(0)3f x x πωω=+>，则下列说法不正确的是( )A. 若()f x 的最小正周期是2π，则1ω= B. 当1ω=时，()f x 图象的对称中心的坐标都可以表示为(,0)()26k k Z ππ−∈ C. 当12ω=时，()()6f f ππ−<− D. 若()f x 在区间(,)3ππ上单调递增，则103ω<8. 设函数()f x 的定义域为R ，()2f x π−为奇函数，()2f x π+为偶函数，当[,]22x ππ∈−时，()cos f x x =，则下列结论正确的是( )A. 51()22f π=−B. ()f x 在(3,4)ππ上为减函数C. 点3(,0)2π是函数()f x 的一个对称中心 D. 方程()lg 0f x x −=仅有3个实数解9.让⋅巴普蒂斯⋅约瑟夫⋅傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R 上的函数()()()22cos 214cos3cos 2321n x xf x x n ππ⎡⎤−=−++++⎢⎥−⎢⎥⎣⎦，当[0,]x π∈时，有()f x x =，则.( ) A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的对称中心C. 1544f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()2222111135821n π+++++=−10.已知()sin 4sin 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在(0,)π内的三个不同零点，则( )A.{}123,,7πθθθ∈B. 123127θθθπ++=C. 1231cos cos cos 8θθθ=D. 1231cos cos cos 2θθθ++=−11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =−=−∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则( )A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点(2,0)π对称C. 函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D. 函数()f x 的导函数()f x '的最大值为412.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是( )A. 函数()f x 在3,2ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增 B. 函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫−⎪⎝⎭成中心对称 C. 函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称D. 若圆半径为512π，则函数()f x的解析式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭13.随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5，圆心角为23π的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与AB 相切于点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、(FH 垂足均不与O 重合).在OCD 区域以内，扇形人工湖OAB 以外的空地铺上草坪，则( )A. FOD ∠的范围是20,3π⎛⎫⎪⎝⎭B. 新增步道CD 的长度可以为20C. 新增步道FG 、FH 长度之和可以为7D. 当点F 为AB 的中点时，草坪的面积为253π14.对于函数1()sin ,02(2),22f x x x f x x π⎧=−>⎨⎩，下列结论中正确的是( )A. 任取1x ，2[1,)x ∈+∞，都有123()()2f x f x −B. 11511()()(2)22222k f f f k +++++=−，其中k N ∈C. *()2(2)()k f x f x k k N =+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立D. 函数()ln(1)y f x x =−−有3个零点15.若()|sin ||cos |f x x x x x =++−，则下列说法正确的是( ) A. ()f x 的最小正周期是2π B. ()f x 的对称轴方程为212k x ππ=−，()k Z ∈ C. 存在实数a ，使得对任意的x R ∈，都存在125,[,0]12x x π∈−且12x x ≠，满足2[()]()()10k f x af x f x −+=，(1,2)k =D. 若函数()2()g x f x b =+，25[0,]12x π∈，(b 是实常数)，有奇数个零点1x ，2x ，...，2n x ，21()n x n N +∈，则1232(x x x +++ (221)50)3n n x x π+++=17.由倍角公式2cos 221x cos x =−可知，cos 2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个()*n n N ∈次多项式()11001(,,n n n n n P t a t a t a a a −−=+++…，)n a R ∈，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫(..)P LTschebyscheff 多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得( )A. ()3343P t t t =−+B. ()424881P t t t =−+C. sin 54︒=D. cos54︒=二、填空题1. 已知函数()2sin()3f x x π=−，将()y f x =的图象上所有点横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得函数图象向左平移4π个单位长度，得到()y g x =图象，若3()2g x =在[0,2]π有n 个不同的解1x ，2x ，，n x ，则1tan()ni i x ==∑__________.2.111sin 30sin 31sin 31sin 32sin 59sin 60︒︒︒︒︒︒+++=⋅⋅⋅__________.3. 已知函数()|cos2| 1.f x x =+给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 的一条对称轴方程为4x π=；③若函数()()()g x f x b b R =+∈在区间90,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有5个零点，从小到大依次记为12345,,,,x x x x x ，则()1234525x x x x x π++++=；④存在实数a ，使得对任意m R ∈，都存在12,,06x x π⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，满足()1()(1,2).()k af x f m k f m =+= 其中所有正确结论的序号是__________.4.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin .y A t ωπ=某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为()y H t =，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足()()9sin 2sin 0810H t t t πωπω=+<<，其中50.8663H ⎛⎫≈− ⎪⎝⎭，则ω=__________.( 1.732)≈5.已知函数4()log ,04sin (),41242f x x x x x ππ⎧=<<−⎨⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时，满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341250x x x x x x ⋅⋅⋅−⋅的取值范围是__________.6.已知1α︒=，61β︒=，则满足tan tan tan 1tan tan tan αβγαβγ++=的一个γ的值为__________.7.已知ABC ∆的边AC =321tan tan A B+=，则ABC ∆的面积的最大值为__________.8.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos 2cos 21cos 2A C B −=−，则sin cos sin sin sin C CA B C+的最小值为__________.9.若tantan tan tan tan tan 1222222A B B C A C⋅+⋅+⋅=，则cos()A B C ++=__________。

专题06 三角函数及解三角形1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．3B ．23C ．13D ．93．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．235．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．26．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A ． 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.9．【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．10．【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．11．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 12．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．15．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅰ）求πsin(2)4A +的值． 18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅰ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1．【2020·上海高三一模】若不等式()sin 06x a b x π⎛⎫--π+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=A ．23B ．56C ．1D ．22．【2020·广东省高三其他（理）】已知四边形ABCD 中，//AD BC ，30A ∠=︒，AB =5AD =，E 在CB 的延长线上，且AE BE =，则AE DB ⋅=A ．1B ．2C ．12D3．【2020·安徽省高三三模（理）】函数()3sin e ex xx xf x -+=+的图象大致是 A ． B ．C ．D ．4．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，其始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ A ．1225-B ．2425-C ．85D ．65-5．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．6．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】已知α满足cos 3α=，则cos()cos()44ααππ+-=A ．718B ．2518C ．718-D ．2518-7．【2020·广东省高三一模（理）】已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是A ．[]6,63k k ππ+，k ∈Z B ．[]63,6k k π-π，k ∈Z C ．[]6,63k k +，k ∈ZD ．[]63,6k k -，k ∈Z8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A ωx φA ωφπ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____．9．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326δ''⎡⎤∈-⎣⎦.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）10．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】在ABC 中，若()22235a cb+=，则cos B 的最小值为_______11．【2020·定远县育才学校高三其他（理）】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．12．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是A ．函数的一条对称轴为6x π= B ．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增C ．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-D ．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=. （1）求ABC △的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．15．【2020·广东省高三其他（理）】在ABC △中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(3,2sin )m B =-，向量(cos ,cos 2)n B B =，且//m n ，角B 为锐角.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC △的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD △，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数； （2）求四边形ACDP 面积的最大值．18．【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；19．【2020·广东省高三二模（理）】ABC △中，D 为BC 上的点，AD 平分BAC ∠，5AD =，8AC =，ACD△的面积为 （1）求CD 的长； （2）求sin B .20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模（理）】△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin C B A B =+-．（1）求角A 的大小；（2）若a =△ABC 的面积S =,求△ABC 的周长．。

2021届高三精准培优专练例1：sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒=︒（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】C 【解析】sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17sin 30cos17cos17cos17︒-︒︒︒+︒-︒︒︒︒==︒︒︒1sin 302=︒=．例2：将函数πsin(2)3y x =+的图像上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．π3x =B ．π6x =C ．π2x =D ．π8x =【答案】D 【解析】向右平移π6个单位，表达式变为ππsin 2()sin 263y x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，再每一点的横坐标缩短到原来的一半，则表达式变为sin 4y x =， 而当π8x =时，sin 41x =，知所得函数图像的一条对称轴方程是π8x =． 培优点 三角函数一、简单的三角恒等变换二、三角函数的图像例3：若函数()sin([0,2π])3x f x ϕϕ+=∈是偶函数，则ϕ=（ ） A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π3【答案】C【解析】由()sin3x f x ϕ+=是偶函数，可得()()f x f x -=， 即sinsin 33x x ϕϕ+-+=，可得ππ32k ϕ=+，则33ππ2k ϕ=+，k ∈Z ． 当0k =时，可得3π2ϕ=．例4：设函数π()cos(2)3sin 223f x x x a =+++． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当π04x ≤≤时，()f x 的最小值为0，求a 的值． 【答案】（1）ππ[ππ]36k k ，()k ∈Z ；（2）14a ． 【解析】（1）ππcos 2cos sin 2sin3sin 2233f xx x xa13cos 2sin 22cos(2)2223x x a xa ．由π2ππ22π3k x k -≤-≤，得ππππ36k xk ()k ∈Z ．三、三角函数的性质四、三角函数的值域与最值所以，()f x 的单调递增区间为ππ[ππ]36k k ，()k ∈Z ． （2）由π04x ，得πππ2336x ，故1πcos(2)123x ．由()f x 的最小值为0，得1202a ．解得14a．一、选择题1．函数2π2cos ()14y x =--是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 【答案】A【解析】2πππ2cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x =--=-=-=，是奇函数， 它的最小正周期为π．2．定义运算22a b ab a b ⊕=+，则sin15cos15︒⊕︒的值是（ ）A ．68B ．38C ．64D ．34【答案】A【解析】22sin15cos15sin 15cos15sin15cos 15︒⊕︒=︒︒+︒︒sin15cos15(sin15cos15)=︒︒︒+︒，而11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=， 23sin15cos15(sin15cos15)12sin15cos152︒+︒=︒+︒=+︒︒=，对点增分集训所以1sin15cos1548︒⊕︒==． 3．已知πsin(π)2sin()2αα-=-+，则sin cos αα=（ ）A ．B ．C ．或 D ． 【答案】B【解析】由πsin(π)2sin()2αα-=-+，可得sin 2cos αα=-，则tan 2α=-，那么222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα===-++． 4．若函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间π[0]3，上单调递增，在区间ππ[]32，上单调递减， 则ω=（ ） A ．3 B ．2C ．D ．【答案】D【解析】由题意知，函数在π3x =处取得最大值1，所以π1sin 3ω=，故选D ．5．已知πcos()63x -=-，则πcos cos()3x x +-的值是（ ） A．3-B．3±C ．1-D ．1±【答案】C【解析】πππππππcos cos()cos[()]cos[()]2cos()cos3666666x x x x x +-=-++--=-2(1=⨯=-． 6．cos cos y x x =-的值域是（ ）2525-2525-15-2332A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】可得0,cos 02cos ,cos 0x y x x ≥⎧=⎨<⎩画出图像，则它值域为[2,0]-．7．函数π()3sin(2)3f x x =-的图像为C ，则有以下三个论断：①C 关于直线11π12x =对称；②)(x f 在π5π(,)1212-内是增函数；③由x y 2sin 3=的图像向右平移π3个单位 长度可得到C ．其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】当11π12x =时，()3f x =-，则①正确； 当π5π(,)1212x ∈-时，πππ2(,)322x -∈-，则)(x f 是增函数，则②正确； x y 2sin 3=的图像向右平移π3个单位，则其表达式为π()3sin 2()3f x x =-，其图像不是C ，则③错误．8．将函数π()2sin(2)4f x x =+的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线π4x =对称，则ϕ的最小正值为（ ） A ．1π8B ．1π2C ．3π4D ．3π8【答案】D【解析】函数π()2sin(2)4f x x =+的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位， 所得图像的表达式为ππ2sin[2()]2sin(22)44y x x ϕϕ=-+=-+， 再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的21倍，所得图像的表达式为π2sin(42)4y x ϕ=-+， 当3π8ϕ=，取π4x =时，π2sin(42)24y x ϕ=-+=，则选D ． 9．计算cos 2ππcos()cos()44ααα-+的值为_____________．【答案】2 【解析】cos 22cos 22cos 22cos 22πππππcos 2cos()cos()2sin()cos()sin(2)44442αααααααααα====-++++．10．写出函数π2cos(2)6y x =-图像的一个对称点的坐标为___________．（写出一个即可）【答案】π(,0)3【解析】当π3x =时，ππ2cos(2)036y =⨯-=，则π(,0)3是函数π2cos(2)6y x =- 图像的一个对称点．11．已知πtan()74α+=，5cos 13β=，均为锐角． （1）求； （2）求． 【答案】（1）3tan 4α=；（2）16cos()65αβ+=-． 【解析】（1）ππ713tan tan[()]441714αα-=+-==+⨯．（2），∴3sin 5α=，4cos 5α=，12sin 13β=，5cos 13β=，,αβtan αcos()αβ+(0,),(0,)22ππαβ∈∈则16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-． 12．已知函数2()(2cossin )2xf x a x b =++． （1）当1=a 时，求)(x f 的单调递增区间；（2）当0>a ，且[0,π]x ∈时，)(x f 的值域是]4,3[，求a 、b 的值． 【答案】（1）3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ；（2）1a =，3b =． 【解析】（1）π()1cos sin )14f x x x b x b =+++=+++，∴递增区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ． （2）π()(sin cos )sin()4f x a x x a b x a b =+++=+++，而[0,π]x ∈，则ππ5π[,]444x +∈，∴πsin()[4x +∈，故4(3a b a b ++=++=，∴13a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 13．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ππ(0,0,)22A ωϕ>>-<<一个周期的图像如图所示． （1）求函数()f x 的表达式；（2）若π()()32f f αα+-=，且π04α<<，求函数()f x α+的单调增区间．【答案】（1）π()sin(2)3f x x =+；（2）7π[ππ,π]1212k k --，k ∈Z ． 【解析】（1）由图像易知1A =． 设()f x 的最小正周期为T ，则πππ()41264T =--=， 所以πT =，即2ππω=，则2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+．则()f x 的图像可以看作是sin 2y x =向左平移π6个单位而得， 那么ππ()sin[2()]sin(2)63f x x x =+=+．（2）由π()()32f f αα+-=，可得ππsin(2)sin(2)332αα++-=则π2sin 2cos32α=，则sin 22α=，可得π6α=．所以ππ2()sin[2()]sin(2π)633f x x x α+=++=+， 由π2π2π2π2π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ， 解得7ππππ1212k x k -≤≤-，k ∈Z ， ()f x α+的单调增区间为7π[ππ,π]1212k k --，k ∈Z ．。

2021年高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练（6）评卷人得分一、简答题（每空？分，共？分）1、已知<<<，(1)求的值.（2）求.2、已知函数.(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.3、已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域．4、对于定义域分别为的函数，规定：函数(1) 若函数,求函数的取值集合；(2) 若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

5、已知向量与共线，设函数。

（Ⅰ）求函数的周期及最大值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求△ABC 的面积．6、已知函数，其最小正周期为（I）求的表达式；（II）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.7、已知向量，，函数．（1）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；（2）已知..分别为内角..的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．8、已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别且,，若，求的值．9、若函数对任意的实数，，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”.(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2) 若数列对所有的正整数都有，设,求证： .10、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为xx个，求的值．11、在中，分别为角的对边，向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．12、已知函数（其中）的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称轴方程；（3）当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围，并求此时的值.13、已知，．记（其中都为常数，且）．（Ⅰ）若，，求的最大值及此时的值；（Ⅱ）若，①证明：的最大值是；②证明：．14、已知函数（1）若函数的图像关于点对称，且，求的值；（2）设若的充分条件，求实数的取值范围15、如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。