2019-2020年中考数学复习测试题相似三角形证明

专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）215322y x x =++；（2）点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -2；（3）存在点(1,6)P ． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据三角形的三边关系可知：当点B 、C 、M 三点共线时，可使MB MC -的值最大，据此求解即可；（3）先求得90ACB ∠=︒，再过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图，这样就把以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似问题转化为以A ，P ，G 为顶点的三角形与ABC ∆相似的问题，再分当13PG BC AG AC ==时与3PG ACAG BC==时两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）将(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得：39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）解方程组：215322132y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得1103x y =⎧⎨=⎩，2241x y =-⎧⎨=⎩，∵(0,3)A ，∴(4,1)B -当点B 、C 、M 三点不共线时，根据三角形三边关系得MB MC BC -<， 当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC BC -=，∴当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC -取最大值，即为BC 的长， 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则在Rt BEC ∆中，由勾股定理得：222BC BE CE =+=，∴MB MC -取最大值为2；易求得直线BC 的解析式为：y =－x －3，抛物线的对称轴是直线52x =-，当52x =-时，12y =-，∴点M的坐标为（52-，12-）；∴点M 的坐标为（52-，12-）时，MB MC -取最大值为2；（3）存在点P ，使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似．设点P 坐标为215,3(0)22x x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，在Rt BEC ∆中，∵1BE CE ==，∴45BCE ∠=︒， 在Rt ACO ∆中，∵3AO CO ==，∴45ACO ∠=︒， ∴180454590ACB ∠=︒-︒-︒=︒，AC =过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图， ∵90PGA APQ ∠=∠=︒，PAG QAP ∠=∠，∴PGA ∆∽QPA ∆， ∵90PGA ACB ∠=∠=︒，∴①当13PG BC AG AC ==时，PGA ∆∽BCA ∆， ∴211533322x x x =++-，解得11x =，20x =，（舍去） ∴点P 的纵坐标为215113622⨯+⨯+=，∴点P 为(1,6)；②当3PG ACAG BC==时，PGA ∆∽ACB ∆， ∴23153322xx x =++-，解得1133x =-（舍去），20x =（舍去），∴此时无符合条件的点P ； 综上所述，存在点(1,6)P ． 【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法． 【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2318355y x x =-+；（2）① 102940；② 存在，（（2，95）或（349，5527-）．【解析】 【详解】试题分析：（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；②当△CNQ 与△PBM 相似时有PQ PMCQ BM= 或NQ BM CQ PM =两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）∵抛物线23y ax bx=++经过点A（1，0）和点B（5，0），∴3025530a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得35185ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴该抛物线对应的函数解析式为2318355y x x=-+；（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，2318355t t-+）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，335t+），∴22331837147335555220PN t t t t⎛⎫⎛⎫=+--+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立直线CD与抛物线解析式可得2335318355y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或7365xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C（0，3），D（7，365），分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，则CE=t，DF=7﹣t，∴11772222PCD PCN PDNS S S PN CE PN DF PN=+=+==V V Vg g22371472171029522010240t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴当72t =时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940； ②存在．∵∠CQN =∠PMB =90°，∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有PQ PMCQ BM= 或NQ BM CQ PM =两种情况， ∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，335t + ）， ∴CQ =t ，333355Q t N t +-==， ∴35CQ NQ = ， ∵P （t ，2318355t t -+），M （t ，0），B （5，0）， ∴BM =5﹣t ，223183180335555PM t t t t ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝+⎭， 当PQ PM CQ BM =时，则35PM BM =，即()2318335555t t t --=+-，解得t =2或t =5（舍去），此时P （2，95）； 当NQ BM CQ PM =时，则35BM PM =，即2318355355t t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝-⎭-，解得349t =或5t =（舍去），此时P（349，5527-）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，95）或（349，5527-）．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c=++经过O，D，C三点.(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE 的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于∠DEC =90°，首先能确定的是∠AED =∠OCE ，若以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，那么∠QPC =90°或∠PQC =90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t 的值；（3）由于以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论： ①EC 做平行四边形的对角线，那么EC 、MN 必互相平分，由于EC 的中点正好在抛物线对称轴上，所以M 点一定是抛物线的顶点；②EC 做平行四边形的边，那么EC 、MN 平行且相等，首先设出点N 的坐标，然后结合E 、C 的横、纵坐标差表示出M 点坐标，再将点M 代入抛物线的解析式中，即可确定M 、N 的坐标． 试题解析：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB =∠AOC =∠B =90°，AB =CO =8，AO =BC =10， 由题意，得△BDC ≌△EDC ，∴∠B =∠DEC =90°，EC =BC =10，ED =BD ， 由勾股定理易得EO =6， ∴AE =10﹣6=4，设AD =x ，则BD =ED =8﹣x ，由勾股定理，得()22248x x +=﹣ ，解得，x =3，∴AD =3，∵抛物线2y ax bx c =++过点D （3, 10），C （8, 0），O （0, 0），∴9310{ 6480a b a b +=+=，解得 23{ 163a b =-=，∴抛物线的解析式为： 221633y x x =-+；（2）∵∠DEA +∠OEC =90°，∠OCE +∠OEC =90°， ∴∠DEA =∠OCE ，由（1）可得AD =3，AE =4，DE =5， 而CQ =t ，EP =2t ，∴PC =10﹣2t ， 当∠PQC =∠DAE =90°，△ADE ∽△QPC ，∴CQ CP AE DE =，即 10245t t-=， 解得4013t =，当∠QPC =∠DAE =90°，△ADE ∽△PQC ，∴PC CQ AE DE =，即 10245t t -=， 解得257t =， ∴当4013t =或257t =时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似；（3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点； 则： 3243M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则1443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②EC 为平行四边形的边，则EC //MN ，EC =MN ，设N （4，m ）， 则M （4﹣8，m +6）或M （4+8，m ﹣6）；将M （﹣4，m +6）代入抛物线的解析式中，得：m =﹣38， 此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m =﹣26， 此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）；综上，存在符合条件的M 、N 点，且它们的坐标为：①()1432M --，， ()1438N -，； ②()21232M -，， 2(426N -，）； ③33243M ⎛⎫⎪⎝⎭，， 31443N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解． 【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=32；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）94．【解析】【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F 的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t，然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得930{3b c c -++==，解得2{3b c == ∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3； （2）∵OA =OB =3，∠BOA =90°， ∴∠QAP =45°．如图①所示：∠PQA =90°时，设运动时间为t 秒，则QA 2t ，PA =3-t ． 在Rt △PQA 中，22QA PA =，即：2232t t =-，解得：t =1； 如图②所示：∠QPA =90°时，设运动时间为t 秒，则QA 2t ，PA =3-t ． 在Rt △PQA 中，2PA QA =22t=t =32． 综上所述，当t =1或t =32时，△PQA 是直角三角形； （3）如图③所示：设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）．（4）如图④所示：设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t2．∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴点M的坐标为（1，4）．∴MB22+=112当△BOP ∽△QBM 时，MB BQ OP OB =即：2(3)2t -=，整理得：t 2-3t +3=0， △=32-4×1×3＜0，无解： 当△BOP ∽△MBQ 时，BM BQ OB OP =即：2(3)23t t-=，解得t =94． ∴当t =94时，以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似． 类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______． 【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =92155n <<. 【解析】 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n =275时，N （2，275），可求DA ，DN =185，CD =365，当PQ ∥AB时，△DPQ ∽△DAB ，DP 当PQ 与AB 不平行时，DP ②当PQ ∥AB ，DB =DP 时，DB DN =245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ； 故答案为()2,9； （2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴，由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，DA ∴=，182DN =，365CD =当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DNDA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DNDA DC∴=， 245DN ∴=，21(2,)5N ∴，∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． 【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）-3；（3）当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S △BNG﹣S△BMG=BG•x N﹣BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据x N ﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（x N﹣1）-BG•（x M-1）=1，∴x N﹣x M=1，由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：x==，则x N=、x M=，由x N﹣x M=1得=1，∴k=±3，∵k＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），（a）当△PCD∽△FOP时，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2=0①；(b)当△PCD∽△POF时，，∴，∴t=（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1=t2=，方程②有一个实数根t=，∴m=2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣1m（x+2）（x ﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴交于点E．（1）求点B、点C的坐标；（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（m，0）；（2）存在，点H（1，34b）；（3）存在，m＝222【详解】 解：（1）()()()120y x x m m m=-+->，令y ＝0，则x ＝﹣2或m ， 故点B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（m ，0）； （2）存在，理由：()()12y x x m m=-+-，令x ＝0，则y ＝2，故点E （0，2）， △BCE 的面积为：()1122622BC OE m ⨯⨯=+⨯= ，解得：m ＝4，则抛物线的对称轴为： ()12412x =-+= ，点B 关于函数对称轴的对称点为点C （m ，0），连接CE 交对称轴于点H ，则点H 为所求， 将点C 、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CE 的表达式为： 14y bx b =-+ ，当x ＝1时,34y b = ， 故点H （1，34b ）； （3）∵OE ＝OB ＝2，故∠EBO ＝45°，过点F 作FT ⊥x 轴于点F ； ①当△BEC ∽△BCF 时，则BC 2＝BE •BF ，∠FBO ＝EBO ＝45°，则直线BF 的函数表达式为：y ＝﹣x ﹣2，故点F （x ，﹣x ﹣2）；将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()122x x x m m--=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或2m ， 故点F （2m ，﹣2m ﹣2），则)1,BF m BE =+= ∵BC 2＝BE •BF ，则())221m m +=+解得： 2m =±（舍去负值），故m =②当△BEC ∽△FCB 时，则BC 2＝BF •EC ，∠CBF ＝∠ECO ， 则△BFT ∽△COE ， 则2TF EO BT CO m == ，则点()2,2F x x m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦将点F 的坐标代入抛物线表达式得： ()()()2122x x x m m m-+=-+- 解得：x ＝﹣2（舍去）或m +2；则点()22,4F m m m ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦BC 2＝BF •EC ，则()22m +=化简得：m 3+4m 2+4m ＝m 3+4m 2+4m +16， 此方程无解； 综上，m ＝2+．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212(2)33y x =-+；（2）1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似；（3）存在，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】解：（1）过点E 作EG x ⊥轴于G 点.∵四边形OABC 是边长为2的正方形，D 是OA 的中点， ∴2OA OC ==，1OD =，90AOC DGE ∠=∠=︒. ∵90CDE ∠=︒，∴90ODC GDE ∠+∠=︒. ∵90ODC OCD ∠+∠=︒，∴OCD GDE ∠=∠.在OCD ∆和GED ∆中COD DGE OCD GDE DC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ODC GED AAS ∆∆≌，1EG OD ==，2DG OC ==. ∴点E 的坐标为(3,1).∵抛物线的对称轴为直线AB 即直线2x =，∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x k =-+，将C 、E 点的坐标代入解析式，得421a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得1323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴抛物线的解析式为212(2)33y x =-+； （2）①若DFP COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠，//PD OC ， ∴90PDO OCP AOC ∠=∠=∠=︒，∴四边形PDOC 是矩形， ∴1PC OD ==，∴1t =；②若PFD COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠， ∴PD DFCD OD=. ∴9090PCF DCO DPF PDF ∠=︒-∠=-∠=∠.∴PC PD =，∴12DF CD =. ∵22222215CD OD OC =+=+=，∴CD2DF =. ∵PD DFCD OD=，∴522PC PD ===，52t =，综上所述：1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似： （3）存在，①若以DE 为平行四边形的对角线，如图2，此时，N点就是抛物线的顶点（2，23），由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y＝13 x；∵DM∥EN，∴设DM的解析式为：y＝13x＋b，将D（1，0）代入可求得b＝−13，∴DM的解析式为：y＝13x−13，令x＝2，则y＝13，∴M（2，13）；②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，∵CM∥DE，DE⊥CD，∴CM⊥CD，∵OC⊥CB，∴∠OCD＝∠BCM，在△OCD 和△BCM 中BCM OCD CBM COD CO CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△OCD ≌△BCM （ASA ）， ∴CM ＝CD ＝DE ，BM ＝OD ＝1， ∴CDEM 是平行四边形， 即N 点与C 占重合， ∴N （0，2），M （2，3）；③N 点在抛物线对称轴右侧，MN ∥DE ，如图4，作NG ⊥BA 于点G ，延长DM 交BN 于点H ， ∵MNED 是平行四边形，∴∠MDE ＝MNE ，∠ENH ＝∠DHB ， ∵BN ∥DF ，∴∠ADH ＝∠DHB ＝∠ENH ， ∴∠MNB ＝∠EDF ， 在△BMN 和△FED 中MBN EFD BNM FDE MN DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BMN ≌△FED （AAS ），∴BM ＝EF ＝1，BN ＝DF ＝2，∴M （2，1），N （4，2）； 综上所述，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ； 四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ； 四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫⎪⎝⎭. 3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值．（3）点C 关于x 轴的对称点为H ，5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224233y x x =--；（2）E （﹣15，﹣85）5；（3）（1133+）或（1133-Q （1，2）或Q （1，﹣32）． 【详解】（1）由题可列方程组：28 23 ca a c=-⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：232ac⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为：y＝23x2﹣43x﹣2；（2）由题意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝5，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则k b0b2-+=⎧⎨=-⎩，解得：22kb=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时AOCAEBSS△△＝（ACAB）2＝（542＝516，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝165，∴12AB×|y E|＝165，AB＝4，则y E＝﹣85，则点E（﹣15，﹣85）；由△AOC∽△AEB得：5AO AEAC AB==∴AE5AB=；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG ＝CFsin ∠FCG ＝5CF ， ∴5CF +BF ＝GF +BF ≥BE ， 当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值， 由（2）可知∠ABE ＝∠ACO|y |＝OBtan ∠ABE ＝OBtan ∠ACO ＝3×12＝32， ∴当y ＝﹣32时，即点F （0，﹣32），5CF +BF 有最小值；①当点Q 为直角顶点时（如图3） F （0，﹣32），∵C （0，﹣2）∴H （0，2）设Q （1，m ），过点Q 作QM ⊥y 轴于点M ． 则Rt △QHM ∽Rt △FQM ∴QM 2＝HM •FM ， ∴12＝（2﹣m ）（m +32）， 解得：m 133±，则点Q （1133+1133-当点H 为直角顶点时：点H （0，2），则点Q （1，2）；当点F 为直角顶点时：同理可得：点Q （1，﹣32）； 综上，点Q 的坐标为：（1，1334+）或（1，1334-）或Q （1，2）或Q （1，﹣32）．4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 抛物线的解析式为y =13x 2-2x +1，(2) 四边形AECP 的面积的最大值是814，点P （92，﹣54）；(3) Q （4,1）或（-3，1）. 【详解】解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1， 所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1；(2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)，∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，13m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，∴PE＝m＋1−(13m2−2m＋1)＝−13m2＋3m.∵AC⊥PE，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝12AC⋅EF＋12AC⋅PF＝12AC⋅(EF＋PF)＝12AC⋅EP＝12×6(−13m2＋3m)＝−m2＋9m.∵0<m<6，∴当m＝92时，四边形AECP的面积最大值是814，此时P(9524，)；(3)∵y＝13x2−2x＋1＝13(x−3)2−2，P(3，−2)，PF＝y F−y p＝3，CF＝x F−x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，设Q(t，1)且AB＝92，AC＝6，CP＝32，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝3292t＝4，所以Q(4，1)；②当△CQP∽△ABC时，CQ:AB＝CP:AC，(6−t):9232＝6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =--+；（2）PG =24833m m --；（3）存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-．【详解】解：（1）∵抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，4），∴40{34b c c -++==，解得8{34b c =-=. ∴抛物线的解析式为248433y x x =--+. （2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，∴P （m ，248433m m --+），G （m ，4）. ∴PG =224848443333m m m m --+-=--.（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似． ∵248433y x x =--+，∴当y =0时，2484033x x --+=，解得x =1或﹣3. ∴D （﹣3，0）．当点P 在直线BC 上方时，﹣3＜m ＜0． 设直线BD 的解析式为y =kx +4，将D （﹣3，0）代入，得﹣3k +4=0，解得k =43. ∴直线BD 的解析式为y =43x +4. ∴H （m ，43m +4）． 分两种情况：①如果△BGP ∽△DEH ，那么BG GP DE EH =，即248334343m m m m m ---=++. 由﹣3＜m ＜0，解得m =﹣1.②如果△PGB ∽△DEH ，那么PG BG DE HE =，即248334343m mm m m ---=++. 由﹣3＜m ＜0，解得m =2316-．综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或2316-．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标【答案】（1）2y x =+；（2）234,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-；（3）(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)- 【详解】（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．∵∠OPA =45°，∴OM =OP =2，即M （-2，0）．设直线AB 的解析式为y =kx +b （k ≠0），将M （-2，0），P （0，2）两点坐标代入，得0(202)k bk b⨯+⨯-⎩+⎧⎨＝＝， 解得，12k b ⎧⎨⎩＝＝． 故直线AB 的解析式为y =x +2； （2）①:2:3AP PB = 设()22,4A a a-()23,9B a a （a ＞0）∵点A 、点B 在直线y =x +2上和抛物线y =x 2的图象上， ∴2422a a =-+，2932a a =+∴24212a a -=-，292=13a a -∴22429223a a a a--=-解得，1a =2a =43A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭②:3:2AP PB = 设()23,9A a a-()22,4B a a （a ＞0）∵点A 、点B 在直线y =x +2上和抛物线y =x 2的图象上， ∴2932a a =-+，2422a a =+∴29213a a -=-，242=12a a-∴22924232a a a a--=- 解得：133a =，233a =-（舍去） (3,3)A ∴-综上234,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,3-（3）45MPA ∠=︒，45QPB ∠≠︒ (1,1)A -，(2,4)B①45QBP ∠=︒此时B ，Q 关于y 轴对称，PBQ ∆为等腰直角三角形1(1,2)M ∴-2(2,2)M -②45BQP ∠=︒此时()2,4Q -满足，左侧还有Q '也满足BQP BQ P '∠=∠QQ '∴，B ，P ，Q 四点共圆，易得圆心为BQ 中点()0,4D设()2,Q x x'，()0x <∵Q D BD '=()2222(0)42x x ∴-+-=()()22430xx --=0x <Q 且不与Q 重合x ∴=(Q '∴，2Q P '=2Q P DQ DP ''===Q DPQ '∴∆为正三角形，160302PBQ '∠=⨯=︒︒过P 作PE BQ '⊥，则PE Q E '==BE =Q B '∴=∵Q PB PMA '∆∆:∴PQ Q BPA PM''=PM =解得，1PM =+∴(12)M - ∵Q PB PMA '∆∆: ∴PQ Q B PM PA''=∴2PM =解得，31PM=-∴(13,2)M-综上所述，满足条件的点M的坐标为：(1,2)-，(2,2)-，(13,2)--，(13,2)-. 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【答案】（1）y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）详见解析；（3）24．【详解】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得1126+n,250=5,3mm n=+⎧⎪⎨++⎪⎩解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）∵AC ＝225552+=，BC ＝22(65)12-+=，AB ＝22(51)6213-+=，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，当∠PAB ＝45°时，点P 只能在点B 右侧，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，∴∠QAB +∠OAB ＝180°﹣∠PAB ＝135°， ∴∠QAP +∠CAB ＝135°﹣∠OAC ＝90°， ∵∠QAP +∠QPA ＝90°，∴∠QPA ＝∠CAB ， 又∵∠AQP ＝∠ACB ＝90°，∴△PQA ∽△ACB ；（3）做点B 关于AC 的对称点B '，则A ，F '，B '三点共线， 由于AC ⊥BC ，根据对称性知点B '（4，﹣1）， 将B '（4，﹣1）代入直线y ＝kx +5， ∴k ＝﹣32，∴y AB '＝﹣32x +5， 联立235,218533y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得，x 1＝72，x 2＝0（舍去），则F '（72，﹣14）， 将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，61,41,k bk b+=⎧⎨+=-⎩解得，1,5.kb=⎧⎨=-⎩∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（72，﹣14）代入，得，b＝﹣154，∴y FF'＝x﹣154，联立25,354y xy x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，21,43.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴F（214，32），则FF'＝2221731()()4224-++＝724．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式． 【答案】(1) 4c a =;(2) 见解析. 【解析】 【详解】解：（1）222525525(5)()4424y a x x a c a x a c =++-+=+-+ ∴525,24D a c ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∵C (0，c ) ∴OC =-c ，DH =254a c -+ ∵S △ABD ：S △ACB ＝9∶16 ∴25();()9:164DH a c c OC =-+-= ∴4c a = ∴254(1)(4)y ax ax a a x x =++=++ ∴ (4,0),(1,0)A B --（2）① ∵EH ∥OC ∴△AEH ∽△ACO ∴EH AHOC AO= ∴1.544EH a =- ∴ 1.5EH a =- ∵ 2.25DH a EH =-≠ ∵△DBH 与△BEH 相似 ∴∠BDH =∠EBH , 又∵∠BHD =∠BHE =90°∴△DBH ∽△BEH ∴DH BHBH EH = ∴ 2.25 1.5a BH BH a-=-∴3a=±（舍去正值）∴2y =9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y==x2-4x+3；（2）AS△ACD=2；（3）①∠DFE=90°时，E1（22）; E2（22）；②∠EDF=90°时，E3（1，2）、E4（4，-1）．【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，代入C（O，3）后，得：a（0-2）2-1=3，a=1∴抛物线的解析式：y=（x-2）2-1=x2-4x+3．（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=-1∴直线BC：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD22AG DG+2，AC22OC OA+10，CD22(31)2-+2，即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=12AD•CD=122×2=2．（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：x2-4x+3=1，解得x=2±2；当x=2+2时，y=-x+3=1-2；当x=2-2时，y=-x+3=1+2；∴E1（2+2，1-2）、E2（2-2，1+2）．②∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：x2-4x+3=x-1，x2-5x+4=0，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴E3（1，2）、E4（4，-1）；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+2，1-2）、（2-2，1+2）、（1，2）或（4，-1）．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)-，并且与=++≠的顶点坐标为(2,1)y ax bx c ay轴交于点(0,3)C，与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线V相似．若存在，EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO。

初三数学中考复习相似三角形判定定理的证明专项复习训练题含答案2019初三数学中考复习 相似三角形判定定理的证明 专项复习训练题 1. 如图，结合图形及所给条件，无相似三角形的为( )2．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD3．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥BC ，AC ＞BC ＞BD ，请你添加一个条件，使△ABC ∽CDB ，那你添加的条件是_____________________________________________. 4．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连接BE ，交AC于点F ，AC ＝12，则AF 为_______.5. 如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( ) A ．4 B ．4 2 C ．6D ．4 36. 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上(除端点外)的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F.下列结论不一定成立的是( ) A ．△AED ≌△BFA B ．△BGF ∽△DAE C ．AE 2＝AF·FGD ．DE －BG ＝FG7. 如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB ，其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的有( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④8. 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上一点，且BP ＝3PC ，Q 是DC 的中点，则AQ ∶QP 等于 .10. 证明：∵FD ∥AB ，FE ∥AC ，∴∠B ＝∠FDE ，∠C ＝∠FED ，∴△ABC ∽△FDE. 11. 证明：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°.∵∠A ＝∠A ，∴△ABF ∽△ACE.∴AE AF ＝ACAB.又∵∠A 是公共角，∴△AEF ∽△ACB.12. 解： BF 2＝FG·EF.其理由是：∵BE ∥AC ，∴∠1＝∠E ，∵∠1＝∠2，∴∠E ＝∠2，∵∠GFB ＝∠BFE ，∴△BFG ∽△EFB ，∴BF FG ＝EFBF ，∴BF 2＝FG·EF.13. 解：GE ＝mGD ，证明：过点D 作DF ∥AC 交BC 于F ，∠DFB ＝∠ACB ，∴△DFG ∽△ECG ，∴DF CE ＝DG GE ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠DFB ，∴BD ＝DF ，∴DG EG＝BD CE ＝1m，∴EG ＝mDG. 14. 解：(1) 当CD 2＝AC·BD 时，△ACP ∽△PDB.提示：由CD 2＝AC·BD，得CDAC＝BD CD ，即PD AC ＝BDPC ，又∠ACP ＝∠PDB ＝120°，∴△ACP ∽△PDB ； (2) ∠APB ＝120°.15. 解：(1) 证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°，∴∠APQ ＝∠C.在△APQ 与△ABC 中，∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△APQ ∽△ABC(2) 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AC ＝5.(Ⅰ)当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．∵∠BPQ 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ.由(1)可知，△APQ ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得：PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；(Ⅱ)当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，点B 为线段AP 中点，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。

2019中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2019•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．（2019•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（2019•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．4．（2019•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2019•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2019•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．8．（2019•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．9．（2019•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2019•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．（2019•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2019•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．故选：D．13．（2019•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．14．（2019•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．15．（2019•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．16．（2019•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP 和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠B AC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．17．（2019•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．18．（2019•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．19．（2019•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2019•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．22．（2019•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．23．（2019•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S：S△ABG=（）△EFGA．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．24．（2019•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．25．（2019•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．26．（2019•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．27．（2019•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．28．（2019•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．二．填空题（共7小题）29．（2019•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2019•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．31．（2019•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．（2019•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2019•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．（2019•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．35．（2019•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2019•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．（2019•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2019•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．（2019•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE 的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2019•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2019•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2019•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠D GF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2019•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．44．（2019•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．46．（2019•烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F 为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．（2019•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．（2019•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．（2019•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．（2019•乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH 的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）。

专题24相似三角形判定与性质1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，：S△CBF＝（）2＝4：25；∴S△AEF②当AE：ED＝3：2时，：S△CBF＝（）2＝9：25。

1．若＝，则的值为()A．1444AB AC B．BC2＝AB·BCC.＝D.≈0.618线段AB的黄金分割点，则AC可能等于AB.2019年浙教版数学中考复习相似三角形综合测试一．选择题y3x＋yx4x75C.7D.2．下列线段不能成比例线段的是()A．1cm，2cm，4cm，8cmB．1cm，2cm，22cm，2cmC.2cm，5cm，3cm，1cmD．2cm，5cm，3cm，7.5cm3．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是()AC BCA.＝AC5－1AB2BCAC4．下列关于线段AB的黄金分割的说法中，正确的有()①线段AB的黄金分割点有2个；②若C是线段AB的黄金分割点，则AC可能等于5－12AB；③若C是3－52A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)△与ABC相似的是()6．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是()7.(2016新疆)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是()A.DE＝BCB.＝F，若AB1＝，则＝()323D．111．已知＝＝，且b＋d≠0，则＝()3555．．．1AD AE2AB ACC.△ADE∽△ABCD.△SADE∶S△ABC＝1∶28．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，DEBC2EF1A.1B.2C.9.(2016菏泽)如图，△ABC△与A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°△，则ABC△与A′B′C′的面积比为()A.25∶9B.5∶3C.5∶3D.55∶3310．在△Rt ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC，BC边分别相交于E，F，连结EF，则在运动过程中，△OEF△与ABC 的关系是()A．一定相似B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断a c2a＋cb d3b＋d2A.2B.3C.1D.12.如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为()A. B. C. D.13．(易错题)已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝______.AF HFDF BG2715312212二．填空题BO2OC314．如图，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN 的长为______．15．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是_________.16．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC 边上一点，添加一个条件：__________________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)17．如图，D，E△为ABC的边AC，AB上的点，当__________________△时，ADE∽△ABC.其中D，E 分别对应B，C.(填一个条件)．这时比值为5－1≈0.618人们把称为黄金分割数．长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很作EF⊥OE，且EF＝OE，连结OF；以F为圆心，EF为半径作弧，交OF于H；再以O为圆心，OH为18△．在ABC△和A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1△，则ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1△，则ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1△，则ABC∽△A1B1C1；④若AC∶A1C1＝CB∶C1B1，∠C＝∠C1△，则ABC∽△A1B1C1.其中是真命题的为__________(填序号)．19．阅读下列材料：如图1，在线段AB上找一点C(AC＞BC)，若BC∶AC＝AC∶AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，5－122特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E 12半径作弧，交OE于点P，则点P就是线段OE的黄金分割点．根据材料回答下列问题：(1)线段OP的长为________，点P在数轴上表示的数为________；(2)在(1)中计算线段OP长的依据是____________．20．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为__________________________．22．如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则＋2AC＝______．23．已知＝＝≠0，求的值．点F，G，且＝.(2)求的值.21．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b－a＝4时，m－n＝__________．ABAP AQ三．解答题x y z x－4y＋3z234x＋4y－3z24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于AD DFAC CG(1)△证明ADF∽△ACG;AFFG25．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．26.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.27.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．28.(2017福州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．23.解：设＝＝＝k，又∵＝，∴△ADF∽△ACG. (2)解：∵△ADF∽△ACG，∴＝.AC2AG2∴AF＝1.参考答案1-6DCBDBD 7-12DBAAAN13.414.115.3 216.∠A＝∠BDF(答案不唯一)17.∠ADE＝∠B18.①③④19.(1)5－15－1(2)勾股定理20.(4，4)或(5，2)21.45－822.4x y z234∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x－4y＋3z＝2k－12k＋12k＝1. x＋4y－3z2k＋12k－12k24.(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C.AD DFAC CGAD AFAC AGAD1AF1又∵＝，∴＝，FG25.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠B，∴△ABM∽△EFA.(2)解：在△Rt ABM中，AB＝12，BM＝5，∠B＝90°，∵F 是 AM 的中点，∴AF ＝ AM ＝ .∵△ABM ∽△EFA ，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 AE ＝16.9.∴AG GE ＝，∴由勾股定理得 AM ＝ AB 2＋BM 2＝ 122＋52＝13.1 132 2AE AFMA MB13AE 213 5又 AD ＝AB ＝12，∴DE ＝16.9－12＝4.9.26. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ADG △和 CDG 中，⎧⎪AD ＝CD⎨∠ADG ＝∠CDG ， ⎪⎩DG ＝DG∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG.(2)∵△ADG ≌△CDG ，∴∠DAG ＝∠DCG ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AF ∥CD ，∴∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F ，∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△GAE ∽△GFA ，GF AG ∴AG 2＝GE·GF.27. (1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝90°，又∵∠BFD ＝∠AFE ，∴∠CAD ＝∠FBD ，∴△ACD ∽△BFD.∴AD＝1，即AD＝BD.)2＝，22∴BC2＝AC·CD，即＝，∴AB AC＝，(2)解：∵tan∠ABD＝1，BD又∵△ACD∽△BFD，∴△ACD≌△BFD，∴AC＝BF，又∵AC＝3，∴BF＝3.28.解：(1)∵AD＝BC＝5－1 2，∴AD2＝(5－13－5 22∵AC＝1，∴CD＝AC－AD＝1－5－13－5＝，∴AD2＝AC·CD.(4分)(2)∵AD2＝AC·CD，BC CDAC BC又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，BD BC又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

2019 初三数学中考复习三角形相像的条件专项复习训练题1.如图，在 ? ABCD 中，点 E 在 BA 的延伸线上， EC 交 AD 于点 F，则图中相似三角形有 ()A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对2.如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中相像三角形共有()A．4 对B．3 对C．2 对D．1 对3. 以下各组图形中有可能不相像的是()A．有一个锐角相等的两直角三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．有一个角相等的两等腰三角形D．两个等腰直角三角形4.如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延伸线等于点E，在不增添协助线的状况下，与△AEF 相像的三角形有 ()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个5. 如图，△ ABC 中， DE∥BC， DE＝1，AD＝2，DB＝3，则 BC 的长是 ()13A. 2B.257C.2D.26. 在△ ABC 和△ DEF 中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠E＝80°，则△ ABC∽△ DEF，这两个三角形相像的依据是_______________________________.7．如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°，D 是 AC 上一点， DE⊥AB 于点 E.若 AC ＝8，BC＝6，DE＝3，则 AD 的长为 ___.8.如图，△ ABC 中， D 为 BC 上一点，∠ BAD ＝∠ C，AB ＝6，BD＝4，则 CD 的长为 ____.9.如图，在 ? ABCD 中， F E， BP∥ DF，且与 AD 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延伸线订交于点订交于点 P，请从图中找出一组相像的三角形______________.10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，CD⊥AB 于点 D， CD＝2，BD＝1，则AD的长是.11．如图， Rt△ABC 中，∠ ABC ＝90°，DE 垂直均分 AC，垂足为 O，AD∥B C，且 AB ＝3，BC＝ 4，则 AD 的长为 _____.12.如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠ C＝54°，∠ A＝47°，∠ F＝54°，∠ E＝79°.求证：△ ABC ∽△ DEF.13. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC，BD＝CD，CE⊥AB 于 E.求证：△ ABD ∽△CBE.14.如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于 F，试说明：△ABF ∽△ EAD.15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB ＝∠ ACB.AB AC(1)求证：AE＝AD；(2)若 AB ⊥AC ，AE∶EC＝1∶2，F 是 BC 的中点，求证：四边形 ABFD 是菱形．参照答案：1. C2. B3. C4. C5. C6.两角对应相等的两个三角形相像7. 58. 59.答案不独一，如：△ DCF∽△ EBF10. 42511.812.证明：在△ ABC 中，∠ B＝180°－∠ A－∠ C＝79°，在△ ABC 和△ DEF 中，∠B＝∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.∠C＝∠ F13.证明：在△ ABC 中， AB ＝AC，BD＝CD，∴ AD ⊥BC，∵ CE⊥AB ，∴∠ADB ＝∠ CEB＝90°，又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABD ∽△ CBE.14.证明：∵矩形 ABCD 中， AB ∥CD，∴∠ BAF ＝∠ AED ，∵ BF⊥AE，∴∠AFB ＝90°，∴∠ AFB ＝∠ D＝90°，∴△ ABF ∽△ EAD.15.证明： (1) ∵AB ＝AD ，∴∠ ADB ＝∠ ABE ，∵∠ ADB ＝∠ ACB ，∴∠ ABEAB AC＝∠ ACB ，又∵∠ BAE ＝∠ CAB ，∴△ ABE ∽△ ACB ，∴AE＝AB，又∵ AB ＝AB ACAD ，∴AE＝AD；(2)设 AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴ EC＝ 2x，由(1)得 AB 2＝AE·AC，∴ AB ＝ 3 x，又∵ BA ⊥AC，∴ BC＝2 3x，∴∠ ACB ＝30°，又∵ F 是 BC 的中点，∴ BF ＝ 3x，∴ BF＝AB ＝AD ，又∵∠ ADB ＝∠ ACB ＝∠ ABD ，∴∠ ADB ＝∠ CBD＝ 30°，∴ AD ∥BF，∴四边形A BFD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABFD 是菱形．。

2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴=， ∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2 【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝245x,∴AC＝395x＝3,∴x＝513,AP＝3x＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。

图形的相似一、选择题1．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D2．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B3．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C4．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C5．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处【答案】B6．（2019邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C7．（2019温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM =BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为A ．2 B ．3C D 【答案】C8．（2019淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C9．（2019杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则A ．AD ANAN AE = B ．BD MNMN CE =C ．DN NEBM MC=D ．DN NEMC BM= 【答案】C10．（2019玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A．3对B．5对C．6对D．8对【答案】C11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC 于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B二、填空题14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为__________m．【答案】5415．（2019台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且23mn，则m+n的最大值为__________．【答案】25 316．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 520．（2019河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 521．(2019淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4三、解答题22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△． （2）如图，∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点， ∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，， ∴△DEF ∽△ABC同理：△D 'E 'F '∽△A 'B 'C '， 由（1）可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴△DEF ∽△D 'E 'F '．23．（2019绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k =MN ：EF ．（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2a≤MN≤，a≤EF≤，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为5．（3）连接FN，ME．∵k=3，MP=EF=3PE，∴MN EFPM PE==3，∴PN PFPM PE==2， ∴△PNF ∽△PME ，∴NF PNME PM==2，ME ∥NF ， 设PE =2m ，则PF =4m ，MP =6m ，NP =12m ，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与点B 重合．过点F 作FH ⊥BD 于点H ．∵∠MPE =∠FPH =60°，∴PH =2m ，FH ，DH =10m ，∴a AB FHb AD HD ===．②如图3中，当点N 与点C 重合，过点E 作EH ⊥MN 于点H ．则PH =m ，HE =，∴HC =PH +PC =13m ，∴tan ∠HCE MB HE BC HC ===， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ， ∵∠B =∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD FC MB ME ==2，∴213a CD MBb BC BC ===，综上所述，a ：b 24．（2019凉山）如图，∠ABD =∠BCD =90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ． （1）求证：BD 2=AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．解：（1）证明：∵DB 平分∠ADC ， ∴∠ADB =∠CDB ，且∠ABD =∠BCD =90°， ∴△ABD ∽△BCD ， ∴AD BDBD CD=， ∴BD 2=AD ·CD ．（2）∵BM ∥CD ，∴∠MBD =∠BDC ， ∴∠ADB =∠MBD ，且∠ABD =90°， ∴BM =MD ，∠MAB =∠MBA ， ∴BM =MD =AM =4，∵BD 2=AD ·CD ，且CD =6，AD =8，∴BD 2=48， ∴BC 2=BD 2-CD 2=12， ∴MC 2=MB 2+BC 2=28，∴MC =∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =∴MN =5． 25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴NP AEBC AD=，即PN h PNa h-=，解得PNaha h =+．（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，∴NM'∥NM，∴△BN'M'∽△BNM，∴N'M'BN'NM BN=，同理可得=N'P'BN'NP BN，∴N'M'P'N' NM PN=.∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，∴四边形PQMN为正方形．（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，∴ER=RM=12 EM，又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，∴∠EQM=∠EMN.又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，∴△EQM≌△RMN（AAS），∴EQ=RM，∴EQ=12 EM，∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，∴∠BEQ=∠EMB，又∵∠EBM=∠QBE，∴△BEQ∽△BME，∴1=2 BQ BE EQBE BM EM==．设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，∴BN=BE+NE=5x，∴BN=53NM=533aha h+．26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．②如图，△A2B2C为所作．③OB=点B经过的路径长=．27．（2019衢州）如图，在Rt△AB C中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE ∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC12=∠BAC=30°，在Rt△ADC中，DC=AC•tan30°=63⨯=．（2）由题意易知：BC BD∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM，∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴EF BE BD AG AB BC==，∴23 EF EF BDDF AG BC====．（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC于H，并延长HQ与DE交于点P．连结QC，QG．设⊙Q 的半径QP =r ．则QH 12=r ，r 12+r ，解得r =，∴CG ==4，AG =2， 易知△DFM ∽△AGM ，可得43DM DF AM AG ==，∴DM 47=，∴DM = ②当⊙Q 经过点E 时，如图2，过点C 作CK ⊥AB ，垂足为K ，设⊙Q 的半径QC =QE =r ．则QK r .在Rt △EQK 中，12+（r ）2=r 2，解得r =∴CG 143==，易知△DFM ∽△AGM ，可得DM 5=．③当⊙Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM．∴综上所述，当DM=DM≤P只有一个．28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE．解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OE OE =+，∴OE =32，答：楼的高度OE 为32米．29．（2019安徽）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB =∠BPC =135°． （1）求证：△PAB ∽△PBC ； （2）求证：PA =2PC ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12=h 2·h 3．证明：（1）∵∠ACB =90°，AB =BC ， ∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°， 又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2， ∵△PAB ∽△PBC，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．30．（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BC A B B C ==11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）证明：如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ，∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）证明：∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似．∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE=， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴12S S =1．。