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《复变函数》教学大纲-欢迎来到重庆邮电大学理学院首页一、考试目的、要求：《复变函数》考试的目的是测试学生对《复变函数》知识的掌握情况以及运用《复变函数》知识解决实际问题的能力。
根据本门课程各章节内容、难度、深度不一，对考试要求由低到高分为了解、理解、掌握与综合运用四个层次。
1、了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能在有关的问题中识别它们。
2、理解：对概念或指令、程序达到了理性的认识，不仅“知其然”而且“知其所以然”。
3、掌握：是在理解的基础上通过练习，形成技能，能运用它去解决一些问题。
三、考试类型与方法本课程的考试为理论型，采取闭卷考试方式。
时间为2小时。
四、考试大纲细则本课程的考试题型有选择、填空、计算、证明等题型，试卷总分100分，各层次约占的分数为：了解约10%，理解约25%，掌握为50%，综合运用约15%。
难度系数约为0.65～0.80。
五、复变函数试卷题型分布表题型分值填空题20选择题30证明题10计算题40六、《复变函数》考查知识点教学内容第一章第二章考查知识点与要求复数各种表示方法的相互转化，主辐角，模与共轭复数的性质；复数平面、复球面、区域、多连通区域等概念；能用不等式表示区域；复变函数的极限与连续的概念。
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的充要条件；了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及主要性质（包括单值域中的解析性）。
了解复变函数积分的定义其性质；会利用曲线的参数方程计算复变函数积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式和高阶导数公式（证明不作要求）；了解解析函数的无限次可导的性质；了解调和函数与解析函数的关系，切实掌握从已知的调和函数u(某,y)或v(某,y)出发，求解析函数函数u(某,y)+iv(某,y)。
理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念；了解幂级数的收敛的概念，会求幂级数的收敛半径；理解泰勒定理（证明不作要求）；了解马克罗林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。
第四章 解析函数的幂级数表示法本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。
第一节 复级数的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+L在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。
按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。
设z 0是一个复常数。
如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作lim z z n n =+∞→。
如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。
令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+-容易看出，0lim n n z z →+∞=等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。
注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
复数项级数就是......21++++n z z z或记为1n n z +∞=∑，或∑n z ，其中n z 是复数。
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理4.3）收敛4.（定理4.4）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理4.5’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理4.6）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理4.8）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
